BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ

Kiên Thị Bích Trâm

Đề tài:

KHẢO SÁT SỰ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK
CHO BÀI TOÁN EXCITON 2D TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU
THEO THAM SỐ TỰ DO

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2013

1


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ

Kiên Thị Bích Trâm

Đề tài:

KHẢO SÁT SỰ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK
CHO BÀI TOÁN EXCITON 2D TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU
THEO THAM SỐ TỰ DO
Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ


MỤC LỤC

MỤC LỤC ................................................................................................................ 4
MỞ ĐẦU 6
Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT ......................................................................... 12
1.1 Phương pháp toán tử giải phương trình Schrödinger .......................... 12
1.2 Tổng quan về exciton ................................................................................ 19
1.2.1 Lịch sử ............................................................................................. 19
1.2.2 Khái niệm ......................................................................................... 20
1.2.3 Phân loại .......................................................................................... 21
1.2.4 Tính chất .......................................................................................... 22
1.2.5 Phương trình Schrödinger cho exciton 2D trong từ trường đều .. 24
Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ GIẢI BÀI TOÁN EXCITON HAI CHIỀU
TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU ............................................................... 28
2.1 Phương pháp toán tử giải bài toán exciton 2D trong từ trường đều ... 28
2.2 Kết quả - Phân tích ................................................................................... 33
Chương 3: VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO ĐỐI VỚI SỰ HỘI TỤ CỦA
PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ.............................................................. 36
3.1 Vai trò tham số tự do ω đối với sự hội tụ của phương pháp toán tử .. 36
3.2 Sự phụ thuộc của tốc độ hội tụ vào tham số tự do với bài toán dao động
tử phi điều hòa bậc bốn. ........................................................................... 38
3.3 Khảo sát bài toán exciton 2D trong từ trường đều................................ 40
3.3.1 Khảo sát tốc độ hội tụ của bài toán theo các giá trị ω khác nhau40
3.3.2 Điều kiện để chọn tham số tự do tối ưu ......................................... 50
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI................................... 53
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 54
Phụ lục 1:Các toán tử sinh – hủy một chiều ................................................. 57
Phụ lục 2: Dạng chuẩn của toán tử ................................................................ 60


sẽ cùng bị nhốt trong lớp GaAs dọc theo bề rộng: electron bị giam nhốt trong vùng
dẫn trong khi các lỗ trống bị nhốt trong vùng hóa trị đầy và ta có một hệ khí điện tử
chuyển động tự do trong không gian hai chiều trên bề mặt lớp bán dẫn GaAs. Do là
khí điện tử tự do cho nên về nguyên tắc phổ năng lượng đo được là phổ liên tục.
Tuy nhiên, thực nghiệm quan sát được phổ năng lượng gián đoạn của khí điện tử và
đặc biệt phổ hấp thụ của bán dẫn xuất hiện những đỉnh hấp thụ lạ. Điều này chỉ có
thể giải thích bởi sự tồn tại của trạng thái liên kết giữa điện tử và lỗ trống tạo thành
giả hạt exciton [8].
Exciton là trạng thái liên kết giữa điện tử và lỗ trống thông qua tương tác
tĩnh điện, trạng thái này là một giả hạt có khả năng mang và truyền kích thích trong
mạng nhưng không lan truyền điện tích. Ngày nay, thực nghiệm chứng tỏ sự tồn tại
của exciton đã được phát hiện trong các hầu hết các loại tinh thể điện môi và bán
dẫn [16, 19]. Tuy nhiên, các hệ exciton hai chiều trong bán dẫn nhiều lớp và những
hiệu ứng của nó được quan tâm nhiều nhất trong cả lý thuyết lẫn thực nghiệm do
tính ứng dụng cao của nó. Ngoài ra, các nghiên cứu cho thấy đây là vật liệu thuận
lợi để quan sát và nghiên cứu phổ năng lượng exciton [16, 19, 22]; đặc biệt hệ
exciton hai chiều trong bán dẫn nhiều lớp còn có những hiệu ứng, đặc tính vật lý thú
6


vị như: hiệu ứng Hall, sự tách vạch trong điện trường và từ trường, hiện tượng
ngưng tụ Bose,… [18, 22, 23]. Khi nghiên cứu phổ năng lượng của exciton, ta thu
được nhiều thông tin về tính chất quang, tính chất điện của bán dẫn, đặc biệt là khi
các chất này được đặt trong từ trường. Các nghiên cứu này có những ứng dụng đặc
biệt quan trọng trong việc thiết kế các hệ thấp chiều kích cỡ nano. Vì thế, bài toán
exciton trong từ trường là bài toán có ý nghĩa thực tiễn, mang tính thời sự và đang
thu hút sự quan tâm của nhiều nhóm nghiên cứu.
Như chúng ta đã biết, ở thế giới vi mô, phương trình Schrödinger đóng vai
trò trung tâm, quan trọng trong cơ học lượng tử; đây là phương trình động lực học
giúp ta giải quyết các bài toán chuyển động của hạt vi mô. Tuy nhiên, phương trình


Hˆ ( x, p) → Hˆ (aˆ , aˆ + , ω ), ở đây tham số tự do ω được đưa vào thông qua các toán tử
sinh, hủy; (2) tách Hamiltonian ra làm hai phần, thành phần Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ, ω ) giao
hoán với toán tử aˆ + aˆ (thành phần trung hòa) được xem là phần chính, phần còn lại

Hˆ (aˆ , aˆ + , ω ) Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ , ω ) + Vˆ OM ( aˆ + , aˆ , ω ) , với
Vˆ OM ( aˆ + , aˆ , ω ) xem là nhiễu loạn: =
cách tách này Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ, ω ) luôn có nghiệm là dao động tử điều hòa; (3) chọn tham
số tự do ω sao cho Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ, ω ) là thành phần chính của Hamiltonian và từ đây ta
có nghiệm riêng của Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ, ω ) là nghiệm gần đúng bậc zero; (4) xem

Vˆ OM ( aˆ + , aˆ , ω ) là thành phần nhiễu loạn và tính các bổ chính bậc cao theo các sơ đồ
thích hợp. Khi nghiên cứu và áp dụng cho những bài toán cụ thể, phương pháp toán
tử FK đã chứng tỏ những ưu điểm của nó như : Khi áp dụng phương pháp ta chỉ sử
dụng các phép biến đổi thuần đại số, vì vậy giúp đơn giản hóa việc tính toán các yếu
tố ma trận phức tạp mà thông thường phải tính tích phân của các hàm đặc biệt;
ngoài ra phương pháp này cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có
cường độ bất kì và xác định được giá trị năng lượng và cả hàm sóng của hệ trong
toàn miền thay đổi tham số trường ngoài [5]. Phương pháp toán tử FK đã được áp
dụng thành công cho một loạt các bài toán khác nhau như: dao động tử phi điều
hòa, bài toán polaron trong vật lý chất rắn, các bài toán hệ nguyên tử [2-5, 7, 12].
Chính vì vậy, sự lựa chọn phương pháp toán tử để giải bài toán exciton trong từ
trường là hợp lí và đã được thực hiện trong nhiều công trình trước đây [2-5].

8


Khi áp dụng phương pháp toán tử FK giải phương trình Schrödinger cho các
bài toán hệ nguyên tử, phân tử, chúng ta gặp khó khăn là dạng thế tương tác
Coulomb có biểu thức chứa tọa độ ở mẫu số. Để giải quyết vấn đề này, ta có thể sử



Chính những lý do thực tiễn trên đã thúc đẩy tôi thực hiện luận văn “Khảo
sát sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho bài toán exciton 2D trong từ
trường đều theo tham số tự do” với mục tiêu là khảo sát sự hội tụ của phương
pháp toán tử cho bài toán cụ thể đang có tính thời sự: bài toán exciton hai chiều
trong từ trường đều theo tham số tự do. Luận văn chỉ giới hạn ở đối tượng là
exciton trung hoà.
Mục tiêu được thực hiện thông qua các nội dung nghiên cứu sau:
• Tìm hiểu về phương pháp toán tử.
• Tìm hiểu về exciton và bài toán exction 2D trong từ trường đều.
• Giải bài toán exciton 2D trong từ trường đều bằng phương pháp toán tử.
• Khảo sát sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho bài toán exciton 2D
trong từ trường đều theo tham số tự do ω .
Để thực hiện luận văn, tôi đã sử dụng phương pháp nghiên cứu:
• Tìm kiếm, đọc, đánh giá, phân tích và tổng hợp tài liệu.
• Lập luận, tính toán để xây dựng phương trình Schrodinger cho exiton
2D trong từ trường đều.
• Tính toán, biến đổi các phép tính toán tử để đưa phương trình
Schrodinger cho exiton 2D trong từ trường đều về dạng không thứ
nguyên, dạng toán tử sinh huỷ 2 chiều và về dạng chuẩn.
• Sử dụng ngôn ngữ lập trình Fortran để tìm nghiệm số.
1. Cấu trúc
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành ba chương:
Chương 1: Cơ sở lý thuyết.
Chương này gồm hai phần. Phần đầu tiên giới thiệu tổng quan về phương
pháp toán tử FK qua ví dụ bài toán dao động tử phi điều hòa. Trong đó ta lần lượt
10




Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Trong chương này ta sẽ giới thiệu phương pháp toán tử FK giải phương trình
Schrödinger: các bước giải, ưu điểm, những vấn đề khi sử dụng phương pháp toán
tử; đồng thời ta cũng trình bày tổng quan về exciton: khái niệm, phân loại, tính chất
và phương trình Schrödinger cho bài toán exciton 2D trong từ trường đều.

1.1 Phương pháp toán tử giải phương trình Schrödinger
Những ý tưởng đầu tiên về phương pháp toán tử FK đã xuất hiện vào những
năm 1979. Tuy nhiên, phương pháp toán tử FK đưa ra đầu tiên vào năm 1982 bởi
nhóm của giáo sư Feranchuk I. D và Komarov L. I. ở trường Đại học Belarus [11]
và sau đó được áp dụng thành công cho nhiều bài toán khác nhau trong vật lý
nguyên tử, vật lý chất rắn cũng như các bài toán lý thuyết trường [2, 4, 12].
Qua nghiên cứu và khai thác trong các bài toán cụ thể đó, phương pháp toán tử
đã chứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó so với các phương pháp đã biết như sau:
• Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông
thường phải tính tích phân của các hàm đặc biệt; các tính toán được
thực hiện trong quá trình áp dụng phương pháp đều là các biến đổi các
thuần đại số.
• Cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ
bất kì.
• Cho phép xác định giá trị năng lượng và cả hàm sóng của hệ trong
toàn miền thay đổi tham số trường ngoài.
Ý tưởng của phương pháp toán tử FK thể hiện qua bốn bước giải mà ta sẽ
trình bày sau đây trên cơ sở ví dụ bài toán dao động tử phi điều hòa một chiều.
Xét phương trình Schrödinger cho dao động tử phi điều hòa:

12




ω

ω

1 d 
;
x+

2
ω dx 

ω


xˆ − pˆ  =

2
ω 

1 d 
.
x−

2
ω dx 

i

(1.3)

( 2a a + 1) + 4ω
4ω
+

λ
4ω 2

( )

 aˆ 4 + aˆ


+ 4

+ 4 ( aˆ

)

( )

 aˆ 2 + aˆ +


+ 3

2

 + 3λ
 4ω 4


3λ
=
Hˆ 0OM
2aˆ + aˆ + 1) + 2
(
4ω
4ω

(

 2 aˆ + aˆ


)

2

+ 2aˆ + aˆ + 1 .


(1.6)

- Phần còn lại ta kí hiệu là Vˆ OM ( aˆ + , aˆ , λ , ω ) .
Như vậy, tương tự như trong lý thuyết nhiễu loạn, ở đây ta tách toán tử
Hamilton thành hai thành phần: thành phần Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ, λ , ω ) có nghiệm chính xác
mà chúng ta sẽ dễ dàng xây dựng dưới đây; riêng thành phần Vˆ OM ( aˆ + , aˆ , λ , ω ) được
xem như thành phần “nhiễu loạn” sẽ được điều chỉnh “đủ nhỏ” để thỏa điều kiện
của lý thuyết nhiễu loạn thông qua việc chọn tham số ω .
Bước ba: Tìm nghiệm chính xác bậc zero bằng cách giải phương trình:
0

(1.8) ta gọi là vector trạng thái; nghiệm cơ bản là trạng thái “chân không” (vacuum)

0 được xác định bằng phương trình:
=
aˆ(ω ) 0 0;=
0 0 1.

(1.9)

Khi cần thiết chúng ta có thể sử dụng phương trình này để xác định dạng
tường minh của hàm sóng biểu diễn trạng thái chân không.
Từ các tính chất của toán tử sinh – hủy (1.4), ta dễ dàng kiểm chứng:

aˆ + aˆ n = n n ;

(1.10)

điều này có nghĩa là trạng thái (1.10) là nghiệm riêng của toán tử nˆ = aˆ + aˆ , từ đó có
thể thấy rằng nó cũng chính là nghiệm riêng của toán tử Hˆ 0 ( aˆ + aˆ, λ , ω ) . Ta có:
=
En( )
0

1+ ω2
3λ
( 2n + 1) + 2 ( 2n2 + 2n + 1)
4ω
4ω

(1.11)


Ck( s )Vnk ,
∑
k 0, k ≠ n
=

En( s ) = H nn + Vnn +

n+s

( En( s ) − H jj )C (j s +1) =
V jn + ∑ Ck( s )V jk ,

(1.14)

k =0
k ≠n

C (j ) 0,
với điều kiện ban đầu là=
0

( j ≠ n) .

Chú ý rằng ở đây chúng ta không cần sử

dụng tham số nhiễu loạn cho nên đã cho β = 1 . Ngoài ra các giá trị En( s ) , C (js ) tương
ứng với các bước lặp khác nhau chứ không phải là bổ chính.
Các yếu tố ma trận trong sơ đồ trên cũng như trong sơ đồ lý thuyết nhiễu
loạn được định nghĩa như sau:

16


minh, ở đây ta chỉ dựa vào các biến đổi đại số nhờ các hệ thức (1.4) và (1.9) và cụ
thể là sử dụng (1.10) và (1.17).
Kết quả ta có các phần tử ma trận khác không như sau :
H nn
=

1+ ω2
3λ
2n + 1) + 2 ( 2n 2 + 2n + 1) ,
(
4ω
4ω

1 − ω 2

λ
Vn,n+2= 
+
2 ( 2n + 3) 
2ω
 4ω


Vn,n=
+4

λ


E0( )
1

0.5072875410

0.5477040816

0.574999999

0.6689058171

0.9727107180

(2)
0

0.5072563014

0.5323777399

0.558838596

0.6373408787

0.8817884333

E0( )

0.5072562707


0.8848112845

E0( 6)

0.5072620448

0.5326427790

0.559146278

0.6379914404

0.8847892918

E0( 7 )

0.5072620453

0.5326427553

0.559146329

0.6379917786

0.8847943659

E0(8)

0.5072620452


0.8847944198

E0(

0.5072620452

0.5326427552

0.559146327

0.6379917842

0.8847944251

(0)

E0

E

3

T)

17


Bảng 1.1 minh họa cho nghiệm chính xác của bài toán dao động tử phi
điều hòa ở trạng thái cơ bản n = 0 khi dùng phương pháp toán tử FK. Như đã nói ở

thể khí hiếm. Mô hình exciton của ông phù hợp khi mô tả các exciton trong chất
cách điện, về sau các exciton loại này được gọi là exciton Frenkel hay còn gọi là
exciton phân tử (xem [19, 22]).
Đến năm 1937, Wannier và Mott đưa ra mô hình exciton mới được tạo thành
bởi tương tác Coulomb giữa điện tử và lỗ trống, tương tự như nguyên tử hydro, phù
hợp khi mô tả các exciton trong bán dẫn. Exciton loại này sau được đặt tên là
exciton Mott-Wannier (xem [19, 22]). Sau đó, phổ hấp thụ của exciton MottWannier được Gross tìm thấy đầu tiên trong thực nghiệm vào năm 1951 trong tinh
thể Cu 2 O (xem [16]).
Năm 1958, Lampert nêu ra khả năng tồn tại các trạng thái exciton phức tạp
mang điện, ví dụ như exciton âm là trạng thái liên kết của hai electron với một lỗ
trống [17]. Đến những năm 90 thì thực nghiệm đã quan sát được phổ năng lượng
của exciton âm trong giếng lượng tử pha tạp khi sự chênh lệch mật độ giữa điện tử
và lỗ trống rất lớn [15].
Ngày nay, bằng chứng về sự tồn tại của exciton đã được phát hiện trong các
hầu hết các loại tinh thể điện môi (alkali halide, naptalene, benzene), bán dẫn (Ge,
GaAs, CdS, Cu 2 O, CuCl), và cả trong polymer [16, 19].
Các quan sát cho thấy có nhiều dạng exciton: khi sự kết hợp xảy ra giữa một
điện tử và một lỗ trống ta có exciton trung hòa, khi hai điện tử kết hợp với một lỗ

19


trống thì exciton có điện tích âm (exciton âm), và cũng có trường hợp khi hai lỗ
trống kết hợp với một điện tử tạo ra một exciton dương. Trong giới hạn của luận
văn này chỉ đề cập đến trường hợp exciton trung hòa.
1.2.2 Khái niệm
Trong bán dẫn thông thường, độ rộng của vùng cấm Eg giữa vùng dẫn và
vùng hóa trị ở vào khoảng năng lượng kéo dài từ vùng hồng ngoại tới vùng ánh
sáng khả kiến. Một photon có năng lượng hω > Eg có thể kích thích một điện tử
trong vùng hóa trị nhảy lên vùng dẫn và để lại trong vùng hóa trị một lỗ trống thể

Gregory Wannier. Exciton loại này thường xảy ra trong tinh thể đồng
hóa trị.
• Exciton Frenkel: Trong chất cách điện, hằng số điện môi rất lớn nên
điện tử và lỗ trống tương tác với nhau ở khoảng cách phân tử. Loại
exciton này được gọi là exciton Frenkel, đặt theo tên của J. Frenkel
(còn gọi là exciton phân tử hay exciton bán kính nhỏ). Do kích cỡ
nhỏ, tương tác Coulomb lớn và ít bị ảnh hưởng bởi trường mạng nên
năng lượng liên kết của nó lớn (trung bình 1.5 eV).

21


Hình 1.2: Exciton Mott Wannier: liên kết yếu với khoảng cách trung
bình giữa electron – lỗ trống lớn hơn so với hằng số mạng [5].

Hình 1.3: Exciton Frenkel: liên kết được biểu diễn định xứ tại một
nguyên tử trong một tinh thể kiểu halogenua [5].

1.2.4 Tính chất
Exciton có các tính chất chính như sau:
• Chỉ có mặt trong bán dẫn hoặc điện môi.
• Về mặt cấu trúc exciton trung hòa giống như nguyên tử hydro, tuy
nhiên nó có bán kính lớn hơn và năng lượng liên kết nhỏ hơn.

22


• Không phải chỉ có một mức exciton mà có cả một dải các mức exciton
gián đoạn. Phổ hấp thụ exciton là phổ gián đoạn, gồm một dải các
vạch như phổ hấp thụ của hydro.

+
+
+
+
−
p
A
m
r
p
A
m
r
ω
ω
.
e
e
c e
h
h
c h
 e
 h
c  2
c  2
ε re − rh
2me* 
2mh* 


2
2

ốc dưới tác dụng của từ trường của electron và lỗ trống, với

ωc =

eB
là tần số chuyển động xoáy ốc và B là cường độ từ trường.
m*c

• Số hạng −

Ze 2
là thế năng tương tác Coulomb giữa electron và
ε re − rh

lỗ trống.

Ta tính:

  
i j k
 1  
1
1  1 
 r=

=
Ai


Tính:
2
2
 
e   
e  
ie
e2  2

2 2
ˆ
p
−
A
=
−
i
∇
−
A
=
−
∇
+
∇
A
+
A
∇

∂z

∂
∂
∂
∇ e Ax + Ay
+ Az ;
Ae=
∂x
∂y
∂z



Chọn Ae sao cho divAe = 0 ; suy ra:
2
2
e   
e  
i e 
e2  2

2 2
ˆ
p
−
A
=
−
i

e  
e2
 2 2 ie 
⇒
−
i

∇
−
A
=−
∇
+
(
A
∇
)
+
(
A
e
e
e
e
e
e) .


2me* 
c 

∂x




ie 
ie 
∂
∂
∂ 
( Ae∇ e )
A
=
+ Ay + Az 
*
*  x
2me c
2me c  ∂x
∂y
∂z 
=

 ∂
eB
eB ˆ
∂ 
i  y −=
x 
Lz ,
*