Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích 2
Chương 7. Chuỗi số, chuỗi luỹ thừa.
thừa

•

Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008)
[email protected]


Nội dung

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I – Khái niệm chuỗi số.

II – Chuỗi không âm.

III- Chuỗi có dấu tuỳ ý. Hội tụ tuyệt đối.

IV- Chuỗi đan dấu. Tiêu chuẩn Leibnitz.

V- Chuỗi luỹ thừa. Bán kính và miền hội tụ.


II. Chuỗi không âm






 bn

1) Nếu chuỗi

hội tụ, thì chuỗi

n 1

 an

 an

hội tụ.

n 1



2) Nếu chuỗi

CM








dãy

tổng

riêng an của
n 1

bị chặn trên, vậy chuỗi hội


Tiêu chuẩn so sánh 2

Hai chuỗi





 an
n 1

(1) ,  bn (2) thoả 0  an  bn , n  n0
n 1

an
K  lim
n b
n




1
Chọn chuỗi số  2   bn
n 1 n
n 1

an
lim  1
n b
n

hữu hạn, khác không.


Suy ra hai chuỗi




 an ,  bn
n 1


cùng tính chất hội tụ.

n 1

1

1
Vì chuỗi  n , |q |  1 hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ.
2
n 1 2



n

3


e n
  an
Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  n
3
n 1 2  ln n
n 1
n

3

n

n

e

n
e


 2
2
n
n  ln n
n

1
Vì chuỗi  2 hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ.
n 1 n


Ví dụ Khảo sát sự hội tụ


n 1





an  n  cosh  1
n 



chuỗi




Ví dụ Khảo sát sự hội tụ





n  1  ln  cosh(1/ n)    an

n 1

n 1

1
an  n  1  ln  cosh(1/ n)   n  ln(1  1/(2n ))  3/ 2
2n

1
Vì chuỗi  3/ 2 hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ.
n 1 2n
2



Ví dụ Khảo sát sự hội tụ

2

arctan(n  2n) 
 3n  n2   an
n 1


1 
1
1
an  1  n  sin(1/ n)   1  n   
3     2
6 n
 n 3!n  

1
Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi  
2






Ví dụ Tìm  để chuỗi HT


1
1

  ln sin n  ln n 
n 1


 1
1 


1
1 

an  
 1  2  
3
 n(1/ n  1/ 6n )  2n  



1
1 

an  
 1  2  
2
 1  1/ 6n  2n  



2
1

1 
1 
an  1  2  1  2      2
3 n
 6n  2n  



e
 n
e
1 

1/ 2 n
 e  e 1   
 e  e.e
 2n  2n

1  cos(1/ n) 

2

1
 2
4n







e /2 n
 an 
4n 2





Tiêu chuẩn Cô si

Chuỗi dương



 an

. Giả sử lim n an  C

n 1

1) C  1: chuỗi hội tụ.

n

2) C  1: chuỗi phân kỳ.

3) C  1: không kết luận được, chuỗi có thể HT, hoặc PK.




n

3  n! 
Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  n   an
n 1 n

 n
  1 Phân kỳ
n 
n
e
an
(n  1) 3  n! (1  1/ n)


n


3
n

2


5
Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  n 
  a
 4n  3  n1
n 1

lim an
n

n

3n  2 n 5 3


an 1
3n  2 3
 lim
 lim


1
n a
n 5n  1
5
n
Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn d'Alembert.




Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

 an
n 1

2  5  8 (3n  2)
an 
n
2  (n  1)!
2  5  8 (3(n  1)  2)
2  5  8 (3n  5)
an 1 
 n



1
n
n
 lim
 0 1
lim an  lim n
n
/
2
n ln( n  1)
n
n (ln( n  1))

Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cô si với mọi 


Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
n

3

n2

1 

  cos n 

n 1 

1/ 2 

1
Hội tụ theo Cô si.
e
e








n

1


í dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  

n 1  n  1 
n3 3 n 1

n 4 3n 1

 ( n 1)


n

n 1
1
 ( n 3) n 3 n

 1


1

n

n
lim an  lim 3  3  1 

n
n 
 n  3 


n 1





2 n 4 3 n 1

n 1
n


n 1

Định lý

Nếu chuỗi



 an
n 1



hội tụ, thì chuỗi

 an

hội tụ.

n 1

Theo định lý: chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ.

Mệnh đề ngược lại không đúng:
đúng có những chuỗi hội tụ,

tuy nhiên chuỗi của trị tuyệt đối không hội tụ.





2n
2

 7 / 3  4 / 3  tuyệt đố
3 7
n
n  n 1 n

n7  n  1



Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

4
n 1

n

| an |

| arctan(n) |
4

n6  3n  1



 /2


an , n, an  0 hoặc n, an  0 gọi là chuỗi đan dấu

n 1

Định nghĩa chuỗi Leibnitz


Chuỗi đan dấu

n
(

1)
an gọi là chuỗi Leibnitz, nếu:

n 1

1) lim an  0
n


n n 1

2) dãy (a )

là dãy giảm.
giảm




Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của

ln n
lim an  lim
 0.
n
n
n


n 1



(1)

n 1

n

ln n



n

  (1) an
n 1


không

t/chuẩn khác

không

Hội tụ

không


Đ/nghĩa, các

có

 an hội tụ
n 1

có

HT tuyệt đố