Lời nói đầu
Môđun là một trong những cấu trúc đại số cơ bản của đại số hiện đại. Nó đợc
chia làm nhiều loại nh: môđun tự do, môđun chia đợc, môđun nội xạ và môđun xạ
ảnh.
Để hiểu sâu hơn về môđun tự do, tiểu luận này sẽ trình bày cách giải một số bài
tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do.
Nội dung tiểu luận gồm hai phần. Phần đầu của tiểu luận sẽ trình bày kiến thức lí
thuyết về môđun tự do bao gồm các định nghĩa về môđun tự do và cơ sở của môđun
tự do, một số mệnh đề và định lí liên quan đến môđun tự do. Phần hai trình bày cách
giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do.
Vì khả năng và thời gian còn hạn chế nên tiểu luận khó tránh khỏi sai sót, mong
nhận đợc ý kiến đóng góp của quý thầy cô và bạn đọc.
Huế, tháng 02 năm 2009.
Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17
Mục lục
Lời nói đầu 1
1 Lý thuyết về môđun tự do 2
1.1 Định nghĩa môđun tự do và cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Một số mệnh đề và định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Bài tập áp dụng 9
2.1 Đề bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Bài giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Tài liệu tham khảo 17
Trần Thị Mỹ Trang-K17 &1
Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17
1 Lý thuyết về môđun tự do
1.1 Định nghĩa môđun tự do và cơ sở
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử R là một vành có đơn vị 1 = 0, M là một nhóm cộng aben.
Nhóm aben M cùng với ánh xạ:
R ì M M
(r, x) rx

S đợc gọi là độc lập tuyến tính, nếu
x =
n

i=1
r
i
s
i
= 0, r
i
R, s
i
S r
i
= 0, i = 1, , n
S đợc gọi là cơ sở của M khi và chỉ khi S độc lập tuyến tính và S là hệ sinh của M.
Trần Thị Mỹ Trang-K17 &2
Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17
1.2 Một số mệnh đề và định lí
Định lí 1.1. Nếu (F, f) là môđun tự do trên S thì f : S F là đơn ánh và f(S) sinh ra
F.
Chứng minh:
Chứng minh f : S F là đơn ánh.
Giả sử f không đơn ánh. Khi đó: a, b S, a = b sao cho f(a) = f(b).
Lấy X là môđun có nhiều hơn một phần tử và g : S X là ánh xạ sao cho
g(a) = g(b).
Suy ra có đồng cấu h : F X sao cho hf=g.
Vì hf(a)=hf(b) nên g(a)=g(b) ( mâu thuẫn ).
Vậy f : S F là đơn ánh.

Đặt F = { : S R|(s) = 0 hầu khắp}
Dễ dàng kiểm tra đợc F cùng với hai phép toán
+ : F ì F F
(, ) + : S R
s (s) + (s)
Trần Thị Mỹ Trang-K17 &3
Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17
. : R ì F F
(r, ) r : S R
s r(s)
làm thành một R môđun.
s S, xét
f
s
: S R
t f
s
(t) =



1 , nếu t = s
0 , nếu t = s
Ta có: f
s
F
Xét
f : S F
s f
s

sS
(s)g(s) = rh()
+Ta chứng minh hf=g
Thật vậy: s S, hf(s) = h(f(s)) = h(f
s
) = g(s). Vậy hf=g
+Ta chứng minh h duy nhất.
Giả sử có đồng cấu h

: F X thỏa h'f=g. Khi đó:
F, =

sS
(s)f
s
Trần Thị Mỹ Trang-K17 &4
Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17
Ta có:
h

() = h

(

sS
(s)f
s
) =

sS

s
đơn cấu.
Vậy
s
là đẳng cấu.
Đặt: A
s
= Rs.
Vì S là cơ sở của F nên Rs là hệ sinh. Do đó:
F =

sS
Rs =

sS
A
s
Với mỗi t S, xét
x Rt

sS,s=t
Rs
Lúc đó có s
1
, , s
n
S, s
i
= t, i = 1, , n và r, r
1

Rt

sS,s=t
Rs = 0
hay
A
t

sS,s=t
A
s
= 0
Trần Thị Mỹ Trang-K17 &5
Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17
Vậy
F =

sS
A
s
, A
s

=
R, s S
Ngợc lại, ta có: A
s
=
s
(R) =


sS
(s)f
s
với
f
s
: S R
t f
s
(t) =



1 , nếu t = s
0 , nếu t = s
và
0 = h() = h(

sS
(s)f
s
) =

sS
(s)hf(s) =

sS
(s)d(s) =



i=1
r
i
d(s
i
) =
n

i=1
r
i
hf(s
i
) = h(
n

i=1
r
i
f
s
i
)
Trần Thị Mỹ Trang-K17 &6
Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17
Hơn nữa h là đẳng cấu nên:
n

i=1

sS
(s)s
Vì (s) = 0 hầu khắp nên s
1
, s
2
, , s
n
S sao cho:
(t) =



(s
i
) , nếu t = s
i
{s
1
, , s
n
}
0 , nếu t {s
1
, , s
n
}
Suy ra
x =
n

1
, , w
n
W . Suy ra w
i
W
i
nào đó, và tồn tại W
j
sao cho w
1
, , w
n
W
j
.
Do đó w
1
, , w
n
độc lập tuyến tính. Vậy W độc lập tuyến tính và W là chặn trên
của N trong M.
Trần Thị Mỹ Trang-K17 &7
Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17
Suy ra M có phần tử cực đại ( theo bổ đề Zorn ). Gọi C là phần tử cực đại của M.
Vì C M nên C độc lập tuyến tính.
x V
+Nếu x=0 thì x < C >
+Nếu x = 0 thì C {x} phụ thuộc tuyến tính ( vì C cực đại ).
Suy ra r

Suy ra x = r
1
0
(r
1
x
1
+ + r
n
x
n
) < C >. Do đó: C là hệ sinh của V.
Vậy C là cơ sở của V nên V là môđun tự do.
Mệnh đề 1.2.1. Tổng trực tiếp của các môđun tự do là môđun tự do.
Mệnh đề 1.2.2. Mọi R-môđun đều là ảnh toàn cấu của một R-môđun tự do.
Chứng minh:
Giả sử M là R-môđun. Khi đó lấy tập con S của M sao cho M=<S>
Gọi (F,f) là R-môđun tự do trên S, với f : S F. Lúc đó F=<f(S)> và với ánh xạ
bao hàm d : S M, h : F M là đồng cấu sao cho hf=d.
Ta có: h(F ) = h(< f(S) >) =< hf(S) >=< d(S) >=< S >= M
Suy ra h là toàn cấu
Hệ quả: Mọi R-môđun M đều đẳng cấu với môđun thơng của một R-môđun tự
do.
Trần Thị Mỹ Trang-K17 &8
Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17
2 Bài tập áp dụng
2.1 Đề bài
Bài 1: Cho M là một Rmôđun hữu hạn sinh. Chứng minh rằng nếu M là một
Rmôđun tự do với S là cơ sở của M thì S hữu hạn.
Bài 2: Cho M là một Rmôđun tự do và có một cơ sở hữu hạn. Chứng minh rằng

tự do hay không?
Bài 6: Cho R là một miền nguyên chính, M là một Rmôđun tự do với S là cơ sở.
Giả sử rằng S' là một cơ sở thứ hai của Rmôđun M. Chứng minh rằng S, S' có cùng
số phần tử.
Bài 7: Cho R là một miền nguyên chính, M là một Rmôđun tự do. Chứng minh
rằng mọi Rmôđun con của M đều là Rmôđun tự do.
Bài 8: Cho R là một miền nguyên chính, M là một Rmôđun hữu hạn sinh. Phần tử
x M đợc gọi là xoắn nếu tồn tại R\0 sao cho x = 0. Đặt T (M) là tập tất cả
các phần tử xoắn của M.
i) Chứng minh rằng T(M) là môđun con của M.
ii) Chứng minh rằng M/T (M) là môđun tự do.
Bài 9: Cho n N, n 2. Chứng minh rằng Z
n
là Z
n
môđun tự do, nhng Z
n
không
phải là Z môđun tự do.
Bài 10: Cho m, n N, n 2, m 2 và (m,n)=1. Chứng minh rằng Z
m
không phải là
Z
mn
-môđun tự do.
Trần Thị Mỹ Trang-K17 &9
Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17
2.2 Bài giải
Bài 1: Vì M là một Rmôđun hữu hạn sinh nên ta gọi {m
1

i


sF
Rs
Do đó:
M

sF
Rs
hay
M =

sF
Rs
Nếu F S thì s

S\F , do đó
s

M =

sF
Rs
Suy ra
s

=

sF

M/
IM
=
n

i=1
Rx
i
/
IM

=
n

i=1
Rx
i
/
Ix
i

=
n

i=1
Kx
i
(1)
Tơng tự vì S' là cơ sở của M nên
M/

Thật vậy:
x A B x B, do đó:
x =

iI
r
i
x
i
, r
i
R, i I
Vì x A nên x = 0.
x = 0

iI
r
i
x
i
= 0

iI
r
i
y
i
= 0
r
i

A
Đặt
y = x

iI
r
i
x
i
Ta có:
x = y +

iI
r
i
x
i
, y A,

iI
r
i
x
i
B
Vậy M=A+B.
Từ đó ta suy ra M = A

B. Vậy A là hạng tử trực tiếp của M.
Trần Thị Mỹ Trang-K17 &11

là ảnh đồng cấu của một Rmôđun tự do
F
1
nào đó, nghĩa là tồn tại R toàn cấu g
0
: F
1
K
0
. Đặt f
1
= i
0
g
0
, K
1
= Kerf
1
, ta có
dãy khớp sau:
K
1
i
1
F
1
f
1
F

Vì x M nên
x =
n

i=1
r
i
s
i
, r
i
R, s
i
S, i = 1, , n
Do đó:
x = 0
n

i=1
r
i
s
i
= 0
n

i=1
r
i
s

Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17
Do đó:
x = 0 = 0
n

i=1
r
i
s
i
= 0 r
i
= 0, i = 1, , n
( vì S là cơ sở ) r
i
= 0, i = 1, , n ( vì Z là miền nguyên ).
Suy ra x=0 ( mâu thuẫn với x = 0 ). Vậy Q không phải là Z môđun tự do.
Bài 6: Vì R là miền nguyên nên R là vành giao hoán, do đó R có chứa một iđêan cực
đại I. Đặt K = R/
I
, ta có K là một trờng.
Gọi S, S' là các cơ sở của M. Khi đó M/
IM
là K-môđun, hay M/
IM
là một K-không
gian vectơ.
Ta lại có:
M/
IM

Ry/
Iy

=

yS

Ky(2)
Từ (1) và (2) suy ra S và S' có cùng số phần tử.
Bài 7: Vì M là Rmôđun tự do nên gọi I là cơ sở của M. Khi đó ta có thể đồng nhất
M =

iI
Ri
với Ri = R.
Gọi {e
i
|i I} là một cơ sở chính tắc của M và F là môđun con của M.
Ta sắp I thành tập sắp thứ tự tốt và gọi A
i
là môđun con của M sinh bởi tập
{e
j
|j < i} , đặt F
i
= A
i

F .
Xét phép chiếu:

i
) = a
i
. Nếu
a
i
= 0 thì ta chọn b
i
= 0 và ta đợc họ {b
i
|i I}.
* Ta chứng minh F
i
sinh bởi họ {b
j
|j i} bằng phơng pháp quy nạp.
Thật vậy: Giả sử F
k
sinh bởi họ {b
j
|j k} và điều này xảy ra với mọi k < i. Lấy
phần tử tùy ý x F
i
. Khi đó p
i
(x) = a
i
r và do đó:
p
i

sinh bởi họ
{b
j
, j i}.
* Ta chứng minh F sinh bởi họ {b
j
, j I} .
Thật vậy: Lấy phần tử tùy ý x F , khi đó: x = e
i
1
r
1
+ + e
i
m
r
m
, với i
1
< < i
m
Do đó: x A
i
m
nên x F
i
m
. Vậy x biểu thị tuyến tính qua họ {b
j
, j i

j=1
b
i
j
r
j
) = a
i
m
r
m
= 0
Vì R là miền nguyên nên r
m
= 0 hay a
i
m
= 0. Điều này vô lí.
Vậy hệ {b
j
|b
j
= 0, j I} độc lập tuyến tính.
Nh vậy {b
j
|b
j
= 0, j I} là cơ sở của F. Suy ra F là R môđun tự do.
Bài 8:
i) Ta có 1

= 0. Do đó: rx + sy T(M).
Vậy T (M) là môđun con của M.
Bài 9: Rõ ràng Z
n
là Z
n
môđun tự do vì Z
n
có cơ sở S = {1}
Ta sẽ chứng minh Z
n
không phải là Z môđun tự do.
Thật vậy: Giả sử Z
n
có cơ sở là S hay Z
n
=< S >. Khi đó:
x Z
n
, x =
k

i=1
r
i
a
i
với r
i
Z, a

Bài 10: Giả sử Z
m
là Z
mn
-môđun tự do.
Khi đó gọi S là cơ sở của Z
m
, ta có: Z
m
=< S >.
x Z
m
, ta có:
x =
k

i=1
r
i
a
i
với r
i
Z
mn
, a
i
S
Suy ra
mx =

Tóm lại, tiểu luận này đã trình bày những kiến thức cơ bản về môđun tự do, đặc
biệt là đã giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhng vì kiến thức và thời gian còn hạn chế nên tôi
vẫn cha tìm ra thêm đợc nhiều các bài tập thuộc loại này. Nếu sau này có thời gian
tôi sẽ cố gắng tìm đợc nhiều bài tập loại này để giải và trên cơ sở đó sẽ thử tập dợt
ra thêm một số bài tập khác. Hy vọng tài liệu nhỏ này sẽ có ích cho những độc giả
muốn tìm hiểu về cấu trúc môđun tự do.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ nhiệt tình của TS Phan Văn Thiện,
xin cám ơn các tác giả của các quyển sách mà tôi đã tham khảo đã giúp tôi hoàn thành
tiểu luận này.
Trần Thị Mỹ Trang-K17 &16
Giải một số bài tập liên quan đến cấu trúc môđun tự do LL & PPDH Toán Khóa 17
Tài Liệu Tham Khảo
[1] Giáo trình cơ sở đại số hiện đại, NXBGD, 2001. Nguyễn Xuân Tuyến - Lê Văn
Thuyết
[2] Đại số (giáo trình sau đại học), Nhà xuất bản giáo dục (1985). Ngô Thúc Lanh
[3] Đại số trừu tợng - Tập 1, NXBGD (2005). Nguyễn Xuân Tuyến - Lê Văn Thuyết
[4] Theory of Categories, NEWYORK, Copyright 1965. BARRY MITCHELL
Trần Thị Mỹ Trang-K17 &17