Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân – K35A-GDTH

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Nghị quyết hội nghị lần thứ IV ban chấp hành Trung ương Đảng cộng
sản Việt Nam khoá VII đã khẳng định: Đổi mới phương pháp dạy và học ở tất
cả các cấp học, bậc học….áp dụng những phương pháp dạy học hiện đại để
bồi dưỡng cho học sinh năng lực, tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề.
Thế nhưng, muốn có năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tư duy sáng tạo thì
cần phải có năng lực tư duy lôgic. Điều này đã được nhiều nhà nghiên cứu
trong và ngoài nước khẳng định bởi những lợi ích mà nó mang lại. Song trong
thực tế, việc bồi dưỡng tư duy lôgic ở trường phổ thông nói chung, trường
tiểu học nói riêng chưa đáp ứng được yêu cầu của Đảng đặt ra đối với sự
nghiệp giáo dục, cũng như những đòi hỏi của xã hội.
Môn toán ở tiểu học, cũng như việc dạy các tính chất, quy tắc thực hành
bốn phép tính không chỉ đơn thuần rèn kỹ năng tính toán, giải toán,... mà quan
trọng hơn là nhằm phát triển tư duy, rèn luyện phương pháp suy luận cho học
sinh. Hình thành phương pháp suy luận không những nâng cao năng lực suy
nghĩ cho các em, mà còn là phương tiện để giáo viên truyền thụ kiến thức mới
nhằm hình thành, rèn giũa các kỹ năng khác cho học sinh. Chương trình và
sách giáo khoa phải đảm bảo phải dạy học sinh những nguyên lí cơ bản, toàn
diện về mặt đức dục, trí dục, mỹ dục; đồng thời tạo điều kiện cho các em phát
triển óc thông minh, khả năng độc lập suy nghĩ sáng tạo. Cái quan trọng của trí
dục là rèn luyện óc thông minh và sức suy nghĩ.
Nhưng thực tế trong dạy học các tính chất, quy tắc thực hành bốn phép
tính, chúng ta chỉ mới chú trọng đến việc giúp học sinh nắm vững các quy tắc,
tính chất mà chưa coi trọng đúng mức đến cách thức hoạt động của thầy, trò
trong quá trình chiếm lĩnh tri thức ấy. Chính điều này đã dẫn đến một mặt
Trường ĐHSP Hà Nội 2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu cơ sở lý luận và thực tiễn của việc dạy học chứng minh và suy
luận.
- Nghiên cứu nội dung về chứng minh và suy luận trong việc dạy học
toán ở tiểu học nói chung và dạy học mạch hình học nói riêng.

Trường ĐHSP Hà Nội 2

6


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân – K35A-GDTH

- Nghiên cứu và hướng dẫn học sinh phương pháp giải các dạng toán có
liên quan đến việc vận dụng phương pháp chứng minh và suy luận
trong giải toán.
- Đề xuất một số dạng bài tập có vận dụng phương pháp suy luận và
chứng minh.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu :
Các bài toán có sử dụng phương pháp suy luận và chứng minh.
- Phạm vi nghiên cứu :
Các bài toán có nội dung hình học có vận dụng suy luận và chứng minh ở
lớp 2, 3, 4, 5 và các sách tham khảo.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Phương pháp điều tra
- Phương pháp quan sát

3.1.2 Phương pháp suy diễn
3.2 Vấn đề suy luận với dạy học mạch hình học ở toán tiểu học
3.3 Các dạng toán có liên quan đến vận dụng suy luận và chứng minh

Trường ĐHSP Hà Nội 2

8


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân – K35A-GDTH

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Ở chương 1 chúng tôi trình bày về cơ sở lý luận đó là đặc điểm nhận
thức của học sinh tiểu học và cấu trúc mạch hình học ở tiểu học, đồng thời
nêu ra cơ sở thực tiễn là những thuận lợi và khó khăn khi dạy và học suy luận
và chứng minh.
1.1 Cơ sở lý luận
1.1.1 Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học
Nhìn chung, ở học sinh tiểu học hệ thống tín hiệu thứ nhất còn chiếm ưu
thế, các em rất nhạy cảm với các động tác bên ngoài, điều này phản ánh
những hoạt động nhận thức của học sinh tiểu học. Tuy nhiên, ở giai đoạn cuối
bậc tiểu học hệ thống tín hiệu thứ hai đã phát triển nhưng còn ở mức độ thấp.
Khả năng phân tích của học sinh tiểu học còn hạn chế, các em thường tri
giác trên tổng thể. So với học sinh ở đầu bậc tiểu học, các em học sinh ở lớp
cuối tiểu học có các hoạt động tri giác đã phát triển và được hướng dẫn bởi
các hoạt động nhận thức khác nên chính xác dần.

của bài toán. Giúp học sinh loại bỏ được cái không bản chất để tập trung vào
cái bản chất toán học, nhờ đó có cái nhìn bao quát, tìm ra được mối liên hệ
giữa cái đã cho và cái phải tìm để tìm ra cách giải quyết bài toán.
1.1.2 Cấu trúc mạch hình học ở tiểu học
Mạch hình học trong chương trình môn Toán ở tiểu học gồm các nội
dung sau:
- Nhận dạng các hình vuông, tam giác, tròn, ….
-

Giới thiệu về điểm, đoạn thẳng. Thực hành vẽ đoạn thẳng, vẽ hình trên
giấy ô vuông, gấp, cắt hình.

-

Đường thẳng, ba điểm thẳng hàng. Đường gấp khúc, tính độ dài
đường gấp khúc.

-

Hình tứ giác, hình chữ nhật. Vẽ hình trên giấy ô vuông.

- Giới thiệu khái niệm ban đầu về chu vi của một hình đơn giản, tính chu
vi của hình tam giác, tứ giác.
- Giới thiệu góc vuông và góc không vuông. Giới thiệu êke. Vẽ góc bằng
thước thẳng và êke.

Trường ĐHSP Hà Nội 2

10


Ở tiểu học thì các kiến thức về hình học không mang ý nghĩa thực của nó
mà mới được coi là bước chuẩn bị cho việc học hình học. Việc dạy học các
yếu tố hình học cho học sinh tiểu học là nhằm trang bị cho học sinh những
biểu tượng chính xác về một số hình học đơn giản và một số đại lượng hình
học thông dụng, đồng thời cũng nhằm rèn luyện cho học sinh một số kĩ năng

Trường ĐHSP Hà Nội 2

11


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân – K35A-GDTH

kẻ, sử dụng êke, compa để vẽ, đo các hình học đơn giản. Từ đó giúp các em
nắm được các đặc điểm cơ bản của các hình học để nhận dạng hình một cách
nhanh chóng, chính xác, biết so sánh, phân biệt hình này với hình kia, tạo cho
học sinh tính tích cực, hứng thú học tập trên cơ sở đó phát triển các năng lực
trí tuệ, phát triển trí tưởng tượng không gian (thông qua các bài tập vẽ hình,
ghép hình, tổng hợp hình,…).
Mặc dù vẫn khẳng định và chuẩn bị cho việc học hình học một cách có
hệ thống nhưng việc dạy hình học ở tiểu học vẫn thể hiện được hai phương
diện của việc dạy hình học như sau:
+ Quan sát và hành động trên các đồ vật, thu thập các thông tin có liên
quan nhằm hình thành một số kĩ năng thao tác với các đối tượng hình: Vẽ
hình, cắt ghép hình, đo đạc, biến hình.
+ Bước đầu trừu tượng hóa dẫn tới mô hình toán học đồng thời làm quen
với ngôn ngữ hình học.
Việc dạy học mạch hình học ở tiểu học không chỉ dừng lại ở việc dạy về

Tôi đã có điều kiện tìm hiểu thực trạng ở hai trường trên khu vực Thị trấn
Đông Anh đó là: Trường Tiểu học Tiên Dương và Trường Tiểu học Uy Nỗ.
Để thu thập thông tin tôi tiến hành điều tra các đối tượng là giáo viên
phụ trách các khối lớp 2, 3, 4, 5 đồng thời tiến hành tổng kết các kinh nghiệm
dạy toán. Sau quá trình tìm hiểu tôi thu được các thông tin sau:
- Một là về khả năng của học sinh.
Đối với Trường Tiểu học Tiên Dương và Trường Tiểu học Uy Nỗ thì
đây là trường đạt chuẩn quốc gia chất lượng học sinh tương đối tốt và đều có
học sinh đạt giải cấp thành phố và quốc gia.
Bên cạnh đó, do đây là khu vực đông dân cư và nằm ở vùng ngoại thành
Hà Nội nên còn khá nhiều học sinh có điều kiện khó khăn, chưa được quan
tâm, chăm sóc nhiều về vấn đề học tập. Do đó mà nhiều học sinh tiếp thu kiến
thức còn rất chậm, không nắm vững kiến thức cơ bản.
-

Hai là những khó khăn của giáo viên trong công tác dạy học suy luận
và chứng minh mạch hình học.
Có rất nhiều khó khăn mà giáo viên gặp phải trong quá trình dạy học về

suy luận và chứng minh, ở đây tôi xin đưa ra những khó khăn chính, thường
gặp của giáo viên khi dạy học về suy luận và chứng minh trong mạch hình
học như sau:
+ Khả năng tưởng tượng, suy luận của học sinh tiểu học còn hạn chế.
+ HS chưa có hứng thú học tập.
Trường ĐHSP Hà Nội 2

13


Khóa luận tốt nghiệp

Suy luận là một hình thức tư duy, nó là một thao tác lôgic, trong đó xuất
phát từ một, hai hay nhiều mệnh đề đã cho ta thu được mệnh đề mới.
( Xem [12], tr.80)
Suy luận là một trong cách cơ bản để con người làm tăng trưởng các sự
hiểu biết về các sự vật và hiện tượng trong thế giới khách quan.
Suy luận là rút ra một mệnh đề mới từ một hay nhiều mệnh đề đã biết.
2.1.2 Cấu trúc lôgic của suy luận
Mỗi phép suy luận gồm ba thành phần:
Tiền đề: là các mệnh đề đã cho.
Cơ sở lôgic: là tổng hợp các quy luật, quy tắc.
Kết luận: là mệnh đề mới được rút ra.
2.1.3 Quy tắc suy luận
Định nghĩa quy tắc suy luận: Giả sử A1, A2,…,An, B là những công thức. Ta
nói B là hệ quả lôgic (kết luận) của A1,A2,…,An nếu mọi hệ chân trị có thể nhận
của các biến mệnh đề có mặt trong các công thức đó mà A1,A2,…,An đồng thời
nhận giá trị 1 đều có B nhận giá trị 1.
Ngược lại, khi B là hệ quả lôgic của A1,A2,…,An thì ta cũng nói có một quy
tắc suy luận từ tiền đề A1,A2,…,An tới hệ quả lôgic B của chúng.
Quy tắc suy luận nói trên được kí hiệu là: A1,A2,…,An hay A1,A2,…,An B.
B
Từ định ngĩa trên ta thấy rằng, để chứng minh một quy tắc suy luận có thể
dùng phương pháp lập bảng chân trị.
Trường ĐHSP Hà Nội 2

15


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân – K35A-GDTH

q

7,

p  r, q  r
pqr

8,

p  q, p  r
pqr

9,

p  q, r  s
prqs

10,

p  q, r  s
pr qs

11,

p  q, r  s
pr  qs

12,

p  q, r  s


20,

pq r
pr

p  q  r 
21,
q  p  r

22,

p  q, p  q
q

pqq
23,
p

24,

p  q.q
p

p p
25,
p

26,



Trường ĐHSP Hà Nội 2

16

pq p
pq


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân – K35A-GDTH

Ví dụ 1:
- Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi.
- 20 + 30 = 50
Vậy 30 + 20 = 50 hay 20 + 30 = 30 + 20.
Ví dụ 2:
- Khi nhân một số tự nhiên với 10, ta chỉ việc viết thêm một chữ số 0 vào
bên phải của số đó.
- 35 x 10
Vậy 35 x 10 = 350.
2.1.4 Phân loại suy luận
Căn cứ vào tính chất của các tri thức được chứa trong các tiền đề và kết luận,
căn cứ vào cơ sở của phép suy luận, người ta chia suy luận ra làm hai loại: suy
luận diễn dịch (hay còn gọi là suy diễn) và suy luận nghe có lí (hay suy luận có lí).
2.1.4.1

Suy luận diễn dịch


đề đúng.
Ví dụ 1
- Nếu tứ giác là hình thoi thì hai đường chéo của nó vuông góc với nhau.
-Tứ giác ABCD là hình thoi.
Vậy AC  BD
Ví dụ 2
- 672 chia hết cho 3.
- 672 chia hết cho 4.
Vậy 672 chia hết cho cả 3 và 4.
Trong ví dụ này, các tiền đề đều đúng, ta đã vận dụng các quy tắc suy luận :
p  q, q  r
pr

2.1.4.2

Suy luận nghe có lí

Suy luận nghe có lí (hay còn gọi là suy luận có lí) là suy luận không
theo một quy tắc suy luận tổng quát nào. Nó chỉ xuất phát từ những tiền đề
đúng để rút ra một kết luận. Kết luận này có thể đúng, có thể sai.
(Xem [11], tr.185]
Mặc dầu suy luận nghe có lí có hạn chế nêu trên nhưng nó có ý nghĩa
rất quan trọng trong khoa học và đời sống: giúp chúng ta từ những quan sát cụ
thể rút ra những giả thuyết, phán đoán để rồi sau đó tìm cách chứng minh chặt
chẽ giả thuyết đó. Nó đặt cơ sở cho nhiều phát minh trong khoa học.
Trong toán học, hai kiểu suy luận nghe có lí thường sử dụng là: Phép
suy luận quy nạp và phép tương tự.
2.1.4.2.1 Suy luận quy nạp

Trường ĐHSP Hà Nội 2


(Xem [12], tr.91)
Trong suy luận quy nạp, thực chất là việc nghiên cứu chỉ tiến hành cho
một số đối tượng của lớp song kết luận lại rút ra chung cho cả lớp đó. Chúng

Trường ĐHSP Hà Nội 2

19


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân – K35A-GDTH

ta dự đoán kết quả tổng quát sau khi mới chỉ xem xét một số trường hợp riêng
mà thôi.
Đặc điểm của suy luận quy nạp là ở chỗ không có quy tắc tổng
quát như đối với suy luận diễn dịch. Từ tiền đề có cấu trúc xác định nào đó,
được thừa nhận là đúng, thì kết luận rút ra bằng quy nạp không chắc chắn
đúng, có thể đúng, cũng có thể sai.
Căn cứ vào đặc điểm của tiền đề trong các phép suy luận quy nạp,
người ta chia các suy luận quy nạp ra làm hai loại: Quy nạp hoàn toàn và quy
nạp không hoàn toàn.
a. Quy nạp hoàn toàn:
Phép quy nạp hoàn toàn là phép suy luận đi từ việc khảo sát tất cả các
trường hợp riêng, rồi nhận xét để nêu kết luận chung cho tất cả các trường hợp
riêng đó và chỉ cho những trường hợp riêng ấy mà thôi.
Ví dụ
5 chia hết cho 5.
15 chia hết cho 5.

- 72 chia hết cho 3.
- 132 chia hết cho 3.
Ta rút ra kết luận: Những số có chữ số hàng đơn vị bằng 2 thì nó chia
hết cho 3.
Đây là phép suy luận không hoàn toàn. Trong phép suy luận này, xuất
phát từ những tiền đề đúng mà rút ra kết luận sai.
2.1.4.2.2 Phép tương tự
Phép tương tự là phép suy luận đi từ một số sự giống nhau của một số
thuộc tính nào đó của hai đối tượng để rót ra kết luận về sự giống nhau của
các thuộc tính khác của hai đối tượng đó. Tuy nhiên, kết luận của phép tương
tự có thể đúng cũng có thể sai.
Ta có sơ đồ sau: A và B có chung các thuộc tính: a, b, c, d, e, f
B có thêm các thuộc tính: m, n
Kết luận: Có thể A có các thuộc tính: m, n
Khi kết luận có thể A có các thuộc tính: m, n không phải tùy tiện vì sự
vật nào đó có dấu hiệu xác định không phải tự nhiên mà nó có nguyên nhân
của nó, do đó đối tượng A có một số thuộc tính giống B thì rất có thể có
chung với B một vài thuộc tính khác nữa. (Xem [12], tr. 93,94)
Ví dụ 1

Trường ĐHSP Hà Nội 2

21


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân – K35A-GDTH

Tiền đề: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng các số tự nhiên thì tổng



Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân – K35A-GDTH

của suy luận mà không quan tâm đến nội dung, ý nghĩa của các mệnh đề trong
suy luận đó.
Trong toán học, nếu các tiền đề A, B của suy luận đều đúng (là những
định nghĩa, tiền đề hoặc định lí đã được chứng minh trước đó) ta rút ra kết
luận C thì ta nói C là một kết luận chứng minh, còn suy luận đó là một chứng
minh.
Vậy chứng minh một mệnh đề X là kết luận lôgic của các tiền đề đúng.
(Xem [11], tr.186,187)
2.2.2 Cấu tạo của một phép chứng minh
Mỗi chứng minh toán học bao gồm một số hữu hạn bước, trong đó mỗi
bước là một suy luận diễn dịch, trong đó ta đã vận dụng một quy tắc suy luận
tổng quát. (Xem [5], tr.93)
Trong trường hợp chứng minh chỉ gồm một bước là suy luận diễn dịch
với các tiền đề đúng.
Một phép chứng minh gồm ba phần: Luận đề, luận cứ, luận chứng.
Luận đề: là mệnh đề ta phải chứng minh.
Trả lời cho câu hỏi: “Chứng minh là gì?”
Biểu hiện dưới các dạng:
- Các luận điểm lí luận khoa học như các định lí.
- Có thể là kết quả khái quát các dữ kiện cụ thể.
- Xác định căn bệnh cụ thể của bệnh nhân.
- Sự kiện lịch sử nào đó.
Luận cứ: là những mệnh đề mà tính đúng đắn của nó đã được khẳng
định (thường là các định nghĩa, tiền đề hoặc định lí đã được chứng minh trước

từ các luận cứ.
Cơ sở của phương pháp chứng minh trực tiếp là quy tắc suy luận bắc
cầu.
p  q, q  r
pr

Khi chứng minh từ tiền đề A đến kết luận B bằng phương pháp chứng
minh trực tiếp, ta tiến hành theo sơ đồ sau:
A  A1
A1  A2
……….

Trường ĐHSP Hà Nội 2

24


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân – K35A-GDTH

An – 1  An
An  B
Áp dụng quy tắc suy luận bắc cầu ta nhận được điều phải chứng minh.
(Xem [11], tr.188)
Ví dụ 1
Ta phân tích chứng minh định lí “ Hình bình hành có hai đường chéo cắt
nhau tại trung điểm của mỗi đường”.
Định lí được tóm tắt như sau (Luận đề):
Giả thiết

Bˆ  Bˆ
1

1

và

Bˆ  Bˆ
2

p  q, p
q

2

Suy luận 3: A2  A3
+ Hai đa giác có một cặp cạnh bằng nhau và các góc kề

Trường ĐHSP Hà Nội 2

25


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân – K35A-GDTH

cạnh đó bằng nhau đôi một thì bằng nhau (định lí).
+ BD chung, ^  ^ và ^  ^



= C1 và B1 = D1

 AOB =  COD

p  q, p
q

Suy luận 6: A5  A6
+ Hai tam giác bằng nhau có các cặp cạnh tương ứng bằng
nhau.
+  AOB =  COD
OA = OC và OB = OD

p  q, q  r
pr

Suy luận 7: A6  B
A  A1
A1  A2
………
A6  B

Trường ĐHSP Hà Nội 2

26


Khóa luận tốt nghiệp


giác MAB cân tại M.
Từ đó MA = MB =

1
BC
2

Trong chứng minh trên ta dùng các bước suy luận sau:
Trường ĐHSP Hà Nội 2

27


Khóa luận tốt nghiệp

Suy luận 1:

Nguyễn Thị Vân – K35A-GDTH

A1: AM là trung tuyến
A2: MB = MC

Suy luận 2:

A2: MB = MC
A3: IA = IB
A4: MI là đường trung bình  ABC

Suy luận 3:


Suy luận 8: A1  A2
A2  A4
A4  A5
A5  A7
A7  A8
A8  A9
A9  A10
A1  A10

Trường ĐHSP Hà Nội 2

28


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Vân – K35A-GDTH

- Ở phổ thông, trong các chứng minh toán học người ta thường bỏ đi
nhiều tiền đề trong mỗi bước suy luận. Vì vậy chứng minh được thực hiện
theo sơ đồ thu gọn:
A  A1  A2  …  An - 1  An  B.
- Trong phép chứng minh này (và nhiều phép chứng minh trực tiếp khác)
ta thường sử dụng quy tắc suy luận kết luận bắc cầu. Vì vậy hai phép suy luận
này có vai trò đặc biệt quan trọng trong chứng minh trực tiếp.
2.2.3.2 Phương pháp chứng minh phản chứng
Trong trường hợp tổng quát, muốn chứng minh từ tiền đề A dẫn đến kết
luận B bằng phương pháp phản chứng ta tiến hành theo sơ đồ sau:
- Giả sử A đúng mà B sai G A  B   1
- A