BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA TOÁN

CAO VĂN HOÀNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH
VÀ MÔĐUN PHÂN BẬC

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHSP
Ngành học: Toán học
Mã số sinh viên: K34101027

Giảng viên hướng dẫn
PGS.TS. TRẦN TUẤN NAM

Thành Phố Hồ Chí Minh - 2012
1


Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Kiến thức cơ sở
1.1 Vành . . . . . . .
1.2 Iđêan . . . . . . .
1.3 Vành các thương
1.4 Môđun . . . . . .
1.5 Tôpô và đầy đủ .
1.6 Lọc . . . . . . . .

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

3
4
5

.
.
.
.
.
.
.

6
6
7
11
12

bạn sinh viên lớp Toán 4 đã giúp đỡ và hỗ trợ tôi trong suốt bốn năm học tại
Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 4 năm 2012
Sinh viên thực hiện
Cao Văn Hoàng

3


Lời mở đầu
Đại số nói chung là môn học khá phổ biến, khá hay của ngành toán trong các
trường đại học và đại số giao hoán lại là môn chuyên ngành khá mới của đại số.
Với mong muốn tìm hiểu thêm và hiểu sâu hơn các định nghĩa, cách chứng minh
các định lý cùng những tính chất liên quan của chuyên ngành đại số giao hoán,
tôi đã thực hiện luận văn này.
Dựa trên những kiến thức về vành, iđêan, A-môđun M, đồng cấu A-môđun,
tôpô và đầy đủ, lọc, dãy khớp, tôi sẽ giới thiệu cho người đọc biết về định nghĩa
vành phân bậc, môđun phân bậc cùng những tính chất của chúng.
Nội dung luận văn được chia thành 2 chương:
Chương 1: Kiến thức cơ sở.
Chương này đưa ra các khái niệm và các mệnh đề sử dụng trong chương 2.
Chương 2: Một số tính chất của vành và môđun phân bậc.
Chương này đưa ra định nghĩa vành phân bậc, môđun phân bậc, vành phân bậc
liên kết, các tính chất liên quan và chứng minh.
Dù đã hết sức cố gắng nhưng vì còn nhiều hạn chế trong nhận thức, nên luận
văn này không tránh khỏi thiếu sót, tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp, xây
dựng của các Thầy và các bạn để luận văn được hoàn chỉnh hơn.

4

Hai A−môđun M và N đẳng cấu với nhau

A

Cokerf
Ann(M )
∞
n=0 An
Mi

Đối hạt nhân của đồng cấu f
Linh hóa tử của môđun M
Tổng trực tiếp của họ các vành An
Tổng trực tiếp của họ A−môđun (Mi )i∈I

i∈I

M

N

Tích tenxơ của các A−môđun M và N

A

lim An
←−

G



6


Định nghĩa 1.1.3. Một phần tử a thuộc vành A được gọi là khả nghịch nếu
∃ b ∈ A : ab = 1. Phần tử b như vậy là duy nhất và được gọi là phần tử đảo của
a và ký hiệu là a−1 .
Định nghĩa 1.1.4. Cho hai vành A và B. Một ánh xạ f : A −→ B được gọi là
một đồng cấu vành nếu:
i) ∀x, y ∈ A: f (x + y) = f (x) + f (y)
f (xy) = f (x)f (y)
ii) f (1) = 1
Định nghĩa 1.1.5.
• Đồng cấu vành f được gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu f là đơn ánh
(toàn ánh, song ánh).
• Nếu có một đẳng cấu vành từ vành A đến vành B thì ta nói hai vành A và B
đẳng cấu với nhau, ký hiệu A ∼
= B.
• Tập Imf = f (A) được gọi là ảnh của đồng cấu f .
• Tập Kerf = {x ∈ A|f (x) = 0} được gọi là hạt nhân của đồng cấu f .
Mệnh đề 1.1.1.
• Imf là một vành con của B. Đồng cấu vành f là toàn cấu khi và chi khi
Imf = B.
• Đồng cấu vành f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {0}.
1.2

Iđêan

Định nghĩa 1.2.1. Cho vành A, tập I = ∅ trong A là iđêan của A khi và chỉ khi
∀a, b ∈ I : a − b ∈ I

của A:
I + J = {x + y|x ∈ I, y ∈ J}
xi yj |xi ∈ I, yj ∈ J

IJ =
hh

(I : J) = {x ∈ A|xJ ⊂ I}
rad (I) = {x ∈ A|∃n ∈ N\ {0}

xn ∈ I}

Định nghĩa 1.2.6. Iđêan IJ được gọi là tích của hai iđêan I và J.
Tổng quát ta có khái niệm lũy thừa của một iđêan I:
I 0 := A, I 1 := I, I 2 , . . . , I n , . . .
Và hiển nhiên là I 0 ⊃ I ⊃ I 2 ⊃ . . . ⊃ I n ⊃ . . .
Định nghĩa 1.2.7. Iđêan rad(I) được gọi là căn của iđêan I.

8


Định nghĩa 1.2.8. (0 : J) = {x ∈ A|xJ = 0} được gọi là linh hóa tử của J,
ký hiệu Ann(J).
Định nghĩa 1.2.9. Cho vành A.
Iđêan I của A được gọi là iđêan nguyên tố nếu ab ∈ I thì hoặc a ∈ I hoặc b ∈ I.
Iđêan I của A được gọi là iđêan tối đại nếu I là iđêan thật sự của A và không bị
chứa trong bất kì iđêan thật sự nào khác I.
Mệnh đề 1.2.3. Cho iđêan I của vành A. Khi đó:
I là iđêan nguyên tố ⇔ vành thương A/I là miền nguyên.
I là iđêan tối đại ⇔ A/I là trường.

n

n

Ii thì P ⊃ Ii với i nào đó, và do đó nếu P =

Nếu P ⊃
i=1

Ii thì P = Ii
i=1

với i nào đó.
Định nghĩa 1.2.10. Vành chỉ có một iđêan tối đại duy nhất được gọi là vành địa
phương.

9


Định nghĩa 1.2.11. Iđêan giao của tất cả các iđêan tối đại của vành A được gọi
là căn Jacobson của vành A.
Ký hiệu A .
Mệnh đề 1.2.5. x ∈

A

⇔ 1 − xy khả nghịch trong A, ∀y ∈ A.

Định nghĩa 1.2.12. Vành A là vành Nơte khi và chỉ khi A thỏa một trong các
điều kiện sau:

Vành các thương

Định nghĩa 1.3.1. Cho A là một vành. Một tập con S ⊂ A được gọi là tập con
nhân nếu:
i) 1 ∈ S
ii) ∀a, b ∈ S : ab ∈ S
Định nghĩa 1.3.2. Cho tập con nhân S của một vành A. Trên tập A × S ta định
nghĩa một quan hệ hai ngôi ≡ như sau:
∀(a, s), (a , s ) ∈ A × S
(a, s) ≡ (a , s ) ⇔ ∃t ∈ S : (as − a s)t = 0.
Dễ thấy rằng ≡ là một quan hệ tương đương trên A × S. Ta ký hiệu tập thương
a
A × S/ ≡ là S −1 A và ký hiệu lớp tương đương của phần tử (a, s) là .
s
Mệnh đề 1.3.1. Tập S −1 A cùng với hai quy tắc
a b
a b at + bs
• Cộng: ∀ , ∈ S −1 A
+ =
s t
s t
st
a b ab
a b
. =
• Nhân: ∀ , ∈ S −1 A
s t
s t
st
là một vành.

i) (M, +) là nhóm Aben với phần tử trung hòa là 0.
ii) ∀a ∈ A, ∀x, y ∈ M a(x + y) = ax + ay.
iii) ∀a, b ∈ A, ∀x ∈ M (a + b)x = ax + bx.
iv) ∀a, b ∈ A, ∀x ∈ M (ab)x = a(bx).
v) ∀x ∈ M

1x = x, trong đó 1 là phần tử đơn vị của vành A.

Khi đó vành A gọi là vành hệ tử của môđun. Ta thường gọi tắt là A−môđun M
thay cho môđun (M, +, ·) trên vành A.
Nếu nhóm M chỉ có duy nhất phần tử 0 thì có thể xem M là môđun trên bất kì
vành A nào. Ta gọi đó là môđun không.

12


Chú ý 1.4.1: Mỗi iđêan của một vành A là một A−môđun. Nói riêng vành A
cũng là một A−môđun.
Định nghĩa 1.4.2. Cho M và N là hai A−môđun. Một ánh xạ f : M −→ N
được gọi là một đồng cấu A−môđun nếu:
i) ∀x, y ∈ M

f (x + y) = f (x) + f (y)

ii) ∀a ∈ A, ∀x ∈ M f (ax) = af (x)
Tập hợp tất cả đồng cấu A−môđun từ M đến N được ký hiệu là HomA (M, N ),
hoặc gọn hơn nữa: Hom(M, N ) (nếu không có gì nhầm lẫn về vành hệ tử).
Định nghĩa 1.4.3. Đồng cấu A−môđun được gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng
cấu) nếu nó là đơn ánh (toàn ánh, song ánh).
Định nghĩa 1.4.4. Nếu có một đẳng cấu A−môđun từ M đến N thì ta nói M

ii) M chứa một môđun con đẳng cấu với A/P .
Tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M được ký hiệu là AssA (M ).
Định nghĩa 1.4.9. Nếu N là môđun con của M thì nhóm thương (M/N, +) có cấu
trúc của một A−môđun với phép nhân ngoài a(x + N ) := ax + N (a ∈ A, x ∈ M ).
A−môđun (M/N, +, .) được gọi là môđun thương của môđun M trên môđun con N .
Ánh xạ π : M −→ M/N với π(x) = x + N := x¯ là một toàn cấu A−môđun,
gọi là toàn cấu chính tắc.
Định nghĩa 1.4.10. Cho f ∈ HomA (M, N ). Khi đó:
• Nếu M là môđun con của M thì f (M ) là môđun con của N .
• Tập hợp Imf = f (M ) được gọi là ảnh của đồng cấu f .
• Đồng cấu f là toàn cấu ⇔ Imf = N .
• Nếu N là môđun con của N thì f −1 (N ) là môđun con của M .
• Tập hợp Kerf = f −1 {0} = {x ∈ M |f (x) = 0} được gọi là hạt nhân của đồng
cấu f .
• Đồng cấu f là đơn cấu ⇔ Kerf = 0.
14


• Môđun thương N/Imf được gọi là đối hạt nhân của đồng cấu f .
Ký hiệu Cokerf
Mệnh đề 1.4.1. Cho f ∈ HomA (M, N ), khi đó M/Kerf ∼
= Imf .
Định nghĩa 1.4.11. Cho I là iđêan của vành A và M là A− môđun.
Ta định nghĩa tích IM là tập hợp tất cả các tổng hữu hạn ai xi (ai ∈ I, xi ∈ M ).
Dễ kiểm tra IM là môđun con của M .
Định nghĩa 1.4.12. Thương (N : P ) của hai môđun con N và P của A−môđun
M là tập hợp những phần tử a ∈ A sao cho aP ⊂ N . Đó là một iđêan của A.
Đặc biệt, thương (0 : M ) được gọi là linh hóa tử của A−môđun M và ký hiệu là
Ann(M ).
Ann(M ) = {a ∈ A|ax = 0 ∀x ∈ M }


Định nghĩa 1.4.17. Cho A−môđun M . Một họ phần tử (xi )i∈I ⊂ M được gọi là
hệ sinh của M nếu mọi phần tử của M đều là tổ hợp tuyến tính của họ (xi )i∈I .
Khi đó M chính là môđun con sinh bởi X = {xi |i ∈ I}.
Định nghĩa 1.4.18. M được gọi là hữu hạn sinh nếu nó có một hệ sinh hữu hạn.
Nói cách khác M = x1 , x2 , . . . , xn .
Định nghĩa 1.4.19. Một môđun M trên vành A được gọi là môđun Nơte nếu M
thỏa một trong các điều kiện sau:
i) M thỏa điều kiện dây chuyền tăng.
ii) M thỏa điều kiện tối đại.
iii) Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh.
Hệ quả 1.4.1. Môđun con và môđun thương của môđun Nơte là Nơte.
Hệ quả 1.4.2. Nếu A là một vành Nơte thì mọi A−môđun hữu hạn sinh đều Nơte.
Hệ quả 1.4.3. Nếu M là A−môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của A thỏa mãn
IM = M thì tồn tại x ≡ 1(mod I) sao cho xM = 0.
Định nghĩa 1.4.20. Cho họ không rỗng các A−môđun (Mi )i∈I . Tích Descartes

Mi
i∈I

cùng với hai phép toán theo thành phần:
(xi )i∈I + (yi )i∈I = (xi + yi )i∈I
a(xi )i∈I
= (axi )i∈I
Với xi , yi ∈ Mi , a ∈ A là một A−môđun và được gọi là tích trực tiếp của họ
môđun (Mi )i∈I .

16



i∈I

i=k

trong của họ môđun con (Mi )i∈I và ký hiệu M =

Mi .
i∈I

Mệnh đề 1.4.2. Cho họ môđun con (Mi )i∈I của một A−môđun M . Khi đó
M = Mi khi và chỉ khi mỗi phần tử x ∈ M được biểu diễn một cách duy nhất
i∈I

dưới dạng tổng hữu hạn

xi , xi ∈ Mi .

Định nghĩa 1.4.23. Một họ phần tử (xi )i∈I của một A−môđun M được gọi là
cơ sở của M nếu:
i) (xi )i∈I là hệ sinh của M .
ii) Phần tử 0 được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng một tổ hợp tuyến
tính của họ (xi )i∈I tức là nếu
ai xi = 0 thì ai = 0, ∀i ∈ I.
i∈I

Định nghĩa 1.4.24. Một môđun có cơ sở khác rỗng được gọi là môđun tự do.
Định nghĩa 1.4.25. Cho ba A−môđun M, N, P . Một ánh xạ f : M × N −→ P
được gọi là ánh xạ A−song tuyến tính nếu f là A−tuyến tính theo từng biến,
tức là:


xi ⊗ yi
i=1

là không duy nhất.
u

v

Chú ý 1.4.2: Cho hai A−đồng cấu M −→ M và N −→ N .
Khi đó, ánh xạ f : M × N −→ M ⊗ N xác định bởi f (x, y) = u(x) ⊗ v(y) là một
A−song tuyến tính nên cảm sinh một A−đồng cấu (duy nhất)
θ : M ⊗ N −→ M ⊗ N sao cho θ(x ⊗ y) = u(x) ⊗ v(y).
Ta ký hiệu A−đồng cấu này là u ⊗ v, và gọi là tích Tenxơ của hai đồng cấu u, v.

18


1.5

Tôpô và đầy đủ

Định nghĩa 1.5.1. Nhóm giao hoán tôpô là tập G có cấu trúc nhóm giao hoán
và cấu trúc tôpô thỏa :
i)
Ánh xạ

G × G −→
G
(x, y) −→ x + y


Trên G định nghĩa phép cộng:
∀ (xu ), (yu ) ∈ G : (xu ) + (yu ) = (xu + yu ).
Ta có (G, +) là nhóm cộng giao hoán.
Ánh xạ φ : G → G là đồng cấu nhóm.
Kerφ = H, do đó φ là đơn cấu ⇔ G là Haussdorff.
Định nghĩa 1.5.5. Giả sử 0 ∈ G (G là nhóm cộng Aben) có một cơ sở lân cận
gồm các nhóm con của G:
G = G0 ⊃ G1 ⊃ G2 ⊃ . . . ⊃ Gn ⊃ . . .
U ⊂ G là cơ sở lân cận của 0 ⇔ U ⊃ Gn với n nào đó.
Lấy G = A, Gn = I n với A là vành và I là iđêan của A. Tôpô xác định trên
A được gọi là tôpô I−adic hay I−tôpô. Dễ kiểm tra A là vành tôpô nghĩa là các
phép toán của vành là liên tục.
I−tôpô là Haussdorff ⇔ I n = (0).
Đầy đủ A của A với tôpô này gọi là đầy đủ I−adic. Khi đó A cũng là vành tôpô.
φ : A −→ A là một đồng cấu vành liên tục mà hạt nhân là I n .
Cho M là A−môđun, I là một iđêan của vành A, lấy G = M , Gn = I n M . Điều
này xác định một I−tôpô trên M . Đầy đủ M của M với tôpô này gọi là đầy đủ
I−adic. Khi đó M là tôpô A−môđun.
1.6

Lọc

Định nghĩa 1.6.1. Cho một A−môđun M .Một dãy giảm (Mn ) các môđun con
của M : M = M0 ⊃ M1 ⊃ . . . ⊃ Mn ⊃ . . . được gọi là một lọc của M .
Định nghĩa 1.6.2. Cho I là một iđêan của vành A. Một lọc (Mn ) được gọi là
I−lọc nếu ∀n : IMn ⊂ Mn+1 .

20



p

Chú ý 1.7.1: Mỗi dãy khớp ngắn đều có dạng 0 −→ N −→ M −→ M/N −→ 0.
Với N là môđun con của M , i : N −→ M là đồng cấu nhúng, p : M −→ M/N là
đồng cấu chiếu.
f
g
Thật vậy, với dãy khớp ngắn bất kì 0 −→ M −→ M −→ M −→ 0
do f là đơn cấu nên ta có thể xem M là môđun con của M và do g toàn cấu mà
M ∼
= M/Kerg = M/f (M )
Với M ∼
= f (M ) nên có thể xem M = M/M .
f

g

Mệnh đề 1.7.1. Cho 0 −→ M −→ M −→ M −→ 0 là một dãy khớp của các
A−môđun. Khi đó M là môđun Nơte khi và chỉ khi M và M là môđun Nơte.

21


Mệnh đề 1.7.2. Cho sơ đồ giao hoán
u
v
0
M
M
f

Trong đó u¯, v¯, u¯ , v¯ cảm sinh từ các đồng cấu u, v, u , v .
Định nghĩa 1.7.4. Cho một dãy các nhóm (An ) và họ đồng cấu θn+1 : An+1 → An ,
ta gọi chúng là một hệ ngược.
Nếu các θn+1 là toàn cấu thì hệ ngược được gọi là hệ toàn cấu.
Định nghĩa 1.7.5. Một dãy (an ), an ∈ An , ∀n được gọi là dãy khít nếu thỏa
θn+1 (an+1 ) = an .
Định nghĩa 1.7.6. Tất cả dãy khít (an ) tạo thành một nhóm được gọi là giới hạn
ngược của hệ, ký hiệu là limAn .
←−

Chú ý 1.7.2. Cho (xv ) là dãy Cauchy trong G. Khi đó ảnh của (xv ) trong G/Gn
không đổi và bằng ξn .
Xét phép chiếu θn+1 : G/Gn+1 −→ G/Gn
ξn+1 −→ ξn
Vậy dãy Cauchy (xv ) trong G xác định dãy khít (ξn ) thỏa θn+1 (ξn+1 ) = ξn , ∀n
Hơn nữa hai dãy Cauchy tương đương xác định cùng một dãy khớp.
Mặt khác từ dãy khớp (ξn ) bất kì ta có thể xây dựng dãy Cauchy (xn ) bằng cách
lấy xn từ phần tử bất kì trong lớp ξn . Vậy G được xác định hợp lí từ tập các dãy
khớp (ξn ).
Do đó G ∼
= lim G/Gn .
←−

22


Mệnh đề 1.7.3. Nếu 0 −→ {An } −→ {Bn } −→ {Cn } −→ 0 là một dãy khớp các
hệ ngược thì khi đó dãy
0 −→ limAn −→ limBn −→ limCn
←−


M −→ M −→ M −→ 0.
Khi đó dãy
f ⊗1

g⊗1

M ⊗ N −→ M ⊗ N −→ M ⊗ N −→ 0
là khớp với mọi A−môđun N (trong đó 1 là ánh xạ đồng nhất IdN ).

23


Chương 2

Một số tính chất của vành và môđun
phân bậc
2.1

Vành phân bậc

Định nghĩa 2.1.1. Một vành phân bậc là vành A cùng với họ (An )n 0 các nhóm
∞
con của nhóm cộng A sao cho A = n=0 An và Am An ⊂ Am+n , ∀m, n 0.
Nhận xét 2.1.1. Cho A =

∞
n=0 An

là một vành phân bậc. Khi đó:

∞
n=0 An .

Vành con S của

Định nghĩa 2.1.4. Cho một vành phân bậc A: A =
∞
A được gọi là iđêan phân bậc nếu I = n=0 (I ∩ An ).

∞
n=0 An .

Một iđêan I của

∞

Định nghĩa 2.1.5. Cho một vành phân bậc A: A = n=0 An . Một iđêan I của
A được gọi là thừa nhận được nếu mỗi tập con hữu hạn J thì từ
xn ∈ I với
n∈J

xn ∈ An , sẽ kéo theo các thành phần thuần nhất xn đều nằm trong I.
2.2

Môđun phân bậc

Định nghĩa 2.2.1. Cho vành phân bậc A. Một A−môđun phân bậc là một
A−môđun M cùng với họ (Mn )n 0 các nhóm con của M thỏa mãn
M=



∞
n=0 Mn . Một
∞
n=0 (N ∩ Mn ).