TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN TOÁN

Đề tài:

ĐA TẠP VÀ TÍNH CHẤT TÔPÔ
CỦA ĐA TẠP TRONG KHÔNG
GIAN EUCLIDE
Luận văn tốt nghiệp
Ngành: Sư phạm Toán

Giáo viên hướng dẫn:
PGS.TS. Lâm Quốc Anh

Sinh viên thực hiện:
Nguyễn Khánh Duy
Lớp: Sp Toán K37
MSSV: 1110016

Cần Thơ, 2015


MỤC LỤC
A- PHẦN MỞ ĐẦU………………………………………………………………4
B- PHẦN NỘI DUNG
Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Kiến thức cơ sở………………………………………………………….….…7
1.2.Không gian tôpô …………………………………………………..…………..7
1.3. Không gian HAUDORFF…………………………………………..………....8
1.4. Ánh xạ liên tục, đồng phôi……………………………………...……………..9



LỜI CẢM ƠN


Được làm luận văn tốt nghiệp để hoàn thành khóa học là niềm vinh hạnh đối
với một sinh viên, càng vinh hạnh hơn khi em được làm luận văn với sự hướng dẫn
tận tình của Thầy Lâm Quốc Anh. Sau một thời gian nổ lực làm việc cuối cùng em
cũng đã hoàn thành luận văn.
Em xin gởi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô Bộ môn Toán, đặc biệt là
Thầy Lâm Quốc Anh đã tận tình hướng dẫn và động viên em để hoàn thành đề tài
luận văn này. Và em cũng xin gởi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã tạo mọi điều kiện
thuận lợi để em hoàn thành luận văn.
Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng không thể tránh khỏi những khuyết điểm.
Mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu từ thầy cô và các bạn.
Cuối cùng em xin cảm ơn tất cả mọi người đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để
em thực hiện luận văn cuối khóa.
Sinh viên thực hiện

4


A- PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Tôpô là một ngành toán học nghiên cứu những bất biến qua các nhóm phép
biến đổi liên tục. Một trong những đối tượng nghiên cứu của tôpô học là đa tạp. Đây
là sự khái quát hóa nhiều chiều từ khái niệm đường và mặt trong không gian Euclide
3-chiều. Việc nghiên cứu đa tạp đã được công nhận là có nhiều ứng dụng trong các
lĩnh vực khác nhau như: Hình học, Giải tích phức, Đại số, Hình học đại số, Cơ học
cổ điển….Nhờ sự gợi ý của Thầy Lâm Quốc Anh nên em đã chọn đề tài “ Đa tạp và


6


B- PHẦN NỘI DUNG
Chương I
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1.1 Định nghĩa Không gian mêtric là một cặp ( X , d ) trong đó X là một tập hợp,

d : X  X  R là một hàm xác định trên X  X thỏa mãn các điều kiện sau:
1) Với x, y  X : d ( x, y)  0; d ( x, y)  0  x  y (tiên đề đồng nhất).
2) Với x, y  X : d ( x, y)  0; d ( x, y)  d ( y, x) (tiên đề đối xứng).
3) Với x, y, z  X : d ( x,z)  d ( x, y)  d ( y,z) (tiên đề tam giác).
Hàm d được gọi là mêtric trên X. Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của không
gian X, số d(x,y) được gọi là khoảng cách của hai điểm x và y.
1.1.2 Định nghĩa Giả sử M là một tập hợp con của không gian mêtric (X,d). Khi
đó d M  d M .M là một mêtric trên tập hợp M. Không gian mêtric ( M , d M ) được gọi là
không gian con của không gian mêtric (X,d) ta gọi d M là mêtric cảm sinh bởi mêtric d
trên M.

1.1.3 Định nghĩa Giả sử (X,d) là một không gian mêtric x0  X và r là một số
dương. Tập hợp S  x0 , r   x  X d ( x, x0 )  r được gọi là hình cầu mở tâm x0 bán
kính r.
Giả sử A là một tập con không gian mêtric (X,d). Điểm x0 của X được gọi là
điểm trong của tập hợp A nếu tồn tại một tập cầu mở S ( x0 , r )  A . Tập tất cả các
điểm trong của tập A được gọi là phần trong của A. Ký hiệu A0 .
Tập con A  ( X , d ) được gọi là tập đóng nếu phần bù của A trong X (tập X\A)
là một tập mở.
1.2 KHÔNG GIAN TÔPÔ

điểm x,y khác nhau bất kỳ của X luôn tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao
cho U  V   .
Tính chất
Giả sử A là một tập con mở tùy ý của không gian Hausdorff. Khi đó A với
tôpô cảm sinh bởi tôpô trên X là một không gian Hausdorff.

8


1.4 ÁNH XẠ LIÊN TỤC, ĐỒNG PHÔI
1.4.1 Định nghĩa Cho hai không gian tôpô X, Y và ánh xạ f : X  Y , khi đó:
1) Ánh xạ f liên tục tại điểm x  X nếu mọi lân cận mở V của f ( x) trong Y
luôn tồn tại lân cận mở U của x sao cho f (U )  V .
2) Ánh xạ f liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc X .
Tính chất
1) Cho f là ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y. Khi đó f liên
tục trên X khi và chỉ khi tạo ảnh của mọi tập đóng (hoặc mở) trong Y là tập đóng
(hoặc mở) trong X.
2) Ánh xạ hợp của hai ánh xạ liên tục là ánh xạ liên tục.
3) Ảnh của một tập compact (hoặc liên thông) qua ánh xạ liên tục là một tập
compact (hoặc liên thông).
Mệnh đề
Cho không gian tôpô X thỏa X 

n

X i với X i là những tập con đóng của X
i 1

và các ánh xạ liên tục fi : X i 0  Y (i  1, n) sao cho với mọi i, j  1, n , X i  X j  

(trong R n ) nếu với mỗi x  M điều kiện sau đây được nghiệm đúng.

( M ) Tồn tại một tập mở U chứa x , một tập mở V  R n và một vi phôi
h : U  V sao cho:

h(U  M )  V   R k  0  x V : xk 1  ...  xn  0.
Nói cách khác U  M sai khác một vi phôi là phần tử của không gian R k  0.
Ví dụ: Một điểm trong R n là đa tạp 0-chiều.
Thật vậy
Giả sử M   A  a1 ,..., an  là tập hợp gồm một điểm A trong không gian R n .
n

Khi đó tồn tại một tập mở U   (a1   , a   ) chứa A , một tập mở
i 1

n

V   ( ,  )  R n và tồn tại một vi phôi h : U  V xác định bởi công thức
i 1

h( x1,..., xn )  ( x1  a1,..., xn  an ) thỏa h(U M)  h( A)  h(a1,..., an )  0.
Định lý 2.1.1
n

Giả sử A là một tập mở trong R và g : A  R n là một hàm khả vi sao cho

g '( x) có hạng p đối với mọi điểm x mà tại đó g ( x)  0 . Khi đó g 1 (0) là một đa
n
tạp (n  p)  chiều trong R .






4
Ví dụ: Tập S  S 1  S 2  x  R 4 x12  x22  x32  x42  1 là đa tạp 2-chiều trong R .

.Thật vậy

 x12  x22  1
Ta đặt f ( x1 , x2 , x3 , x4 )   2

2
 x3  x4  1
 2 x 2 x2
Khi đó Df ( x)   1
0
 0

0
2 x3

0 
2 x4 

Dễ thấy rằng ma trận này có hạng bằng 2 với mọi x  S .
Bổ đề 2.1.1 Các không gian D n ,Sn , R n đồng phôi với nhau, trong đó

Sn 


n

1   x12  ...  xn2 



f 2 : Sn  D n

 x1 ,..., xn1 

 x1 ,..., xn 

Dễ dàng chứng minh f1 , f 2 là các ánh xạ liên tục.
Mặt khác, với điểm x  x1 ,...., xn  tùy ý thuộc vào D ta có
n

11




f 2 f1 ( x)  f 2 x1 ,...., xn , 1  ( x12  ..., xn2 )

  x.

Suy ra f 2 f1  id Dn .
Với điểm y  y1 ,...., yn  tùy ý thuộc vào S n ta có y12  ...  yn2  yn21  1.

 yn1  0.


v

Dễ thấy g1 , g 2 là các ánh xạ liên tục.
n
Mặt khác, với mọi điểm u  D ta có,

g2

u
 u 
1 u
g1 (u )  g 2 
u
 
u
1

u

 1
1 u

 g 2 g1  id Dn .
n
Với mọi điểm v  R ta có,

12


g1

Do N là n-đa tạp nên tồn tại lân cận mở U y của điểm x (thuộc N ) đồng phôi
n
với D .

Ta được một lân cận mở của điểm ( x, y ) là U x  U y (  M  N ) đồng phôi với

Dm  Dn .
m
n
m
n
m n
m n
Theo bổ đề trên ta có D  D  R  R  R  D .

Vậy M  N là (m  n)  đa tạp.
Ví dụ: Mặt cầu n  chiều S n 

 x ,...., x , x
1

n  đa tạp.
Chứng minh
n
Dễ thấy S là không gian Hausdorff.

13

n


phôi với D . Chọn số nguyên dương N đủ lớn sao cho r 

r2
 r1 , khi đó U r cùng
N

n

là lân cận mở của x đồng phôi vói D nằm trong A . Suy ra A là n-đa tạp.
Định lý 2.1.4
n

Đối với mỗi điểm x của đa tạp k-chiều M trong R , “ điều kiện tọa độ” sau
đây được nghiệm đúng.

M 


k
tồn tại một tập mở U chứa x , một tập mở W  R và hàm 1-1 khả vi

f : W  R n sao cho

1. f (W )  M  U .
2. f '(y) có hạng k với mọi y W .
Khi đó f được gọi là hệ tọa độ trong lân cận của x .
Chứng minh
Xét ánh xạ khả vi h : U  V thỏa điều kiện  M  tức là

14


H ( y )   h1 ( y ),...., hk ( y )  .





Khi đó y W  H  f ( y)   H  h 1 ( y,0)   h1  h 1 ( y,0)  ,..., hk  h 1 ( y,0)   y.

  H  f ( y)   '  I  H '  f ( y)  f '( y)  I .
Vì I là ma trận đơn vị cấp k nên f '( y) có hạng là k với mọi y W .





2.1.2 Định nghĩa Tập H k  x  R k : xk  0 được gọi là nửa không gian của

R k . Tập M  Rk được gọi là một đa tạp k -chiều có biên nếu với mỗi điểm x  M
điều kiện ( M ) hoặc điều kiện ( M ') sau đây được nghiệm đúng.

( M ') Tồn tại một tập mở U chứa x , một tập mở V  R n và một vi phôi
h : U  V sao cho:

15


h(U  M )  V ( H k  {0})  x V : xk  0, xk 1  ...  x n  0

Tập hợp các điểm x  M thỏa điều kiện (M ') được gọi là biên của đa tạp M và được

h( x )  
h1 ( x),..., h n1 ( x),0 , x  FrA







Ta có h là một vi phôi vì h là một vi phôi.
Hơn nữa ta có h(U  FrA)  V  ( R n1  {0})
n
Vậy với mỗi xFrA tồn tại U mở chứa x, V mở, V  R và vi phôi

h :U V thỏa h(U  FrA)  V  ( R n1  {0}) nên FrA là một đa tạp n 1-chiều.
3) Ta xét ánh xạ k : U  V xác định như sau:

16


1

h( x), ( x U  N )  ( x U  FrA)  ( x  h (V1 )  U1 )
k ( x)  
 h1 ( x),..., hn1 ( x),0 



Khi đó ta có
k khả vi do h khả vi.


n

tồn tại một tâp mở A  R và một

nk
ánh xạ g : A  R
sao cho:

1) A  M  g 1 (0).
2) g'xcó hạng n k tại khắp các điểm mà gx0 .

17

n


Chứng minh
1) Ta chọn A là tập mở U trong định nghĩa của đa tạp.
Ta xét ánh xạ g : A  R nk xác định bởi công thức g ( x)   hk 1 ( x),..., hn ( x)  .
Trong đó h là ánh xạ thỏa mãn điều kiện Mtrong định nghĩa của đa tạp.
Khi đó g khả vi vì h khả vi.
Ta có g 1 (0)  x  A : g ( x)  0  x  A : hk 1 ( x)  ...  hn ( x)  0 .
Mặt khác h( A  M )  x V : xk 1  ...  xn  0 
Do đó
xg 1 0ta có hxV ; hk 1 ( x)  ...  hn ( x)  0 Suy ra xAM .
xAM ta có xA và hk 1 ( x)  ...  hn ( x)  0 . Suy ra x g 1 (0) .
Vậy AM  g 1 (0)
2) Từ sự xác định của g ta thấy g chẳng qua là thu hẹp của h trên tập ảnh nên



W
C

p

 (I )  C W

2
2.3.1 Định nghĩa Một đường cong trong R 2 là một tập không rỗng C  R thỏa

2
mãn điều kiện sau với mỗi p  C . Tồn tại một lân cận mở W  R của p, một tập

mở I  R, một đường cong tham số hóa được nhúng  :I  R 2 với ảnh

 (I )  C W .
Ví dụ: Ảnh C   ( I ) của một đường cong tham số hóa được nhúng là một đường
cong. Chúng ta có thể lấy W  R 2 .
Ví dụ: Đường tròn C  S 1 

 x, y  x

2



 y 2  1 là một đường cong.

Chứng minh

V

cho phép một sự tham số hóa như là đồ thị.

Suy ra rằng tồn tại một tập mở W '  R 2 sao cho :

 (V )   ( I )  W '  C  W  W '.
Tập W  W ' có tất cả các tính chất mong muốn của W trong bổ đề.
Ngược lại, giả sử rằng điều kiện trong bổ đề được thỏa mãn, với điểm p cho trước
với C  W   t , h(t )  t  I .

cùng

Trong đó I  R là mở và h : I  R là trơn. Đường cong t  (t , h(t )) có ảnh
C  W vậy nên nó là một đường cong tham số hóa được nhúng. Vậy C là đường

cong.
Định lí 2.3.1
Cho f :   R là một hàm trơn, trong đó   R 2 là mở và c  R . Nếu
không rỗng thì tập C   p  f ( p)  c , (p không là điểm tới hạn) là đường cong
20


trong R 2 .
Chứng minh
Theo tính liên tục của các đạo hàm riêng, thì tập các điểm không tới hạn trong
 là tập con mở. Nếu chúng ta thay thế  bởi tập này thì tập C có thể được biểu

diễn như tập mức  p  Q f ( p)  c , chúng ta có thể áp dụng định lí hàm ẩn cho nó.
Khi đó, từ bổ đề suy ra rằng C là đường cong.

mãn điều kiện sau với mỗi p  S .
3
Tồn tại một lân cận mở W  R của p, một mặt cong tham số hóa được nhúng

 :U  R3 với ảnh  (U )  S  W .

W
S

 (U )  S  W

21


Ví dụ Ảnh S   (I ) của một mặt cong tham số hóa được nhúng là một mặt
3
cong trong R 3 . Chúng ta có thể lấy W  R .

Định lí 2.4.1
Cho f :   R là một hàm trơn, trong đó   R3 là mở và c  R . Nếu
không rỗng thì tập S   p  f ( p)  v , p không là điểm tới hạn,là mặt cong trong
R3 .

Ví dụ Mặt cầu thỏa mãn định lí trên vì nó chứa những điểm không tới hạn của
hàm f ( x, y, z )  x 2  y 2  z 2 . Các đạo hàm riêng là f x'  2 x , f y'  2 y , f z'  2 z , và
chúng đồng thời triệt tiêu chỉ tại điểm (0,0,0). Điểm này không thuộc mặt cầu, vì vậy
nó là một mặt cong.
Bổ đề 2.4.1 Cho S là một tập không rỗng. Khi đó, S là một mặt cong nếu và chỉ nếu
nó thỏa mãn điều kiện sau với mỗi p  S .
3


 (u, v)  (cos u cos v,cos u sin v,sin u )


 u  ,   v  
2

2

Là bản đồ trên mặt cầu đơn vị. Sự hạn chế trên u và v đảm bảo rằng chúng là chính
quy và đơn ánh. Bản đồ  phủ mặt cầu ngoại trừ một nửa đường tròn trong mặt
~ phủ mặt cầu ngoại trừ một nửa đường tròn trong
phẳng xz, với x  0 , và bản đồ 

mặt phẳng xy, với x  0 (một nửa đường xích đạo). Xem hình bên dưới hai đường
tròn bị loại trừ là rời nhau. Vì vậy hai bản đồ cùng nhau phủ mặt cầu và chúng tạo
thành một tập bản đồ.

Định lí 2.5.1
Cho S là một mặt cong. Khi đó, tồn tại tập bản đồ của nó.
Chứng minh

23


Với mỗi p  S chúng ta chọn một mặt cong tham số hóa được nhúng  . Vì
phép đồng phôi là đơn ánh nên tham số hóa này là bản đồ trên S. Hợp của tất cả các
bản đồ này là tập bản đồ.
2.6 MỘT SỐ VÍ DỤ
Bài 1: Trong R3 ta định nghĩa: S2 =


 x , y, z 





 y, z 

*
2
U2 = B  x, y, z   S : y  0 , U2 =

 x, z   R

2



: x 2  z2  1

2 : U2  U2*

 x , y, z 

U3

 x, z 
*
= C  x, y, z   S 2 : z  0 , U3 =  x, y   R 2 : x 2  y 2  1


Chứng minh U1 ,1  là bản đồ.
24

 x, y 


+ Chứng minh 1 là đơn ánh.
Giả sử A

1





 

1  y12  z12 , y1 , z1 , B

 

1  y12  z12 , y1 , z1  1



1  y22  z22 , y2 , z2  U1 sao cho 1  A   1  B 




+) Chứng minh 1 liên tục.
1

11 : U1*  U1

 y, z 



1  y  z , y, z
2

2



11 là liên tục vì các hàm thành phần toạ độ liên

tục.
Vậy U1 ,1  là bản đồ. Hoàn toàn tương tự ta có

U ,  i  1,2,3,4,5,6 là các
i

i

bản đồ trên S2.




2

3

Xét ánh xạ 13  3 1 : W1  W3
1

A  y, z 



A'



 3 .11  y, z   3 11  y, z   3



 

1  y 2  z2 , y, z 

25