Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7
.................................................................................................
..................

Phần I: mở đầu
I. Lý do chọn đề tài:

- Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán tôi thấy phần kiến thức về tỷ lệ thức
và dãy tỷ số bằng nhau là hết sức cơ bản trong chơng trình Đại số lớp 7. Từ một tỷ lệ
thức ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa 2 tích, trong một tỷ lệ thức nếu biết đợc 3 số hạng ta có thể tính đợc số hạng thứ t. Trong chơng II, khi học về đại lợng tỷ lệ
thuận, tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức là một phơng tiện quan trọng giúp ta giải toán.
Trong phân môn Hình học, để học đợc định lý Talet, tam giác đồng dạng (lớp 8) thì
không thể thiếu kiến thức về tỷ lệ thức. Mặt khác khi học tỷ lệ thức và tính chất của
dãy tỷ số bằng nhau còn rèn t duy cho học sinh rất tốt giúp các em có khả năng khai
thác bài toán, lập ra bài toán mới.
Với những lý do trên đây, trong đề tài này tôi đa ra một số dạng bài tập về tỷ lệ
thức và dãy tỷ số bằng nhau trong Đại số lớp 7.
II. Phạm vi nghiên cứu:

1. Phạm vi của đề tài:
Chơng I, môn đại số lớp 7
2. Đối tợng:
Học sinh lớp 7 THCS.
3. Mục đích:
a) Kiến thức.
- Học sinh hiểu và làm đợc một số dạng toán về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng
nhau nh: Tìm số hạng cha biết, chứng minh liên quan đến tỷ số bằng nhau, toán chia
tỷ lệ, tránh những sai lầm thờng gặp trong giải toán liên quan đến dãy tỷ số bằng
nhau.
b) Kỹ năng:

..................

Nếu

a c
= thì ad = bc
b d

tính chất 2( tính chất hoán vị)
Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức
a c a b d c d b
= ; = ; = ; =
b d c d b a c a

2) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

a c
a c a+c ac
( b d )
= ta suy ra = =
=
b d
b d b+d bd
a c e
+mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau = =
b d
f
a c e
a+c+e
ac+e

ữ = ữ = . ; k. = k. ( k 0 ) ;
b d
b
d
k1b k2 d
b d
3

từ

3
3
a c e
= =
suy ra a ữ = c ữ = e ữ = a ìc ìe
b d
f
b d f b d f

2

c e
a
; ữ = ì
d f
b

II.Đối tợng phục vụ của đề tài
Học sinh lớp 7 trờng THCS Hồng Thuỷ năm học 2010 2011
III.Nội dung và phơng pháp nghiên cứu

khó hơn nh sau :
GV: Châu Thị Liễu

2

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7
.................................................................................................
..................

a) x ữ: = 1 :
4 5
3 3
1

2

1
5

3 2

2
3

b) 0, 2 :1 = : ( 6 x + 7 )
có thể đa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm x.

5 x 7

Giải:
Cách 1: từ

x3 5
= ( x 3) .7 = ( 5 x ) .5
5 x 7
7 x 21 = 25 5 x
12 x = 46
5
x=3
6
x3 5
x 3 5 x
Cách 2: từ
=
=
5 x 7
5
7

áp dụng t/c cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có
x 3 5 x x 3+5 x 2 1
=
=
= =
5
7
5+7



Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7
.................................................................................................
..................
2.Tìm nhiều số hạng cha biết
a)Xét bài toán cơ bản thờng gặp sau:
Tìm các số x, y, z thoả mãn
x y z
= = (1) và x +y + z =d (2)
a b c
( trong đó a, b, c, a+b+c 0 và a, b, c, d là các số cho trớc)

Cách giải:

x

y

z

- Cách 1: đặt a = b = c = k

x = k .a; y = k .b; z = k .c

thay vào (2)

Ta có k.a + k.b + k.c = d


+Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) nh sau:
* k1 x + k2 y + k3 z = e
* k1 x 2 + k2 y 2 + k3 z 2 = f
*x.y.z = g
+Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) nh sau:
x
y y
z
=
;
=
- a1 a2 a3 a4

- a2 x = a1 y; a4 y = a3 z
- b1 x = b2 y = b3 z
b1 x b3 z b2 y b1 x b3 z b2 y
=
=
a
b
c
x b1 y2 b2 z3 b3
=
=
a1
a2
a3

-


..................
x y z x + y + z 27
= = =
=
=3
2 3 4 2+3+ 4 9
x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12

Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau:
Bài tập 2: Tìm 3 số x,y,z biết
Giải:

x y z
= = và 2x + 3y 5z = -21
2 3 4

x y z
= = =k
2 3 4
x y z
2 x 3 y 5z
Cách 2: Từ = = suy ra
=
=
2 3 4
4
9 20

- Cách 1: Đặt
-

suy ra

x2 y 2 z 2
=
=
4
9
16
2 x2 3 y2 5z2

=
=
8
27
90

áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 x 2 3 y 2 5 z 2 2 x 2 + 3 y 2 5 z 2 405
=
=
=
=
=9
8
27
90
8 + 27 90
45


GV: Châu Thị Liễu

5

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7
.................................................................................................
..................
3

x y z xyz 648
x
ữ = ì ì =
=
= 27
24
2 2 3 4 24
x3

= 27 x 3 = 216 x = 6
8

Từ đó tìm đợc y = 9; z = 12.

x
=
6

Sau đó ta giải tiếp nh bài tập 1.
Bài tập 6. Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y+ z = 27
x y
2 3
x z
Từ 4 x = 2 z =
2 4
x y z
Suy ra
= = sau đó giải nh bài tập 1
2 3 4

Giải: Từ 3x = 2 y =

Bài tập 7: Tìm x, y, z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y 5z = -21
Giải: từ 6x = 4y = 3z

6 x 4 y 3z
x y z
=
=
= =
12 12 12
2 3 4

Sau đó giải tiếp nh bài tập 2
Bài tập 8: Tìm x, y, z biết

6 x 3z 4 y 6 x 3 z 4 y
và 2x +3y -5z = -21

Giải:

- Cách 1: Đặt

x 4 y 6 z 8
=k
=
=
2
3
4

- Cách 2: áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có
x 4 y 6 z 8
=
=
2
3
4

GV: Châu Thị Liễu

6

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7
.................................................................................................

b

Để Chứng minh tỷ lệ thức : =

c
Ta có các phơng pháp sau :
d

Phơng pháp 1 : Chứng tỏ rằng : ad= bc .
Phơng Pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số

a c
; có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho trb d

ớc một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k từ đó tính giá
trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k.

Phơng pháp 3: Dùng t/c hoán vị , t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức biến
đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành vế phải.
Phơng pháp 4: dùng t/c hoán vị, t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức để từ
tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh.
2) Bài tập:
Bài tập 1
a
b

( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức: =
ab cd
.
=

= = k a = bk , c = dk
b d

a b bk b b ( k 1) k 1
=
=
=
(1), (b 0)
a
bk
bk
k
c d dk d d ( k 1) k 1
=
=
=
(2), (d 0)
c
dk
dk
k

GV: Châu Thị Liễu

7

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại

a c
a b a b
= = =
b d
c d cd



a a b
a b c d
=

=
c cd
a
c

- Cách 5: từ

a c
b d
b
d
= = 1 = 1
b d
a c
a
c
a b c d



Lời giải:
a) - Cách 1: Xét tích chéo
a
b

- Cách 2: từ a 2 = bc =
Đặt

c
a

a c
= = k a = bk , c = ak
b a

Ta có:

a + b bk + b b ( k + 1) k + 1
=
=
=
, ( b 0 ) (1)
a b bk b b ( k 1) k 1
c + a ak + a a ( k + 1) k + 1
=
=
=
( a 0 ) , (2)
c a ak a a ( k 1) k 1

a+b c+a
=
a b c b
a+b c+a
Ngợc lại từ
ta cũng suy ra đợc a2 = bc
=
a b c b
a+b c+a
Từ đó ta có bài toán cho
chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác 0 thì
=
a b c b

Do đó:

từ 3 số a, b, c có 1 số đợc dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức .
- Cách 4: Từ a2 = bc
=

a c
a b a +b a b
= = =
=
b a
c a c+a ca



a+b c+a

Ta có

2 2
2
a 2 + c 2 b2k 2 + b2k 4 b k ( 1 + k )
= 2
= 2
= k 2 , ( b 0)
2
2
2 2
2
b +a
b +b k
b (1+ k )

c k 2b
=
= k2
b
b
a2 + c2 c
Do đó: b2 + a 2 = b
2
2
2
2
a c a = c = a + c (1)
- Cách 3: từ a = bc =
b2 a 2 b2 + a2

.................................................................................................
..................

a 2 + c 2 bc + c 2 c ( b + c ) c
- Cách 4: Ta có b2 + a 2 = b 2 + bc = b ( b + c ) = b , ( b + c 0 )
a2 + c2 c
Do đó: b2 + a 2 = b

Bài tập 3: Cho 4 số khác 0 là a1 , a2 , a3 , a4 thoả mãn a2 2 = a1a3 ; a33 = a2 a4 chứng tỏ
a13 + a23 + a33 a1
=
a23 + a33 + a43 a4

Giải: Từ

a1 a2
= (1)
a2 a3
a
a
a33 = a2 a4 2 = 3 (2)
a3 a4
a2 2 = a1a3

a1 a2 a3
a13 a23 a33 a1 a2 a3 a1
=
=

=

a2 a3 a4
a2 + a3 + a4 a4
bz cy cx az ay bx
Bài tập 4: Biết
=
=
a
b
c
x y z
Chứng minh rằng = =
a b c
bz cy cx az ay bx abz acy bcx baz cay cbx
Giải: Ta có
=
=
=
=
=
a
b
c
a2
b2
c2
abz acy + bcx bay + cay cbx
=
=0
a 2 + b2 + c2
abz acy


GV: Châu Thị Liễu

10

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7
.................................................................................................
..................
Lời giải:
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

x
y
z
2y
x + 2y + z
x + 2y + z
=
=
=
=
=
(1)
a + 2b + c 2a + b c 4a 4b + c 4a + 2b 2c a + 2b + c + 4a 4b + c + 4a + 2b 2c
9a
x

x + 2 y + z 2x + y z 4x 4 y + b
Từ (1),(2),(3) suy ra
suy ra
=
=
9a
9b
9c
a
b
c
=
=
x + 2 y + z 2x + y + z 4x 4 y + z

Dạng 3: Toán chia tỉ lệ
1.Phơng pháp giải
Bớc 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lợng cha biết
Bớc 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện
Bớc 3:Tìm các số hạng cha biết
Bớc 4:Kết luận.
2.Bài tập
Bài tập 1:(Bài 76 SBT-T14):Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là
22 cm
và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5
Lời giải:
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (cm,a,b,c > 0 )
Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22
Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có

Bài tập 2:
Ba lớp 7A,7B,7C cùng tham gia lao động trồng cây ,số cây mỗi lớp trồng đợc tỉ
lệ với các số 2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp 7B thì hơn
số cây của lớp 7C là 119 cây.Tính số cây mỗi lớp trồng đợc .
Lời giải:
GV: Châu Thị Liễu

11

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7
.................................................................................................
..................
Gọi số cây trồng đợc của lớp 7A,7B,7C lần lợt là a,b,c (cây, a,b,c nguyên dơng)

Theo bài ra ta có
Suy ra

a b c 2a 4b c 2a + 4b c 119
= = =
=
= =
=
=7
2 4 5 6 16 5
6 + 16 5
17


Bài tập 4: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi 1 số thóc ở kho I, 1

5
6
1
số thóc ở kho II và số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng nhau .Hỏi
11

lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc
Lời giải:
Gọi số thóc của 3 kho I,II,III lúc đầu lần lợt là a,b,c (tấn, a,b,c>0)
1
4
5
5
1
5
Số thóc của kho II sau khi chuyển là b b = b
6
6
1
10
Số thóc của kho III sau khi chuyển là c c = c
11
11
4
5
10
theo bài ra ta có a = b = c và a+b+c=710


Số thóc của kho I sau khi chuyển là a a = a

Suy ra a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220.
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số thóc lúc đầu của của kho I,II,III lần lợt là 250tấn , 240 tấn, 220 tấn.
Bài tập 3: Trong một đợt lao động ba khối 7,8,9 chuyển đợc 912 m3
đất , trung bình mỗi học sinh khối 7,8,9theo thứ tự làm đợc 1, 2m3 ;1, 4m3 ;1, 6m3
Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3 ; số học sinh khối 8 và khố 9 tỉ lệ với 4 và
5 . Tính số học sinh của mỗi khối .
Lời giải:
Gọi số học sinh của khối 7,8,9 lần lợt là a,b,c(h/s)(a,b,c là số nguyên dơng)
Số đất khối 7 chuyển đợc là 1,2a
GV: Châu Thị Liễu

12

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7
.................................................................................................
..................
Số đất khối 8 chuyển đợc là 1,4b
Số đất khối 9 chuyển đợc là 1,6c

Theo bài rat a có

a b b c


Bài làm đúng nh sau:
2
Từ x = y x.x = x. y x = 10 x 2 = 4 x = 2 từ đó suy ra y = 5

2

5

2

5

2

5

vậy x= 2,y= 5 hoặc x=-2, y= -5
2
2
hoặc từ x = y x x . y x = 10 = 1 x 2 = 4 x 2 = 2

2

hoặc đặt

5

4



a
b
c
.
=
=
b+c c+a a +b

a
b
c
=
=
b+c c+a a +b

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

a
b
c
a +b+c
a+b+c
=
=
=
=
b + c c + a a + b ( b + c) + ( c + a) + ( a + b) 2( a + b + c)

h/s thờng bỏ quên đk a+b+c=0 mà rút gọn luôn bằng

b
c
a +b+c
1
=
=
=
=
b + c c + a a + b 2( a + b + c) 2

Cách 2: Cộng mỗi tỉ số trên với 1

x+ y y + z z +t t + x
+
+
+
z +t t + x x+ y z + y
x
y
z
t
=
=
=
(1)
Tính giá trị của P biết rằng
y + z +t z +t + x t + x+ y x+ y + z

Bài tập 4: Cho biểu thức P =


=
=
y + z +t
z +t + x
x + y +t
x+ y+z

ở cách 1 học sinh mắc sai lầm nh bài tập 3
ở cách 2 học sinh mắc sai lầm suy ra luôn y+z+t=z+t+x=x+y+t=x+y+z
Phải làm đúng nh sau :
Nếu x+y+z+t 0 suy ra y+z+t=z+t+x =x+y+t=x+y+z suy ra x=y=z=t suy ra P=4
Nếu x+y+z+t =0 x+y=-(z+t);y+z=-(t+x).Khi đó P=-4
ở bài 3 và bài 4 đều có hai cách nh nhau .Nhng ở bài tập 3 nên dùng cách 1,bài tập 4
nên dùng cách 2
Bài tập tơng tự :
a +b c b+c a c + a b
=
=
c
a
b
b
a c
.Hãy tính giá trị của biểu thức B = 1 +
ữ 1 + ữ1 + ữ
a c b
2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d
2)Cho dãy tỉ số bằng nhau :
=
=

=
5
7
6x
2x + 1 3 y 2 2x + 3 y 1
Từ hai tỷ số đầu ta có:
(2)
=
=
5
7
12
2x + 3 y 1 2x + 3y 1
Từ (1) và (2) ta suy ra
(3)
=
6x
12
6x = 12 x = 2

GV: Châu Thị Liễu

14

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7
.................................................................................................

3.Sai lầm khi xét luỹ thừa bậc chẵn
Học sinh thờng sai lầm nếu A2=B2 suy ra A=B
Bài tập 7:Tìm x biết
Giải:

x 1 60
=
15 x 1

x 1 60
2
2
=
( x 1) = ( 15 ) . ( 60 ) ( x 1) = 900
15 x 1

h/s thờng sai lầm khi suy ra x-1=30 suy ra x=31
phải suy ra 2 trờng hợp x-1=30 hoặc x-1=-30 từ đó suy ra x=31 hoặc -29
Bài tập 8: Tìm các số x,y,z biết rằng
x y z
= = biết rằng 2 x 2 + 3 y 2 5 z 2 = 405
2 3 4

Lời giải:

x y z
= = =k suy ra x=2k, y=3k, z=4k
2 3 4
Từ 2 x 2 + 3 y 2 5 z 2 = 405 suy ra 2. ( 2k ) 2 + 3 ( 3k ) 2 5 ( 4k ) 2 = 405


Khi giảng dạy xong chuyên đề này cho học sinh tôi đã cho các em làm bài
kiểm tra.
III. Những bài học kinh nghiệm rút ra, hớng nghiên cứu tiếp theo.
1. Qua đề tài này tôi nhận thấy rằng muốn dạy cho học sinh hiểu và vận dụng
một vấn đề nào đó trớc hết ngời thầy phải hiểu vấn đề một cách sâu sắc vì vậy ngời
thầy phải luôn học hỏi, tìm tòi, đào sâu suy nghĩ từng bài toán, không ngừng nâng cao
trình độ cho bản thân.
2. Sáng kiến tiếp theo mà tôi dự kiến nghiên cứu là điều kiện để phơng trình và
hệ phơng trình có nghiệm duy nhất.
IV. Những kiến nghị, đề xuất
Khi giảng dạy đề tài này cho học sinh, thầy cô cần nghiên cứu kỹ để vận dụng
phù hợp với đối tợng học sinh của mình, có thể chia nhỏ bài tập để gợi ý cho học sinh.

Phần III. Kết luận
Khi nghiên cứu đề tài một số dạng bài tập về tỉ lệ thức và dãy các tỷ số bằng
nhau trong môn Đại số lớp 7 tôi thấy việc áp dụng vào giảng dạy rất có hiệu quả, học
sinh dễ hiểu và hứng thú trong quá trình tiếp thu kiến thức, các em đã biết khai thác
sâu bài toán, biết tự đặt ra các bài toán mới, tránh đợc những sai lầm mà mình hay
mắc phải.

GV: Châu Thị Liễu

16

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7
.................................................................................................