Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7
.................................................................................................
..................

Phần I: mở đầu
I. Lý do chọn đề tài:

- Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán tôi thấy phần kiến thức về tỷ lệ thức
và dãy tỷ số bằng nhau là hết sức cơ bản trong chơng trình Đại số lớp 7. Từ một tỷ lệ
thức ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa 2 tích, trong một tỷ lệ thức nếu biết đợc 3 số hạng ta có thể tính đợc số hạng thứ t. Trong chơng II, khi học về đại lợng tỷ lệ
thuận, tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức là một phơng tiện quan trọng giúp ta giải toán.
Trong phân môn Hình học, để học đợc định lý Talet, tam giác đồng dạng (lớp 8) thì
không thể thiếu kiến thức về tỷ lệ thức. Mặt khác khi học tỷ lệ thức và tính chất của
dãy tỷ số bằng nhau còn rèn t duy cho học sinh rất tốt giúp các em có khả năng khai
thác bài toán, lập ra bài toán mới.
Với những lý do trên đây, trong đề tài này tôi đa ra một số dạng bài tập về tỷ lệ
thức và dãy tỷ số bằng nhau trong Đại số lớp 7.
II. Phạm vi nghiên cứu:

1. Phạm vi của đề tài:
Chơng I, môn đại số lớp 7
2. Đối tợng:
Học sinh lớp 7 THCS.
3. Mục đích:
a) Kiến thức.
- Học sinh hiểu và làm đợc một số dạng toán về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng
nhau nh: Tìm số hạng cha biết, chứng minh liên quan đến tỷ số bằng nhau, toán chia
tỷ lệ, tránh những sai lầm thờng gặp trong giải toán liên quan đến dãy tỷ số bằng
nhau.
b) Kỹ năng:

b) Tính chất
Tính chất 1( tính chất cơ bản)
Nếu

a c
= thì ad = bc
b d

tính chất 2( tính chất hoán vị)
Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức
a c a b d c d b
= ; = ; = ; =
b d c d b a c a

2) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

a c
a c a+c ac
( b d )
= ta suy ra = =
=
b d
b d b+d bd
a c e
+mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau = =
b d
f
a c e
a+c+e
ac+e

ữ = ữ = . ; k. = k. ( k 0 ) ;
b d
b
d
k1b k2 d
b d
3

3
3
2
a c e
c e
a c e a c e a
=
=
từ
suy ra ữ = ữ = ữ = ì ì ; ữ = ì
b d
f
d f
b d f b d f b

II.Đối tợng phục vụ của đề tài
Học sinh lớp 7 trờng THCS Hồng Thuỷ năm học 2010 2011
III.Nội dung và phơng pháp nghiên cứu
Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đa ra một số dạng bài tập sau:
Dạng 1. Tìm số hạng cha biết
1.Tìm một số hạng cha biết
GV: Châu Thị Liễu

- 0,52 : x = - 9,36 : 16,38
x. ( 9,36 ) = 0.52.16,38
0,52.16,38
x=
= 0,91
9,36

Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức độ
khó hơn nh sau :

a) x ữ: = 1 :
4 5
3 3
1

2

1
5

3 2

2
3

b) 0, 2 :1 = : ( 6 x + 7 )
có thể đa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm x.
Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13 a)
x
60

Cách 1: từ

x3 5
= ( x 3) .7 = ( 5 x ) .5
5 x 7
7 x 21 = 25 5 x
12 x = 46
5
x=3
6

GV: Châu Thị Liễu

3

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7
.................................................................................................
..................

Cách 2: từ

x3 5
x 3 5 x
=
=
5 x 7

5 x 14 = 3 x 4
5 x 3 x = 4 + 14 2 x = 10 x = 5

Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau
khi biến đổi thì x2 bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính chất của
dãy tỉ số bằng nhau
2.Tìm nhiều số hạng cha biết
a)Xét bài toán cơ bản thờng gặp sau:
Tìm các số x, y, z thoả mãn
x y z
= = (1) và x +y + z =d (2)
a b c
( trong đó a, b, c, a+b+c 0 và a, b, c, d là các số cho trớc)

Cách giải:
x

y

z

- Cách 1: đặt a = b = c = k

x = k .a; y = k .b; z = k .c

thay vào (2)

Ta có k.a + k.b + k.c = d
d
a+b+c

GV: Châu Thị Liễu

4

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7
.................................................................................................
..................
2
2
2
* k1 x + k2 y + k3 z = f
*x.y.z = g
+Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) nh sau:
x
y y
z
= ; =
- a1 a2 a3 a4

- a2 x = a1 y; a4 y = a3 z
- b1 x = b2 y = b3 z
b1 x b3 z b2 y b1 x b3 z b2 y
=
=
a
b

=
=3
2 3 4 2+3+ 4 9
x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12

Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau:
Bài tập 2: Tìm 3 số x,y,z biết

x y z
= = và 2x + 3y 5z = -21
2 3 4

Giải:
x y z
= = =k
2 3 4
x y z
2 x 3 y 5z
=
=
Cách 2: Từ = = suy ra
2 3 4
4
9 20

- Cách 1: Đặt
-

áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:


.................................................................................................
..................

- Cách 2: từ

x y z
= =
2 3 4

suy ra
x2 y 2 z 2
=
=
4
9
16
2 x2 3 y2 5z2

=
=
8
27
90

áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 x 2 3 y 2 5 z 2 2 x 2 + 3 y 2 5 z 2 405
=
=
=

2 3 4
x y z
Cách 2: Từ = =
2 3 4
3
x y z xyz 648
x
ữ = ì ì =
=
= 27
24
2 2 3 4 24
x3

= 27 x 3 = 216 x = 6
8

- Cách 1: Đặt
-

Từ đó tìm đợc y = 9; z = 12.

x y
z
= ; x = và x +y +z = 27
6 9
2
x y
x y
Giải: từ 6 = 9 2 = 3

6

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7
.................................................................................................
..................
x
2

Từ 4 x = 2 z =
Suy ra

z
4

x y z
= = sau đó giải nh bài tập 1
2 3 4

Bài tập 7: Tìm x, y, z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y 5z = -21
Giải: từ 6x = 4y = 3z

6 x 4 y 3z
x y z
=
=
= =

x 4 y 6 z 8
=
=
và x +y +z =27
2
3
4

Giải:
- Cách 1: Đặt

x 4 y 6 z 8
=
=
=k
2
3
4

- Cách 2: áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có
x 4 y 6 z 8
=
=
2
3
4
x 4 + y 6 + z 8 x + y + z 18 27 18
=
=
=

Phơng Pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số

a c
; có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho trb d

ớc một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k từ đó tính giá
trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k.
GV: Châu Thị Liễu

7

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7
.................................................................................................
..................
Phơng pháp 3: Dùng t/c hoán vị , t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức biến
đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành vế phải.

Phơng pháp 4: dùng t/c hoán vị, t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức để từ
tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh.
2) Bài tập:
Bài tập 1
a
b

( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức: =
ab cd

= = k a = bk , c = dk
b d

a b bk b b ( k 1) k 1
=
=
=
(1), (b 0)
a
bk
bk
k
c d dk d d ( k 1) k 1
=
=
=
(2), (d 0)
c
dk
dk
k

ab cd
=
a
c
a c
b d
- Cách 3: từ = =
b d

=
c cd
a
c

- Cách 5: từ

GV: Châu Thị Liễu

8

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7
.................................................................................................
..................
a c
b d
b
d
= = 1 = 1
b d
a c
a
c
a b c d

=

Lời giải:
a) - Cách 1: Xét tích chéo
a
b

- Cách 2: từ a 2 = bc =
Đặt

c
a

a c
= = k a = bk , c = ak
b a

Ta có:

a + b bk + b b ( k + 1) k + 1
=
=
=
, ( b 0 ) (1)
a b bk b b ( k 1) k 1
c + a ak + a a ( k + 1) k + 1
=
=
=
( a 0 ) , (2)
c a ak a a ( k 1) k 1


Từ đó ta có bài toán cho
chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác 0 thì
a b c b

Do đó:

từ 3 số a, b, c có 1 số đợc dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức .
- Cách 4: Từ a2 = bc

GV: Châu Thị Liễu

9

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7
.................................................................................................
..................
=

a c
a b a +b a b
= = =
=
b a
c a c+a ca



= k 2 , ( b 0)
2
b2 + a 2
b + b2 k 2
b (1+ k )

c k 2b
=
= k2
b
b
a2 + c2 c
Do đó: b2 + a 2 = b
2
2
2
2
a c a = c = a + c (1)
- Cách 3: từ a = bc =
b2 a 2 b2 + a2
b a

2

a c
a2 a c c
= 2 = ì = (2), (a 0)
b a
b
b a b

a2 a3
a
a
a33 = a2 a4 2 = 3 (2)
a3 a4
a2 2 = a1a3

a1 a2 a3
a3 a 3 a 3 a a a
a
=
= 1 3 = 23 = 33 = 1 ì 2 ì 3 = 1 (3)
Từ (1) và (2) suy ra a2 a3 a4 a2 a3 a 4 a2 a3 a4 a4

áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a 31 a 32 a 33 a 31 + a 32 + a 33
=
=
=
(4)
a 3 2 a 33 a 3 4 a 3 2 + a 33 + a 3 4
a 31 + a 32 + a 33 a1
Từ (3) và (4) suy ra: a32 + a 33 + a34 = a4

Ta cũng có thể chuyển bài tập 3 thành bài tập sau:
3

a1 a2 a4
a +a +a
a

=0
a 2 + b2 + c2
abz acy
y z

= 0 abz = acy bz = cy = (1)
2
a
b c
bcx baz
z x
= 0 bcx = baz cx = az = (2)
2
b
c a
x y z
Từ (1) và (2) suy ra: = =
a b c
x
y
z
=
=
Bài tập 5:Cho
.Chứng minh rằng
a + 2b + c 2a + b c 4a 4b + c
a
b
c
=

=
=
(2)
a + 2b + c 2a + b c 4a 4b + c 2a + 4b + c 2a + 4b c + 2a + b c (4a 4b + c)
9b

GV: Châu Thị Liễu

11

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7
.................................................................................................
..................
x
y
z
4x
4y
=
=
=
=
a + 2b + c 2a + b c 4a 4b + c 4a + 8b + 4c 8a + 4b 4c
4x + 4 y + z
4x 4 y + z
=

Lời giải:
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (cm,a,b,c > 0 )
Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22
Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có
Suy ra

a b c
= =
2 4 5

a b c a + b + c 22
= = =
=
=2
2 4 5 2 + 4 + 5 11

a
=2
a =4
2
b
=2
b =4
4
c
=2
c =10
5


=
=7
2 4 5 6 16 5
6 + 16 5
17

a
= 7 a = 21
3
b
= 7 b = 28
4
c
= 7 c = 35
5

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số cây trồng đợc của 3 lớp 7A,7B,7C lần lợt là 21cây,28cây,35cây
Bài tập 3:Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009.Biết tỉ số giữa số thứ nhất và số
thứ hai là

2
4
,giữa số thứ hai và số thứ 3 là .Tìm ba số đó.
3
9

Gọi 3 số phải tìm là a,b,c
Theo bài ra ta có


11
4
5
10
theo bài ra ta có a = b = c và a+b+c=710
5
6
11
4
5
10
4
5
10
a=
b=
từ a = b = c
5
6
11
5.20
6.20
11.20c
a
b
c
a +b+c
710

=

Số đất khối 9 chuyển đợc là 1,6c

Theo bài rat a có

a b b c
= ; =
1 3 4 5

Và 1,2a +1,4b + 1,6c = 912 giải ra ta đợc a= 80, b= 240, c= 300
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số học sinh của khối 7,8,9 lần lợt là 80 h/s,240h/s,300h/s
Dạng 4:Một số sai lầm thờng gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số bằng nhau
1)
Sai lầm khi áp dụng tơng tự
H/s áp dụng

x y x. y
x y z x. y.z
= =
hay = = =
a b a.b
a b c a.b.c

Bài tập 1: (Bài 62 SGKT31) tìm 2 số x,y biết rằng
H/s sai lầm nh sau :

x y
= và x.y=10
2 5


4 10
x y
hoặc đặt = = x x = 2 x, y = 5 x vì xy=10 nên 2x.5x=10 x 2 = 1 x = 1
2 5

hoặc từ

Bài tập 2: Tìm các số x,y,z biết rằng
x y z
= = và x.y.z= 648
2 3 4

H/s sai lầm nh sau

x y z x. y.z 648
= = =
=
= 27
2 3 4 2.3.4 24

Suy ra a=54, b= 81, c= 108 bài làm đúng nh bài tập 4 dạng 1
2)Sai lầm khi bỏ qua điều kiện khác 0
Khi rút gọn h/s thờng bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếu giá trị cần
tìm
Bài tập 3: Cho 3 tỉ số bằng nhau là
Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó
GV: Châu Thị Liễu

a
b

a +b+c
a+b+c
=
=
=
=
b + c c + a a + b ( b + c) + ( c + a) + ( a + b) 2( a + b + c)

h/s thờng bỏ quên đk a+b+c=0 mà rút gọn luôn bằng

1
ta phải làm nh sau
2

+ Nếu a+b+c=0 thì b+c=-a; c+a= -b; a+b= -c
a
b
c
;
;
đều bằng -1
b+c c+a a+b
a
b
c
a +b+c
1
+ Nếu a+b+c 0 khi đó b + c = c + a = a + b = 2 a + b + c = 2
(
)

x+ y+ z +t
=
=
=
=
y + z + t z + t + x t + x + y x + y + z 3( x + y + z + t )
x
y
z
t
+1 =
+1 =
+1 =
+1
Cách 2:Từ (1) suy ra
x+ z+t
z +t + x
t+x+ y
x+ y+z


x+ y + z +t x+ y + z +t x+ y + z +t x+ y + z +t
=
=
=
y + z +t
z +t + x
x + y +t
x+ y+z


c
d
a+b b+c c+d d +a
+
+
+
Tìm giá trị của biểu thức M biết : M =
c+d d +a a+b b+c

1)Cho a,b,c là ba số khác 0 thoả mãn điều kiện

GV: Châu Thị Liễu

15

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7
.................................................................................................
..................
Cần lu ý rằng trong một dãy tỉ số bằng nhau nếu các số hạng trên bằng nhau (nhng
khác 0) thì các số hạng dới bằng nhau và ngợc lại , nếu các số hạng dới bằng nhau thì
các số hạng trên bằng nhau.
Bài tập 5(trích đề thi giáo viên giỏi 2004-2005) Một học sinh lớp 7 trình bày lờ giải
bài toán Tìm x.ybiết:
2x + 1 3y 2 2x + 3 y 1
=
=

Đồng chí hãy nhận xét lời giải của học sinh trên
Lời giải :Học sinh trên sai nh sau
Từ (3) phải xét hai trờng hợp
TH 1 : 2x+3y-1 0 .Khi đó ta mới suy ra 6x=12.Từ đó giải tiếp nh trên
TH2 :2x+3y-1=0.Suy ra 2x=1-3y,thay vào hai tỉ số đầu, ta có
1 3y +1 1 3y +1+ 3y 2
=
=0
5
5+7
2
1
Suy ra 2-3y =3y-2 =0 y = .Từ đó tìm tiếp x =
3
2

Bài tập 6: Tìm x,y biết :

1+ 2 y 1+ 4 y 1+ 6 y
=
=
(1)
18
24
6x

Giải tơng tự nh bài tập 5 nhng bài này chỉ có một trờng hợp
3.Sai lầm khi xét luỹ thừa bậc chẵn
Học sinh thờng sai lầm nếu A2=B2 suy ra A=B
Bài tập 7:Tìm x biết


Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7
.................................................................................................
..................
2
2
2
2
2
2
Từ 2 x + 3 y 5 z = 405 suy ra 2. ( 2k ) + 3 ( 3k ) 5 ( 4k ) = 405
8k 2 + 27 k 2 80k 2 = 405
45k 2 = 405
k2 = 9

Học sinh thờng mắc sai lầm suy ra k=3,mà phải suy ra k = 3

B. ứng dụng vào công tác giảng dạy:
I. Quá trình áp dụng của bản thân
Bản thân tôi sau khi nghiên cứu xong đề tài này đã thấp mình hiểu sâu sắc hơn về tỷ
lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau. Tôi giảng dạy chuyên đề này cho 3 đối t ợng học sinh
TB, Khá, Giỏi, tuỳ từng đối tợng mà tôi chọn bài cho phù hợp thì thấy đa số các em
tiếp thu nội dung trong chuyên đề một cách dề dàng, các em rất hứng thu khi tự mình
có thể lập ra các bài toán.
II. Hiệu quả khi áp dụng đề tài:
Khi giảng dạy xong chuyên đề này cho học sinh tôi đã cho các em làm bài

ra vấn đề một cách trọn vẹn đợc, mong các thầy cô giáo đóng góp ý kiến xây dựng để
đề tài này đợc hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tháng 5 năm 2011
GV: Châu Thị Liễu

18

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


Phơng pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại
số 7
.................................................................................................
..................
Ngời thực hiện

Châu Thị Liễu

GV: Châu Thị Liễu

19

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7