BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN MINH TRÍ

SỬ DỤNG BẤT BIẾN TÔPÔ TUYẾN TÍNH
ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH CHỈNH HÌNH CỦA HÀM
CHỈNH HÌNH THEO TỪNG BIẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành Phố Hồ Chí Minh - 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN MINH TRÍ

SỬ DỤNG BẤT BIẾN TÔPÔ TUYẾN TÍNH ĐỂ
NGHIÊN CỨU TÍNH CHỈNH HÌNH CỦA HÀM
CHỈNH HÌNH THEO TỪNG BIẾN
Chuyên ngành: Hình Học – TôPô
Mã số: 604610

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS: NGUYỄN THÁI SƠN

Thành Phố Hồ Chí Minh – 2011

1.1.3 Mệnh đề. ......................................................................................................................2
1.1.4 Hệ quả. ........................................................................................................................2
1.1.5 Tập bị chặn và hoàn toàn bị chặn. ..............................................................................3
1.2 Không gian lồi địa phương. ................................................................................................3
1.2.1 Định nghĩa. .................................................................................................................3
1.2.2 Bổ đề. .........................................................................................................................3
1.2.3 Bổ đề. ..........................................................................................................................4
1.2.4 Hệ cơ bản các lân cận và các nửa chuẩn. ..................................................................4
1.2.5 Định lý. ........................................................................................................................4
1.2.6 Ánh xạ tuyến tính liên tục............................................................................................5
1.3 Đối ngẫu của không gian lồi địa phương. ..........................................................................6
1.3.1 Không gian đối ngẫu. ..................................................................................................6
1.3.2 Hệ đối ngẫu. ................................................................................................................6
1.3.3 Ánh xạ đối ngẫu. .........................................................................................................7
1.3.4 Không gian phản xạ và không gian thùng. .................................................................8
1.4 Tôpô xạ ảnh và tôpô quy nạp. ............................................................................................8
1.4.1 Tôpô xạ ảnh.................................................................................................................9
1.4.2 Tôpô qui nạp . Giới hạn quy nạp. ...............................................................................9


1.4.3 Không gian chặn nội và siêu chặn nội. .....................................................................10
1.5 Không gian Fretchet và DF- không gian. .........................................................................10
1.5.1 Hệ cơ bản tăng các nửa chuẩn. ................................................................................10
1.5.2 Không gian Frechet. .................................................................................................11
1.5.3 DF- Không gian. .......................................................................................................11
1.6 Định lý Baire. ...................................................................................................................11

Chương 2: CÁC KIẾN THỨC VỀ HÀM CHỈNH HÌNH ..................................... 12
2.1 Hàm chỉnh hình. ...............................................................................................................12
2.1.1 Hình cầu và đa dĩa. ...................................................................................................12

2.6.1 Không gian vành. ......................................................................................................32
2.6.2 Không gian giải tích..................................................................................................32
2.7 Điểm chuẩn tắc của không gian giải tích và không gian chuẩn tắc. ................................32
2.8 Chuẩn tắc hóa. ..................................................................................................................32

Chương 3: CÁC BẤT BIẾN TÔPÔ TUYẾN TÍNH. ............................................. 34
3.1 Không gian chuỗi lũy thừa. ..............................................................................................34
3.2 Không gian có tính chất

( DN ) .........................................................................................35

3.2.1 Định nghĩa. ...............................................................................................................35
3.2.2 Bổ đề: ........................................................................................................................36
3.2.3 Bổ đề. ........................................................................................................................37
3.3 Không gian có tính chất ( Ω ) . ...........................................................................................38
3.3.1 Định nghĩa. ...............................................................................................................38
3.3.2 Bổ đề. ........................................................................................................................38
3.4 Một số bất biến tôpô tuyến tính khác. ..............................................................................39

Chương 4: CÁC KẾT QUẢ VỀ TÍNH CHỈNH HÌNH CỦA HÀM CHỈNH
HÌNH THEO TỪNG BIẾN ...................................................................................... 40
4.1 Định lý. .............................................................................................................................41
4.2 Bổ đề.................................................................................................................................41
4.3 Bổ đề.................................................................................................................................44
4.4 Bổ đề.................................................................................................................................45

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 49



LỜI NÓI ĐẦU
Vào những năm 80 của thế kỉ trước, D.Vogt đã đưa ra và có nhiều kết quả nghiên cứu về
các bất biến tôpô tuyến tính. Các bất biến này mở ra nhiếu ứng dụng cho giải tích phức. Một
trong những ứng dụng của chúng là nghiên cứu tính chỉnh hình của các ánh xạ chỉnh hình
theo từng biến, một bài toán nổi tiếng được đặt ra vào năm 1906 bởi Hartogs. Bài toán này
đã được nghiên cứu từ lâu và đã có nhiều kết quả quan trọng.
1. Lý do chọn đề tài:
Trong chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành hình học có nhiều nội dung đề cập đến
hình học giải tích phức trong đó chủ yếu nói về các đa tạp phức. Ta biết rằng một hàm
chỉnh hình trên các đa tạp phức X × Y →  thì chỉnh hình theo từng biến. Tuy nhiên,
điều ngược lại có đúng không? Khi xét thêm một tập K ⊂ X , K ≠ ∅ thì một hàm chỉnh
hình theo từng biến thì chưa chắc là hàm chỉnh hình. Và với điều kiện nào thì một hàm
chỉnh hình theo từng biến f : K × Y →  có thể thác triển chỉnh hình? Việc tìm hiểu các
điều kiện cần và đủ về các không gian để các hàm chỉnh hình theo từng biến thì chỉnh
hình, và có thể thác triển chỉnh hình là một vấn đề mang tính chất thời sự. Công cụ để
nghiên cứu các kết quả này là các kiến thức về tôpô đại cương và giải tích hàm có liên
hệ mật thiết với hình học giải tích phức. Do đó tôi chọn đề tài này để củng cố kiến thức
của mình và bước đầu tìm hiểu về hình học giải tích phức hiện đại như hình học
hyperbolic. Theo chúng tôi đề tài này có tính hiện đại, thời sự và thiết thực đối với sự
phát triển của giải tích phức
2. Mục đích nghiên cứu:
Tương tự như lý do chọn đề tài tức là tìm hiểu các điều kiện cần và đủ về các không gian
để các hàm chỉnh hình theo từng biến thì chỉnh hình
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
1. Định nghĩa các không gian có tính chất DN , Ω, LB ∞ ..
2. Nghiên cứu các tính chất của các không gian này


3. Ứng dụng các tính chất của các không gian DN để nghiên cứu tính chỉnh hình của
những hàm chỉnh hình theo từng biến.

Ta gọi một không gian vectơ cùng một tôpô tương thích trên nó là một không gian vectơ
tôpô.
1.1.2 Tính chất.
Cho E là không gian vectơ tôpô. Khi đó:
a) Với mọi a ∈ E , phép tịnh tiến x  x + a là phép đồng phôi E lên E . Đặc biệt, U là
một cơ sở lân cận của 0 ∈ E thì a + U = { a + U : U ∈ U } là cơ sở lân cận của
a∈E .

b) Với mọi λ ∈ K , λ ≠ 0 , ánh xạ x  λ x là phép đồng phôi E lên E . Đặc biệt U là lân
cận của 0 ∈ E thì λU , λ ≠ 0 là lân cận của 0 .


Theo tính chất trên toàn bộ cấu trúc tôpô của E được xác định bởi một cơ sở lân cận của 0.
Sau này lân cận của 0 được viết tắt là lân cận.

Tập con A của một không gian vectơ E gọi là hút nếu

∞

 nA = E ; gọi là cân nếu

x ∈ A thì

n =1

với mọi λ ∈ K , λ ≤ 1 đều có λ x ∈ A .
1.1.3 Mệnh đề.
Nếu U là một cơ sở lân cận trong E thì với mọi U ∈ U
a) U là tập hút .
b) Tồn tại V ∈ U


1.1.4 Hệ quả.
Cho U là một cơ sở lân cận của không gian vectơ tôpô E . Khi đó E là Hausdorff nếu và
chỉ nếu

 U = {0} .

U ∈U


1.1.5 Tập bị chặn và hoàn toàn bị chặn.
Một tập con A của không gian vectơ tôpô E gọi là bị chặn nếu mọi lân cận U (của 0), tồn
tại λ ∈ K sao cho A ⊂ λU ( ta nói U hút tập A ).
Tập con A của một không gian vectơ tôpô E gọi là hoàn toàn bị chặn nếu mọi lân cận U
n

của 0 trong E , tồn tại hữu hạn các điểm x1 ,.., xn ∈ E sao cho A ⊂  ( xi + U ) .
i =1

1.2 Không gian lồi địa phương.

1.2.1 Định nghĩa.
Không gian vectơ tôpô Hausdorff gọi là không gian lồi địa phương nếu E có một cơ sở lân
cận gồm các tập lồi. Một tôpô biến E thành không gian lồi địa phương gọi là một tôpô lồi
địa phương (trên E ).
Tập A lồi và cân được gọi là tập tuyệt đối lồi.

1.2.2 Bổ đề.
Cho E là một không gian vectơ tôpô Hausdorff. Khi đó các điều kiện sau đây tương đương:
a) E là không gian lồi địa phương.

1) Mọi x ∈ E , x ≠ 0, tồn tại U ∈ U sao cho x ∉ U .
2) Mọi lân cận V của 0 ∈ E , tồn tại U ∈ U và ε > 0 sao cho εU ⊂ V .

{. }

Họ

α α ∈Λ

các nửa chuẩn trên E gọi là một hệ cơ bản các nửa chuẩn nếu hệ các tập

Uα =
{x ∈ E : x

< 1} là một hệ cơ bản các lân cận của E .

α

1.2.5 Định lý.
Mọi không gian lồi địa phương E đều có một hệ cơ bản các nửa chuẩn. Mọi hệ cơ bản các
nửa chuẩn { . α }α ∈Λ của E có các tính chất sau:
1) Mọi x ∈ E , x ≠ 0, tồn tại α ∈ Λ sao cho x α > 0

{

}

2) Mọi α , β ∈ Λ tồn tại γ ∈ Λ và C > 0 sao cho max . α , . β ≤ C . γ

Chứng minh:

1

ε

≥ 1 hay x

x
α

α

≥ ε > 0 . Ta có tính chất 1). Với

α , β ∈ Λ tùy ý, do Uα ∩ U β là lân cận của 0 nên tồn tại γ ∈ Λ và ε > 0 sao cho
εU γ ⊂ Uα ∩ U β . Đặt C =

1

ε

ta có tính chất 2)

Trường hợp đặc biệt hệ cơ bản các nửa chuẩn của không gian lồi địa phương E chỉ gồm
một nửa chuẩn thì dễ thấy nửa chuẩn đó phải là chuẩn và E lúc đó gọi là không gian khả
định chuẩn.

1.2.6 Ánh xạ tuyến tính liên tục.
Cho E và F là các không gian lồi địa phương với hệ cơ bản các nửa chuẩn ( pα )α∈A trong
E và ( qβ ) β ∈B trong F . Khi đó những điều sau đây là tương đương với mỗi ánh xạ tuyến


2
p
x
(
)
 ε
  α
2

ta có điều phải chứng minh.

3 ⇒ 1 Nếu xo ∈ E và lưới ( xτ )τ ∈T hội tụ đến xo , khi đó từ 3 suy ra với mỗi β ∈ B ,

qβ ( Hxτ − Hx
=
qβ ( H ( xτ − xo ) ) ≤ Cpα ( xτ − xo )
o)
Do ( xτ )τ ∈T hội tụ đến xo nên limτ ∈T pα ( xτ − xo ) =
0 với mỗi α ∈ A nên suy ra


limτ ∈T qβ ( Hxτ − Hxo ) =
0 suy ra H liên tục.
Cho E và F là các không gian lồi địa phương.
Ánh xạ tuyến tính A : E → F gọi là bị chặn địa phương nếu A ( B ) bị chặn trong F với
mọi tập con bị chặn B trong E .
Dễ thấy rằng nếu A liên tục thì A bị chặn địa phương.
Một ánh xạ tuyến tính A : E → F được gọi là đẳng cấu nếu A là một đồng phôi, E và F
được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại một đẳng cấu A : E → F . Khi đó ta viết E ≅ F .
1.3 Đối ngẫu của không gian lồi địa phương.




1.3.3 Ánh xạ đối ngẫu.
Cho ánh xạ tuyến tính liên tục A : E → F . Ánh xạ đối ngẫu của A là ánh xạ A ' : F ' → E ' xác
định bởi: A '( y ) = y A với mọi y ∈ F ' .

Định lý Schauder: Cho E , F là các không gian Banach và A∈ L ( E , F ) Khi đó A
compact nếu và chỉ nếu A ' : F ' → E ' compact.

Chứng minh:
Ký hiệu U là hình cầu đơn vị của E . Nếu A compac thì
=
M

{y

A (U )

}

: y ∈ F ', y ≤ 1 ⊂ C ( A(U )) là bị chặn và đồng liên tục. Theo định lí Ascoli, M

compact tương đối. Với mọi y, z ∈ F ', A '( y ) =
A '( z ) ta có
=
y ( A( x)) ( =
A '( y )( x)) (=
A '( z ))( x) z ( A( x)) với mọi x ∈ E .


1.3.4 Không gian phản xạ và không gian thùng.

1.3.4.1 Không gian phản xạ.
Cho E là một không gian lồi địa phương, ta kí hiệu E ' = ( E ', b∗ ) với tôpô mạnh
b∗ = b ( E ', E ) . Khi đó E '' = ( E ') ' cũng là một không gian lồi địa phương và ta có thể so sánh
E với E ''

Với mọi x ∈ E ta có phiếm hàm tuyến tính J ( x ) trên E ' xác định bởi: J ( x )( x ') = x ' ( x ) với
mọi x ' ∈ E ' . Vì J ( x=
)( x ') x '( x) ≤ p{x} ( x ') với mọi x ' ∈ E ' , ta có J ( x) ∈ E '' . Dễ thấy rằng
J : E → E '', x  J ( x) là đơn ánh tuyến tính

Tương tự trường hợp không gian định chuẩn, có thể đồng nhất E với không gian con
J ( E ) ⊂ E '' . Tuy nhiên tôpô trên E ≡ J ( E ) có thể không trùng với tôpô trên E cảm sinh bởi

tôpô trên E '' .
Không gian lồi địa phương E gọi là nửa phản xạ nếu E = E '' như các không gian vectơ và
gọi là phản xạ nếu E = E '' như là các không gian lồi địa phương.

Định lí: Không gian lồi địa phương E nửa phản xạ nếu và chỉ nếu mọi tập bị chặn trong E
là compact yếu tương đối.

1.3.4.2 Không gian thùng.
Cho E là một không gian lồi địa phương. Ta gọi b** là tôpô địa phương trên E cảm sinh
bởi tôpô trên E '' .
Cho tập M ⊂ E . M gọi là một cái thùng của E nếu M tuyệt đối lồi, đóng và hút, M gọi là
hút các tập bị chặn nếu mọi tập bị chặn B trong E , tồn tại λ > 0 sao cho B ⊂ λ M .
Không gian lồi địa phương gọi là không gian tựa thùng nếu mọi cái thùng hút các tập bị
chặn là lân cận của 0. Không gian lồi địa phương gọi là không gian thùng nếu mọi cái thùng
đều là lân cận của 0.

max
i∈M


nửa chuẩn của một tôpô lồi địa phương trên E , gọi là tôpô xạ ảnh trên E ứng với hệ xạ ảnh
đã cho.
Dễ thấy rằng ánh xạ tuyến tính Φ : E → Π X i , Φ ( x) =
(π i ( x))i∈I là một đẳng cấu giữa E với
i∈I

tôpô xạ ảnh và Φ ( E ) với tôpô tích. Tôpô xạ ảnh là tôpô yếu nhất để tất cả các ánh xạ π i liên
tục.

Định lý: Mọi không gian lồi địa phương E đều có tôpô xạ ảnh ứng với một hệ xạ ảnh phù
hợp của các không gian Banach.

Chứng minh:
Giả sử

{ }

α α ∈Λ

là một hệ cơ bản các nửa chuẩn của E . Ký hiệu Eα là không gian Banach

địa phương theo nửa chuẩn . α . Gọi τ là tôpô trên E tương ứng với hệ xạ ảnh

{λ

α

Không gian chặn nội còn có tên gọi là không gian bonologic hay không gian Mackey.

Định lý: Mọi không gian lồi địa phương khả mêtric là không gian chặn nội. Nếu E là
không gian chặn nội thì E ' là không gian đầy đủ.
Không gian lồi địa phương E gọi là không gian siêu chặn nội nếu E có tôpô của một hệ
quy nạp của một hệ { ji : Ei → E}i∈I của các không gian Banach.

Không gian Schwartz:
Không gian lồi địa phương E gọi là không gian Schwartz nếu mọi lân cận tuyệt đối lồi U
trong E , tồn tại lân cận tuyệt đối lồi V sao cho mọi ε > 0 , tồn tại các điểm x1 ,..., xn ∈ V để
n

cho V ⊂  ( xi + εU ) .
i =1

Không gian Montel:
Ta gọi không gian Montel là một không gian tựa thùng, mọi tập con bị chặn đều compact
tương đối.

Định lý: Nếu E là không gian Montel thì E ' cũng là không gian Montel.
1.5 Không gian Fretchet và DF- không gian.
1.5.1 Hệ cơ bản tăng các nửa chuẩn.
Cho E là không gian lồi địa phương có một hệ cơ bản các nửa chuẩn
thay . n bởi max .
1≤ j ≤ n

j

ta có thể giả thiết x n ≤ x


Hệ quả: Nếu E là không gian Frechet thì E '' là không gian Frechet và E có thể coi là
không gian con đúng của E '' .
1.6 Định lý Baire.
Cho ( X , Τ ) là một không gian tôpô Hausdorff, thỏa mãn một (hoặc hai) tính chất sau đây:
(A) Tồn tại một mêtric d trên X với ( X , d ) là một không gian mêtric đầy và Τ là một
tôpô mêtric.
(B) X là compact địa phương.
Giả sử có một dãy ( Fn )n≥1 các tập con đóng của X sao cho X =  n =1 Fn . Khi đó tồn tại số
∞

nguyên n ≥ 1 sao cho Int ( Fn ) ≠ ∅ .


Chương 2: CÁC KIẾN THỨC VỀ HÀM CHỈNH HÌNH
Như chương 1 chúng tôi đã trình bày, nội dung của luận văn là nghiên cứu tính chỉnh hình
của những hàm chỉnh hình theo từng biến. Các kiến thức về hàm chỉnh hình đã được học
trong chương trình giải tích phức. Tuy nhiên khi phối hợp với các kiến thức về giải tích hàm
để sử dụng các kiến thức về bất biến tôpô tuyến tính cần thêm nhiều kiến thức cơ bản hơn
nữa. Trong chương này, chúng tôi trình bày về lý thuyết các hàm chỉnh hình, các hàm chỉnh
hình theo từng biến để làm nền tảng cho các chương sau:
1. Định nghĩa của hàm chỉnh hình.
2. Các tính chất của hàm chỉnh hình.
3. Định nghĩa hàm chỉnh hình theo từng biến.
4. Hàm điều hòa, hàm đa điều hòa, hàm đa điều hòa dưới, hàm vét cạn.
5. Miền chỉnh hình, miền lồi chỉnh hình, miền giả lồi.
6. Tập giải tích, thành phần bất khả quy, quỹ tích kì dị.
7. Các khái niệm trong đa tạp phức.
8. Lý thuyết Stein.
9. Không gian giải tích, bó giải tích coherent trên đa tạp Stein.
2.1 Hàm chỉnh hình.

bởi

.

Khoảng cách Euclide giữa hai vectơ z , w được cho bởi: dist ( z , w )=:

z−w .

Một chuẩn tương đương là chuẩn sup hoặc modun của một vectơ:
z := max zv
v =1,.., n

Br ( zo ) :=
{ z ∈ n : dist ( z, zo ) < r} được gọi là hình cầu bán kính r tâm zo

=
Đặt r

rv > 0 , zo ( z1(0) ,..., zn(0) ) ∈  n . Khi đó
( r1 ,.., rn ) ∈  n , tất cả=

{

}

P n ( zo , r ) :=z ∈  n : zv − zv(0) < rv , v =
1,..., n được gọi là đa đĩa (mở) với đa bán kính r và tâm
zo . Nếu D kí hiệu một đa đĩa trong C thì P n := P1n (0) = D × ... × D được gọi là đa đĩa đơn vị

quanh 0.


:= sup f v .
M

Chuỗi

∑

v≥0

∑
fv

v >0

M

f v được gọi là hội tụ chuẩn tắc trên M nếu chuỗi những số thực dương

hội tụ.

Cho {av : v ∈  n } là một họ những số phức và zo ∈  n là một điểm. Khi đó

∑a (z − z )
v≥0

v

v


v

hội tụ trên U

đến f ( z ) .
Tập hợp các hàm chỉnh hình trên B được kí hiệu là H ( B ) .

Hàm khả vi phức:
Định nghĩa: Cho B ⊂  n là một tập mở, zo ∈ B . Một hàm f : B → C được gọi là khả vi
phức tại zo nếu tồn tại một ánh xạ ∆ : B →  n sao cho những điều sau đây đúng:
1. ∆ liên tục tại zo
2. f ( =
z ) f ( zo ) + ( z − zo ) .∆ ( z ) với z ∈ B
t


f khả vi phức tại zo thì f liên tục tại đó.

Một hàm f được gọi là khả vi phức trong một tập mở B nếu nó khả vi phức tại mỗi điểm
của B . Khi đó đạo hàm từng phần của f được kí hiệu là f z trên B .
v

Tổng, tích, và thương của các hàm khả vi phức là khả vi phức.

Hàm chỉnh hình yếu:
Cho B ⊂  n là một tập mở, zo ∈ B và f là một hàm giá trị phức trên B . Với w ∈  n , w ≠ 0
đặt ϕ w :  →  n được xác định: ϕ w (ζ )=: zo + ζ w
Khi đó f  ϕ w (ζ ) xác định với ζ

đủ nhỏ. Nếu f khả vi phức tại zo thì ta có

Mệnh đề: Nếu B ⊂  n là một tập mở, và f : B →  là một hàm chỉnh hình khi đó f là khả
vi phức trên B .

Chứng minh: Cho zo ∈ B là một điểm bất kì. Do f chỉnh hình nên có một chuỗi lũy thừa
S ( w)

hội

tụ

compact

gần

0

đến

một

hàm

chỉnh

hình

g sao

cho


...
C f ( z ) : =
 ∫ k f ( z, ζ ) dζ : 
 ∫ ... ∫ f (ζ )
(ζ 1 − z1 ) (ζ n − zn )
 2π i  T
 2π i =
 ζ1 r1=
ζ n rn
n

n

được gọi là tích

phân Cauchy của f trên T . Rõ ràng C f là hàm liên tục trên P .

Định lý ( Công thức tích phân Cauchy):
Cho P, T như trên và U = U ( P) là lân cận mở của tập đóng của P . Nếu f chỉnh hình yếu
trên U thì C f

T (z)

= f ( z ) với z ∈ P .

Chứng minh:
Nếu =
P Dr (0) × ... × Dr (0) , ta giả sử rằng U = U1 × ... × U n , với lân cận mở U i = U i ( Dr (0) ) , với
n


gần

cuối

zn −1

và

( z1 ,..., zn−2 ) ∈U1 × ... × U n−2 , ta đạt được :

f ( z '', zn −1 , zn )

f ( z '', ζ n −1 , zn )
f ( z '', ζ n −1 , zn )
1
 1 
d ζ n −1 
d ζ n d ζ n −1
=

∫
∫
∫
2π=
i ζ n−1 rn−1 ζ n −1 − zn −1
 2π i =
ζ n−1 rn=
ζ n rn (ζ n −1 − zn −1 )(ζ n − zn )
−1



Hơn nữa f chỉnh hình yếu trên B , zo ∈ B và P compact tương đối trong B . Khi đó có một
chuỗi lũy thừa
=
S ( z)

∑

av ( z − zo ) hội tụ đến f trên P .
v

v≥0

Định lý duy nhất:
Cho f1 , f 2 là hai hàm chỉnh hình trên miền G ⊂  n . Nếu có một tập con khác rỗng U ⊂ G
sao cho f1

U

= f2

U

thì khi đó f1 = f 2 .

Chứng minh: Ta có các định nghĩa sau:
Cho v
=

( v1 ,..., vn ) ∈  n . Khi đó


v

V

≡ 0 và V ⊂ N . Suy ra N là tập mở. Vì tất

cả các đạo hàm D v f liên tục, N là đóng. Vì G là một miền nên nó liên thông. Do đó ta có
N = G và f1 = f 2 .

Nguyên lý cực đại:
Cho G ⊂  n là một miền, f : G →  là một hàm chỉnh hình. Nếu có một điểm zo ∈ G sao
cho f đạt cực đại địa phương tại zo thì f là hằng số.

Chứng minh:
Ta xét ánh xạ ϕ w :  →  n với ϕ w (ζ =
) zo + ζ w , với w ≠ 0 bất kì. Khi đó f  ϕw là hàm chỉnh
hình môt biến phức, xác định gần ζ = 0 . Vì f  ϕ w đạt cực đại tại gốc, hàm này phải là
hằng số trong một lân cận của gốc. Nhưng hướng w được chọn tùy ý vì vậy f cũng là hằng
số trong một lân cận của 0 ∈  n . Theo định lý duy nhất suy ra rằng f là hằng số trên G .