TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƢ PHẠM
BỘ MÔN SP TOÁN HỌC
------------

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MA TRẬN
TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁN
SINH VIÊN TOÀN QUỐC
Giáo viên hướng dẫn

Sinh viên thực hiện

ThS. Trang Văn Dễ

Nguyễn Thị Thảo Hạnh
MSSV: 1110099
Lớp: SP Toán_Tin học K37

Cần Thơ, 2015


LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo của ThS. Trang
Văn Dễ . Tôi xin phép được gửi đến thầy sự kính trọng và long biết ơn sâu sắc về sự
tận tâm của Thầy đối với bản thân tôi không những trong thời gian làm luận văn mà
còn trong suốt quá trình học tập. Đồng thời, tôi xin được bày tỏ nguyện vọng tiếp tục

1.3.1 Định nghĩa ..................................................................................................... 9
1.3.2 Các tính chất................................................................................................ 10
1.4 Hạng của ma trận. .............................................................................................. 10
1.4.1 Định nghĩa ................................................................................................... 10
1.4.2 Các tính chất................................................................................................ 10
1.5 Hệ phương trình tuyến tính ............................................................................... 10
1.5.1 Định nghĩa ................................................................................................... 10
1.5.2 Một vài hệ phương trình đặc biệt ................................................................ 12


Chương 2: ................................................................................................................... 13
MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MA TRẬN TRONG CÁC KÌ THI
OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC ......................................................... 13
2.1 Định thức của ma trận ....................................................................................... 13
2.1.1 Khai triển theo dòng hoặc cột ..................................................................... 13
2.1.2 Đưa về ma trận tam giác ............................................................................. 19
2.1.3 Rút nhân tử tuyến tính................................................................................. 24
2.1.4 Phương pháp truy hồi .................................................................................. 26
2.1.5 Biểu diễn định thức dưới dạng tổng hoặc tích các định thức khác ............. 30
2.1.6 Các phương pháp tổng hợp khác ................................................................ 34
2.2 Ma trận nghịch đảo ............................................................................................ 46
2.2.1 Sử dụng phần bù đại số ............................................................................... 46
2.2.2 Biến đổi sơ cấp dòng ................................................................................... 47
2.2.3. Sử dụng đa thức đặc trưng. ........................................................................ 49
2.2.4. Phương pháp giải hệ................................................................................... 54
2.2.5. Một số bài toán tổng hợp. .......................................................................... 57
2.3 Hạng của ma trận ............................................................................................... 61
2.3.1 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp định thức .................................. 61
2.3.2 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp sử dụng các phép biến đổi sơ cấp
(phương pháp Gauss) ........................................................................................... 63

học Việt Nam trong kỳ thi Olympic Toán học sinh viên toàn quốc. Không những thế
ma trận cũng được xem như nội dung chính của Olympic Toán học sinh viên toàn quốc
và quốc tế.
Vai trò của ma trận trong đại số tuyến tính nói riêng và trong Toán học nói chung là
hết sức to lớn. Để hiểu rõ về ma trận và việc giải các bài tập là rất cần thiết. Trong giáo
trình Đại số tuyến tính các bài tập thường ở những dạng cơ bản để sinh viên bắt đầu
làm quen với ma trận, chưa sắp xếp theo các dạng và chưa đề cập tới các phương pháp
giải chung cho một số dạng toán khó và ít gặp. Vì vậy việc theo dõi bài tập gây khó
khăn cho một số bạn sinh viên.

1


Trong khóa luận này, tôi đã liệt kê được một số dạng toán về ma trận dựa trên các đề
thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc trong những năm qua và đưa ra một số hướng
giải cụ thể. Đây là đề tài mở và các bài toán hết sức phong phú và đa dạng. Tôi hy
vọng khóa luận này sẽ được bổ sung bởi các bạn sinh viên khóa sau để khóa luận sẽ là
một tài liệu tốt cho các bạn sinh viên khoa Toán.

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài này chính là:
- Hệ thống lại lý thuyết một cách tổng quát về ma trận để xây dựng và phân loại các
dạng Toán về ma trận.
- Đưa ra các phương pháp giải phong phú của một bài Toán ma trận.
- Xây dựng hệ thống bài tập, phân loại được các dạng toán và tìm hướng giải chúng.
- Thông qua tìm hiểu và nghiên cứu giúp bản thân có cái nhìn tổng quan về các bài
toán trong đề thi Olympic Toán sinh viên.
Luận văn được chia làm 2 phần:
Chương I. Các kiến thức chuẩn bị.
Chương II. Nội dung chính


...

a22

...

a2 j

...

...
ai 2

...
...

...
aij

...
...

...
am 2

...
...

...

a

1

a2 ... a j

...

an 

(1.1.2)

 Ma trận cột: Ma trận cỡ m 1 gọi là ma trận cột
 a1 
 
 a2 
 ... 
 
aj
 ... 
 
a 
 n

(1.1.3)

 Ma trận vuông: Ma trận cỡ n  n gọi là ma trận vuông cấp n (hay ma trận cấp n) và
viết A  (aij )nn . Trong ma trận vuông A  (aij )nn dãy các phần tử có chỉ số hàng bằng
chỉ số cột a11 ,a 22 ,..., ann gọi là đường chéo chính của ma trận A.


...

...
a2 j

...
...

...
aij

...
...

...
a2 n

...
...

...
ain

...
...

am1 

am 2 
... 

... ... ... 

0 ... 1 

Kí hiệu là : I n (đôi khi ta còn kí hiệu là I)

 Ma trận con: Cho A là ma trận cấp m  n , ta gọi M ij là ma trận lập được từ ma trận
A bằng cách bỏ đi hàng i và cột j, khi đó M ij gọi là ma trận con của ma trận A ứng với
phần tử aij .
1.1.2 Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng (cột) của ma trận

 Các phép biến đổi sau đây đối với hàng (cột) của ma trận gọi là các phép biến đổi sơ
cấp theo hàng (cột) của ma trận:
(1). Đổi chỗ hai hàng (cột) của ma trận cho nhau.
(2). Nhân tất cả các phần tử của một hàng (cột) của ma trận với một số   0 .
(3). Cộng vào một hàng (cột) nào đó của ma trận một hàng (cột) khác sau khi đã nhân
với một số   0 .

 Định nghĩa 1.1.3 Một ma trận được gọi là ma trận bậc thang trên nếu nó thỏa mãn
các điều kiện sau:
(1) Các hàng bằng không ở dưới các hàng khác không.

5


(2) Phần tử cơ sở của hàng phía dưới nằm bên phải so với phần tử cơ sở của hàng phía
trên.
1.1.3 Các phép toán về ma trận
 Hai ma trận bằng nhau:
Cho hai ma trận A  (aij )mn , B  (bij ) pq . Khi ấy:


m p

1.1.4 Một số tính chất của phép toán ma trận
 Định lý 1: Cho các ma trận A, B, C và các số  ,  sao cho các phép toán sau đây
được tạo thành. Khi ấy ta sẽ có:
1. A  B  B  A

6. ( . ). A   .( . A)

2. ( A  B)  C  A  ( B  C)

7. .( A.B)  (. A).B  A.(.B)

3. A.( B.C)  ( A.B).C

8.  .( A  B)   . A   .B

4. ( A  B).C  AC
.  B.C

9. (   ). A   . A   . A

5. A.( B  C)  A.B  AC
.

10. Nói chung, A.B  B. A

Định lý 2: Cho các ma trận A, B. Khi ấy ta có:
1. ( AT )T  A


 a11.a22  a12 .a21  a11.det(M11 )  a21.det(M 21 )

(Chú ý rằng a11 và a12 là các phần tử nằm cùng ở hàng 1 của ma trận A), v.v…, và một
cách tổng quát,
(3) A là ma trận cấp n ( n  3 ) thì:

det A  a11.det( M11 )  a21 det( M 21 )  a31 det( M 31 )  ... 
 (1)i  j .aij .det( M ij )  ...  (1) n1.an1.det( M n1 )
(Người ta gọi là phép khai triển theo cột 1).
 Tương tự ta có công thức khai triển của định thức theo cột k nào đó:
det A  (1)k 1 ak1 det(M k1 )  ak 2 det(M k 2 )  ...  (1)n1 akn det(M kn ) 

8


1.2.2 Một số tính chất của định thức
(1) A  AT
(2) Khi đổi vị trí của hai hàng (hai cột) cho nhau thì định thức đổi dấu.
(3) Định thức có một hàng (một cột) nào đó gồm toàn số 0 thì bằng 0.
(4) Định thức có hai hàng (hai cột) tỷ lệ nhau thì bằng 0.
(5) Nếu nhân một hàng (một cột) nào đó của định thức với một số   0 thì định thức
được nhân lên với số  đó.
(6) Định thức không thay đổi nếu ta cộng vào một hàng (một cột) nào đó một tổ hợp
tuyến tính của một số hàng (cột) khác.
(7) Khi tất cả các phần tử của một hàng (hay một cột) có dạng tổng của hai số hạng thì
định thức có thể phân tích thành tổng của hai định thức.
1.3 Ma trận nghịch đảo
1.3.1 Định nghĩa
 Cho A là một ma trận vuông cấp n. Ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma

a x  a x  ...  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2

...
...
...
am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm

10

(1)


Trong đó x1 , x2 ,..., xn là các ẩn, aij , b j 

là các hằng số, gọi là hệ phương trình tuyến

tính (m phương trình, n ẩn).
Ma trận

 a11
a
A   21
 ...

 am1

... a1n 


...
...

a1n b1 

a2 n b2 
... ... 

amn bm 

gọi là ma trận các hệ số mở rộng của hệ (1). Một hệ phương trình hoàn toàn xác định
khi ta biết ma trận các hệ số mở rộng của nó.
Cột

 b1 
b 
 2
 ... 
 
 bm 
gọi là cột tự do của hệ (1).
Chú ý rằng, hệ phương trình (1) có thể cho dưới dạng ma trận như sau

11


 x1  b1 
 x  b 
A  2   2 


Ma trận con nằm trên giao của các dòng và cột còn lại được gọi là ma trận con bù
của A(i1 ,..., ik ; j1 ,..., jk ) và được kí hiệu là A(i1 ,..., ik ; j1 ,..., jk ). Định thức

A(i1 ,..., ik ; j1 ,..., jk )
Được gọi là định thức con bù của

A(i1 ,..., ik ; j1 ,..., jk )

trong A, còn

(1) S (i , j ) A(i1 ,..., ik ; j1 ,..., jk ) được gọi là phần bù đại số của A(i1 ,..., ik ; j1 ,..., jk ) trong

đó S (i, j )  (i1  ...  ik )  ( j1  ...  jn ) .
 Định lý : (Khai triển Laplace)
Giả sử đã chọn ra k dòng (tương ứng cột) trong một định thức cấp n (1  k  n) , khi
đó định thức đã cho bằng tích của tất cả các định thức con cấp k lấy ra từ k dòng (tương
ứng cột) đó với phần bù đại số của chúng, tức là:

13


A



A(i1 ,..., ik ; j1 ,..., jk ) | ( 1) S (I,J) . A(i1,..., ik ; j1,..., jk )




3
4
5
...
n

...
...
...
...
...

n  2 n 1 n 
n 1
n
n 
n
n
n

...
...
...
n
n
n 

Giải
Ta có


n
...
...
...
n
n
n

Lấy tất cả các dòng từ dòng 2 trở đi, trừ đi dòng thứ nhất ta được:

14


... n  2 n  1
... 1
1
... 2
1
... ...
...
... 2
1

1
2
3
1
1
1
det D  2

...

0

Dn1  0  y1 x2 ...

0

...
0

0

an

...
0

... ...
0 ...

...
xn

Giải
Khai triển theo cột cuối ta được

 y1 a1
Dn1  an



...
0

... ...
0 ...

...
0

...

an1
0
...
xn1

 an y1 y2 ...  xn .Dn
Tiếp tục quá trình như vậy áp dụng cho Dn ta được
Dn1  a1 x1 x2 ...xn  a1 y1 x2 ...xn  a2 y1 y2 x3 ...xn  ...  an y1 y2 ... yn

15


Bài toán 3:
Tính định thức sau

1

D


1

C11

0

...

0

0

a0

a1

a2

... an 1 an

Giải
Kể từ dòng thứ 3 từ dưới lên, trừ mỗi dòng đi dòng sát cuối ta được

Cn1  C11 Cn2

0

D


0

...

1

C11

0

...

a0

a1

a2

...

an1 an

Khai triển Laplace theo cột đầu và dòng cuối với chú ý rằng trên đường chéo là toàn 1
trừ a0 , ta nhận được kết quả là

D   1

n n 1
2


a

Giải
Nhân cột thứ n cho 1 rồi cộng vào cột thứ nhất ta được:

a b b
b a b
b b a
Dn 
... ... ...
b b b
b b b

... b
... b
... b
... ...
... a
... b

b
a b
b
0
b
0

...
...
b

Dn1   a  b 
... ... ...
b b b
b b b

... b
... b
... b
... ...
... a
... b

b
b
b
  1n1  a  b 
...
b
a

Do đó Dn1   a  b  Dn1   1n1  a  b  D.

17

b b b
a b b
b b b
... ... ...
b b b
b b b


b
b
...
b

...
...
...
...

b
b
...
a

b
b
b
a b
0
b
 2b a  b
...
...
...
b
2b 2b

... b

D1   a  b  Dn1  b  a  b n1
1
  a  b   a  b n   a  b n   b  a  b n1
2
1
  a  b n   a  b n1  a  b  2b  
2
1
  a  b n   a  b n 
2

18

b
0
0
...
0


Vậy Dn 

1
 a  b n   a  b n  .
2

2.1.2 Đƣa về ma trận tam giác
Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng hay cột ta đưa về ma trận tam giác trên hay dưới
rồi. Khi thực hiện các phép biến đổi, định thức thay đổi theo quy tắc sau:
 Mệnh đề


...

1

C21

C31

...

Cn11

C32

C32

...

Cn2 2

...

...

...

...

...

C31

...

Cn1

Cn11

...

...

...

...

...

C

1
2

Cnn1 Cnn2

...

C2nn23 C2nn23

Lại làm như trên nhưng chỉ đến cột thứ 2 ta có:


...

...

...

...

...

Cnn1 Cnn2

...

20

C2nn23 C2nn23