BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Bùi Hùng Vương

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN
ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Bùi Hùng Vương

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN
ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số
Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. TRẦN TUẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013


1.4. Bao nội xạ ................................................................................................................... 13
1.5. Đối Ngẫu Matlis .......................................................................................................... 14
1.6. Phức Koszul ................................................................................................................ 15
1.7. Phạm trù ∗ 𝓜(𝑹)....................................................................................................... 17

CHƯƠNG 2 : MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA
PHƯƠNG ................................................................................................................... 19
2.1. Hàm tử dẫn xuất của hàm tử đầy đủ I-adic ................................................................ 19

2.2. Môđun đồng điều địa phương và môđun đồng điều Koszul ...................................... 21
2.3. Đồng điều địa phương của môđun Artin .................................................................... 35

CHƯƠNG 3: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA
PHƯƠNG PHÂN BẬC ............................................................................................. 49
3.1. ∗ Giới hạn nghịch ....................................................................................................... 49
3.2. Đầy đủ ∗ adic của môđun ........................................................................................... 52

3.3. Phức Koszul trong phạm trù ∗ 𝓜𝑹 ........................................................................... 56
3.4. Môđun đồng điều địa phương phân bậc ..................................................................... 58

3.5. Môđun đồng điều địa phương phân bậc và môđun đồng điều Koszul ...................... 61
3.6. Đồng điều địa phương phân bậc của môđun Artin .................................................... 69

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 77
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 78

2


KÍ HIỆU


lim𝑀𝑖 , ∗lim𝑀𝑖
⟵
𝑖

⟵

lim𝑀𝑖 , lim𝑀𝑖
⟵
𝑖

⟵

giới hạn nghịch của hệ nghịch các môđun {𝑀𝑖 }.
∗

giới hạn nghịch của hệ nghịch các môđun phân bậc {𝑀𝑖 }.

lim𝑀𝑖 , lim𝑀𝑖

giới hạn thuận của hệ thuận các môđun {𝑀𝑖 }.

𝑅�

đầy đủ của vành 𝑅.

∧ 𝐼 , ∧ 𝐼 (− )

hàm tử đầy đủ 𝐼-adic.



∗ 𝐼
𝐿𝑖

𝐻𝑖𝐼 (𝑀)

∗

môđun đối đồng điều địa phương thứ 𝑖 của 𝑀 theo iđêan 𝐼.
đầy đủ 𝐼- ∗ adic của môđun phân bậc 𝑀.

hàm tử đầy đủ 𝐼- ∗ adic

hàm tử dẫn xuất trái thứ 𝑖 của ∗∧𝐼 .

môđun đồng điều địa phương phân bậc thứ 𝑖 của môđun phân bậc 𝑀
theo iđêan 𝐼.

𝐾∘ (𝑥)

phức Koszul của vành 𝑅 theo dãy 𝑥 = (𝑥1 , … 𝑥𝑟 ).

𝐻𝑖 (𝑥)

môđun đồng điều Koszul thứ 𝑖 của phức 𝐾∘ (𝑥).

𝐾∘ (𝑥; 𝑀)
𝐻𝑖 (𝑥; 𝑀)
𝑥



tập tất cả các iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun 𝑀.

4


MỞ ĐẦU
Lý thuyết về đối đồng điều địa phương là một công cụ quan trọng trong hình học đại số
và ngày càng có nhiều ứng dụng trong đại số giao hoán. Do đó nhiều nhà toán học trên thế
giới đã tìm cách xây dựng một lý thuyết khác, xem như là đối ngẫu với lý thuyết này. Vấn
đề này đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu như: Matlis (1974), Greenlees – May (1992),
Alonso Tarrío, López, Tang (1994), Lipman (1999),…Tuy nhiên các kết quả còn hạn chế và
chủ yếu nghiên cứu trên lớp các môđun Artin vì giới hạn ngược không khớp phải trên phạm
trù các môđun.
Năm 1999-2000, Nguyễn Tự Cường và Trần Tuấn Nam đã đưa ra một định nghĩa của
môđun đồng điều địa phương và chứng minh được nhiều kết quả cho lớp môđun Artin, hơn
nữa các tác giả còn mở rộng và phát triển lý thuyết đồng điều địa phương cho lớp các
môđun Compact tuyến tính, là lớp môđun rất rộng chứa lớp môđun Artin.
Luận văn này sẽ tập trung nghiên cứu về các tính chất của môđun đồng điều địa phương,
đặc biệt trên lớp các môđun Artin. Nội dung luận văn được tham khảo trực tiếp từ bài báo
của Nguyễn Tự Cường và Trần Tuấn Nam: “The I-adic completion and local homology for
Artinian modules” [8]. Trên cơ sở chứng minh chi tiết các vấn đề được nêu ra trong bài báo
và nghiên cứu các tính chất này cho đồng điều địa phương phân bậc, xem như là khái niệm
đối ngẫu với đối đồng điều địa phương phân bậc.
Luận văn được trình bày thành ba chương. Chương một chúng ta sẽ trình bày một số
kiến thức được trang bị dùng đến cho hai chương sau, như: hàm tử dẫn xuất trái, giới hạn
nghịch, đầy đủ của một môđun, bao nội xạ, đối ngẫu Matlis, phức Koszul, phạm trù các
môđun phân bậc. Chương hai trình bày các tính chất của môđun đồng điều địa phương. Cụ
thể như sau:
Trong phần 2.1 của chương hai chúng ta sẽ trình bày về hàm tử dẫn xuất trái của hàm tử

Noether, tính triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đồng điều địa phương.

Cuối cùng chương 3 trình bày một số tính chất cơ bản của môđun đồng điều địa phương
phân bậc. Môđun đồng điều địa phương phân bậc thứ 𝑖 của môđun phân bậc 𝑀 theo iđêan 𝐼
, ký hiệu ∗𝐻𝑖𝐼 (𝑀), được xác định bởi

𝐻𝑖𝐼 (𝑀) = ∗limTor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑀).

∗

⟵
𝑡

Trong phạm vi luận văn chỉ mới tập trung nghiên cứu và chứng minh một số tính chất
được chuyển từ tính chất của môđun đồng điều địa phương qua. Vẫn còn nhiều tính chất đặc
trưng về phân bậc chưa được nhắc đến.
Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng trong quá trình làm luận văn nhưng do kiến thức còn
hạn hẹp nên chắc rằng luận văn vẫn không thể tránh khỏi thiếu sót. Rất mong nhận được sự
góp ý của Quí Thầy Cô, bạn đọc,... để nội dung của luận văn được hoàn chỉnh hơn.

6


CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm tử dẫn xuất trái
Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm tử cộng tính và hiệp biến 𝑇: 𝒜 ⟶ 𝒞, trong đó 𝒜, 𝒞 là hai

phạm trù Abel và 𝒜 là đủ xạ ảnh. Chúng ta xây đựng hàm tử 𝐿𝑛 𝑇: 𝒜 ⟶ 𝒞, với mọi số

nguyên 𝑛 như sau:

là hai phạm trù Abel và 𝒜 là đủ xạ ảnh. Nếu ta có dãy khớp ngắn trong 𝒜
𝑓

𝑔

0 → 𝐴 → 𝐵 → 𝐶 → 0.

Khi đó chúng ta có khớp dài trong 𝒞
(𝐿𝑛+1 𝑇)𝑓

(𝐿𝑛+1 𝑇)𝑔

𝛿𝑛+1

(𝐿𝑛 𝑇)𝑓

(𝐿𝑛 𝑇)𝑔

… �⎯⎯⎯⎯⎯� (𝐿𝑛+1 𝑇)𝐵 �⎯⎯⎯⎯⎯� (𝐿𝑛+1 𝑇)𝐶 �⎯� (𝐿𝑛 𝑇)𝐴 �⎯⎯⎯� (𝐿𝑛 𝑇)𝐵 �⎯⎯⎯� …
(𝐿1 𝑇)𝑔

𝛿1

(𝐿0 𝑇)𝑓

(𝐿0 𝑇)𝑔

… �⎯⎯⎯� (𝐿1 𝑇)𝐶 → (𝐿0 𝑇)𝐴 �⎯⎯⎯� (𝐿0 𝑇)𝐵 �⎯⎯⎯� (𝐿0 𝑇)𝐶 → 0.

Chú ý là các đồng cấu nối 𝛿𝑛+1 : (𝐿𝑛+1 𝑇)𝐶 → (𝐿𝑛 𝑇)𝐴, 𝑛 ≥ 0 có tính chất tự nhiên; nghĩa là,

phải thì 𝑇 đẳng cấu tự nhiên với 𝐿0 𝑇 ([23, 6.29]).

Định nghĩa 1.1.4. Cho 𝒜, 𝒞 là phạm trù Abel. Dãy các hàm tử cộng tính, hiệp biến

{𝑇𝑛 : 𝒜 ⟶ 𝒞}𝑛≥0 được gọi là dãy nối dương, nếu với mỗi dãy khớp ngắn trong 𝒜, 0 → 𝐴
𝛿𝑛+1

→ 𝐵 → 𝐶 → 0, tồn tại các đồng cấu nối 𝑇𝑛+1 (𝐶 ) �⎯� 𝑇𝑛 (𝐴) sao cho phức
𝛿𝑛+1

… → 𝑇𝑛+1 (𝐵) → 𝑇𝑛+1 (𝐶 ) �⎯� 𝑇𝑛 (𝐴) → 𝑇𝑛 (𝐵) → ⋯
𝛿1

… → 𝑇1 (𝐶 ) → 𝑇0 (𝐴) → 𝑇0 (𝐵) → 𝑇0 (𝐶 ) → 0

tồn tại và các đồng cấu nối này có tính chất tự nhiên.

Dãy {𝑇𝑛 }𝑛≥0 được gọi là dãy nối dương mạnh nếu như có thêm điều kiện phức trên là

khớp.

Đồng cấu 𝑓: {𝑇𝑛 }𝑛≥0 → {𝐻𝑛 }𝑛≥0 của hai dãy nối dương là dãy các phép biến đổi tự nhiên

𝑓𝑛 : 𝑇𝑛 → 𝐻𝑛 với 𝑛 ≥ 0, thỏa với mỗi dãy khớp ngắn 0 → 𝐴 → 𝐵 → 𝐶 → 0 thì biểu đồ sau
giao hoán

𝛿

𝑓𝑛+1 (𝐶)


tại đồng cấu R-môđun 𝜃𝑗𝑖 : 𝑀𝑗 → 𝑀𝑖 . Khi đó họ (𝑀𝑖 )𝑖∈ℕ cùng với họ đồng cấu (𝜃𝑗𝑖 )𝑗≥𝑖 được
gọi là một hệ nghịch nếu các điều kiện sau thỏa:

(i) 𝜃𝑖𝑖 : 𝑀𝑖 → 𝑀𝑖 là ánh xạ đồng nhất, ∀𝑖 ∈ ℕ.
(ii) Với mọi 𝑖 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 thì 𝜃𝑘𝑖 = 𝜃𝑗𝑖 ∘ 𝜃𝑘𝑗 .

Khi đó chúng ta có thể kí hiệu hệ nghịch này là �𝑀𝑖 , 𝜃𝑗𝑖 �. Đôi khi là {𝑀𝑖 } (khi không cần

nhắc đến vai trò của các đồng cấu 𝜃𝑗𝑖 ). Nếu mọi 𝜃𝑗𝑖 là toàn cấu thì hệ nghịch �𝑀𝑖 , 𝜃𝑗𝑖 � được
gọi là hệ nghịch toàn cấu.

Định nghĩa 1.2.2. Cho hệ nghịch �𝑀𝑖 , 𝜃𝑗𝑖 �. Tập con của tích trực tiếp ∏𝑖∈ℕ 𝑀𝑖 gồm tất cả

các phần tử (𝑥𝑖 )𝑖∈ℕ thỏa mãn 𝜃𝑗𝑖 (𝑥𝑗 ) = 𝑥𝑖 , với mọi 𝑖, 𝑗 ∈ ℕ , 𝑖 ≤ 𝑗 lập thành 𝑅-môđun con

của ∏𝑖∈ℕ 𝑀𝑖 . Ta gọi môđun này là giới hạn nghịch của hệ nghịch �𝑀𝑖 , 𝜃𝑗𝑖 � và được kí hiệu

là lim𝑀𝑖 hay đơn giản là lim𝑀𝑖 .
⟵
𝑖

⟵

Chú ý 1.2.3. Giả sử �𝑀𝑖 , 𝜃𝑗𝑖 � là một hệ nghịch, ta xét họ {𝜃𝑖+1 : 𝑀𝑖+1 → 𝑀𝑖 }𝑖∈ℕ , là con của

họ �𝜃𝑗𝑖 �𝑗≥𝑖 . Nếu như không nhắc đến các ánh xạ đồng nhất 𝜃𝑖𝑖 : 𝑀𝑖 → 𝑀𝑖 , ∀𝑖 ∈ ℕ, thì hệ

nghịch �𝑀𝑖 , 𝜃𝑗𝑖 � đôi khi được kí hiệu là {𝑀𝑖 , 𝜃𝑖 }. Khi đó với ∀𝑗 > 𝑖, 𝜃𝑗𝑖 = 𝜃𝑖+1 ∘ ⋯ ∘ 𝜃𝑗 .

Như vậy

⟵

Định nghĩa 1.2.6. Cho �𝑀𝑖 , 𝜃𝑗𝑖 �, �𝑁𝑖 , 𝜑𝑗𝑖 �, �𝑃𝑖 , 𝜓𝑗𝑖 � là các hệ nghịch, đồng cấu �𝑀𝑖 , 𝜃𝑗𝑖 � ⟶

�𝑁𝑖 , 𝜑𝑗𝑖 � là tập hợp các R-đồng cấu 𝑓𝑖 : 𝑀𝑖 ⟶ 𝑁𝑖 , với 𝑖 ∈ ℕ, sao cho với mỗi 𝑗 ≥ 𝑖 thì biểu
đồ sau giao hoán

𝑓𝑗

𝑀𝑗 �⎯⎯⎯⎯� 𝑁𝑗

𝜃𝑗𝑖

𝑓𝑖

𝜑𝑗𝑖

𝑀𝑖 �⎯⎯⎯⎯� 𝑁𝑖

ta kí hiệu đồng cấu này là {𝑓𝑖 }.
Dãy đồng cấu các hệ nghịch

{𝑓𝑖 }

{𝑔𝑖 }

0 → �𝑀𝑖 , 𝜃𝑗𝑖 � �⎯⎯⎯� �𝑁𝑖 , 𝜑𝑗𝑖 � �⎯⎯⎯� �𝑃𝑖 , 𝜓𝑗𝑖 � → 0

được gọi là khớp nếu với mỗi 𝑖 ∈ ℕ dãy sau là khớp
𝑓𝑖

⟵

⟵

⟵

Vậy lim chỉ bảo toàn tính khớp trái. Để tìm điều kiện cho lim khớp về bên phải chúng ta
⟵

⟵

đưa ra định nghĩa sau: hệ nghịch �𝑀𝑖 , 𝜃𝑗𝑖 � được gọi là thỏa điều kiện Mittag – Leffer (M-L)
nếu với mỗi 𝑖 ∈ ℕ, họ dãy giảm �𝜃𝑗𝑖 �𝑀𝑗 � ⊆ 𝑀𝑖 �𝑗 ≥ 𝑖� các mô đun con của 𝑀𝑖 là dừng. Nói

một cách khác là với mỗi 𝑖 ∈ 𝐼 tồn tại 𝑗0 ≥ 𝑖 sao cho với mọi 𝑗 ′ , 𝑗 ′′ ≥ 𝑗0 thì 𝜃𝑗 ′𝑖 �𝑀𝑗 ′ � =

𝜃𝑗 ′′𝑖 �𝑀𝑗 ′′ �.

Nhận xét. Nếu với mọi 𝑖 ≥ 𝑗 đồng cấu 𝜃𝑗𝑖 : 𝑀𝑗 → 𝑀𝑖 là toàn cấu, hoặc với mỗi 𝑖 ∈ ℕ tồn

tại 𝑗0 ≥ 𝑖 sao cho với mọi 𝑗 ≥ 𝑗0 , 𝜃𝑗𝑖 �𝑀𝑗 � = 0, thì �𝑀𝑖 , 𝜃𝑗𝑖 � thỏa M-L. Hệ nghịch các
môđun Artin hiển nhiên thỏa M-L.

Mệnh đề 1.2.8 ([12, II, pro.9.1]). Cho dãy khớp các hệ nghịch
10


Khi đó

{𝑓𝑖 }


⟵
𝑖,𝑖 ′

𝑗′𝑖′

Bổ đề 1.2.9 ([4, Prop. 4]) Cho �𝑀𝑖𝑖 , 𝜃𝑗𝑖 � là hệ nghịch các môđun trên tập tích Đề-các

ℕ × ℕ. Ta có đẳng cấu

′

′

lim𝑀𝑖𝑖 ≅ lim(lim𝑀𝑖𝑖 ).
⟵
𝑖,𝑖 ′

⟵
𝑖′

Từ bổ đề trên ta có ngay hệ quả trực tiếp sau.
′

𝑗′𝑖′

⟵
𝑖

Hệ quả 1.2.10. Cho �𝑀𝑖𝑖 , 𝜃𝑗𝑖 � là hệ nghịch các môđun trên tập ℕ × ℕ. Khi đó

� với Ker𝑓 = ⋂𝑛 𝑀𝑛 .
Ta có đồng cấu tự nhiên 𝑓: 𝑀 → 𝑀

Khái niệm đầy đủ này có liên quan trong tô pô, do đó chúng ta sẽ có một cách miêu tả
khác cho khái niệm đầy đủ của một môđun.

Một dãy các phần tử {𝑥𝑛 }𝑛∈ℕ của 𝑅-môđun 𝑀 được gọi là dãy Cauchy trong 𝑀 nếu như

với mọi 𝑡 ∈ ℕ đều tồn tại 𝑁 ∈ ℕ sao cho với mọi 𝑚, 𝑛 ≥ ℕ thì 𝑥𝑚 − 𝑥𝑛 ∈ 𝑀𝑡 . Chúng ta xét

quan hệ tương đương sau: đối với các dãy Cauchy trong 𝑀, {𝑥𝑛 }~{𝑦𝑛 } nếu như với mỗi
11


𝑡 ∈ ℕ đều tồn tại 𝑁 ∈ ℕ sao cho với mọi 𝑛 ≥ ℕ thì 𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 ∈ 𝑀𝑡 . Gọi 𝑀∗ là tập hợp tất cả
� . Đặt biệt 𝑅∗ ≅ 𝑅�
các dãy Cauchy trong 𝑀 theo quan hệ tương đương trên, khi đó 𝑀∗ ≅ 𝑀

([1, C.2, 4.3]).

Dãy Cauchy {𝑥𝑛 }𝑛∈ℕ trong 𝑀 được gọi là hội tụ về 𝑥 ∈ 𝑀 nếu với mọi 𝑡 ∈ ℕ đều tồn

tại 𝑁 ∈ ℕ sao cho với mọi 𝑛 ≥ ℕ thì 𝑥𝑛 − 𝑥 ∈ 𝑀𝑡 . Môđun 𝑀 được gọi là môđun đầy đủ

� . Đặc biệt vành 𝑅 được gọi là vành
nếu mọi dãy Cauchy trong 𝑀 đều hội tụ, hay 𝑀 ≅ 𝑀
đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong 𝑅 đều hội tụ, hay 𝑅 ≅ 𝑅� .

� được gọi là đầy đủ 𝐼-adic
Chú ý 1.3.2. Khi lọc {𝑀𝑛 }𝑛∈ℕ là lọc {𝐼𝑛 𝑀}𝑛∈ℕ thì môđun 𝑀


giới hạn nghịch không khớp phải nên nói chung ∧𝐼 (−) không là khớp trái, cũng không là
khớp phải. Nhưng nếu thêm giả thuyết 𝑅 là vành Noether và chỉ xét phạm trù các 𝑅-môđun
hữu hạn sinh thì ∧𝐼 (−) là hàm tử khớp.

Bổ đề 1.3.3. ([1, C.2, 4.8]) Cho 𝑀 là 𝑅-môđun, giả sử {𝑀𝑛 }𝑛∈ℕ, {𝑁𝑛 }𝑛∈ℕ là lọc các

môđun con của 𝑀. Nếu với mỗi 𝑀𝑛 tồn tại 𝑁𝑚 sao cho 𝑁𝑚 ⊆ 𝑀𝑛 và ngược lại, với mỗi 𝑁𝑚
tồn tại 𝑀𝑛 sao cho 𝑀𝑛 ⊆ 𝑁𝑚 thì lim𝑀/𝑀𝑛 ≅ lim𝑀/𝑁𝑛 .
⟵

⟵

Hệ quả 1.3.4. Cho 𝑅 là vành Noether, 𝑁 là môđun con của môđun hữu hạn sinh 𝑀. Khi

đó chúng ta có lọc {𝐼𝑛 𝑁} và {𝐼𝑛 𝑀 ∩ 𝑁} của môđun 𝑁, hơn nữa
12


𝑛

lim𝑁/(𝐼𝑛 𝑀 ∩ 𝑁) ≅ lim𝑁/𝐼𝑛 𝑁.
⟵

⟵

𝑛

Chứng minh. Với mỗi 𝐼 𝑀 ∩ 𝑁, hiển nhiên 𝐼 𝑁 ⊆ 𝐼𝑛 𝑀 ∩ 𝑁. Ngược lại, từ định lý Artin-



Do {𝑁 ′ /(𝑁 ′ ∩ 𝐼𝑛 𝑀)} là hệ nghịch các toàn cấu, nên chúng ta có dãy khớp sau
∧𝐼 (𝑔)

0 → lim𝑁 ′ /(𝑁 ′ ∩ 𝐼𝑛 𝑀) →∧𝐼 (𝑀) �⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 (𝑃) → 0.
⟵

Mặt khác lim𝑁 ′ /𝐼𝑛 𝑁 ′ ≅ lim𝑁 ′ /(𝑁 ′ ∩ 𝐼𝑛 𝑀) (Hệ quả 1.3.4), nên có dãy khớp
⟵

⟵

∧𝐼 (𝑖)

∧𝐼 (𝑔)

0 →∧𝐼 (𝑁 ′ ) �⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 (𝑀) �⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 (𝑃) → 0.

Cuối cùng, do 𝑁/𝐼𝑛 𝑁 → 𝑁 ′ /𝐼𝑛 𝑁 ′ là đẳng cấu nên lim𝑁/𝐼𝑛 𝑁 ≅ lim𝑁 ′ /𝐼𝑛 𝑁 ′ ; hơn nữa
⟵

∧𝐼 (𝑖)

∧𝐼 (𝑓)

lim𝑁/𝐼𝑛 𝑁 → lim𝑁 ′ /𝐼𝑛 𝑁 ′ �⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 (𝑀) = ∧𝐼 (𝑁) �⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 (𝑀) .
⟵

⟵


Mệnh đề 1.4.3 ([26, 3.1]). Đối với các 𝑅-môđun 0 ≠ 𝑀 ⊆ 𝐸, các phát biểu sau là tương

đương:

(i) 𝐸 là mở rộng cốt yếu tối đại của 𝑀.

(ii) 𝐸 là bao nội xạ của 𝑀.

(iii) 𝐸 là môđun nội xạ tối tiểu chứa 𝑀.

Mệnh đề 1.4.4 ([18, 3.7]). Cho (𝑅, 𝔪) là vành địa phương Noether. Khi đó

1.5. Đối Ngẫu Matlis

End𝑅 (𝐸(𝑅/𝔪)) ≅ ∧𝐼 (𝑅 ).

Trong phần này chúng ta xét (𝑅, 𝔪) là vành địa phương Noether.

Định nghĩa 1.5.1. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun. Đối ngẫu Matlis của môđun 𝑀 là môđun
𝐷 (𝑀) = Hom𝑅 (𝑀, 𝐸(𝑅/𝔪)).

Sau đây chúng ta giới thiệu một số tính chất sẽ được sử dụng trong phần sau.
Bổ đề 1.5.2 ([26, 3.4.2]). Với mọi môđun 𝑀 chúng ta có

Ann(𝐷(𝑀)) = Ann(𝑀).

Bổ đề 1.5.3 ([26, 3.4.11, 3.4.12]). Cho 𝑀 là 𝑅-môđun. Khi đó
(i) Nếu 𝑀 là môđun Noether, thì 𝐷(𝑀) là môđun Artin.

(ii) Nếu (𝑅, 𝔪) là vành đầy đủ thì 𝐷(𝑀) là môđun Noether khi và chỉ khi 𝑀 là


Phần tử 𝑒𝛼 sẽ được kí hiệu là 𝑒𝑖1…𝑖𝑝 . Đặt 𝐾0 (𝑥) = 𝑅. Định nghĩa đồng cấu 𝑅-môđun

𝑝
𝑑𝑝 : 𝐾𝑝 (𝑥) ⟶ 𝐾𝑝−1 (𝑥) cho bởi 𝑑𝑝 �𝑒𝑖1 …𝑖𝑝 � = ∑𝑗=1(−1)𝑗−1 𝑥𝑖𝑗 𝑒𝑖1…𝚤�𝚥…𝑖𝑝 với bất kì 𝛼 =

�𝑖1 , … , 𝑖𝑝 � và 𝚤�𝚥 có nghĩa là vắng mặt 𝑖𝑗 trong dãy tăng các số nguyên. Rõ ràng 𝑑𝑝−1 ∘ 𝑑𝑝 =

0, do đó có phức hữu hạn sau

𝑑𝑛

𝑑1

𝐾∘ (𝑥): 0 → 𝐾𝑛 (𝑥) �⎯⎯⎯� 𝐾𝑛−1 (𝑥) → ⋯ → 𝐾1 (𝑥) �⎯⎯⎯� 𝐾0 (𝑥) → 0,

của các môđun tự do hữu hạn sinh. Phức này được gọi là phức Koszul của 𝑅 theo 𝑥. Môđun

đồng điều thứ 𝑝 của phức được ký hiệu là 𝐻𝑝 (𝑥).
𝑛
Chú ý số phần tử sinh của 𝐾𝑝 (𝑥) là �𝑝�.

Định nghĩa 1.6.2. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun và 𝑥 = (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) là dãy các phần tử bất kì của

vành 𝑅. Định nghĩa 𝐾∘ (𝑥, 𝑀) là phức 𝐾∘ (𝑥)⨂𝑅 𝑀, được gọi là phức Koszul của 𝑀 theo 𝑥.

Môđun đồng điều thứ 𝑝 của phức được ký hiệu là 𝐻𝑝 (𝑥, 𝑀), còn được gọi là môđun đồng
điều Koszul thứ 𝑝.

Chúng ta dễ dàng kiểm tra được


(𝜃𝑝𝑘,𝑡 , 𝑀): 𝐾𝑝 (𝑥(𝑘), 𝑀) ⟶ 𝐾𝑝 (𝑥(𝑡), 𝑀)

�∑1≤𝑖1

𝑥

𝐻𝑝 (𝑔) 𝑥
𝐻𝑝 (𝑓) 𝑥
𝑥
𝐻𝑝 (𝐴) �⎯⎯� 𝐻𝑝 (𝐵) �⎯⎯� 𝐻𝑝 (𝐶 )
𝑥

𝐻1 (𝛿)

𝑥

⟶⋯

𝐻0 (𝑔) 𝑥
𝐻0 (𝑓) 𝑥
𝑥
… �⎯⎯� 𝐻0 (𝐴) �⎯⎯� 𝐻0 (𝐵) �⎯⎯� 𝐻0 (𝐶 )

→ 0.

Chú ý 1.6.6. Với bất kì số nguyên 𝑝 ≥ 0, do 𝐻𝑝 (𝑥(𝑡), −) là hàm tử cộng tính và hiệp
𝑥

biến nên ta có thể kiểm tra được 𝐻𝑝 (−) cũng là hàm tử cộng tính và hiệp biến từ phạm trù
𝑥

ℳ(𝑅) vào chính nó. Mặt khác các đồng cấu nối 𝐻𝑝 (𝛿 ) có tính chất tự nhiên, do đó
𝑥


các phần tử thuần nhất 𝑥𝑖 ∈ 𝑀𝑖 . Phần tử 𝑥𝑖 được gọi là thành phần thuần nhất của 𝑥.

Chú ý là 𝑅0 là vành với đơn vị 1 ∈ 𝑅0 , các thành phần 𝑀𝑖 là 𝑅0 -môđun, và do đó

𝑀 = ⨁𝑖∈ℤ 𝑀𝑖 như là tổng trực tiếp các 𝑅0 -môđun.
∗

Định nghĩa 1.7.2. Cho 𝑅 là vành phân bậc. Phạm trù các 𝑅-môđun phân bậc, ký hiệu

ℳ (𝑅), với các vật là 𝑅-môđun phân bậc. Cấu xạ 𝑓: 𝑀 → 𝑁 trong ∗ℳ (𝑅) là đồng cấu 𝑅-

môđun thỏa 𝑓(𝑀𝑖 ) ⊆ 𝑁𝑖 với mọi 𝑖 ∈ ℤ. Đồng cấu 𝑅-môđun là cấu xạ trong ∗ℳ (𝑅) sẽ được

gọi là đồng cấu thuần nhất. Nếu hai môđun phân bậc 𝑀 và 𝑁 đẳng cấu với nhau trong
phạm trù ∗ℳ (𝑅) thì ta ký hiệu 𝑀 ∗≅ 𝑁.

Cho 𝑀 là 𝑅-môđun phân bậc, 𝑁 là môđun con của 𝑀. 𝑁 được gọi là môđun con phân bậc

của 𝑀 nếu phép nhúng 𝑖: 𝑁 ↪ 𝑀 là cấu xạ trong phạm trù ∗ℳ (𝑅). Chú ý là định nghĩa này
tương đương với 𝑁 = ⨁𝑖∈ℤ (𝑁 ∩ 𝑀𝑖 ), hoặc 𝑁 được sinh bởi các phần tử thuần nhất trong

𝑀, hoặc nếu 𝑥 ∈ 𝑁 có sự phân tích thành các phần tử thuần nhất trong 𝑀, 𝑥 = ∑𝑖 𝑥𝑖 , thì

𝑥𝑖 ∈ 𝑁. Khi 𝑁 là môđun con phân bậc của 𝑀 thì môđun thương 𝑀/𝑁 là là 𝑅-môđun phân
bậc với 𝑀/𝑁 = ⨁𝑖∈ℤ (𝑀𝑖 + 𝑁)/𝑁, hơn nữa phép chiếu 𝑝: 𝑀 → 𝑀/𝑁 là thuần nhất. Nếu

𝑓: 𝑀 → 𝑁 là cấu xạ trong ∗ℳ (𝑅) thì Ker𝑓, Im𝑓 là 𝑅-môđun phân bậc.
Chúng ta có thể kiểm tra được một số kết quả sau:


Môđun phân bậc 𝐹 được gọi là môđun tự do nếu 𝐹 có cơ sở gồm các phần tử thuần nhất.

Có thể gọi 𝐹 là môđun ∗ tự do để nhận biết trong phạm trù ∗ℳ (𝑅).

Mệnh đề 1.7.4. Cho 𝐹 được gọi là 𝑅-môđun phân bậc. Tập 𝑆 ≠ 0 những phần tử phân

bậc của 𝐹 là cơ sở của 𝐹 khi và chỉ khi với bất kì môđun phân bậc 𝑌, mỗi ánh xạ thuần

nhất 𝑓: 𝑆 → 𝑌, nghĩa là nếu 𝑥 ∈ 𝑆 thì deg 𝑓(𝑥) = deg 𝑥, đều có thể mở rộng tới một đồng

cấu duy nhất 𝑓̃: 𝐹 → 𝑌.

Định nghĩa 1.7.5. Môđun phân bậc 𝑃 được gọi là môđun ∗ xạ ảnh nếu 𝑃 là vật xạ ảnh

trong phạm trù ∗ℳ (𝑅). Hiển nhiên môđun ∗ tự do là môđun ∗ xạ ảnh.

Định nghĩa 1.7.6. Môđun phân bậc 𝐹 được gọi là môđun ∗ phẳng nếu 𝐹⨂𝑅 − , −⨂𝑅 𝐹 là

các hàm tử khớp trong phạm trù ∗ℳ (𝑅). Hiển nhiên môđun ∗ xạ ảnh là môđun ∗ phẳng.

Chúng ta thấy phạm trù ∗ℳ (𝑅) là đủ xạ ảnh, nghĩa là mọi môđun phân bậc 𝑀 đều là ảnh

toàn cấu thuần nhất của một môđun ∗ tự do 𝐹 nào đó. Như vậy sẽ tồn tại phép giải ∗ tự do

hay ∗ xạ ảnh trong phạm trù ∗ℳ (𝑅). Để xây dựng các môđun đồng điều địa phương trong

phạm trù này ta cần các kết quả so sánh về phép giải ∗ xạ ảnh và những kết quả về đồng

điều nói chung đối với phạm trù ∗ℳ (𝑅). Các kết quả này sẽ tương tự như trong phạm trù


và 𝐿𝐼0 (𝑀) = ∧𝐼 (𝑃0 )/Im ∧𝐼 (𝑓1 ). Đặt 𝑁 = 𝑓1 (𝑃1 ), chúng ta có dãy khớp ngắn sau
𝑖

𝑓0

0 → 𝑁 �⎯� 𝑃0 �⎯⎯� 𝑀 → 0.

Khi đó chúng ta có dãy (không nhất thiết khớp)
∧𝐼 (𝑖)

∧𝐼 (𝑓0 )

∧𝐼 (𝑁) �⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 (𝑃0 ) �⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 (𝑀) → 0,

với ∧𝐼 (𝑓0 ) là toàn cấu và Im ∧𝐼 (𝑓1 ) = Im ∧𝐼 (𝑖) ⊆ Ker ∧𝐼 (𝑓0 ). Chúng ta có ∧𝐼 (𝑀) ≅
∧𝐼 (𝑃0 )/Ker ∧𝐼 (𝑓0 ). Do đó tồn tại toàn cấu tự nhiên 𝜑𝑀 : 𝐿𝐼0 (𝑀) →∧𝐼 (𝑀). Vậy nếu 𝑀 là

môđun xạ ảnh thì 𝜑𝑀 là đẳng cấu tự nhiên.

(ii) Hai ideal 𝐼 và 𝐽 được gọi là tương đương căn nếu tồn tại số dương 𝑛 và 𝑚 sao cho

𝐼𝑛 ⊆ 𝐽 và 𝐽𝑚 ⊆ 𝐼. Nếu hai ideal 𝐼 và 𝐽 là tương đương căn thì theo Bổ đề 1.3.3 ∧𝐼 (𝑀) ≅
∧𝐽 (𝑀), với mọi môđun 𝑀. Hơn nữa đây là đẳng cấu tự nhiên. Thật vậy, giả sử có đồng

cấu 𝑓: 𝑀 → 𝑁. Theo Bổ đề 1.3.3 đẳng cấu ℎ𝑀 : ∧𝐼 (𝑀) → ∧𝐽 (𝑀) xác định bởi ℎ𝑀 (𝑥𝑡 +

𝐼𝑡 𝑀) = (𝑥𝑡+𝑛 + 𝐽𝑡 𝑀), tương tự cho đẳng cấu ℎ𝑁 : ∧𝐼 (𝑁) → ∧𝐽 (𝑁). Do đó kiểm tra được
biểu đồ sau giao hoán

ℎ𝑀

⟵

⟵

= 0 cho mọi môđun xạ ảnh 𝑃 và 𝑛 ≥ 1, nên theo Hệ quả 1.1.6 thì tồn tại phép biến

đổi đẳng cấu tự nhiên các dãy hàm tử {𝐿𝑛 𝑇𝐼 }𝑛≥0 , và {𝐿𝐼𝑛 }𝑛≥0 . Như vậy các hàm tử 𝐿𝐼𝑖 đôi khi

xem như là các hàm tử 𝐿𝑖 𝑇𝐼 , hay các môđun 𝐿𝐼𝑖 (𝑀) có thể xem như là môđun dẫn xuất trái
thứ 𝑖 của 𝑇𝐼 (𝑀).

Định lý 2.1.3. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun, giả sử rằng lọc {𝐼 𝑛 𝑀}𝑛∈ℕ là “dừng”, nghĩa là tồn tại

số nguyên dương 𝑛 sao cho 𝐼𝑡 𝑀 = 𝐼𝑛 𝑀 với mọi 𝑡 ≥ 𝑛. Khi đó toàn cấu tự nhiên
𝜑𝑀 : 𝐿𝐼0 (𝑀) →∧𝐼 (𝑀) là đẳng cấu.

𝑓

𝑔

Chứng minh. Xét dãy khớp ngắn 0 → 𝑁 → 𝑃 → 𝑀 → 0, với 𝑃 là môđun xạ ảnh. Khi đó

có các phức sau
𝑓𝑡

∧𝐼 (𝑓)

𝑔𝑡

∧𝐼 (𝑔)

∧𝐼 (𝑁) �⎯⎯⎯⎯⎯� ∧𝐼 (𝑃)
ℎ

20

lim𝑖𝑡
⟵


lim𝐾𝑡
⟵

nên nếu ℎ là toàn cấu thì Im ∧𝐼 (𝑓) = Im(lim𝑖𝑡 ) = Ker ∧𝐼 (𝑔). Do đó chỉ cần chứng minh
⟵

ℎ toàn cấu. Vì ℎ𝑡 toàn cấu nên đặt 𝐻𝑡 = Kerℎ𝑡 thì 𝐻𝑡 ≅ 𝐼𝑡 𝑃 ∩ 𝑁/𝐼𝑡 𝑁, và {𝐻𝑡 } là hệ nghịch

với các đồng cấu 𝜋𝑡𝑘 cảm sinh từ đồng cấu của hệ {𝑁/𝐼𝑡 𝑁}.

Do dãy khớp các hệ nghịch

{ℎ𝑡 }

{𝑗𝑡 }

0 → {𝐻𝑡 } �⎯⎯⎯⎯⎯� {𝑁/𝐼𝑡 𝑁} �⎯⎯⎯⎯� {𝐾𝑡 } → 0

nên nếu {𝐻𝑡 } thỏa M-L thì ℎ là toàn cấu (Mệnh đề 1.2.8). Theo giả thuyết tồn tại số nguyên

dương 𝑛0 sao cho 𝐼𝑡 𝑀 = 𝐼𝑛0 𝑀 với mọi 𝑡 ≥ 𝑛0 , mà 𝐼𝑡 𝑀 ≅ (𝐼𝑡 𝑃 + 𝑁)/𝑁, nên 𝐼𝑡 𝑃 +


2.2. Môđun đồng điều địa phương và môđun đồng điều Koszul

∎

Trong phần này các vành đều là vành Noether. Chúng ta chủ yếu xét các môđun trên vành
Noether 𝑅 và 𝐼 là ideal của 𝑅, những trường hợp khác sẽ được nói rõ.

Chúng ta đã biết môđun đối đồng điều địa phương thứ 𝑖 của môđun 𝑀 theo ideal 𝐼, ký

hiệu 𝐻𝐼𝑖 (𝑀), có thể định nghĩa bởi

𝐻𝐼𝑖 (𝑀) = limExt 𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑀).
⟵
𝑡

21


Điều này gợi ý định nghĩa sau. Có thể xem như là đối ngẫu của khái niệm trên.
Định nghĩa 2.2.1. Cho 𝑀 là 𝑅-môđun. Môđun đồng điều địa phương thứ 𝑖 của môđun 𝑀

theo iđêan 𝐼 , ký hiệu 𝐻𝑖𝐼 (𝑀), được xác định bởi

𝐻𝑖𝐼 (𝑀) = limTor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑀).
⟵
𝑡

Định nghĩa này là đúng đắn, do {Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑀)} là một hệ nghịch. Thật vậy, lấy phép giải
xạ ảnh 𝐹∘ của môđun 𝑀. Khi đó với mọi 𝑡 ≥ 0 có phức 𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝐹∘ . Vì {𝑅/𝐼𝑡 , 𝜋𝑡𝑘 } là hệ

Tor𝑖𝑅 (𝜋𝑘𝑙 , 1𝑀 )

Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑙 , 𝑀)

Vậy với mọi 𝑖 ≥ 0 thì {Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑀)} là một hệ nghịch.

∎

Chú ý 2.2.2. Với 𝑀, 𝑁 là các 𝑅-môđun, 𝑓: 𝑀 → 𝑁 là 𝑅-đồng cấu. Khi đó tồn tại biến đổi

dây chuyền treo trên 𝑓, dẫn tới đổi dây chuyền treo trên 1𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝑓
𝜋𝑡𝑘 ⨂𝑓

𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝐹∘ �⎯⎯⎯� 𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝑄∘ .

Do đó tồn tại đồng cấu Tor𝑖𝑅 �1𝑅/𝐼𝑡 , 𝑓�: Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑀) → Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑁). Chúng ta lại có

biểu đồ giao hoán các phức sau, với các đồng cấu đã biết.
𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝐹∘ → 𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝑄∘
↓

Khi đó biểu đồ sau giao hoán

↓

𝑅/𝐼 𝑘 ⨂𝐹∘ → 𝑅/𝐼𝑘 ⨂𝑄∘ .

Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑀) → Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝑁)
22


Giả sử 0 → 𝐴 → 𝐵 → 𝐶 → 0 là dãy khớp ngắn. Khi đó ta có biểu đồ giao hoán các phức,

với các dòng là khớp (𝐹∘ , 𝑄∘ , 𝑅∘ là phép giải xạ ảnh tương ứng)

0 → 𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝐹∘ → 𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝑄∘ → 𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝑅∘ → 0
𝜋𝑡𝑘 ⨂1𝐹∘

𝜋𝑡𝑘 ⨂1𝑄∘

𝜋𝑡𝑘 ⨂1𝑅∘

0 → 𝑅/𝐼𝑘 ⨂𝐹∘ → 𝑅/𝐼𝑘 ⨂𝑄∘ → 𝑅/𝐼𝑘 ⨂𝑅∘ → 0.

𝑅 (
Dựa vào 𝛿𝑖𝑡 : Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝐶 ) → Tor𝑖−1
𝑅/𝐼𝑡 , 𝐴), 𝑡 ≥ 0 thì biểu đồ sau giao hoán

↓
Thật

vậy,với

Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝐶 ) → Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑡 , 𝐴)
↓

Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑘 , 𝐶 ) → Tor𝑖𝑅 (𝑅/𝐼𝑘 , 𝐴).

𝑧 ∈ Ker(𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝑅𝑖 → 𝑅/𝐼𝑡 ⨂𝑅𝑖−1 )

thì