CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875)

HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2

CHUYÊN ĐỀ: LŨY THỪA
1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
a.

Định nghĩa luỹ thừa với số mũ tự nhiên
*
an = a1.4
a.........
24
3a (n ∈ N )

n thừa số
b.

Một số tính chất :
Với a, b, m, n ∈ N
am. an = am+n,

am. an . ap = am+n+p (p ∈ N)

am : an = am-n
m

m

(a.b) = a . b


b

(b ≠ 0, n ≠ 0)

xo = 1
xm . xn = xm+n
xm
= x m−n
xn

x-n =

1
xn

(xm)n = xm.n
(x.y)m = xm. ym

(x ≠ 0)
(x ≠ 0)


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875)

HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2

n

x
xn

2. CÁC DẠNG BÀI TẬP
1. Dạng 1: Tìm số chưa biết
2.1.1. Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong luỹ thừa
*Phương pháp: Đưa về hai luỹ thừa cùng số mũ
Bài 1: Tìm x biết rằng:
a, x3 = -27

b, (2x - 1)3 = 8

c, (x + 2)2 = 16

d, (2x - 3)2 = 9

Bài 2.

Tìm số hữu tỉ x biết :

Bài 3 . Tìm số hữu tỉ y biết :
Bài 3 : Tìm x biết :

x2 = x5
(3y - 1)10 = (3y - 1)20

(*)

(x - 5)2 = (1 - 3x)2

Bài 4 : Tìm x và y biết :

(3x - 5)100 + (2y + 1)200 ≤ 0

c, (2y - 1)50 = 2y – 1

y
3

d, ( -5 )2000 = ( -5 )2008

3 . Tìm a , b ,c biết :
a, (2a + 1)2 + (b + 3)4 + (5c - 6)2 ≤ 0
b, (a - 7)2 + (3b + 2)2 + (4c - 5)6 ≤ 0
c, (12a - 9)2 + (8b + 1)4 + (c +19)6 ≤ 0
d, (7b -3)4 + (21a - 6)4 + (18c +5)6 ≤ 0
3.1.2 Tìm số mũ , thành phần trong số mũ của lũy thừa.
Phương pháp : Đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số
Bài 1 : Tìm n ∈ N biết :
a, 2008n = 1

c, 32-n. 16n = 1024

b, 5n + 5n+2 = 650

d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162

Bài 2 : Tìm hai số tự nhiên m , n biết :
2m + 2n = 2m+n
Bài 3 : Tìm các số tự nhiên n sao cho :
a, 3 < 3n ≤ 234
b, 8.16 ≥ 2n ≥ 4
Bài 4 : Tìm số tự nhiên n biết rằng :
415 . 915 < 2n . 3n < 1816 . 216

b. 10x : 5y = 20y

4. Tìm số tự nhiên n biết rằng
a. 411 . 2511 ≤ 2n. 5n ≤ 2012.512
b.

45 + 45 + 45 + 45 65 + 65 + 65 + 65 + 65 + 65
= 2n
.
35 + 35 + 35
25 + 25

3.1.3. Một số trường hợp khác
3


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875)

HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2

Bài 1: Tìm x biết:
(x-1) x+2 = (x-1)x+4

(1)

Bài 2 : Tìm x biết :
x(6-x)2003 = (6-x)2003
Bài 3 : Tìm các số tự nhiên a, b biết :
a. 2a + 124 = 5b
b. 10a + 168 = b2

11112008 có chữ số tận cùng là chữ số 1
987654321 có chữ số tận cùng là chữ số 5
204681012 có chữ số tận cùng là chữ số 6.
Bài 2 : Tìm chữ số tận cùng của các số sau :
67

20072008 , 1358 2008 , 23456 , 5235, 204208, 20032005 , 9 9 , 4 5 ,996, 81975 , 20072007 ,
9

4


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875)

1023

HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2

1024

.

Bài 3 : Cho A = 172008 – 112008 – 32008 . Tìm chữ số hàng đơn vị của A .
Đây là dạng toán tìm chữ số tận cùng của một tổng , ta phảI tìm chữ số tận cùng của
tong số hạng , rồi cộng các chữ số tận cùng đó lại .
Bài 4 : Cho M = 1725 + 244 – 1321 . Chứng tỏ rằng :

M M 10

Ta thấy một số chia hết cho 10 khi có chữ số tận cùng là 0 nên để chứng tỏ M M 10 ta

c,

H = 92 + 3

n

chia hết cho 5 (n ∈ N, n ≥ 2)
chia hết cho 10 (n ∈ N, n ≥ 1)
chia hết cho 2 (n ∈ N, n ≥ 1)

Bài tập luyện tập :
1, Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
22222003;

20082004;

20052005;

20042004;

77772005;

1112006;

20062006

20002000;

2, Chứng tỏ rằng, với mọi số tự nhiên n :
a, 34n + 1 + 2 chia hết cho 5

4, Tìm chữ số hàng đơn vị của :
a, A = 66661111 + 11111111 - 665555
b, B = 10n + 555n + 666n
c, H = 99992n +9992n+1 +10n

( n ∈ N*)
5

9992003;
20032005


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875)
4n

HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2

4n

d, E = 2008 + 2009 + 20074n

( n ∈ N*)

5 . Trong các số sau số nào chia hết cho 2 , cho 5 , cho 10 ?
a, 34n+1 + 1

(n ∈ N

b, 24n+1 -2


bằng chính nó .
+) Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa ta thường đưa về dạng các số có hai
chữ số tận cùng là : 01 ; 25 hoặc 76 .
+) các số 210 ; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 có tận cùng bằng 76 .
+) các số 320; 910; 815; 74; 512; 992 có tận cùng là 01 .
+) Số 26n (n ∈ N, n >1)
Bài 1 : Tìm hai chữ số tận cùng của :
Bài 2:

2100 ; 3100

Tìm hai chữ số tận cùng của :

a, 5151

b, 9999

c, 6666

16101
Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của:
a, 512k;
b, 992n;

512k+1
992n+1;

c, 65n;

(k ∈ N*)


d, 182004

e, 682005

9

f, 742004

2. Tìm hai chữ số tận cùng của :
a, 492n ; 492n+1

(n ∈ N)

b, 24n . 38n

(n ∈ N)

c, 23n . 3n

; 23n+3 . 3n+1

(n ∈ N)

d, 742n

; 742n+1

(n ∈ N)


(n ∈ N*)

b, 23n+3 . 47n+2

(n ∈ N)

Bài 3: Chứng tỏ rằng:
n

( n ∈ N, n ≥ 1)

a. 5 4 + 375 M 1000
n

( n ∈ N, n ≥ 2)

b. 5 2 - 25 M 100

c. 2001n + 23n . 47n + 252n có tận cùng bằng 002
3.3 Dạng 3 : So sánh hai lũy thừa
* Phương pháp : để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có
cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung gian để so sánh)
+) Lưu ý một số tính chất sau :
Với a , b , m , n ∈ N , ta có :

a>b

an > bn

∀ n∈ N

m < n và 0 < A < 1
Bài 1 : So sánh :
a, 33317 và 33323
b, 200710 và 200810
c, (2008-2007)2009 và (1998 - 1997)1999
Bài 2 : So sánh
a, 2300 và 3200

e, 9920 và 999910

b, 3500 và 7300

f, 111979 và 371320

c, 85 và 3.47

g, 1010 và 48.505

d, 202303 và 303202
Bài 3 . Chứng tỏ rằng :

h, 199010 + 1990 9 và 199110
527 < 263 < 528

Bài 4 . So sánh :
a, 10750 và 7375
b, 291 và 535
Bài 5 . So sánh :
a, (-32)9 và (-16)13



20082007 + 1
20082008 + 1

100101 + 1
100100 + 1

BTTT:
1.

b, 521 và 12410

c, 3111 và 1714

d, 421 và 647

e, 291 và 535

h, 230 + 330 + 430 và 3. 2410
2 . So sánh :
8

g, 544 và 2112


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875)

a,

1


và

1
d,  
 10 

15

1
300

3

 3
và  
 10 

20

3. So sánh :
a, A =

1315 + 1
1316 + 1

và

B =


biến đổi.
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a,
b,

A=

2 30.5 7 + 213.5 27
2 27.5 7 + 210.5 27

M = ( x − 4 )( x −5)

( x −6 )( x + 6 )

( x +5 )

với x = 7

Bài 2: Chứng tỏ rằng:
a, A = 102008 + 125 M 45
B = 52008 + 52007 + 52006 M 31

b,

c, M = 88 + 220 M 17
H = 3135 . 299 – 3136 . 36 M 7

d,

Bài 3 . Cho A = 2+ 22 + 23 +……+ 260

2M và M lại có những số hạng đối nhau nên ta sẽ xét hiệu của chúng :
M = 1 - 2 + 22- 23 + … + 22008
2M= 2 - 22 + 23 – 24 + … + 22009
=> 2M + M = 22009 + 1
=> M =

2 2009 + 1
3

Bài 6 . Tính :
a, A =

1 1
1
1
+ 2 + 3 + ....... + 100
2 2
2
2

b, B = 1+
Bài 7 . Tính :

1 1
1
1
+ 2 + 3 + ....... + 500
5 5
5
5

1
+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2


3

N = 1 +2 +3

HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2

3

R = 13+23+33+43+53+63

P = 13+23+33+43

K = 13+23+33+43+53+63+73

2. Tính A và B bằng hai cách trở lên:
A = 1+2+22+23+24+…….+2n

(n ∈ N*)

B = 70+71+72+73+74+……+7n+1

(n ∈ N)

3. Viết tổng sau dưới dạng một lũy thừa của 2;
T = 22+ 22 + 23 +24+25+……+ 22008
4. So sánh :
a, A = 1+2+ 22 + 23 +24+25+……+ 22008 và B = 22009 – 1
b, P = 1 + 3 + 32+ … + 3200 và Q = 3201
c, E = 1 + x + x2+ … + x2008

Với A = 3+ 32 + 33 +……+ 3100
b, Chữ số tận cùng của M biết : M = 2+ 22 + 23 +….. + 220
9. Chứng tỏ rằng :
a, 87 – 218 M 14

h, 122n+1 + 11n+2 M 133

c, 817 – 279 - 913 M 405

i, 70+71+72+73+…..+7101 M 8

b, 106 – 57 M 59

k, 4+ 42 + 43 +44 +……+ 416 M 5

11


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875)
99

HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2

3

d, 10 +2 M 9

l, 2000+20002+20003 + ……+20002008 M 2001

e, 1028 + 8 M 72


B với:
1 + 5 + 5 2 + .. + 5 9
A=
1 + 5 + 5 2 + .. + 58

1 + 3 + 3 2 + .. + 39
B=
1 + 3 + 3 2 + .. + 38

CHUYÊN ĐỀ : TỶ LỆ THỨC – DÃY
TỶ SỐ BẰNG NHAU

NỘI DUNG
1. Lý thuyết

Tỷ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỷ số

* Tính chất của tỷ lệ thức:

Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức

a c


12


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875)

Tính chất 2:

HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2

a c i
= = suy ra các tỷ lệ thức sau:
b d j

a c+c+i
a−c+i
=
=
, (b, d, j ≠ 0)
b b+d + j b−d + j

Tính chất 3: a, b,c tỷ lệ với 3, 5, 7 tức là ta có:

a b c
= =
3 5 7

III./ CÁC DẠNG BÀI TẬP
Tôi xin chia 5 dạng cụ thể sau:
1. Toán chứng minh đẳng thức


Bài 4: Cho

a c
a+b c+d
= ≠ 1 thì
=
với a, b, c, d ≠ 0
b d
a −b c −d

a c
ac a 2 + c 2
= CMR
=
b d
bd b 2 + d 2
4

Bài 5: CMR: Nếu

a c
a4 + b4
 a −b 
= thì 
=

4
4
b d

3

3

Bài 8: CMR: Nếu a(y + z) = b(z + x) = c(x + y) (1)
Trong đó a ; b ; c là các số khác nhau và khác 0 thì:
y−z
z−x
x− y
=
=
( ∗)
a (b − c) b (c − a ) c ( a − b )

Bài 9: Cho

bz-cy cx-az ay-bx
=
=
(1)
a
b
c

CMR:

Bài 10. Biết

x y z
= =


Bài 13. Tìm x, y, z biết

x y
y z
= và = và x + y + z = 98
2 3
5 7

Bài 14. Tìm x, y, z biết 2x = 3y = 5z (1) và x + y –z = 95 (*)
Bài 15. Tìm x, y, z biết:
Bài 16. Tìm x, y, z biết:
a.

x −1 y − 2 z − 3
=
=
(1) và 2x + 3y –z = 50
2
3
4

b.

2x 2 y 4z
=
= ( 2 ) và x + y +z = 49
3
4
5


Bài 19. Tìm x; y; z biết:
a.

y + z +1 x + z + 2 x + y − 3
1
=
=
=
(1)
x
y
z
x+ y+z

Bài 20. Tìm x biết rằng:

1+ 2 y 1+ 4 y 1+ 6 y
=
=
18
24
6x

Bài 21. Tìm x, y,z biết rằng:
x y z
= = và xyz = 810
2 3 5

Bài 22. Tìm các số x1, x2, …xn-1, xn biết rằng:

a+5 b+6
a
=
(a ≠ 5, b ≠ 6) tìm ?
a −5 b−6
b

Bài 27. Cho

a a b c
= = = 4 và e - 3d + 2f ≠ 0
a e d f

15


CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875)

HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2

−a + 3b − 2c
d − 3e + 2 f

Tìm

D./ TOÁN ĐỐ
Bài 28. Có 3 đội A; B; C có tất cả 130 người đi trồng cây. Biết rằng số cây mỗi người
đội A; B; C trồng được theo thứ tự là 2; 3; 4 cây. Biết số cây mỗi đội trồng được như
nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu người đi trồng cây?
Bài 29. Trường có 3 lớp 7, biết

d

a c
< ⇔ ad < bc
b d

Tính chất 2: Nếu b > 0; d > 0 thì từ

a c
a a+c c
< ⇒