BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
KHOA TOÁN


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
CHUYÊN NGÀNH HÌNH HỌC

Đề tài :

SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ NGHIÊN CỨU
MỘT SỐ TÍNH CHẤT TRONG TAM
GIÁC

GVHD : Th.S LÊ NGÔ HỮU LẠC THIỆN
SVTH : TRẦN HUỲNH ANH
LỚP :

TOÁN 5C – VŨNG TÀU

Niên khóa 2007 – 2012
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH, THÁNG 5 NĂM 2012


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Mục lục
LỜI MỞ ĐẦU ...................................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1 : MỘT SỐ LÝ THUYẾT CƠ BẢN ................................................................ 2
I. TỔNG QUAN VỀ SỐ PHỨC ....................................................................................... 2
1. Biễu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ. ................................................................ 2

1. Đường thẳng. ........................................................................................................... 17
1.1. Điểm chia đoạn thẳng. ...................................................................................... 17
1.2. Phương trình tham số. ...................................................................................... 18
1.3. Phương trình tổng quát. .................................................................................... 18
1.4. Điều kiện trực giao, thẳng hàng. ...................................................................... 20
2. Đường tròn. ............................................................................................................ 20
2.1. Phương trình tổng quát. .................................................................................... 20
2.2. Phương trình tham số. ...................................................................................... 21
CHƯƠNG 2 : SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ NGHIÊN CỨU MỘT SỐ TÍNH CHẤT
TRONG TAM GIÁC .......................................................................................................... 23
1. Tích thực của hai số phức. ...................................................................................... 23
2. Tích phức của hai số phức....................................................................................... 24
3. Tâm tỉ cự và một số điểm đặc biệt trong một tam giác. .......................................... 27
4. 9 điểm của đường tròn Euler. ................................................................................ 29
5. Các khoảng cách đặc biệt trong tam giác. .............................................................. 31
5.1 Các bất biến cơ bản của tam giác. .................................................................... 32
5.2 Khoảng cách OI. ................................................................................................ 33
5.3 Khoảng cách ON. .............................................................................................. 34
5.4 Khoảng cách OH. ............................................................................................. 35
6 Khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng của tam giác. ................................... 36
6.1 Tọa độ tỷ cự. ...................................................................................................... 36
6.2 Khoảng cách giữa hai điểm theo các tọa độ tỷ cự. ........................................... 37
7. Diện tích của một tam giác theo tọa độ tỷ cự......................................................... 38
8 Các tam giác trực giao............................................................................................. 41


8.1 Đường thẳng Simpson và tam giác thủy túc. ................................................... 41
8.2 Điều kiện cần và đủ về tính trực giao. .............................................................. 45
CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ............ 47
1. Dạng 1: Sử dụng tích thực và tích phức để chứng minh tính vuông góc, thẳng

Em đặc biệt cảm ơn thầy LÊ NGÔ HỮU LẠC THIỆN đã dành nhiều thời gian
và công sức để đọc, hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn
thành bài khóa luận này.
Em cũng xin chân thành cảm ơn QUÝ THẦY CÔ và BAN CHỦ NHIỆM
KHOA TOÁN đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn chúng em trong suốt quá trình học
tập tại trường và đã tạo điều kiện cho em thực hiện bài khóa luận này.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 5 năm 2012.
Sinh viên thực hiện
Trần Huỳnh Anh


CHƯƠNG 1 : MỘT SỐ LÝ THUYẾT CƠ BẢN
I. TỔNG QUAN VỀ SỐ PHỨC
1. Biễu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ.
Xét số phức z  x  iy ( x , y   ).
Trong mặt phẳng cho hai trục tọa độ Ox , Oy vuông góc nhau. Điểm Z (x , y )
được gọi là điểm biểu diễn, hay là ảnh hình học (ảnh) của số phức z .
Ngược lại, với mỗi điểm thực Z 1(x 1, y1 ) trong mặt phẳng tọa độ cho ta duy nhất
một số phức z 1  x 1  iy1 , z 1 được gọi là tọa độ phức của điểm Z 1 .
Mặt phẳng mà trong đó mỗi điểm thực được xem như ảnh của một số phức
được gọi là mặt phẳng Gauss, mặt phẳng Cauchy, hoặc là mặt phẳng biến phức.
Hệ quả.
10. Trục Ox là quỹ tích ảnh của các số thực. Trục Oy là quỹ tích ảnh của các
số ảo. Đó là lí do tại sao Ox và Oy thỉnh thoảng được gọi là trục thực và trục ảo của
mặt phẳng Gauss.
20. Số –z là tọa độ phức của điểm đối xứng với điểm Z qua gốc tọa độ O.
2. Tọa độ liên hợp.
Số phức liên hợp với z  x  iy luôn xác định và được kí hiệu z  x  iy đọc
là “ z ngang”. Ảnh Z của số phức z là điểm đối xứng với điểm Z qua trục Ox .
3. Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức.

Khi z  0 , ta chọn r  0 và q tùy ý.
Ta có : z  re iq .
4. Vectơ và số phức.


Ảnh Z của số phức z được xác định khi ta biết vectơ OZ . Khi đó ta nói rằng
số phức z được biểu diễn bởi vectơ này. Số phức và vectơ có môđun bằng nhau và ta
có thể nói rằng argument của số phức cũng chính là argument của vectơ.
5. Các phép toán số phức.
5.1 Phép cộng.
Nếu n số phức z k  x k  iyk (k  1, 2,.., n ) có n ảnh Z k thì tổng của chúng là
z  z 1  z 2  ...  z n (1)

có ảnh Z được xác định bởi phương trình hình
  

học OZ  OZ 1  OZ 2  ...  OZ n (2).
Giả sử Z x , y  . Ta tìm tọa độ của Z dựa
vào phương trình (2). Bằng cách lấy đại số trên
trục Ox , sau đó trên trục Oy , ta có được hai
phương trình đại số x   x k , y = yk .
phương trình (1).

Do đó x  iy   (x k  iyk ) , đây chính là

5.2 Phép trừ.
Nếu các số phức z 1, z 2 được biểu thị
 
bởi các vectơ OZ 1, OZ 2 thì hiệu số
z  z1  z 2


0
1 . Quay vectơ OZ 1 quanh O một góc bằng với

argument của vectơ OZ 2 .

20. Nhân vectơ vừa thu được với mođun của

vectơ OZ 2 .
Nếu r1, r2 và q1, q2 lần lượt là mođun và argument của z 1, z 2 thì ta có
iq

iq

z 1  r1e 1 , z 2  r2e 2 .
Vì vậy z  z 1z 2  r1r2e

i (q1 q2 )

.

Khi đó arg z   q1  q2 và mođun của z là r1r2  OZ 1.OZ 2 .
Ta lấy điểm U trên trục Ox có hoành độ 1 . Điểm Z mà ta tìm kiếm chính là đỉnh
thứ ba trong tam giác OZ 1Z đồng dạng với tam giác OUZ 2 với


OZ 1
OZ

(Ox ,OZ )  q1  q2,

Điểm Z là đỉnh thứ ba của tam giác OZ 1Z
đồng dạng với tam giác OZ 2U .
Như vậy ta đã thực hiện phép chia như là trường hợp ngược lại của phép nhân.
6. Căn bậc n của đơn vị.
6.1 Định nghĩa căn bậc n của số phức.
Xét số nguyên dương n  2 và một số phức z 0  0 . Phương trình
Z n  z0  0

(1)

được dùng định nghĩa căn bậc n của số phức z 0 . Ta gọi nghiệm Z của phương trình
(1) là một căn bậc n của z 0 .
Định lí. Đặt z 0  r (cos q  i sin q ) là một số phức với r  0 và q  [0, 2p).
Căn bậc n của z 0 gồm n nghiệm phân biệt được cho bởi công thức

Z k  n r (cos

q  2k p
q  2k p
 i sin
), k  0,1,..., n  1.
n
n

Chứng minh.
Biểu diễn số phức Z dạng lượng giác, tức là Z  r (cos j  i sin j ) .
Theo định nghĩa, ta có Z n  z 0  r n (cos nj  i sin nj )  r (cos q  i sin q )


r  n r

argument. Ta có n nghiệm phân biệt của z 0 là Z 0 , Z 1,..., Z n 1.
Ta chứng minh phương trình có đúng n nghiệm phân biệt.

Xét số nguyên k bất kì, và đặt r  0,1,..., n  1 là phần dư của k chia cho n . Khi
đó k  nq  r , q   và jk 
Rõ ràng Z k  Z r . Do đó

Z

k

q
q
2p
2p
 (nq  r )
 r
 2q p  jr  2q p.
n
n
n
n

: k    Z 0, Z 1,..., Z n 1  .

Nói cách khác phương trình có đúng n nghiệm phân biệt.
Biểu diễn hình học của các căn bậc n của số phức z 0  0 là các đỉnh của một

n giác đều nội tiếp đường tròn có tâm tại gốc tọa độ và bán kính n r .
Để chứng minh điều này, ta kí hiệu các điểm M 0 , M 1,..., M n 1 với các tọa độ

n 1
0
n
n



Bởi vì tất cả các cung M
M 1, M
M 2 ,...., M
M 0 đều bằng nhau nên đa giác
0
1
n 1
M 0M 1...M n 1 đều.

6.2 Căn bậc n của đơn vị.
Một nghiệm của phương trình Z n  1  0 gọi là một căn bậc n của đơn vị.
Vì 1  cos 0  i sin 0 , từ công thức tìm căn bậc n của số phức, ta suy ra căn bậc n
của đơn vị là

ek  cos

2k p
2k p
 i sin
, k  0,1, 2,..., n  1
n
n


với n cạnh nội tiếp đường tròn đơn vị với gốc O và bán kính 1.
Ta xét một vài giá trị đặc biệt của n .
i. Với n  2 , căn bậc hai của 1 là (nghiệm của phương trình Z 2  1  0 ) 1 và 1 .
ii. Với n  3 , căn bậc 3 của đơn vị (nghiệm của phương trình Z 3  1  0 ) được
cho bởi

ek  cos
Do đó e0  1, e1  cos

2k p
2k p
 i sin
, k  0,1, 2 .
3
3

2p
2p
1
3
 i sin
  i
e
3
3
2
2

4p
4p

e2  cos p  i sin p  1; e3  cos
 i sin
 i.
2
2

 e0  cos 0  i sin 0  1; e1  cos


Tức là U 4  1, i, i 2, i 3   1, i,  1,  i  . Biểu diễn hình học của chúng là hình
vuông nội tiếp đường tròn C (0;1) .

II. NHỮNG PHÉP BIẾN HÌNH CƠ BẢN
1. Phép biến hình.
Phép đặt tương ứng với mỗi điểm Z cho duy nhất một điểm Z  trong mặt
phẳng Gauss tạo thành một phép biến hình trong mặt phẳng và được kí hiệu là w .
Ta chỉ xét đến một phép biến hình mà trong đó:
10. với mỗi điểm Z có tương ứng một điểm duy nhất Z  ;
20. mỗi điểm Z  là sự tương ứng của một điểm Z .
Như vậy phép biến hình w là một - một; điểm Z  là ảnh của điểm Z .
Phép đặt tương ứng mỗi điểm Z  cho ta điểm Z được gọi là phép biến hình
ngược của w , kí hiệu w 1 và Z  được gọi là ảnh ngược của Z .
Phương trình của một phép biến hình w là sự liên hệ giữa tọa độ phức z của
điểm Z tùy ý trong mặt phẳng và tọa độ phức z  của điểm Z  tương ứng với Z .

2. Phép tịnh tiến.
Đặt A là một điểm cho trước và Z là một điểm tùy ý trong mặt phẳng và đặt a
và z là các tọa độ phức của chúng.
 


xứng tâm A , khi đó

e ip  cos p  i sin p  1 ,
Phương trình của nó là z   z  2a .
4. Phép vị tự.
Một điểm A cho trước có tọa độ phức a
và một số thực k  0 .Ta đặt một trục tùy ý trên
đường thẳng chứa điểm A và một điểm Z bất kì.
Lấy điểm Z  bất kì trên trục sao cho

AZ 

k .

AZ
Khi đó, Z  được gọi là ảnh của Z qua phép vị tự
tâm A tỉ số k.


Ta có AZ   kAZ
hay z   a  k (z  a ).
Phương

trình

của

phép

vị

b  a  AB.e

Suy ra

i (x ,a 2 )

i (x ,a1 )

c a
AC i[(x ,a2 )(x ,a1 )]

e
.
b a
AB

Theo hệ thức Mobius (a1,a2 )  x , a2  – x , a1  ta thu được phương trình cần tìm.
6. Đối xứng trục.
Trên một đường thẳng cho trước lấy hai điểm A, B . Gọi điểm Z  là điểm đối
xứng với điểm Z qua đường thẳng AB. Gọi d1, d2 là các trục được đặt một cách tùy ý
trên đường thẳng AZ và BZ . d1 và d2 lần lượt là các trục đối xứng với d1, d2 qua
đường thẳng AB. Ta có

a  z  (b  z )e

i (d2 ,d1 )

a  z   (b  z )e

.


(4)


Nếu ta chia phương trình (2) cho phương trình (4), vế theo vế, kết hợp với (3),
ta có được phương trình của phép đối xứng có dạng
a z b z

a z
b z

a z a z

b z b z

hoặc
hoặc

z 

a b

z

(5)

ab  ab

.
(6)


z 

mz  p  mm

.
z m
Chú ý. Khi M trùng O và p  1 , phương trình của phép nghịch đảo là

z 

1
z

.

8. Điểm vô tận trong mặt phẳng Gauss.
Mặt phẳng Gauss (được gắn với hệ tọa độ phức) chỉ chứa một điểm tại vô tận
tương ứng với z bằng vô cực.


Do cực M của phép nghịch đảo không có ảnh nên ta bổ sung cho mặt phẳng
Gauss một điểm tại vô tận và điểm này chính là ảnh của cực M .
9. Tích của các phép biến hình.
Xét phép biến hình w1 biến điểm Z thành điểm Z 1 , ta viết Z 1  w1[Z ] và phép
biến hình w2 biến điểm Z 1 thành một điểm Z 2 ta viết Z 2  w2 [Z 1 ].
Khi đó, ta có Z 2  w2 w1[Z ] hay ta có thể viết Z 2  w2w1[Z ] (11)
Phép biến hình w cho phép ta biến trực tiếp điểm Z thành điểm Z 2 được gọi là tích
các phép biến hình w1, w2 được thực hiện theo thứ tự này.
Phương trình (11) và Z 2  w(Z ) cho phép ta quy ước w  w2w1 .

giá trị đại số a1, a2 .
Nếu phép quay w1 biến điểm Z thành Z 1
và phép quay w2 biến điểm Z 1 thành điểm Z 2 ,
tức là

z 1  ze

ia1

z 2  z 1e

ia2

ia

 a1(1  e 1 )
ia

 a2 (1  e 2 )

thì phương trình của phép biến hình w2w1 mà
biến điểm Z thành điểm Z 2 là

z 2  ze

i (a1 a2 )

ia

 a1(1  e 1 )e

 a2 (1  e

i ( a1 a2 )

ia2

).

10. Phép đối hợp.
Một phép biến hình w được gọi là phép đối hợp nếu qua w điểm Z biến thành
điểm Z  và điểm Z  cũng biến thành Z .
Tích của hai phép biến hình đối hợp w là phép đồng nhất nghĩa là

ww  1 hoặc w 2  1 .
Hơn nữa, ta thấy rằng một phép biến hình là đối hợp nếu bình phương của nó là phép
đồng nhất.
Nếu nhân hai vế của phương trình trên với w 1 , ta được
www 1  w 1 hay w  w 1 .

Do đó, một phép biến hình là đối hợp nếu nó đồng nhất với nghịch đảo của nó.


Phép đối xứng tâm, đối xứng trục, phép nghịch đảo là các phép đối hợp.
III. TỈ SỐ KÉP
1. Định nghĩa và giải thích.
Tỉ số kép (A.R.) của bốn điểm phân biệt Z 1, Z 2 , Z 3 , Z 4 trong mặt phẳng
Gauss, theo thứ tự đó được định nghĩa thông qua
các tọa độ phức z 1, z 2, z 3, z 4 được kí hiệu
(Z 1Z 2Z 3Z 4 ) hoặc (z 1z 2z 3z 4 ) và


Z 1Z 3

:

Z 1Z 4

Z 2Z 3 Z 2Z 4

Nếu ta chọn các trục a13 , a14 , a23, a24 sao cho

)e

i [(a23 ,a13 )(a24 ,a14 )]

Z 1Z 3

:

Z 1Z 4

Z 2Z 3 Z 2Z 4

dương thì tỉ số này là

mođun của tỉ số kép và một argument là (a23, a13 )  (a24 , a14 ).
Điều này xảy ra tương tự nếu ta lấy
( z 1z 2z 3z 4 )  (Z 1Z 2Z 3Z 4 )  (

Z 1Z 3
Z 2Z 3


(Z 1Z 3Z 4Z 2 )  (Z 3Z 1Z 2Z 4 )  (Z 4Z 2Z 1Z 3 )  (Z 2Z 4Z 3Z 1 ) 

1
;
1l

(Z 1Z 4Z 2Z 3 )  (Z 4Z 1Z 3Z 2 )  (Z 2Z 3Z1Z 4 )  (Z 3Z 2Z 4Z1 ) 

l 1
;
l

(Z 1Z 4Z 3Z 2 )  (Z 4Z 1Z 2Z 3 )  (Z 3Z 2Z 1Z 4 )  (Z 2Z 3Z 4Z1 ) 

l
.
l 1

1
l 1
, (Z 1Z 4Z 2Z 3 ) 
của tỉ số kép có
1l
l
được bằng cách giữ có định điểm đầu tiên và hoán vị vòng tròn ba điểm còn lại là ba tỉ
số cơ bản của tỉ số kép.
40. Nếu bốn điểm phân biệt thì tỉ số kép của chúng khác 1, 0,  .
30. (Z 1Z 2Z 3Z 4 )  l , (Z 1Z 3Z 4Z 2 ) 


mang điểm đó thay vào vị trí này. Vì vậy,
(Z 1Z 3Z 4 )  (Z 3Z 4Z 1) 

z 3  z1
.
z 4  z1

Hệ quả. Với mỗi số phức z , tỉ số kép được xác định bởi điểm Z , điểm U
trên trục Ox có hoành độ bằng 1, gốc O, và một điểm ở vô tận cho ta
(ZUO )  (Z 10)  z .
4. Tỉ số kép thực.
Để tỉ số kép của bốn điểm Z 1, Z 2 , Z 3, Z 4 trong mặt phẳng phức là thực điều
kiện cần và đủ là những điểm này phải cùng thuộc một đường thẳng hoặc cùng thuộc


một đường tròn. Khi đó tỉ số kép này cũng được xét tương tự như tỉ số kép được xét
trong hình học sơ cấp.
Ta có
 Z Z Z Z 

i [(a ,a )(a ,a )]
(Z 1Z 2Z 3Z 4 )   1 3 : 1 4 e 23 13 24 14 (1),
 Z Z Z Z 
2 3
2 4
điều kiện cần và đủ để tỉ số này thực là với n   ta có
(a23 , a13 )  (a24 , a14 )  np

(2)


tròn g .
Các điểm Z 3, Z 4 có thể thuộc hoặc không thuộc một
cung chung xác định bởi các điểm Z 1, Z 2 .


Nếu điểm M là điểm chính giữa của cung không chứa Z 3 thì các đường thẳng
MZ 3 , MZ 4 là đường phân giác trong của các góc (a23 , a13 ), (a24 , a14 ) và giao với

đường thẳng Z 1Z 2 tại Z 3, Z 4 .
Trong cả hai trường hợp (Hình 16 và hình 17) ta đều có
Z 1Z 3
Z 2Z 3



Z 1Z 3
Z 2Z 3

,

Z 1Z 4
Z 2Z 4



Z 1Z 4
Z 2Z 4

.


1k

y

y1  ky2
.
1k

Vì z  x  iy, z 1  x 1  iy1, z 2  x 2  iy2
nên ta có phương trình (1).



 OZ  kOZ
1
2
Kết quả này cũng suy ra từ phương trình vectơ OZ 
.
1k

Hệ quả. Với k  1 ta có tọa độ phức trung điểm của đoạn thẳng Z 1Z 2 là
z

z1  z 2
.
2


1.2. Phương trình tham số.


Hệ quả:
10. Mỗi đường thẳng thực chứa điểm vô tận của mặt phẳng Gauss.
20. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm Z 1(z 1 ), Z 2 (z 2 ) là:
z  z 1  (z 1  z 2 )t

30. Ba điểm Z 1, Z 2 , Z 3 thẳng hàng, với t là một số thực, ta có:
z 3  z 1  t(z 1  z 2 )


 Z 1Z 3  tZ 2Z 1 .

1.3. Phương trình tổng quát.
Phương trình tổng quát của đường thẳng trong mặt phẳng Gauss có dạng:

az  az  b  0 (b  ) (3).
Đường thẳng này luôn đi qua điểm có tọa độ phức là 

b
và vuông góc với véctơ
2a

biểu diễn số a .
Thật vậy, phương trình tổng quát của đường thẳng trong tọa độ Descartes là
ax  b y  g  0 (a, b , g  ).
Khi đó các điểm thực Z (z ) của đường thẳng này thỏa mãn phương trình:


a(z  z ) 

b


Phương trình (3) chứa Z 1, Z 2 nếu

az 1  az 1  b  0

(5)

az 2  az 2  b  0

(6)

Hệ phương trình tuyến tính (3), (5), (6) có nghiệm (a, a, b) không tầm thường nên ta
có phương trình (4).
20. Ba điểm Z 1, Z 2 , Z 3 thẳng hàng nếu:

z1
z2
z3

z1

1

z2 1  0
z 1
3

30. Đường thẳng qua điểm Z 1(z 1 ) và song song với vectơ biểu diễn số phức c
là:


z 2  z1

Tính chất 2. Các đường thẳng M 1M 2 và M 3M 4 trực giao khi và chỉ khi
z1  z 2
 i .
z3  z4

Chứng minh.
 p 3p 


Ta có M 1M 2  M 3M 4  (M 1M 2, M 3M 4 )  
 , 


2 2 



 arg

z1  z 2 
z  z2
 p 3p 


 i .
 , 
 1
z3  z4 

Trong mặt phẳng phức, phương trình của đường tròn là

zz  a(z  z )  i b (z  z )  g  0
 zz  (a  i b )z  (a  i b )z  g  0
Nếu ta đặt a  i b  a, a  i b  a, g  b (2) thì ta được dạng phương trình (1).
Từ các phương trình (2) ta tìm được tọa độ phức của tâm và bình phương bán kính là

a  i b  a, a 2  b 2  g  (a  i b )(a  i b )  g  aa  b.
2.2. Phương trình tham số.
Trong mặt phẳng Gauss, phương trình
at  b
(3)
ct  d
trong đó a, b, c, d là các hằng số phức thỏa ad  bc  0 (4) và t là tham số có thể
lấy tất cả các giá trị thực, biểu diễn:
z

d
là số thực.
c
20. một đường tròn trong tất cả các trường hợp còn lại.

10. một đường thẳng nếu c  0 hoặc

* Khi c  0 , ta có ad  0 ( do (4)), và phương trình (3) trở thành z 
biểu diễn một đường thẳng.

a
b
t ,

, z0  z  
,
c(c  d )
d (c  d )
cd

thỏa mãn (4).
Hơn nữa, (zz 1z 0z  ) 

z  z0 z  z
:
z1  z 0 z1  z 

(ad  bc)t bc  ad
d (ct  d ) c(ct  d )
:

 t.
ad  bc
bc  ad
d (c  d ) c(c  d )