Lời cảm ơn

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận: Sử dụng phép quay để
chứng minh bài toán trong hình học phẳng cùng với sự cố gắng của bản thân,
em đã nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của thầy Nguyễn Văn Vạn.
Đồng thời em cũng nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn sinh
viên.
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Văn Vạn đã giúp đỡ và
hướng dẫn tận tình để em hoàn thành tốt khóa luận của mình.
Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo và
các bạn sinh viên trong khoa đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận
này.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Lê Thị Huyền


Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên
cứu. Bên cạnh đó em được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy cô trong khoa
toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Nguyễn Văn Vạn.

Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em có tham khảo một số tài
liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.

Sinh viên


1. Lý do chọn đề tài
Trong nhà trường phổ thông, hình học luôn là một môn học khó đối với học
sinh. Bởi hình học có tính chặt chẽ, logic và trìu tượng cao hơn môn học khác của
toán học.
Trong chương trình toán học ở bậc trung học phổ thông hiện nay có đưa ra
cho học sinh một công cụ mới để giải toán hình học đó là sử dụng phép biến hình
trong mặt phẳng. Bởi phép biến hình nói chung và phép quay nói riêng thể hiện
tính ưu việt rõ rệt trong giải toán.
Là một giáo viên phải tùy thuộc vào trình độ của học sinh mà đưa ra các bài
tập phù hợp, nên mỗi giáo viên cần biết cách xây dựng một bài toán. Sử dụng
phép biến hình nói chung và phép quay nói riêng ta có thể xây dựng và sáng tạo
các bài toán.
Chính vì vậy ở khóa luận này em xin trình bày về: Sử dụng phép quay để
chứng minh bài toán trong hình học phẳng
2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Xây dựng và đưa ra cơ sở lý thuyết về phép quay.
- Xây dựng hệ thống các dạng bài tập sử dụng phép quay để chứng minh.
3. Phương pháp nghiên cứu
Trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết của phép quay để đưa ra hệ thống bài tập
phù hợp

Lê Thị Huyền

1

Lớp K34CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học



Lê Thị Huyền

2

Lớp K34CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

1.3. Định nghĩa về phép quay
1.3.1. Mặt phẳng định hướng
Trong mặt phẳng cho điểm 0 thì xung quanh điểm 0 có 2 chiều quay. Nếu ta
chọn một chiều là chiều dương và chiều còn lại là chiều âm thì ta nói rằng đã
định hướng được mặt phẳng. Thông thường ta chọn chiều quay xung quanh 0
ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương còn lại là chiều âm
1.3.2. Góc định hướng giữa hai tia
Trong mặt phẳng định hướng cho 2 tia chung gốc: 0x, 0y góc định hướng có
tia đầu là 0x, tia cuối là 0y





Kí hiệu 0 x,0 y là góc thu được khi ta quay tia đầu 0x tới khi trùng tia cuối
0y
y



0 x,0 y 0 y,0 z 0 x,0 z
Mở rộng cho n tia
Trong mặt phẳng, chọn tia chung gốc A1, A2,,An
Hệ thức Salo:

0 A ,0 A ... 0 A
1

2

n 1





,0 An 0 A1 ,0 An k 2

(k )

1.3.3. Góc định hướng giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng
b1

O

a1

a
a2

Hệ thức Salo: Trong mặt phẳng đã được định hướng cho các đường thẳng
a1 , a2 ,..., an cắt nhau tại O. Khi đó ta có:

a1, a2 a2 , a3 ... an1, an a1, an k

(k )

1.3.4. Định nghĩa phép quay
M'



M

O

Giả thiết chung: Cho mặt phẳng định hướng P. Trong mặt phẳng lấy điểm
O và góc định hướng
Định nghĩa 1: Gọi f: P P là một phép dời hình. Khi đó f được gọi là phép
quay tâm O, góc quay nếu thỏa mãn:
i. f(O) = O
ii. M O . Đặt M = f(M) thì OM = OM và (OM, OM) =
Định nghĩa 2: Phép biến hình trong mặt phẳng biến điểm 0 thành điểm 0,
biến mỗi điểm M khác 0 thành điểm M sao cho 0M = 0M và góc lượng giác
(0M, 0M) = được gọi là phép quay tâm 0 góc quay .
Kí hiệu: Q0 : M M ' hoặc Q 0,
Lưu ý:
Các trường hợp đặc biệt : k 2

thì Q 0, là phép đồng nhất.

+ Phép quay biến hai đường thẳng cắt nhau tại A thành hai đường thẳng cắt
nhau tại Qo ( A) , biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song
song
+ Phép quay biến tia thành tia
+ Phép biến hình biến tam giác thành tam giác bằng nó
+ Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng
+ Phép quay bảo toàn góc giữa hai tia, giữa hai đường thẳng cắt nhau
+ Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng nó, biến
tâm đường tròn thành tâm đường tròn kia
+ Phép quay bảo toàn tích vô hướng của 2 vecto
1.4.4. Tích của hai phép quay là một phép tịnh tiến hoặc là một phép quay
Chứng minh

Lê Thị Huyền

6

Lớp K34CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Xét hai phép quay Qo' và Qo . Đặt Q = Qo' . Qo
+ TH1: 0 0
0 M OM '
: M M ' thì
0 M ,0 M '



Chú ý: IOO ' thường được gọi là tam giác quay.
1.5. Biểu thức tọa độ của phép quay
Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Oxy, cho phép quay tâm I góc quay với
0

Lê Thị Huyền

8

Lớp K34CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Trường hợp 1: Khi tâm quay I trùng với gốc tọa độ O.
Qo : M x; y M ' x '; y '

Đặt OM = r và Ox, OM
x r cos
Ta có: M
y r sin

x ' r cos
Ox
,
OM
'

y

M




O

x

x

x

Các công thức (1) và (2) được tóm tắt ở bảng sau:

Lê Thị Huyền

9

Lớp K34CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

x


y

y
cos






o
o
o
x xo x ' xo cos y ' yo sin
(4)

y

y


x
'

x
sin


y
'

không quá (n + 1) phép đối xứng qua siêu phẳng
Hệ quả 1 : Phép phản chiếu trong E2 có điểm bất động là phép đối xứng trục
Hệ quả 2 : Trong E2 tích của phép đối xứng trục và phép tịnh tiến giao hoán
được khi va chỉ khi giá của vecto tịnh tiến và trục đối xứng song song nhau và
phép biến hình tích là phép đối xứng trượt.

Lê Thị Huyền

10

Lớp K34CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Định lý 2 : Phép dời hình trong E2 (còn gọi là phép đẳng cự loại I) không
phải là phép đồng nhất thì có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng một phép quay
hoặc một phép tịnh tiến.
Định lý 3 : Trong không gian En (n = 2, 3) tích của một phép tịnh tiến và
một phép đối xứng qua siêu phẳng có vecto tịnh tiến vuông góc với siêu phẳng
đối xứng là một phép đối xứng qua siêu phẳng.
Ta chứng minh trong E2
Giả sử Ta T , S d S là phép tịnh tiến và phép đối xứng trục đã cho trong E2

sao cho a d . Xét d ' Ta (d )
2

Theo định lý : Tích của hai phép đối xứng trục qua siêu phẳng có siêu phẳng


Kí hiệu : Tv Đd1.Đd2
Định lý 2 : Tích của hai phép đối xứng trục theo thứ tự có hai trục d1, d2 cắt
nhau ở một điểm O là một phép quay tâm O, góc quay 2 d1 , d 2
Kí hiệu : Q O, = Đd2.Đd1
Định lý 3 : Tích của một phép tịnh tiến và một phép quay góc là một phép
quay góc
Định lý 4 : Tích của hai phép quay có tâm khác nhau là một phép quay với
góc quay bằng tổng hai góc quay của hai phép quay đã cho, đặc biệt là một phép
tịnh tiến hai góc quay là đối nhau.

Lê Thị Huyền

12

Lớp K34CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

CHƯƠNG 2: Sử DụNG PHéP QUAY Để
CHứNG MINH BàI TOáN TRONG HìNH HọC PHẳNG

- Bài toán chứng minh có dạng A B . Trong đó
+ A là giả thiết, bao gồm: những yếu tố đã cho (điểm, đường thẳng, )
những quan hệ đã biết (liên thuộc, song song, vuông góc, ) những yếu tố về
lượng (độ dài, góc,).
+ B là kết luận cần được khẳng định đúng.

minh. Thông thường việc dựng hình phụ tương đương với việc dựng ảnh của điểm
hay đường qua một phép biến hình nào đó.
Dạng 1: Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau, song song, vuông góc,
Phương pháp
1. Xác định phép quay Q O,
2. Sử dụng các tính chất của quay để giải quyết yêu cầu bài toán.
Bài toán 1: Cho tam giác vuông cân OAB và OAB có chung đỉnh O sao
cho O nằm trên đoạn thẳng AB và nằm ngoài đoạn thẳng AB. Gọi G và G lần
lượt là trọng tâm của tam giác OAA và OBB . C.m.r tam giác OGG là tam
giác vuông cân
Lời giải
B
A'
M'
G'
B'

GM
O

A

Ta có: OA = OB và AOB 900
OA = OB và A ' OB ' 900
0

Q090 : A B ; A ' B '
0

Q090 : AA ' BB '


AK BL CM
. Nối AL, BM, CK các đường thẳng này đôi


KB LC MA

một cắt nhau tạo thành một tam giác. Chứng minh tam giác đó là tam giác đều và
có tâm trùng với tâm của tam giác ABC.
Lời giải
A
K

D

O
F
B

E
L

M
C

Gọi tam giác tạo thành là DEF và O là tâm ABC cũng là trọng tâm tam
giác (do ABC đều)
OA OB OC và AOB BOC COA 1200

Lê Thị Huyền


AK KB BL LC CM MA
AK BL CM



AK BL CM
AB BC CA


0

Q0120 : K L ; L M ; M K
0

Q0120 : AL BM ; BM CK ; CK AL
0

Q0120 : E F ; F D; D E
DEF là tam giác đều và có tâm O

Bài toán 3: Cho tam giác ABC. Dựng ra phía ngoài của tam giác ABC các
tam giác vuông cân ABO1, ACO2 có đỉnh góc vuông ở O1, O2. Gọi O là trung
điểm cạnh BC. Chứng minh tam giác OO1O2 vuông cân
Lời giải
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC
Ta có : ABO1 vuông cân tại O1 O1E AB và O1E
ACO2 vuông cân tại O2 O2 F AC và O2 F

Lê Thị Huyền


Mặt khác: OF là đường trung bình của ABC OF // AB và OF

1
AB
2

O1E OF và O1E = OF

Tương tự OE là đường trung bình của ABC OE // AC và OE

1
AC
2

OE O2 F và OE = O2F

Gọi I là giao điểm của hai đường trung trực OO1 và EF
Xét phép quay QI90

0

0

QI90 : O1 O
EF
O O2

1
Suy ra: IO1 = IO = IO2 và O1IO OIO 2 900 OI O1O2 và OI O1O2


QA90 : N B
C Q
NC = BQ và NC BQ

b) Ta có DK là đường trung bình của BCN
1
DK // CN và DK CN
2

DH là đường trung bình của BCQ
DH // BQ và DH

1
BQ
2

DK DH và DK DH
DHK vuông cân tại D

Tương tự, gọi S là trung điểm AB, ta cũng chứng minh được SGH
vuông cân tại S

Lê Thị Huyền

18

Lớp K34CN Toán



D

B

G

E

F

Lê Thị Huyền

19

Lớp K34CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Bài toán 5: Cho hình bình hành ABCD có A > 900. phía ngoài dựng
hình bình hành vẽ các tam giác đều ADF và ABF. Chứng minh rằng CEF là tam
giác đều.
Lời giải
Dựng hình bình hành ABEK
Xét tứ giác EKDC
Ta có EK // CD (do AB // EK ; AB // CD)
EK = CD (do AB = EK ; AB = CD)
Nên tứ giác EKCD là hình bình hành

Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Do đó EC , EF 600 (do KD // EC)
EC = EF (= KD) nên CEF đều
Bài toán 6: Cho tam giác ABC, qua A dựng tam giác vuông cân ABE và
AFC. Gọi M là trung điểm của BC và AM EF H . Chứng minh AH là đường
cao của tam giác AEF.
Lời giải

D
B

M
C

E
A
H
F
0

Gọi D QA90 C
AD AC và AC , AD 900 hay AC AD

Lại có AFC vuông cân AF AC , AF AC
A, D , F thẳng hàng và A là trung điểm của DF (AD = AF)
0


lên Ax, N, L tương ứng là hình chiếu của B, D lên Ay. Chứng minh rằng KL =
MN, KL MN
Lời giải


Xét ABM và DAK
Ta có AMB DKA 900
AB = AD (cạnh của hình vuông)
ABM DAK (cùng phụ với BAM )

ABM = DAK

MA KD, MB KA, MAB ADK

(1)

0

Lại có Q090 : B A; A D (với O là tâm của hình vuông)
0

Giả sử Q090 ( M ) M '

Lê Thị Huyền

22

Lớp K34CN Toán