TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
----------

NGUYỄN THỊ LIỄU

VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
VÀ CÁC BÀI TOÁN:
 ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC
 CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG, TRÙNG NHAU
 CÁC VECTƠ ĐỒNG PHẲNG, KHÔNG ĐỒNG PHẲNG
 QUAN HỆ SONG SONG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Hà Nội – 2012


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
----------

NGUYỄN THỊ LIỄU

VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
VÀ CÁC BÀI TOÁN:


ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC


những ý kiến quý báu của thầy Bùi Văn Bình trong thời gian qua.
Do điều kiện thời gian cùng với vốn kiến thức chắc chắn sẽ không tránh
khỏi những sai sót. Em rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp của thầy cô
và các bạn sinh viên để tìm được những ý tưởng tốt hơn, bổ sung cho khóa
luận được hoàn thiện hơn nữa và sẽ là tài liệu tham khảo thật sự bổ ích cho tất
cả những độc giả có niềm đam mê môn Toán.
Qua đây em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ Hình
học, các thầy cô trong khoa Toán và đặc biệt là thầy Bùi Văn Bình đã hướng
dẫn em hoàn thành khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!

Nguyễn Thị Liễu

K34 – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan bản khóa luận này được hoàn thành do sự cố
gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân, cùng với sự giúp đỡ tận
tình của thầy Bùi Văn Bình.
Bản khóa luận này không trùng với kết quả của tác giả khác. Nếu
trùng tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Rất mong được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để bản khóa luận
được hoàn thiện hơn.

Sinh viên

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 48

Nguyễn Thị Liễu

K34 – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2

PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học là một bộ phận quan trọng cấu thành toán học. Hình học luôn
luôn là một môn học khó đối với học sinh bởi đây là môn học có tính chặt chẽ,
tính lôgic và tính trừu tượng cao hơn những ngành học khác của toán học.
Trong chương trình môn toán ở trung học cơ sở các em đã được làm
quen với các khái niệm về đại lượng vô hướng. Khi lên bậc trung học phổ
thông các khái niệm đó tiếp tục được mở rộng, chúng ta có các khái niệm
mới, trong đó vectơ là một ví dụ. Khi mở rộng đoạn thẳng vô hướng sang
đoạn thẳng có hướng ta có khái niệm vectơ. Khái niệm vectơ sẽ theo suốt các
em trong quá trình học tập ở trường trung học phổ thông.
Thông thường khi mở rộng một khái niệm nào đó thì đồng thời ta có một
phương pháp mới, một công cụ mới để giải toán. Khái niệm vectơ ra đời cho
ta một phương pháp mới để giải toán một cách hiệu quả hơn. Nhờ có phương
pháp này, các bài toán như chứng minh tính song song, vuông góc, thẳng
hàng… nói chung được giải quyết một cách dễ dàng và ngắn gọn.
Với mong muốn trên, được sự giúp đỡ của thầy Bùi Văn Bình, em đã
mạnh dạn chọn đề tài “Vectơ trong không gian và các bài toán”.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghên cứu


2

K34 – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2

PHẦN 2: NỘI DUNG
Chƣơng I: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ
I. Vectơ
I.1. Định nghĩa vectơ:
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.
Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu (điểm gốc)
là A và điểm cuối (điểm ngọn) là B thì ta có một vectơ.

Kí hiệu là: AB .

A

B

Chú ý:



+) Cho 2 điểm A, B phân biệt thì ta có 2 vectơ AB và BA khác nhau.
 


K34 – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2


Độ dài của vectơ AB là độ dài của đoạn thẳng AB, được kí hiệu là:


AB . Như vậy: AB = AB = BA .

Theo đó, độ dài của vectơ - không có độ dài bằng O.
Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị.
I.4. Hai vectơ bằng nhau
Định nghĩa:


Hai vectơ AB và CD được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và
cùng độ dài.

 
Kí hiệu là: AB = CD .
Chú ý từ định nghĩa:
+) Quan hệ bằng nhau giữa hai vectơ là một quan hệ tương đương trên

tập các vectơ. Tập hợp các vectơ bằng nhau tạo thành một lớp tương đương
và được kí hiệu bằng một chữ cái thường và có mũi tên trên đầu như:

b

Nhận xét:

Nguyễn Thị Liễu

4

K34 – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2

 
+) Hiển nhiên a,b Î éêë00 ,1800 ù
ú
û.
 


+) a,b = 00 Û a và b cùng hướng.

( )

( )

 


B và C sao cho: AB  a ; BC  b .



Khi đó vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b .


 
Ta kí hiệu tổng của hai vectơ a và b là: a + b .
  
Hay AC = a + b .
Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.
B
a

b

a
A

C

b

Chú ý:
  



Nếu a + b = 0 thì vectơ b được gọi là vectơ đối của vectơ a và kí hiệu là - a .

+) Tính chất của vectơ - không:
    
a + 0= 0+ a = a
c) Các quy tắc cần nhớ:
Từ định nghĩa tổng của hai vectơ ta có các quy tắc sau:
+) Quy tắc ba điểm:

A

Với ba điểm A,B,C bất kỳ, ta có:
  
AB + BC = AC .

B

+) Quy tắc hình bình hành:

C

A

Nếu ABCD là hình bình hành thì ta luôn
  
có: AB + AD = AC .

B

C

+) Quy tắc hình hộp:

  


đối của b . Tức là: a - b = a + (- b) .
Nguyễn Thị Liễu

6

K34 – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2


Phép toán tìm hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ hai vectơ (vectơ a

trừ đi vectơ b ).
b) Từ định nghĩa ta có quy tắc ba điểm đối với phép trừ như sau:
  
Với ba điểm A,B,C bất kỳ ta có: AB - AC = CB
II.3. Phép nhân vectơ với một số
a) Định nghĩa

 
Cho số thực k ¹ 0 và vectơ a ¹ 0 .


Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu là k. a , được xác định

(

)

+)




(h + k).a = h.a + k.a


h. k.a = (h.k ).a

+)



 
 
 
1.a = a ; (- 1).a = - a ; k.a = 0 khi và chỉ khi k = 0 hoặc a = 0 .

+)

( )

III. Tích vô hƣớng của hai vectơ
III.1. Định nghĩa



+) Biểu thức tích vô hướng của hai vectơ còn được viết dưới dạng sau:
 1  2 2 2
a + b - a - b hay
 Dạng độ dài: a.b =
2
 1  2  2
a.b =
a+ b - a- b
4

(
(

)

)

 Dạng tọa độ:


Trong hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxy, cho hai vectơ a (x1, y1 ) và


b(x 2 , y2 ). Khi đó: a.b = x1.x 2 + y1.y 2

Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz , cho hai vectơ: a (x1, y1,z1 ) và


b(x 2 , y2 ,z2 ). Khi đó: a.b = x1.x 2 + y1.y2 + z1.z 2

8

K34 – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2

IV. Ba vectơ đồng phẳng
IV.1. Định nghĩa

 
Trong không gian cho ba vectơ a,b,c tùy ý. Nếu từ một điểm O bất kỳ
    
ta vẽ: OA = a;OB = b;OC = c thì có thể xảy ra hai trường hợp:
 Nếu bốn điểm O,A,B,C cùng nằm trên một mặt phẳng, ta nói ba vectơ
 
a,b,c đồng phẳng.
 Nếu bốn điểm O,A,B,C không cùng nằm trên một mặt phẳng, ta nói
 
ba vectơ a,b,c không đồng phẳng.
Hay ta định nghĩa như sau:
Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu ba đường thẳng
chứa chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Từ định nghĩa ta có:

  
 Nếu một trong ba vectơ a,b,c là 0 thì ba vectơ đó đồng phẳng.
 

   

MA + MB + MC + MD = 4.MG , với mọi điểm M .

Nguyễn Thị Liễu

9

K34 – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2

Chứng minh:
A

I
G
D

B

J

C

Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB và CD .
Sử dụng quy tắc ba điểm ta lần lượt có:

Nguyễn Thị Liễu

10

K34 – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2

 

GC + GD = 2.GJ

(3)
   
 

Từ (1), (2), (3) ta có: GA + GB + GC + GD = 2(GI + GJ) = 0
 Điều kiện đủ:
Giả sử G là điểm thỏa mãn đẳng thức (*), ta sẽ chứng minh G là trọng
tâm của tứ diện ABCD .
Thật vậy:
Do I,J lần lượt là trung điểm của AB,CD , nên với điểm G ta có:
 

 

GA + GB = 2.GI và GC + GD = 2.GJ

M

Chứng minh:

D

B
G
N
C
a)

Ta có:

   
   
MN = MA + AB + BN và MN = MD + DC + CN

Nguyễn Thị Liễu

11

K34 – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2

      


Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2

Chƣơng II: ỨNG DỤNG VÉCTƠ
TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Sử dụng phương pháp véctơ sẽ giải quyết được rất nhiều bài toán trong
không gian mà các phương pháp khác không đạt được tính ưu việt như
phương pháp này.
Nội dung của việc ứng dụng véctơ trong giải toán hình học không gian
được thể hiện qua một số dạng toán sau:
I. CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC:
I.1. Phƣơng pháp chung: Để chứng minh đẳng thức véctơ ta thường lựa
chọn một trong các hướng biến đổi sau:
*) Hướng 1: Biến đổi một vế thành vế còn lại (VT Þ VP hoặc VP Þ VT ).
Khi đó:

- Nếu xuất phát từ vế phức tạp hơn ta cần thực hiện đơn giản biểu

thức.
- Nếu xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực hiện việc phân tích
véctơ.
*) Hướng 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là
luôn đúng.
*) Hướng 3: Biến đổi đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần
chứng minh.
*) Hướng 4: Tạo dựng hình phụ.
Trong quá trình biến đổi ta thường sử dụng các quy tắc ba điểm, quy tắc
hình bình hành, quy tắc hình hộp, các bài toán 1, bài toán 2,… , các phép toán
véctơ.
Khi gặp dạng toán chứa bình phương độ dài các đoạn thẳng ta chuyển hệ

     
C
AB.CD + AC.DB + AD.BC =
        
= AB.(AD - AC)+ AC.(AB - AD)+ AD.(AC - AB)
           
= AB.AD - AB.AC + AC.AB - AC.AD + AD.AC - AD.AB
= 0.
Nhận xét:
Xuất phát từ vế phức tạp (vế trái) ta biến đổi để xuất hiện các vectơ
  
AB,AC,AD . Từ đó có ngay lời giải bài toán.
Từ đẳng thức trên ta suy ra trong không gian nếu có bốn điểm A,B,C,D
 
 
 
phân biệt sao cho: AB.CD = 0 và AC.DB = 0 thì: AD.BC = 0 .
Hay nếu bốn điểm A,B,C,D trong không gian tạo thành một tứ diện có

AB ^ CD và AC ^ BD thì AD ^ BC .
Nói cách khác: nếu tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vông góc với
nhau từng đôi một thì cặp cạnh đối diện còn lại cũng vuông góc với nhau.
Ví dụ 2:
Cho tứ diện ABCD . Gọi I, I1, J, J1, K, K1 lần lượt là trung điểm của

DA, CB, BD, AC, BA và CD . Biết rằng: II1 = JJ1 = KK1 . Chứng minh rằng:
DA
DB
DC
=

  
Û (DB ­ DA).DC = 0
   
Û DB.DC ­ DA.DC = 0
   
Û DB.DC = DA.DC

I

K
J1

Chứng minh tương tự ta cũng có:
   
DB.DC = DA.DB
     
Vậy DB.DC = DA.DB = DA.DC

D

J

B

K1

I1
C

 = DA.DB.cosADB

minh rằng: SA + SC = SB + SD .

Nguyễn Thị Liễu

15

K34 – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2

Bài 2: Cho tứ diện ABCD .
a) Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AC và BD . Chứng minh rằng:
 1      
PQ2 = AB2 + BC2 + CD2 + AD2 - AC2 - BD2 .
4

(

)

b) Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB và CD . Chứng minh rằng:

 1  
1  
PQ = (AC + BD)= (AD + BC) .
2
2

  2 2 2

2
2
2
BC
=
b
a
=
b
+
a
2a.b
Ta có:
;
AB = a
( )

  2 2 2
  2 2
2
CD = (c - b) = c + b - 2b.c ; AD = c

     2  

AC2 = b2 ; BD2 = (c - a ) = c2 + a 2 - 2a.c
    2 æb   a - c ö
÷
÷



Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2


  2  2 2

BC12 = (c + a ) = a + c + 2a.c

  2 2 2
  
  2  2 2

CD12 = (a - b) = a + b - 2a.b ; DA12 = (a - c) = a + c - 2a.c .

 










1
b2 + c2


II. CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, HAI ĐIỂM TRÙNG
NHAU
II.1. CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
II.1.1. Phƣơng pháp chung
Để chứng minh ba điểm phân biệt A,B,C thẳng hàng ta chọn một trong
các hướng sau:



 Hướng 1: Chứng minh hai vectơ AB và AC cộng tuyến, tức


chứng minh: AB = k.AC,k Î R .

 Hướng 2: Sử dụng kết quả sau:
“Cho ba điểm A,B,C phân biệt. Điều kiện cần và đủ để A,B,C thẳng



hàng là: MC = a .MA + (1- a ).MB , với M là điểm tùy ý, a là số thực bất
kỳ”.
II.1.2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
Cho hai đường thẳng (D ),(D1 ) cắt ba mặt phẳng song song (a ),(b),( g)
lần lượt tại A,B,C và A1,B1,C1 . Với O là điểm bất kỳ trong không gian, đặt
     
OI = AA1 , OJ = BB1 , OK = CC1 . Chứng minh ba điểm: I,J,K thẳng hàng.
Giải:





1
OA
­
k.OC
(
).
(1- k)
 
 


+) Với B1A1 = k.B1C1 thì: OA1 - OB1 = k.(OC1 - OB1 )

Û OB1 =



1
OA
­
k.OC
(
1 ).
(1- k) 1

Khi đó:
  

1 
k 
.AA1 .CC .
(1- k)
(1- k ) 1


Û OJ =

1 
k 
.OI ­
.OK.
(1- k )
(1- k )

Trong đẳng thức trên:

1
(- k)
+
= 1 . Suy ra: I,J,K thẳng hàng.
(1- k) (1- k )

Nhận xét: Như vậy, trong lời giải của ví dụ trên để chứng minh ba điểm

I,J,K thẳng hàng chúng ta không sử dụng điều kiện đã được nêu trong nội


dung bài toán (tức là chứng minh: IJ = k.IK ). Bởi đó là công việc khó và

AD, MN, BC sao cho: IA = k.ID, JM = k.JN, KB = k.KC . Chứng minh ba
điểm: I,J,K thẳng hàng.
Giải:
Theo giả thiết của bài toán ta lần lượt có:

A
+) Với vectơ IJ , ta có biểu diễn:
   
IJ = IA + AM + MJ
(1)
   
M
IJ = ID + DN + NJ




Û k.IJ = k.ID + k.DN + k.NJ

 
B
= IA + k.DN + MJ (2)
Trừ theo vế của (1) cho (2), ta
 

được: (1 - k).IJ = AM - k.DN

I
J
D

.MB ­
.NC =
.MB ­
.NC
(1- k)
(1- k )
(1- k )
(1- k )


Từ (3) và (4) ta suy ra: IJ = 2.JK Û I,J,K thẳng hàng.


Nhận xét: Với việc sử dụng hướng giải xác định vectơ IJ và JK thông


qua một tổ hợp trung gian, để thiết lập được điều kiện IJ = 2.JK . Và câu hỏi
thường được học sinh đặt ra ở đây là: “Vì sao lại nghĩ được như vậy?”, để trả
lời chúng ta bắt đầu như sau:

Nguyễn Thị Liễu

19

K34 – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2

M
nên ta có:
D1
 1   
A
1
AG = (AA1 + AB + AD)
3
1   
B1
= (a + b + c)
(1)
C1
3
      
Theo quy tắc hình hộp ta có: AG = AA1 + AB + AD = a + b + c (2)
 1 
Từ (1) và (2), suy ra: AG  AC1 Û A, G, C1 thẳng hàng. (đpcm)
3
Nhận xét: Với việc sử dụng phương pháp vectơ, lời giải bài toán trên trở
nên rất đơn giản. Nếu sử dụng các phương pháp khác thì việc thiết lập mối
quan hệ giữa A,G,C1 trong không gian sẽ rất là khó. Nhờ hệ thức vectơ về
tính chất trọng tâm G của tam giác BDA1 nên sử dụng phương pháp vectơ là
rất hợp lý.
Cách 2:
Gọi M là trung điểm của A1B , G là trọng tâm của tam giác BDA1 .
 1  
 2 
 1  
Suy ra: DG = DM và DM = DB + DA1 Þ DG = (DB + DA1 )