BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lương Trọng Tường

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ
DẠY HỌC KHÁI NIỆM CĂN BẬC
HAI Ở BẬC TRUNG HỌC CƠ SỞ VÀ
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lương Trọng Tường

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ
DẠY HỌC KHÁI NIỆM CĂN BẬC
HAI Ở BẬC TRUNG HỌC CƠ SỞ VÀ
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số: 60.14.10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN ÁI QUỐC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

1.2.1.2. Các tổ chức toán học ..........................................................................13
1.2.1.3. Kết luận từ phân tích SGK7 ...............................................................17
1.2.2. Sách giáo khoa Toán lớp 9 .......................................................................18
1.2.2.1. Lý thuyết ............................................................................................18
1.2.2.2. Các tổ chức toán học ..........................................................................30
1.2.2.3. Kết luận từ phân tích SGK9 ...............................................................47
1.2.3. Tổng kết phân tích khái niệm căn bậc hai ở lớp 7 và lớp 9 .....................47
1.2.4. Sách giáo khoa toán lớp 12 cơ bản ...........................................................49
1.2.4.1. Lý thuyết ............................................................................................49
1.2.4.2. Các tổ chức toán học ..........................................................................53
1.2.5. Sách giáo khoa toán lớp 12 nâng cao .......................................................57
1.2.5.1. Lý thuyết ............................................................................................57
1.2.5.2. Các tổ chức toán học ..........................................................................61


1.2.6. Tổng kết phân tích trên SGK12cb và SGK12nc ......................................67
Chương 2. THỰC NGHIỆM ..................................................................................69
2.1. Mục đích thực nghiệm ....................................................................................69
2.2. Hình thức và tổ chức thực nghiệm..................................................................69
2.3. Thực nghiệm đối với học sinh ........................................................................70
2.3.1. Hình thức thực nghiệm .............................................................................70
2.3.2. Phân tích tiên nghiệm (a priori) các bài toán thực nghiệm ......................70
2.3.3. Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) các bài toán thực nghiệm ................76
2.4. Thực nghiệm đối với giáo viên .......................................................................79
2.4.1. Hình thức thực nghiệm .............................................................................79
2.4.2. Nội dung câu hỏi thực nghiệm .................................................................79
2.4.3. Phân tích các trả lời nhận được từ giáo viên ............................................81
KẾT LUẬN CHUNG ..............................................................................................85
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................87
PHỤ LỤC


Hoạt động

SGK

:

Sách giáo khoa hiện hành

SGK6

:

Sách giáo khoa Toán lớp 6 hiện hành

SGK7

:

Sách giáo khoa Toán lớp 7 hiện hành

SGK9

:

Sách giáo khoa Toán lớp 9 hiện hành

SGK12cb :

Sách giáo khoa Giải tích 12 ban cơ bản hiện hành


Sách giáo viên Giải tích 12 ban cơ bản hiện hành

SGV12nc :

Sách giáo viên Giải tích 12 ban nâng cao hiện hành


DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1

Thống kê theo kiểu nhiệm vụ trong SGK7............................................ 17

Bảng 1.2

Các công thức biến đổi căn thức .......................................................... 29

Bảng 1.3

Thống kê theo kiểu nhiệm vụ trong SGK9 ........................................... 46

Bảng 1.4

Thống kê theo kiểu nhiệm vụ trong SGK12bc và SGK12nc ............... 67

Bảng 2.1

Thống kê các lời giải câu 1 của học sinh (phiếu số 1) ......................... 77


thực” để chỉ khái niệm căn bậc hai trên tập số thực, khi muốn nói đến căn bậc hai
trên tập số phức thì chúng tôi nêu rõ ràng: “căn bậc hai phức” hoặc “căn bậc hai trên
tập số phức”
Từ những ghi nhận trên, chúng tôi đặt ra những câu hỏi xuất phát:
- Khái niệm căn bậc hai được đưa vào chương trình phổ thông như thế nào,
thông qua những tình huống nào, với mục đích gì?

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học

LL & PP Dạy học môn Toán


2
- Sự tiến triển của khái niệm căn bậc hai từ khi mới xuất hiện đến khi được
được nghiên cứu hoàn chỉnh? Trong quá trình đó, nó phải chịu những ràng buộc
nào?
- Cùng với sự tiến triển của khái niệm căn bậc hai thì người học gặp phải
những khó khăn nào?
- Khái niệm căn bậc hai trên tập số phức được đưa vào chương trình như thế
nào, thông qua những tình huống nào, với mục đích gì? Khi chuyển từ căn bậc hai
trên trường số thực sang căn bậc hai trên trường số phức, học sinh có sự nhầm lẫn
nào giữa các khái niệm, ký hiệu liên quan hay không? Họ có mang những kiến thức
về căn bậc hai trên trường số thực sang áp đặt cho khái niệm này trên trường số
phức?
2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên
cứu này trong phạm vi didactic toán, cụ thể chúng tôi sử dụng các khái niệm công
cụ của Lý thuyết nhân chủng học (mối quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân với một
đối tượng tri thức, tổ chức toán học) và khái niệm hợp đồng didactic.
Trong phạm vi đã chọn cùng với những câu hỏi xuất phát, chúng tôi trình bày

làm rõ mối quan hệ thể chế với khái niệm căn, thấy được những ràng buộc của thể
chế lên khái niệm này.
- Từ phân tích trên, chúng tôi phát biểu giả thuyết nghiên cứu và xây dựng
thực nghiệm đối với giáo viên và học sinh để kiểm chứng tính xác đáng của các giả
thuyết đã phát biểu.
4. Tổ chức của luận văn
Luận văn bao gồm: phần mở đầu, hai chương và kết luận chung.
- Phần mở đầu, chúng tôi trình bày những ghi nhận ban đầu, lý do chọn đề
tài, câu hỏi xuất phát cho nghiên cứu; khung lý thuyết tham chiếu; phạm vi nghiên
cứu, mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu; tổ chức của luận văn.

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học

LL & PP Dạy học môn Toán


4
- Chương 1, chúng tôi nghiên cứu chương trình, tài liệu hướng dẫn giáo viên,
SGV và SGK. Việc phân tích SGK cho phép làm rõ các tổ chức toán học gắn liền
với khái niệm căn và các quy tắc của hợp đồng didactic liên quan đến việc dạy và
học khái niệm này.
Thông qua việc phân tích trên cho phép chúng tôi có thể xác định mối quan hệ
của thể chế với đối tượng căn, từ đó hình thành các giả thuyết nghiên cứu. Chúng
tôi chọn phân tích các sách giáo khoa Toán hiện hành: SGK7, SGK9; SGK12cb và
SGK12nc.
- Chương 2, chúng tôi xây dựng thực nghiệm và tiến hành đối với giáo viên,
học sinh để kiểm chứng một số giả thuyết nghiên cứu đã phát biểu.
- Phần kết luận chung, chúng tôi tóm tắt các kết quả đạt được ở hai chương
và đề xuất hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn này



Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học

LL & PP Dạy học môn Toán


6
Kỹ thuật giải cũng đã được thể chế gợi ý thông qua các yêu cầu được nêu tuần
tự câu a) đến câu b).
Có thể nói đây là lần đầu tiên học sinh được thực hiện phép toán ngược với
phép bình phương.
Số chính phương
Số chính phương được SGK6 giới thiệu sau đó thông qua một bài tập:
(SGK6, tr.31, BT72)
Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên (ví dụ: 0, 1, 4, 9, 16,
…). Mỗi tổng sau có là một số chính phương không?
a) 13 + 23
b) 13 + 23 + 33
c) 13 + 23 + 33 + 43

Những trích dẫn trên là minh chứng cho sự tồn tại ngầm ẩn của khái niệm căn
bậc hai trong chương trình lớp 6 (phạm vi Số học)
Ở lớp 6, a là số tự nhiên. Đến lớp 7, bài toán trên được mở rộng với a là một
số hữu tỉ:
(SGK7, tr.19, BT29)
2

16
16  4 
Viết số

phức

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học

LL & PP Dạy học môn Toán


7
Khái niệm căn bậc hai được giới thiệu tường minh vào giai đoạn 3 trong
chương trình lớp 7.
Chương trình lớp 7 giới thiệu: Định nghĩa căn bậc hai của một số không âm và
ký hiệu

với mục đích cần đạt được về mặt kiến thức là: học sinh “Hiểu thế nào là

căn bậc hai của một số không âm. Biết sử dụng đúng ký hiêu

“ (SGV7, tr.45).

Kiến thức về căn bậc hai của một số không âm được sử dụng ở cả chương
trình lớp 7 về sau và lớp 8 qua các bài toán tính giá trị của biểu thức, áp dụng định
lý Py-ta-go, giải phường trình bậc nhất một ẩn.
Khái niệm căn bậc hai số học, các tính chất và các phép biến đổi trên căn bậc
hai chưa được giới thiệu.
Như vậy một trong những vai trò của căn bậc hai như là cầu nối trên con
đường giới thiệu các tập số trong chương trình.
“Việc giới thiệu căn bậc hai … nhằm mục đích sớm hoàn chỉnh khái niệm số
cho học sinh” (SGV7, tr.4).
Trong chường trình lớp 9: khái niệm căn bậc hai được giới thiệu hoàn chỉnh.
Nội dung cụ thể như sau:

- Làm cơ sở cho các phép biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai.
Phương diện thứ nhất, học sinh hiểu về phép khai phương như là phép toán
một ngôi trên tập số thực không âm. Phương diện thứ hai, cần thiết cho kỹ năng
biến đổi trên các biểu thức toán học sau này. Chúng tôi nhận thấy rằng quá trình
chuyển từ phương diện thứ nhất sang phương diện thứ hai biểu thị bước chuyển từ
tính toán trên các số sang tính toán trên các chữ.
Học sinh được dành nhiều thời lượng nghiên cứu các vấn đề liên quan căn
thức bậc hai, chương trình chỉ yêu cầu học sinh biết cách xác định điều kiện có
nghĩa của căn thức bậc hai. Tuy nhiên, có điều đáng chú ý là “phần lớn các bài tập
trong sách có liên quan đến biểu thức chứa chữ đều cho trước điều kiện của các
chữ” và khi thực hiện biến đổi biểu thức, việc đối chiếu với điều kiện cũng không
bắt buộc phải nêu rõ ràng” (SGV9, tr.14).

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học

LL & PP Dạy học môn Toán


9
Chúng tôi nảy sinh một số câu hỏi:
- Tồn tại hay không một quy tắc của hợp đồng phát biểu tạm thời như sau:
RD1. “Học sinh không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện có nghĩa của căn
thức bậc hai khi làm việc với các biểu thức chứa chữ dưới căn”
- Việc tập trung phần lớn yêu cầu làm việc trên căn bậc hai số học, căn thức
bậc hai, các phép biến đổi trên căn thức bậc hai có làm lu mờ khái niệm căn bậc hai
của một số hay không?
Đến cuối chương trình 12, học sinh một lần nữa được nghiên cứu khái niệm
căn bậc hai, nhưng lần này là trên một trường số hoàn toàn mới – Trường số phức.
Các nội dung được giới thiệu: căn bậc hai của số thực dương, căn bậc hai của số
thực âm và căn bậc hai của số phức .

Khái niệm căn bậc hai được được chính thức đưa vào SGK7 trong bài “Số vô
tỉ - Khái niệm căn bậc hai” trong chương “Số hữu tỉ - số thực” sau khi đã nghiên
cứu số hữu tỉ.
Tình huống dẫn đến xuất hiện khái niệm căn bậc hai:
(SGK7, tr.40, Bài toán)
Cho hình vẽ, trong đó hình vuông AEBF có cạnh bằng 1m, hình vuông ABCD có
cạnh AB là một đường chéo của hình vuông AEBF.
a) Tính diện tích hình vuông ABCD.
b) Tính độ dài đường chéo AB.
Lời giải:
a) Có thể thấy ngay diện tích hình vuông ABCD bằng hai lần diện tích hình vuông
AEBF tức là bằng 2.1.1 = 2 (m2).
b) Nếu gọi x(m) (x>0) là độ dài cạnh AB của hình vuông ABCD thì ta có x2 = 2.
Người ta đã chứng minh được rằng không có số hữu tỉ nào bình phương bằng 2 và
đã tính được x = 1.4142135623730950488016887…
Ta gọi số như vậy là số vô tỉ.

Định nghĩa căn bậc hai
Sau khi giới thiệu số vô tỉ, SGK7 đưa ra một nhận xét:

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học

LL & PP Dạy học môn Toán


11
32 = 9 ; (-3)2 = 9 ta nói 3 và -3 là các căn bậc hai của 9.
rồi phát biểu định nghĩa căn bậc hai của một số:
“Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a.” (SGK7, tr.40)
Ký hiệu

giác vuông cạnh 1 đơn vị không thể giải quyết bằng định lý Py-ta-go. Ở đây, thể chế
chọn hướng giải quyết bằng việc tính diện tích dựa vào các diện tích thành phần
(hình vẽ). Có được kết quả sau: S=
S ABF 2 S AEBF .
4=
ABCD
Như vậy, khái niệm căn bậc hai của một số hình thành từ một tình huống hình
học, kéo theo một chướng ngại trong phạm vi số học (tìm một số hữu tỉ biết bình

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học

LL & PP Dạy học môn Toán


12
phương của nó bằng 2). Tình huống này mang lại một nghĩa về mặt số học cho khái
niệm căn bậc hai.
Như vậy, bài toán vừa nêu trên là tình huống dẫn đến sự xuất hiện khái niệm
căn bậc hai của một số không âm.
Trong định nghĩa căn bậc hai, số a không được chỉ rõ là thuôc tập số nào. Có
lẽ đây là một quy ước: Khi nói đến một số mà không nêu rõ thuôc tập số nào thì
mặc định là thuộc tập số lớn nhất đã biết (trong trường hợp này là tập số hữu tỉ).
Theo SGV7: Bài toán được đưa vào là để dẫn đến một ví dụ về số vô tỉ và số
vô tỉ đầu tiên học sinh được biết là

2.

được giới thiệu : “số dương a có đúng hai căn bậc hai, một số

Ký hiệu

13
1.2.1.2. Các tổ chức toán học
TB1: Tìm căn bậc hai của một số dương
τB 11 : Tính nhẩm chỉ ra hai số: b và -b thỏa b2 = a và (-b)2 = a.
Kết luận: b và –b là các căn bậc hai của a.
θ 1 1 : Định nghĩa căn bậc hai của một số, lũy thừa của một số hữu tỉ
Ví dụ: (SGK7, tr.41, nhận xét)
Nhận xét: 32 = 9 ; (-3)2 = 9.
Ta nói 3 và -3 là các căn bậc hai của 9.

Đặc điểm của TB1:
- Số dương a luôn có thể biểu diễn dễ dàng dưới dạng a = b2 : hoặc là số chính
phương (không vượt quá 36) hoặc phân số mà tử và mẫu là các số chính phương
(không vượt quá 36) hoặc một lũy thừa dạng hn
- Ít trường hợp số a được cho dưới dạng thập phân hữu hạn (a < 1), nếu có thì
cũng là số dễ dàng biểu diễn dưới dạng một bình phương (đã biết kết quả ở các bài
học liền trước).
- Kết quả chấp nhận: “số đúng”.
Việc cho số a như trên giúp cho các kỹ thuật nhẩm bình phương luôn giải
quyết tốt kiểu nhiệm vụ TB1. Không cần nhờ đến công cụ máy tính bỏ túi.
TB2 : Tính
tB 21 : Tính

a

τB 21 : Tìm số dương b sao cho b2 = a. Kết hợp mẫu
Kết luận:

a =b



( −3)

2

Giải:
a)

36 = 6 ; b) − 16 =
−4 ;

c)

9 3
= ; d)
25 5

e)

( −3)

2

32 = 3 ;

= 9=3

Đặc điểm của tB 21 :
Nhiệm vụ này giúp học sinh làm quen với ký hiệu


0,01 − 0, 25 =−
0,1 0,5 =
−0, 4

b) 0,5 100 −

1
= 0,5.10 − 0,5= 4,5
4

Đặc điểm của tB 22 :
Các căn số luôn dễ dàng tính được bằng các kỹ thuật đại số, kết quả luôn là
“số đúng”. Từ lời giải mẫu, co thể nói công cụ máy tính bỏ túi bị loại khỏi nhiệm vụ
này. Kỹ thuật đại số luôn hữu dụng.
Kết quả chấp nhận: “số đúng”
tB 23 : Dùng máy tính bỏ túi tính
τB 23 : Các phím bấm trên máy tính bỏ túi.
Làm tròn kết quả cuối cùng khi cần
θB 23 : Hướng dẫn ngay trong bài tập
Các phép toán +, -, x, / trên tập số
Quy ước làm tròn số
(SGK7, tr.42, bài tập 86; lời giải trong SGV7, tr.47)
(SGK7 hướng dẫn học sinh nút căn bậc hai trên máy tính bỏ túi thông qua 4 bài giải
mẫu rồi nêu yêu cầu):
Dùng máy tính bỏ túi để tính

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học

LL & PP Dạy học môn Toán


x =a

τB 3 : x = a 2
θB 3 : Lũy thừa số mũ hữu tỉ, định nghĩa căn bậc hai của một số
Ví dụ:
(SGK7, tr.41, BT85; Lời giải trong SGV7, tr.47)
Điền số thích hợp vào ô trống:
x

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học

LL & PP Dạy học môn Toán


17
x

4

0,25

(-3)2

104

9
4

16


Nhiệm vụ
TB1

Tìm căn bậc hai của một số dương
tB 21
Tính

a

tB 22
Tính giá trị biểu thức số

B

T 2

tB 23
Dùng máy tính bỏ túi tính
TB3
Tìm một số x khi biết

x =a

Kỹ thuật

Tần số

τB 11

4

1.2.2.1. Lý thuyết
Chúng tôi phân tích chương 1 SGK9 vì ở chương này khai niệm căn bậc hai
được đưa vào một cách hoàn chỉnh.
Nội dung của chương này bao gồm:
- Căn bậc hai: định nghĩa, ký hiệu, điều kiện tồn tại. Hằng đẳng thức
A2 = A

- Khai phương một tích. Nhân các căn thức bậc hai. Khai phương một thương.
Chia các căn thức bậc hai.
- Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai. Rút gọn biểu thức chứa căn
bậc hai.
Căn bậc hai số học:
SGK9 nhắc lại định nghĩa căn bậc hai của một số không âm cùng với nhận xét
đã đưa vào ở SGK7 như là sự gợi nhớ cho học sinh. Điều này thể hiện một sự tiếp
nối trong thể chế THCS.
Tiếp theo là một hoạt động:
(SGK9, tr.4, HĐ1; lời giải trong SGV9, tr.14)
Tìm các căn bậc hai của mỗi số sau:
a) 9 ;

b)

4
;
9

c) 0, 25 ;

d) 2