...................................................................................................................

Phương pháp giảng dạy tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau
trong đại số 7

GV: Châu Thị Liễu

1

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


...................................................................................................................

PHẦN I: MỞ ĐẦU

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

- Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán tôi thấy phần kiến thức về tỷ lệ thức
và dãy tỷ số bằng nhau là hết sức cơ bản trong chương trình Đại số lớp 7. Từ một tỷ
lệ thức ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa 2 tích, trong một tỷ lệ thức nếu biết
được 3 số hạng ta có thể tính được số hạng thứ tư. Trong chương II, khi học về đại
lượng tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức là một phương tiện quan trọng giúp ta
giải toán. Trong phân môn Hình học, để học được định lý Talet, tam giác đồng dạng
(lớp 8) thì không thể thiếu kiến thức về tỷ lệ thức. Mặt khác khi học tỷ lệ thức và tính
chất của dãy tỷ số bằng nhau còn rèn tư duy cho học sinh rất tốt giúp các em có khả
năng khai thác bài toán, lập ra bài toán mới.
Với những lý do trên đây, trong đề tài này tôi đưa ra một số dạng bài tập về tỷ
lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau trong Đại số lớp 7.

II. PHẠM VI NGHIÊN CỨU:

I.Cơ sở lý luận khoa học của đề tài
1. Định nghĩa, tính chất cảu tỉ lệ thức
a) Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số

a c

b d

Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, b và d gọi là trung tỉ.
3
GV: Châu Thị Liễu
Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


...................................................................................................................

b) Tính chất
Tính chất 1( tính chất cơ bản)
a c
 thì ad = bc
b d

Nếu

tính chất 2( tính chất hoán vị)
Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức
a c a b d c d b
 ;  ;  ; 
b d c d b a c a

( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
3.Chú ý:
+ Khi có dãy tỉ số

a b c
  ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5 ta cũng viết
2 3 5

a:b:c = 2:3:5.
+ Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức
a c
 suy ra
b d
2

2

a c
a
c
k1a k2 c
a  c 

( k1 , k2  0)
      . ; k.  k.  k  0 ;
b d
b
d
k1b k 2 d
b d 

Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đưa ra một số dạng bài tập sau:
Dạng 1. Tìm số hạng chưa biết
1.Tìm một số hạng chưa biết
a) Phương pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức
Nếu

a c
b.c
a.d
a.d
  a.d  b.c  a 
;b 
;c 
b d
d
c
b

Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết,
muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết.

b) Bài tập:
Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 – SGK 26 b)

- 0,52 : x = - 9,36 : 16,38
 x.  9,36   0.52.16,38
0,52.16,38
x
 0, 91
9,36

x
60

15
x

x
60

15
x
Giải : từ  x.x   15  .  60 
 x 2  900
 x 2  30 2

Suy ra x = 30 hoặc -30
Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng chưa biết nhưng 2 số hạng đó giống nhau nên ta
đưa về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức
x  1 60 x  1
9
;


15 x  1 7
x 1

Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức
x 3 5

5 x 7


...................................................................................................................
x  3 5 x x  3 5 x 2 1


 
5
7
57
12 6
x 3 1

  6  x  3  5
5
6
5
5
 x3  x  3
6
6

Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức
x2 x4

x 1 x  7
  x  2  x  7    x  4  x  1
 x 2  7 x  2 x  14  x 2  x  4 x  4
 5 x  14  3 x  4
 5 x  3 x  4  14  2 x  10  x  5


abc

7

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


...................................................................................................................

Từ đó tìm được x 

a.d
bd
cd
;y
;z 
abc
a bc
a bc

- Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
x y z x y z
d
  

a b c a bc abc
a.d
b.d
c.d
x



a
b
c

-

x  b1 y2  b2 z3  b3


a1
a2
a3

+Thay đổi cả hai điều kiện
c).Bài tập
Bài tập 1: tìm 3 số x, y, z biết
GV: Châu Thị Liễu

x y z
  và x +y + z = 27
2 3 4

8

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


...................................................................................................................

  =k
2 3 4
x y z
2x 3 y 5z
  suy ra


2 3 4
4
9 20

- Cách 2: Từ

áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 x 3 y 5 z 2 x  3 y  5 z 21




3
4
9 20
4  9  20
7
 x  6; y  9; z  12

Bài tập 3: Tìm 3 số x, y, z biết

x y z
  và 2 x 2  3 y 2  5 z 2  405




8
27
90

áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 x 2 3 y 2 5 z 2 2 x 2  3 y 2  5z 2 405




9
8
27
90
8  27  90
45

Suy ra
x2
 9  x 2  36  x  6
4
y2
 9  y 2  81  y  9
9
z2
 9  z 2  144  z  12


 27  x3  216  x  6
8

Từ đó tìm được y = 9; z = 12.
Bài tập 5. Tìm x,y, z biết
GV: Châu Thị Liễu

x y
z
 ; x  và x +y +z = 27
6 9
2

10

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


...................................................................................................................
x

y

x

y

Giải: từ 6  9  2  3
z

Từ 4 x  2 z  

Suy ra

x y z
  sau đó giải như bài tập 1
2 3 4

Bài tập 7: Tìm x, y, z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y – 5z = -21
Giải: từ 6x = 4y = 3z 

6 x 4 y 3z
x y z


  
12 12 12
2 3 4

Sau đó giải tiếp như bài tập 2
Bài tập 8: Tìm x, y, z biết

6 x  3z 4 y  6 x 3z  4 y


và 2x +3y -5z = -21
5
7
9



Giải:
- Cách 1: Đặt

x  4 y  6 z 8


=k
2
3
4

- Cách 2: áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có
x  4 y  6 z 8


2
3
4



x  4  y  6  z  8 x  y  z  18 27  18


1
2 3 4
9
9


b d

trước một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k từ đó tính
giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k.

Phương pháp 3: Dùng t/c hoán vị , t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức
biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành vế phải.

GV: Châu Thị Liễu

12

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


...................................................................................................................

Phương pháp 4: dùng t/c hoán vị, t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng thức để
từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh.

2) Bài tập:
Bài tập 1
a
b

( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức: 
thức:

c
hãy suy ra tỷ lệ

  k  a  bk , c  dk
b d

Ta có:
a  b bk  b b  k  1 k  1



(1), (b  0)
a
bk
bk
k
c  d dk  d d  k  1 k  1



(2),(d  0)
c
dk
dk
k

Từ (1) và (2) suy ra:
- Cách 3: từ

ab cd

a
c

ab cd

a
c

- Cách 4:
Từ
a c
a b ab
   
b d
c d cd


a a b
ab cd



c cd
a
c

- Cách 5: từ
a c
b d
b
d
    1  1
b d

; b) 2
 , (b  0)
a b c  a
b  a2 b

(với a  b, a  c )
Lời giải:
a) - Cách 1: Xét tích chéo
a
b

- Cách 2: từ a 2  bc  
GV: Châu Thị Liễu

c
a

14

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


...................................................................................................................

Đặt

a c
  k  a  bk , c  ak
b a


 a, b  0 
b c  a c  a

Do đó:

ab ca

a b c b

ab ca
ta cũng suy ra được a2 = bc

a b c b

Ngược lại từ

Từ đó ta có bài toán cho

ab ca

chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác 0 thì
a b c b

từ 3 số a, b, c có 1 số được dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức .
- Cách 4: Từ a2 = bc


a c
a b ab ab
   

a
b

- Cách 2: Từ a2 = bc  
Đặt

a2  c2 c

b2  a2 b

c
a

a c
2
  k suy ra a = bk, c = ak = bk
b a

Ta có
2 2
2
a 2  c 2 b 2 k 2  b 2 k 4 b k 1  k 
 2 2 2  2
 k 2 , b  0
2
2
2
b a
b b k
b 1  k 

b a b

a2  c2 c
Từ (1) và (2) suy ra: b 2  a 2  b

a 2  c 2 bc  c 2 c  b  c  c
- Cách 4: Ta có b 2  a 2  b2  bc  b  b  c   b ,  b  c  0 

a2  c2 c
Do đó: b 2  a 2  b

Bài tập 3: Cho 4 số khác 0 là a1 , a2 , a3 , a4 thoả mãn a22  a1a3 ; a33  a2 a4 chứng tỏ
a13  a23  a33 a1

a2 3  a33  a4 3 a4

GV: Châu Thị Liễu

16

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


...................................................................................................................

Giải: Từ
a1 a2
 (1)
a2 a3
a

3
4
4

Ta cũng có thể chuyển bài tập 3 thành bài tập sau:
3

 a a a 
a
a
a
a
Cho 1  2  4 chứng minh rằng  1 2 3   1
a2 a3 a4
 a2  a3  a4  a4

Bài tập 4: Biết

bz  cy cx  az ay  bx


a
b
c

Chứng minh rằng
Giải: Ta có




z x
 0  bcx  baz  cx  az   (2)
2
b
c a

Từ (1) và (2) suy ra:
GV: Châu Thị Liễu

x y z
 
a b c

17

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


...................................................................................................................

Bài tập 5:Cho

x
y
z


.Chứng minh rằng
a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c


2x  y  z





(2)
a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c 2a  4b  c 2a  4b  c  2a  b  c  (4a  4b  c)
9b

x
y
z
4x
4y




a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c 4a  8b  4c 8a  4b  4c
4x  4 y  z
4x  4 y  z


(3)
4a  8b  4c  (8a  4b  4c)  4a  4b  c
9c

Từ (1),(2),(3) suy ra


...................................................................................................................

Bài tập 1:(Bài 76 SBT-T14):Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là
22 cm
và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5
Lời giải:
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (cm,a,b,c  0 )
Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22
Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có

a b c
 
2 4 5

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có
a b c a  b  c 22
  

2
2 4 5 2  4  5 11

Suy ra
a
 2  a  4
2
b
 2  b  4
4
c
 2  c  10

7
2 4 5 6 16 5
6  16  5
17

Suy ra
a
 7  a  21
3
b
 7  b  28
4
c
 7  c  35
5

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số cây trồng được của 3 lớp 7A,7B,7C lần lượt là 21cây,28cây,35cây
Bài tập 3:Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009.Biết tỉ số giữa số thứ nhất và số
thứ hai là

2
4
,giữa số thứ hai và số thứ 3 là .Tìm ba số đó.
3
9

Gọi 3 số phải tìm là a,b,c
Theo bài ra ta có


1
5

4
5

Số thóc của kho I sau khi chuyển là a  a  a
1
6

5
6

Số thóc của kho II sau khi chuyển là b  b  b
Số thóc của kho III sau khi chuyển là c 
theo bài ra ta có

1
10
c c
11
11

4
5
10
a  b  c và a+b+c=710
5
6
11

 10
25 24 22 25  24  22 71

Suy ra a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220.
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số thóc lúc đầu của của kho I,II,III lần lượt là 250tấn , 240 tấn, 220 tấn.
Bài tập 3: Trong một đợt lao động ba khối 7,8,9 chuyển được 912 m3
đất , trung bình mỗi học sinh khối 7,8,9theo thứ tự làm được 1, 2m3 ;1, 4m3 ;1, 6m3
Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3 ; số học sinh khối 8 và khố 9 tỉ lệ với 4
và 5 . Tính số học sinh của mỗi khối .
Lời giải:
Gọi số học sinh của khối 7,8,9 lần lượt là a,b,c(h/s)(a,b,c là số nguyên dương)
Số đất khối 7 chuyển được là 1,2a
Số đất khối 8 chuyển được là 1,4b
Số đất khối 9 chuyển được là 1,6c
GV: Châu Thị Liễu

21

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


...................................................................................................................

Theo bài rat a có

a b b c
 ; 
1 3 4 5


x y
x.x x. y
x 2 10
 


  x 2  4  x  2 từ đó suy ra y  5
2 5
2
5
2
5

vậy x= 2,y= 5 hoặc x=-2, y= -5
hoặc từ
hoặc đặt

x y
x2 x y
x 2 10
   . 
  1  x 2  4  x 2  2
2 5
4 2 5
4 10

x y
  x  x  2 x, y  5 x vì xy=10 nên 2x.5x=10  x2  1  x  1
2 5


c


.
bc ca ab

Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó
Cách 1:Ta có

a
b
c


bc ca ab

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
a
b
c
abc
abc




b  c c  a a  b b  c    c  a    a  b 2  a  b  c 

h/s thường bỏ quên đk a+b+c=0 mà rút gọn luôn bằng



Tính giá trị của P biết rằng
GV: Châu Thị Liễu

x y y  z zt t  x



z t t  x x y z  y

x
y
z
t



(1)
y z t z t  x t  x y x y z

23

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7


...................................................................................................................

Lời giải:
Cách 1: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ,ta có
x


y z t
z t  x
x yt
x y z

ở cách 1 học sinh mắc sai lầm như bài tập 3
ở cách 2 học sinh mắc sai lầm suy ra luôn y+z+t=z+t+x=x+y+t=x+y+z
Phải làm đúng như sau :
Nếu x+y+z+t  0 suy ra y+z+t=z+t+x =x+y+t=x+y+z suy ra x=y=z=t suy ra P=4
Nếu x+y+z+t =0  x+y=-(z+t);y+z=-(t+x).Khi đó P=-4
ở bài 3 và bài 4 đều có hai cách như nhau .Nhưng ở bài tập 3 nên dùng cách 1,bài tập
4 nên dùng cách 2
Bài tập tương tự :
1)Cho a,b,c là ba số khác 0 thoả mãn điều kiện

abc bc a c ab


c
a
b

b
a  c 
.Hãy tính giá trị của biểu thức B   1  
 1   1  


2)Cho dãy tỉ số bằng nhau :


...................................................................................................................

Cần lưu ý rằng trong một dãy tỉ số bằng nhau nếu các số hạng trên bằng nhau (nhưng
khác 0) thì các số hạng dưới bằng nhau và ngược lại , nếu các số hạng dưới bằng
nhau thì các số hạng trên bằng nhau.
Bài tập 5(trích đề thi giáo viên giỏi 2004-2005) Một học sinh lớp 7 trình bày lờ giải
bài toán “ Tìm x.ybiết:
2x 1 3 y  2 2 x  3 y 1


” Như sau:
5
7
6x

Ta có:

2x 1 3 y  2 2 x  3 y 1


5
7
6x

Từ hai tỷ số đầu ta có:

(1)

2x 1 3 y  2 2x  3 y 1

2
3

Suy ra 2-3y =3y-2 =0  y  .Từ đó tìm tiếp x  

GV: Châu Thị Liễu

25

1
2

Sáng kiến kinh nghiệm Toán 7