Chương 8. Thanh chịu lực phức
tạp
Trần Minh
Tú
Đại học Xây
dựng
1
Q
Chương 8. Thanh chịu lực phức tạp
8.1. Các khái niệm chung
8.1.1. Chịu lực đơn
giản
Trong trường hợp tổng quát, trên mặt cắt ngang của một thanh chịu
tác
dụng của ngoại lực có sáu thành phần ứng
l
ự
c:
- Lực dọc:
N
z
- Lực cắt : Q
x
,
Q
y
- Mô men uốn: M
x
,
M
y

h
ợ
p
những trường hợp chịu lực đơn
gi
ả
n
- Uốn xiên: uống ngang phẳng đồng thời trong hai mặt
ph
ẳ
ng
- Uốn và kéo (nén) đồng
th
ờ
i
- Uốn và xoắn đồng
th
ờ
i
- Chịu lực tổng
quát
a. Phư ơ ng

pháp

tính

• Để giải quyết các bài toán chịu lực phức tạp ta sử dụng nguyên lý
độc
lập tác dụng - Nếu trên một thanh chịu tác dụng của một hệ ngoại


dươ

ng

các

thành

phần

ứng

lự
c:

- N
z
>0: đi ra khỏi mặt
c
ắ
t
- M
x
>0: căng thớ về phía
d
ươ
ng
của trục
y

thời hai thành phần ứng lực là các mô men uốn M
x
, M
y
nằm trong các mặt
quán
tính chính trung tâm của mặt cắt ngang (hình
8.3a).
F
1
F
F
F
1
x
F
F

2
2
x
y
a b c
a b
y
(a)
(
b)
Hình
8.3

y
y
M
Æ
t
ph¼ng
t¶
i
träng
Hình
8.4
8.2.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt
ngang
Gọi α - góc giữa hướng của trục x và đường tải trọng (α<90
0
và α>0
khi
chiều quay từ trụ x đén đường tải trọng thuận chiều kim đồng hồ - hình
8.4)
Ta
có:
M

x
=
M
sin
α
M
y

y
x
(8.2)
I

x
I

y
Trong đó: - (x, y) là toạ độ điểm tính ứng suất trên mặt cắt
ngang
- M
x
, M
y
– các thành phần ứng lực tại mặt cắt ngang đang
xét
- I
x
, I
y
– các mô men quán tính chính trung tâm của tiết
diện.
Trong (8.1) phải chú ý dấu của toạ độ x, y theo chiều các trục quán
tính
chính trung tâm của mặt cắt ngang và dấu của M
x
, M
y
theo qui ước

lần lượt do M
x
,
M
y
gây ra. Từ đây có thể suy ra ứng suất pháp tại điểm B(x
B
,
y
B
):
σ
= +
M

x
y
+
M
y
x
z B
B
I

x
I

y
σ

y
y
σ
mi
n
(a
)
(b)
B
z
σ
ma
x
(c)
Hình
8.5
8.2.3. Đường trung hoà và biểu đồ ứng
suất
Nếu ứng suất tại mỗi điểm biểu diễn bằng một vec tơ thì phương
trình
(8.2) biểu diễn mặt phẳng quĩ tích những đầu mút của vec tơ ứng suất - gọi
là
mặt ứng suất. Giao tuyến của mặt ứng suất với mặt cắt ngang là đường
trung
hoà – quĩ tích những điểm có ứng suất pháp bằng không, phương trình có
dạng:
M
M
x
y


y
- Đường trung hoà là đường thẳng đi qua gốc toạ độ với hệ số góc
(chiều
dương qui ước như góc α - hình
8.6):
M
k
=
tan
β
= −
y
M

x
I

x
= −
I

y
1
I

x
tan

α

x
§uêng
trung
hoà
x
x
x
K
N
y
N
N
y
σ
mi
n
Hình
8.7
b. Tính các giá trị nội lực M
x
, M
y
tại mặt cắt ngang đang xét và các
đặc
trưng hình học mặt cắt ngang I
x
,
I
y
.

ề
n
Sau khi dựng đường trung hoà, ta xác định được toạ độ điểm xa
đường
trung hoà nhất thuộc vùng chịu kéo và vùng chịu nén, từ đó xác định ứng
suất
pháp cực trị
theo:
σ
= +
M

x
M
y

max
+
y
x
max
z max k
k
x
y
σ
= −
M

x

,
y

max
)
CHÚ
Ý:
là toạ độ điểm xa đường trung hoà nhất thuộc vùng chịu
kéo
là toạ độ điểm xa đường trung hoà nhất thuộc vùng chịu
nén
- Với mặt cắt ngang hình chữ nhật, chữ I, mặt cắt có 2 trục đối xứng
nội
tiếp được trong hình chữ nhật, thì các điểm có ứng suất pháp cực trị chỉ ở
các
điểm góc
nên:
σ
=
σ
=
M

x
+
M
y
(8.7)
z
max

x
, M
y
cùng lớn), điều kiện bền
có
σ

z max
≤

[
σ

]
⎫
⎪
- Vật liệu
dòn:
σ
≤

[
σ

]
⎬
(8.9)
z
min
n

ngang
chữ nhật
điều kiện
bền
có
M

x
+
M
y
≤

[
σ

]
(8.11)
W
x
W
y
Từ điều kiện bền (8.11) ta rút ra ba bài toán cơ
b
ả
n:
• Bài toán kiểm tra bền: Biết tải trọng, kích thước mặt cắt ngang
và
vật liệu, kiểm tra xem điều kiện bền (8.11) có thỏa mãn hay
không?


]
(8.12)
x
⎝
y
⎠
•
Chọn trước tỉ số
W
x
W
y
theo kinh nghiệm (mặt cắt ngang chữ
nh
ậ
t
chọn
W
x
=
h
, mặt cắt ngang chữ I chọn
W
x
=
8
÷
10
, mặt cắt

G
Gọi
và f

y
là độ võng tại mặt cắt ngang bất kỳ do riêng Mx và My gây nên.
Độ
G
võng toàn phần
f
G
là tổng hình học
của
2
2
f

x
và
G
f

y
, tức
là:
f
=
f

x

uốn do tải trọng q (hình 8.8b). Cột điện chịu sức căng F của dây cáp điện
có
z z z
z
z
x
phương không vuông góc với trục cột, thành phần vuông góc với trục cột F
1
gây
uốn và thành phần F
2
theo phương trục cột gây nén đúng tâm (hình
8.8c).
F
1
F
2
F
q
M
x
N
z
x
Q
z
M
y
y
B

)
+

σ

(

M

x
)
+

σ

(
M
y
)
=
N

z
+
M

x
M
y
+

I

x
I

y
Việc chọn dấu trước mỗi số hạng tùy thuộc vào các thành phần nội
l
ự
c
gây ra ứng suất kéo hay nén tại điểm tính ứng
su
ấ
t.
8.3.3. Kéo (nén) lệch
tâm
Trường hợp riêng của bài
toán
uốn và kéo (nén) đồng thời là
bài
toán kéo (nén) lệch
tâm
Ví dụ: Trường hợp chịu lực của
trục
giá cần
c
ẩ
u
P
1

OK
=
e
- độ lệch
tâm
Dời N từ K về trọng tâm O của mặt cắt
ngang
ta được 3 thành phần ứng
l
ự
c:
- Lực dọc
N
z
- Mô men uốn M
x
=N.y
K
, và
M
y
=N.x
K
.
Tương tự như (8.14) ta có công thức tính ứng suất
pháp:
Hình
8.10
σ
=


x
I
;
r

2
=
y
ta
được:
x
A
y
A
σ
=
N
⎛
1

+
y
K
z
A
⎜
r

2

+
y
x
=
0
(8.18)
A
I

x
I

y
Ta nhận thấy đường trung hoà không đi qua trọng tâm mặt cắt ngang,
các
điểm xa đường trung hoà nhất là các điểm có ứng suất pháp cực trị
σ

max
,
σ

min
.
Cách vẽ biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang tương tự như bài toán
uốn
xiên.
Với bài tóan kéo (nén) lệch tâm, phương trình đường trung hoà có
dạng:
r

⎠
x
+
y
=

1
(8.19)
với
2
a
= −
y
x
K
a
b
2
; b
= −
x
y
K
(8.20)
Tính chất đường trung
hoà:
- Đường trung hòa không đi qua góc phần tư chứa điểm đặt lực (a
ngược
dấu x
K

toạ
độ thì đường trung hoà tương ứng sẽ dịch chuyển song song với
chính
nó. Nếu điểm đặt lực di chuyển gần vào trọng tâm thì đường trung
hoà
ra xa trọng tâm và ngược
lại.
Khái niệm về lõi mặt cắt
ngang
- Thường gặp những vật liệu chịu nén tốt, chịu kéo kém (gạch, đá,
bê
tông,
…) => Khi tính toán, thiết kế các cấu kiện chịu uốn và nén đồng thời
hay
chịu
nén lệch tâm ta phải tìm vị trí điểm đặt lực lệch tâm sao cho trên mặt
cắt
ngang
chỉ chịu ứng suất nén. Muốn vật đường trung phải nằm ngoài mặt
cắt
ngang
hoặc cùng lắm là tiếp xúc với chu vi mặt cắt
ngang.
- Lõi mặt cắt ngang là miền diện tích bao quanh trọng tâm mặt
cắt
ngang sao cho khi điểm đặt lực lệch tâm nằm bên trong hoặc trên chu vi
miền
này thì ứng suất pháp trên mặt cắt ngang chỉ mang một dấu (hoặc kéo,
hoặc
nén).

r

2
i
= −
y
;
a
i
r

2
i

=

−
x
b
i
• Nối các điểm đặt lực K
i
để nhận được lõi mặt cắt
ngang
Chú ý khi mặt cắt ngang là một đa giác lõm (chữ I, chữ T, chữ U, ),
chọn
đường trung hoà tiếp xúc với mặt cắt ngang nhưng không được cắt qua mặt

A
F
B
C
x
z
Q
2
Q
1
t
2
T
t
2
1
1
T
y
(a)
(b)
Hình
8.11
8.4.2. Uốn và xoắn đồng thời thanh mặt cắt ngang
tròn
1/ Ứng
suất:
Hợp hai thành phần M
x
và M

max
= |
σ
min
|
=
M
M
2
+
M
2
u
=
x y
(8.22)
W
u
W
x
ứng suất tiếp tại những điểm
này:
τ
max
=
M

z

=

tđ3
=
σ
2
+
4τ
2
=
x y
+
4 z =
M
2
+
M
2
+
M
2
≤
[
σ
]
(8.24)

M

2
+
3
M

2
≤
[
σ
]
(8.25)
x y
z
x
σ
n
0
0
x
y
max C
- Theo thuyết bền Mohr
:
σ
tđMo
=
1
−


2
+

1

+
α
2
+
2
+
2
⎤
≤
[
σ
]
(8.26)
=
W
⎢
2
x y
2
M

x
M



n
là các ứng suất nguy hiểm khi kéo và
nén
8.4.3. Uốn và xoắn đồng thời thanh mặt cắt ngang chữ
nhật
Giả sử trên mặt cắt ngang chữ nhật các thành phần nội lực có chiều
như
hình vẽ 8.13. Ứng suất pháp có trị số lơn nhất tại các góc, ứng suất tiếp lớn
nhất
tại điểm giữa cạnh dài, và điểm có ứng suất tiếp tương đối lớn là tại điểm
giữa
cạnh
ngắn.
M
x
z
M
y
y
M
z
x
Hình
8.13
D
M
σ
max
M

W
x
W
y
M
Tại B:
τ
=
τ
max ;
σ
B
=
y
W
y
Tại C:
τ
=
γτ
;
σ
=
M
x
W
x
Trong 3 điểm A, B, ta chưa biết điểm nào là điểm nguy hiểm nhất
nên
phải kiểm tra bền cho cả ba phân tố lấy ở 3 điểm

≥

[
σ
]
)
- Đối với phân tố ở điểm B (TTƯS
phẳng)
Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất (Thuyết bền
3)
2
⎛

M
⎞
2
⎛
M
⎞
σ
tđ3
(B)
=
σ

2
+
4τ

2

2
⎛
M
⎞
σ
tđ4
(B)
=
σ

2
+

3τ

2
=
⎜ y

⎟
⎜ ⎟
y
+

3
⎜


⎞
σ
tđMo
(B)
=
+
2 W
y
2
⎜ y

⎟
⎜ ⎟
y
+
4
⎜ z ⎟
xoan
(8.30)
⎝ ⎠
⎝ ⎠

z ⎟
(8.31)
⎝
W
x
⎠
⎝
W
xoan
⎠
Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng (Thuyết bền
4)
2
⎛
M
⎞
2
⎛
M
⎞
σ
tđ4
(C)
=
⎜
1

−
α
M

x
+

1

+
α
2
⎛
M

x
⎞
⎜ ⎟
2
⎛
M
⎞
+
4
⎜
z
⎟
(8.33)

y
.
(Chú ý rằng chúng ta vẫn bỏ qua ảnh hưởng của lực
cắt)
8.5.2. Thanh tròn chịu lực tổng
quát
W
A B
max
y
x
z
- Thanh tròn chỉ chịu uốn đơn
=>
Chọn hệ trục Ouvz làm hệ trục toạ độ
với
voz là mặt phẳng tải trọng => mô men
uốn:
M
=
M
2
+
M
2
(8.34)
u x
y
Như vậy trên mặt cắt ngang coa
3

M

u
σ

A
=

σ

max
= +
A
W
u
(8.36)
σ

B
=

σ
min
=
N

z
−
M


max
M
x
M
z
x
z
M
y
y
D
B
C
A
M
σ
max
y
τ

ma
x
x
y
x
Ta nhận thấy nếu N
z
>0 (chịu kéo) => A là điểm có trị tuyệt đối ứng
suất
pháp lớn nhất, nếu N

ứng
suất
pháp:
σ
=
N

z
+
M
y
B
A
W
;
σ
=
N

z
+
M

x
B
A
W
(8.40)
Ứng suất tiếp tại A và
C:

Cách kiểm tra bền đã trình bày ở phần uốn cộng xoắn đồng thời thanh
mặt
cắt ngang chữ
nhật.
8.6. Bài tập tự giải
Bài 1: Xác định giá trị
σ

max
,
σ

min
, vị trí đường trung hoà, vẽ biểu đồ ứng
suất
pháp tại mặt cắt ngang nguy hiểm của dầm chịu có liên kết, kích thước,
và
chịu tải trọng như hình
vẽ
Bài 2: Một dầm gỗ đặt nghiêng góc α
=
30
0
, chịu tải trọng phân bố đều
q=1,5
kN/m theo phương thẳng đứng. Mặt cắt ngang của dầm hình chữ
nhật
kích thước h=12cm; b=6cm. Vẽ biểu đồ mô men uốn của dầm sau
đó
kiểm tra bền cho dầm. Biết ứng suất cho phép của vật liệu

x
và
M
y
.
2. Xác
định
đ

ờng

kính
D
theo điều kiện bền
của dầm
Biết
[

]
=
16kN/cm
2
;
D/d = 1,2; a =
1m;
; F
=10kN
x
2F 2F
F

trung tâm của tiết diện.
2. Xác
định
lõi
của tiết diện.
Biết
a =
15 cm
; b =2a.
b a
b
Bi 6: Xỏc nh kớch thc mt ct ngang ca cỏc dm cú kớch thc v chu
ti
trng nh hỡnh v. Bit h/b=4; ng sut cho phộp ca vt liu
dm
[


]

=

1,
2kN
/
cm
2
(
P, M
1

2F
2.
Tính
ứng
suất
pháp lớn
nhất
và

x
nhỏ nhất
trên
tiết diện nguy hiểm
của
cột.
y
Biết
h =15cm; b =
25cm;
F
= 15 kN;
h
H=3m;
Bỏ qua trọng
l

ợng

bản thân
cột.

lực F
song song trục z
của cột và lệch tâm một đoạn e nh
trên
hình
vẽ.
1. Xác
định ứng suất
p
h
á
p
lớn
nhất và
nhỏ
z
nhất
trên
t
i
ết

diện chân cột
khi e=2,5cm.
F
2.
Tìm e
max
để
trên

.

T
í
nh

ứng suất
pháp lớn
nhất và
nhỏ
nhất
trên
tiết diện nguy hiểm của cột trong trờng
hợp:
1.
Kể
đế
n

trọng
lợng
bản thân
cột.
F
3F
2.
Không
kể
đế
n

thỡ ng sut phỏp ln nht trong thanh tng bao nhiờu ln? Nu khoột
i
xng thỡ ng sut phỏp ln nht thay i ra
sao?
H
H
Bài 12: Cột có tiết
d
i
ện

chữ nhật kích
thớc b ì h
chịu
lực
nh
trên
hình
vẽ .
2F
1. Vẽ
biểu đồ
các
thành phần ứng
lực N
z
,
M
x
,


ợng
bản
thân
của
cột
Bài
13:
Cho
một cột chiu lực
nh hình
vẽ.
1.
Tính
ứng
suất
pháp lớn
nhất
và nhỏ nhất trên
mặt cắt
ngang nguy hiểm của cột
.
2. Vẽ
biểu đồ ứng suất
pháp
tại
mặt cắt
ngang nguy hiểm
của
cột.

hoà
ở
mặt cắt
ngang nguy
hiểm.
2. Kiểm
tra điều
ki
ện

bền
cho
cột.
Biết
b=22 cm ; h = 10cm;
Độ
lệch tâm
e=15 cm ; F= 5kN;
Vật liệu có
[
]
k
=2
kN/cm
;
[]
n
=8 kN/cm
. Bỏ qua trọng
l

pháp cực
trị
trên
ti
ết

diệ
n
chân
cột.
q
Biết
F
1
= 15 kN; F
2
= 10 kN; q=5 kN/m; h =
h
20cm;
b =
10cm;
H =
2,5m;

=1,5cm.
(Bỏ qua trọng
l

ợng


ị
.
Bit trng lng riờng ca ct l a
a
= 20 kN/m
3
; F = 50 kN; a
=
0,15m; H =
1m