Contents 
1

Các phương pháp khử vô định 0/0 .................................................................................................... 1
1.1

Khử nhân tử chung .................................................................................................................... 1

1.2

Đổi biến ..................................................................................................................................... 1

1.3

Gọi số hạng vắng ...................................................................................................................... 2

2

Giới hạn hàm số hữu tỉ ...................................................................................................................... 3

3

Giới hạn hàm vô tỉ ............................................................................................................................ 4

4

Giới hạn hàm số lượng giác .............................................................................................................. 6

5

Bài tập tổng hợp ................................................................................................................................ 9

Nếu f ( x ) , g ( x ) có nhân tử chung x - a thì ta đơn giản tử và mẫu cho x - a



Các hằng đẳng thức thường dùng
a) a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)
b) a3 - b3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2 )
c) a 3 + b3 = (a + b)( a 2 - ab + b 2 )
d) a n - b n = (a - b)(a n-1 + a n-2b + ... + ab n-2 + b n-1 )



Xem cách sử dụng sơ đồ hoocne để phân tích đa thức bậc >3 thành nhân tử

1.2 Đổi biến 
4

Ví dụ 1: lim
x1

2 x -1 -1
x -1

Đặt t = 4 2 x -1 khi đó x  1 thì t  1


t = 4 2 x -1
 2 x -1 = t 4
 x -1 =


5

Ví dụ 2: lim
x 0

 lim
x 0

5

1- x -1
t = 5 1- x , t  1
, đặt
x
 x = 1- t 5

1 - x -1
t -1
-1
1
= lim
= lim 4 3 2
=5
x

x

0
0
x


x -1
-3( x -1)

) = lim

( x -1)( x 2 + x + 1) +

1- (3x - 2)
1 + 3x - 2

x -1

x1

ö÷ 3
3
1 + 3x - 2 = lim çæ x 2 + x + 1÷=
ç
x1 ç
x -1
è
1 + 3x - 2 ø÷ 2

x 1

Ví dụ 2: lim
x 0

x +1 + 3 x -1

÷=
x 0 ç x + 1 + 1
çèç
1- 3 x -1 + 3 x -1 ø÷÷ 6

(

)

x + 1 và

3

x -1 được, nhưng nếu

1 + ( x -1)
x + 1 -1
+
x + 1 + 1 1 - 3 x -1 + 3 x - 1

(

x

)

2


2 Giới hạn hàm số hữu tỉ 

x1 x - x 2 - x + 1
x3 - 4 x 2 + 4 x - 3
8. lim
x 3
x 2 - 3x
8 x3 -1
9. lim 2
1
x 6 x - 5 x +1

lim

6.

lim

2

2 x 4 - 5 x 3 + 3 x 2 + x -1
x1
3 x 4 - 8 x 3 + 6 x 2 -1

10. lim

Giải:
1. lim

( x + 3)( x - 2)
x2 + x - 6
x +3 5

2

4. lim

x3 - 3x + 2
x4 - 4 x + 3

x 2

x 4

x 3

x1

Bằng sơ đồ hoocne phân tích được
2

x3 - 3 x + 2 = ( x -1) ( x + 2)
x 4 - 4 x + 3 = ( x -1) ( x 2 + 2 x + 3)
2

 lim
x1

5. lim
x1

6. lim
x1

= lim
=
lim
= -1
3
x1 1- x 1 + x + x 2
1- x
(
)(
) x1 1+ x + x 2
2

( x -1) ( x + 2)
x3 - 3 x + 2
x+2 3
7. lim 3
= lim
= lim
=
2
2
x1 x - x - x + 1
x1
( x -1) ( x + 1) x1 x + 1 2


( x - 3)( x 2 - x + 1)
x3 - 4 x 2 + 4 x - 3
x2 - x +1 7
8. lim

x
x
2

2

2

2

3

( x - 1) (2 x + 1)
2 x 4 - 5 x3 + 3x 2 + x -1
2x +1 3
10. lim
= lim
= lim
=
4
3
2
3
1
1
x1
x

x


x 2 - 3x + 2
x- x+2
8. lim
x 2
4 x +1 - 3
7.

2 x -1 - x
x1
x -1
2 x + 2 - 3x +1
5. lim
x1
x -1

4.

lim

lim

1- 3 1- x
x 0
x
3
x +7 -2
10. lim 2
x1 x - 3 x + 2

lim

x 1+ 1+ x2

(

)(
(

x0

x
1+ 1+ x2

)
)

=0

x + 7 -3 x + 7 + 3
x + 7 -3
x-2
=
lim
= lim
2
x 2
x -4
( x - 2)( x + 2) x + 7 + 3 x2 ( x - 2)( x + 2) x + 7 + 3

= lim
x2


( x - 2)( x + 5 + 2)
( x - 2)( x + 2 +1)

(

= lim

x-1

)(
x + 5 + 2)(

x + 2 +1

x +5 + 2
=2
x + 2 +1

)
x + 2 +1)

x +5 + 2

)


4. lim
x1


) + lim

2 x -1 + 1

( x -1)( 2 x -1 +1)

x 1

= lim

)(

2 x -1 -1

2 ( x -1)

( x -1)( 2 x -1 +1)

x1

+ lim
x1

1- x

(

)(

x -1

2 - 3x +1
= lim
= lim
+ lim
x1
x1
x1
x -1
x -1
x -1
x -1

= lim

(

x 1

6. lim
x 0

2 ( x -1)

( x -1)( 2 x + 2 + 2)

+ lim
x1

= lim
x 0

+16 - 4
( x +16 - 4)( x +16 + 4)(

x 2 +1 -1
x2

) + lim (2 -

2x + 2 + 2

( x -1)( 2 x + 2 + 2)

x 1

= lim

)(

2x + 2 - 2

2

x 1

2

2
-3
1
=+ lim


7. lim

3x - 3
1- 4 x 2 - x - 2
3
3 + x - 4 x2
+ lim
= lim
+ lim
x1 ( x -1)( x - 2)
x1 ( x -1)( x - 2)
x1 x - 2
x1
( x -1)( x - 2) 1 + 4 x 2 - x - 2

= lim

= lim
x1

(

)

-(4 x + 3)
3
1
+ lim
=

x 2
x 2
4 x + 1 - 3 x 2 4 x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 x + x + 2
4 ( x - 2) x + x + 2
= lim
x2

( x +1)( 4 x +1 + 3)

(

4 x+ x+2

)

=

9
8

(

)


1 - 1- x
9. lim
= lim
x 0
x0

))
2

= lim
x 0

)((
x +7 -2
10. lim
= lim
x - 3x + 2
( x -1)( x - 2)((
(

3

x1

2

= lim
x1

= lim
x1

3

x +7 -2


x + 7)

(

3

2

1- x

2

3

)

)

2

1

)

( x - 2) ( 3 x + 7 ) + 2 3 x + 7 + 4

+ 23

2



tan u ( x)
u ( x)

=1

Các phép biến đổi lượng giác

1- cos 2 x
1 + cos 2 x
= sin 2 x ,
= cos 2 x
2
2
b) sin 2 x = 2 sin x cos x; cos 2 x = cos 2 x - sin 2 x
a +b
a -b
c) cos a + cos b = 2 cos
.cos
2
2
1é
d) cos a cos b = ë cos ( a + b) + cos (a - b )ùû
2
a)

Tính các giới hạn

1- x


sin x 1
sin x
1
Ta có lim
= lim
= lim
=1
.
.lim
x 0
x0
x
x cos x x0 x x0 cos x
tan x
tan ax
 lim
= 1, lim
=1
x 0
x 0
x
ax
 Mở rộng: Nếu lim u ( x) = 0 thì:

u ( x)

3

)
x + 7 + 4)


4 Giới hạn hàm số lượng giác 


)

2

(

13 - 3 1- x

= lim

1

( x -1)( x - 2) ( 3 x + 7 ) + 2 3 x + 7 + 4

(

3

2


1.
2.
3.
4.
5.

x2
1- cos 2 2 x
lim
x 0
x sin x
sin 2 2 x - sin x sin 4 x
lim
x 0
x4
tan x - sin x
lim
x 0
x3
1 + sin x - cos x
lim
x 0 1 - sin x - cos x
lim

Giải:
sin 2 x
sin 2 x
sin 2 x
= lim 2.
= 2 lim
= 2.1 = 2
x 0
x 0
x 0
x
2x

x0 sin 5 x
x sin 5 x x0 x

3. lim

tan 2 x
1 5x
1 2
= 2. =
.lim .
x 0
2 x x0 5 sin 5 x
5 5

= 2 lim

2

æ
ö
x
x
x
çç sin x ÷÷
2 sin
sin 2
sin 2
1- cos x
1
1

2

æ ax ö÷
ax
ax
2 x
çç sin ÷
2sin
sin 2
2
2
2 sin
2
a
a
1- cos ax
çç
2
2
2
2 ÷÷÷ = a .1 = a
=
=
=
=
lim
2
lim
2
lim


6. lim

Ta có:
1
cos x cos 2 x cos 3 x = cos x. (cos x + cos 5 x )
2
ö
1
1æ
1
= (cos 2 x + cos x cos 5 x) = ççcos 2 x + (cos 4 x + cos 6 x)÷÷÷
ø
2
2 çè
2
1
1
1
= cos 2 x + cos 4 x + cos 6 x
2
4
4


1
1
1
1- cos 2 x - cos 4 x - cos 6 x
1- cos x cos 2 x cos 3 x

1
1 1
- cos 2 x
- cos 4 x
- cos 6 x
= lim 2 2 2
+ lim 4 4 2
+ lim 4 4 2
x0
x 0
x 0
x
x
x
1 2
sin x
1 1- cos 4 x
1 1- cos 6 x 1 1 42 1 6 2
2
lim
.
lim
.
+
+
= + . + . =7
= lim
x0 4
x 0 4
x0

x

x

x

x

è 2x ø
x sin x
x sin x
x
sin x
sin x
sin 2 2 x - sin x sin 4 x
8. lim
x 0
x4

Ta có:
sin 2 2 x - sin x sin 4 x = sin 2 2 x - sin x.2sin 2 x cos 2 x
= sin 2 x (sin 2 x - 2sin x cos 2 x ) = sin 2 x (2sin x cos x - 2sin x cos 2 x )
= 2sin x sin 2 x (cos x - cos 2 x) = 2sin x sin 2 x.(-2) sin

æ xö
3x
.sin çç- ÷÷÷
çè 2 ø
2


x
sin x
sin 2 x
sin
sin
2
1
3
2
2 .lim
2 = 4.lim
2 .lim .
= 4 lim
.lim
.lim
.lim 2.
.lim .
x0
x 0
x 0
x x 0 x
x x 0 x
x x0
2 x x 0 2 x x 0 2 3 x
2
2
1 3
= 4.1.2. . = 6
2 2
2

x0

sin x 1- cos x 1
sin x
1- cos x
1
1
1
.
.
= lim
.lim
.lim
= 1. .1 = (xem lại bài tập 4)
2
2
x

x

x

0
0
0
x
x
x
x
cos x

x0 (1- cos x ) - sin x

.lim

Ta có:

(1- cos x) + sin x

L1 = lim
x0

x

x
2sin 2
æ1- cos x sin x ÷ö
2 + lim sin x
= lim çç
+
=
lim
÷
x0 ç
x 0
è
x
x
x ø÷ x0
x


2sin 2
2 - lim sin x
lim
x 0
x 0
x
x
L2 = lim

Vậy lim
x 0

1 + sin x - cos x
= -1
1- sin x - cos x

5 Bài tập tổng hợp 
I.

Định lý kẹp giữa
Nếu h ( x) £ f ( x) £ g ( x) và lim h ( x) = lim g ( x) = L
x x0

x x0

Thì lim f ( x) = L
x x0

II.



x-1

1- x - 1 + x
x
2
x -1

2 x + 3x 2 +1


3x 2 + 5 x - 2
x -2 x 3 - 3 x + 2
x6 - 6 x + 5
4. lim
2
x1
( x -1)

3.

lim

7.

lim

8.

lim

(1- x)(1 + x)
3.

2

)

1- x + x 2 3
=
x -1
1- x
2

= lim

(3x -1)( x + 2)
3x 2 + 5 x - 2
3x -1
7
= lim
= lim
=2
2
3
x-2 x - 3 x + 2
x-2
x-2
9
( x + 2)( x -1)
( x -1)

1- x - 1 + x

)(

1- x + 1 + x

) = lim (1- x)-(1+ x)
x0

x

x

-2 x
= -2
x 0
x

= lim

6.

lim

x 2 -1

x-1

2 x + 3x 2 +1



(

= lim

(

(4 x 2 - 25 x + 25)(3 +

x+4

(5 - x )(2 x + 5 x -1)

x5

1- 12 x + 1
= lim
x 0
x 0
4x

8. lim

)(
)(

)(

2 x - 5 x -1 2 x + 5 x -1 3 + x + 4
2 x - 5 x -1


(

(

)=-9

2

2 x + 5 x -1

)

)

)

2


= lim
x 0

1- (12 x + 1)
æ
4 x çç1 + 3 12 x + 1 +
è

(


1) lim

x1

4) lim

3

x1

x + 7 - 5 - x2
x -1

5 - x2 - 3 x2 + 7
x 1
x -1
4
2 x -1 + 5 x - 2
6) lim
x1
x -1

5) lim

( x -1)( x 2 + x + 1)
x -1

x1

+ lim

x

2) lim
x 0

1
1
+ lim
x

0
x +1 +1
1 + 3 x -1 +

= lim
x 0

(

3

x -1

)

2

=

1 1 5


3

8- x

)

2

= 1+

(

) + lim 2 -

x + 1 -1
x

x 0

3

8- x
x

1 13
=
12 12

3

+ lim
x1
x1 x -1
x1
x -1
x -1
x -1

= lim

4) lim

)

12 x + 1

2

Tính các giới hạn

Bài 2.

1) lim

(

3

1


2 - 3 x2 + 7
= lim
= lim
+ lim
x1
x1
x 1
x -1
x -1
x -1
x -1


= lim
x1

( x -1)( 5 - x 2 + 2)

= lim
x1

4

6) lim
x1

1- x 2

-( x +1)
2

)

2

2
3

=-

4
4
2 x -1 + 5 x - 2
2 x -1 -1 + 1 + 5 x - 2
2 x -1 -1
1- 5 2 - x
= lim
= lim
+ lim
= L1 + L2
x1
x1
x1
x -1
x -1
x -1
x -1
4

Với L1 = lim
x1

1- 5 2 - x
, đổi biến t = 5 2 - x  t  1 khi x  1
x1
x -1

Với L2 = lim

 x = 2 - t 5  x -1 = 1 - t 5

1- t
1- t
1
= lim
=
5
2
3
4
x1 1- t
x1 1- t 1 + t + t + t + t
( )(
) 5

L1 = lim

4

Vậy lim
x1


x 2

x 2 - x 2 + x -1
3. lim
x1
x -1

11. lim

x 4 -16
x-2

12. lim

4. lim
x 2

5. lim
x1

x 2

x3 - 8
x2 - 4

3x 2 - 5 x +1
x+¥
x2 - 2

4 x 6 - 5 x5 + x

15. lim
x+¥ 2 x 3 -1 x + 1
(
)( )

x 7 -1
7. lim 5
x1 x -1
3

8. lim
h 0

2 ( x + h) - 2 x 3
h

Giải:
1. lim
x 3

( x - 3)( x + 5)
x 2 + 2 x -15
= lim
= lim ( x + 5) = 8
x3
x 3
x -3
( x - 3)

( x +1)(2 x +1)

= 32
4. lim
x 2 x - 2
x 2
x 2
x-2
x-2
5. lim
x1

6. lim
x1

4 x6 - 5 x5 + x
2

( x -1)

x9 - 9 x + 8
2

( x -1)

x ( x -1) (4 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 1)
2

= lim

2


x 2

= 2 lim
h 0

h

( x + h - x)(( x + h) + x ( x + h) + x 2 )
2

3

2 ( x + h) - 2 x 3

h

( x -1)(2 x -1)
2 x 2 - 3x +1
2 x -1 1
= lim
= lim 2
=
3
2
2
x - x + x -1 x1 ( x -1)( x + 1) x1 x + 1 2
x 2 - 3x + 2
2

( x - 2)

5 1
x 2 çç3 - + 2 ÷÷÷
3- + 2
3x - 5 x +1
èç
x x ø
x x =3
12. lim
= lim
= lim
x+¥
x+¥
x+¥
æ
ö
2
2
x2 - 2
1- 2
x 2 çç1- 2 ÷÷÷
çè x ø
x
2

2

2

2


= lim
= +¥
13. lim
2
2
2
x+¥
x+¥
x
+¥
ö÷
æ
ö÷
1
1
(2 x +1)
2æ
çç2 + ÷
x çç2 + ÷÷
çè
èç
xø
x ø÷
2

æ
æ
1
1ö
1

æ
æ
öæ
ö
1ö æ
3ö
çç3 + 12 ÷÷çç5 + 3 ÷÷
x 2 çç3 + 2 ÷÷÷.x çç5 + ÷÷÷
÷
÷
çè
ç
ç
ç
è
x ø è
xø
x øè
xø
= lim
= lim
=0
15. lim
3
x+¥ 2 x -1 x + 1
(
)( ) x+¥ x3 æçç2 - 13 ÷÷ö.x ççæ1 + 1 ÷÷ö x+¥ x ççæ2 - 13 öæ
÷÷çç1 + 1 ö÷÷
֍
çè

4. lim

4x - 2
x-2

5.

x- x +2
4 x +1 - 3

6.

lim

x + 2 -1
2x + 6 - x + 5

lim

x + 3 -1
x-6 + 2

x-1

x-2 3

Giải:
1. lim
x1


4x - 2
è
ø
2. lim
= lim
= lim
2
2
x 2
x 2
x 2
æ
ö
æ
ö
x-2
( x - 2)ççè 3 4 x + 2 3 4 x + 4ø÷÷
( x - 2)èçç 3 4 x + 2 3 4 x + 4ø÷÷

(

3

3

)(
(

= lim
x 2

)(
)(

)(
)(

)
)

x- x+2 x+ x+2
4 x +1 + 3
x- x +2
= lim
4 x + 1 - 3 x 2 4 x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 x + x + 2

3. lim
x 2

= lim
x 2

( x 2 - x - 2)(

) = lim ( x +1)(

4 x +1 + 3

(4 x - 8)( x + x + 2 )

)=9

x-1

æ

6.

lim

)

( x +1) 2 x + 6 + x + 5
x + 2 -1
= lim
=2
2 x + 6 - x + 5 x-1
( x +1) x + 2 +1

lim

x-2 3

x + 3 -1
= lim
x - 6 + 2 x-2

)

ö

( x + 2)çèç( 3 x - 6 ) - 2 3 x - 6 + 4÷÷ø

x 0

sin (-x)
sin 5 x

1- 2 x 2 + 1
x 0
1- cos x

8. lim

sin 2 2 x - sin x sin 4 x
9. lim
x 0
x4

3. lim

tan 20 x
11x

10. lim

4. lim

tan 9 x
tan 6 x

11. lim


1- cos 2 2 x
x 0
x sin x
1- cos x
x0 sin 2 2 x
cos x - cos 3x
x 0
sin 2 x
sin 2 x + sin x
x 0
3sin x

Giai:
sin 3x
3 sin 3x 3
sin 3x 3
3
= lim .
= lim
= .1 =
x 0
x 0 2
2x
3x
2 x 0 3 x
2
2

1. lim


x0 5 sin 5 x
sin 5 x
5
5
-x

3. lim

tan 20 x
20 tan 20 x 20
tan 20 x
= lim .
= lim
= 20 /11
x

0
x

0
11x
11 20 x
11
20 x

4. lim

tan 9 x
tan 9 x
x

lim
(xem
lại
bài
tập
=
= )
x 0
x 0
x2
2
x2
2

5. lim

cos x - cos 7 x
cos x -1 + 1- cos 7 x
cos x -1
1- cos 7 x
= lim
= lim
+ lim
2
2
2
x 0
x 0
x 0
x 0

÷
÷
ç
x0 è sin x
sin x ø x0 sin x x0 sin x
1- 2 x 2 + 1
1- 2 x 2 + 1
x2
2 x2
1
1
= 1. = 2
= lim
.lim
=
lim
.
2
x 0
x 0
x0 1- cos x
x 0 2
1
1- cos x
x
x 1 + 2 x 2 + 1 lim 1- cos x
2
x 0
x
2

x
x
x2

= 2 lim

æ 1 22 ÷ö
sin x
sin 2 x æç
cos x -1
1- cos 2 x ÷ö
ç
= 2 lim
+ lim
.lim 2.
.çlim
÷÷ø = 2.1.2.ççè- 2 + 2 ÷÷÷ø = 6
x 0
x 0
2 x çè x0 x 2
x x 0
x2

1- cos 2 2 x
sin 2 2 x
4sin 2 x cos 2 x
sin x
.4 cos x = 1.4 = 4
= lim
= lim

x
sin 2 x 2 x0 4 sin 2 x 2 4
2

æ x ÷ö
cos x - cos 3 x
cos x - cos 3x x 2
cos x -1 + 1- cos 3 x
lim
. 2 = lim
.lim çç
=
÷
2
2
2
x 0
x 0
x0 ç
è sin x ÷ø
sin x
sin x x0
x
x

12. lim

cos x -1
1- cos 3x
1 32


1- sin x - (1- 2sin 2 x)
1- sin x - cos 2 x
14. lim
= lim
= lim ( 2sin x -1) = -1
x 0
x 0
x0
sin x
sin x

5.3 Một số bài giới hạn sử dụng định lý kẹp giữa 
Chú ý:
lim f ( x ) = 0  lim f ( x ) = 0
x 0

x 0

Giới hạn của hàm số nếu có là duy nhất
tính các giới hạn

Bài 6.

1.

sin x
x+¥
x


lim

x+¥

x + x +1
cos
x

lim

x+¥

x0

(

)

x + x +1

1
x

æ1 1 ö
10. lim x cos çç - 2 ÷÷÷
çè x x ø
x 0
cos x + sin x
x+¥
x 2 +1

x0
x

Ta biết lim

Lại có sin ¥ không xác định, ta có:
0£

sin x
1 1
£ =
( x  +¥)
x
x
x
sin x
1
1
= 0 nên theo định lý kẹp giữa ta có lim 0 £ lim
£ lim
=0
x+¥
x+¥
x+¥ x
x+¥ x
x

Mà lim
 lim



x 0

1
1
= 0  lim x cos = 0
x

0
x
x

æ
1ö
3. lim çç x sin ÷÷÷ = 0 (như câu 2)
x 0 ç
è
xø
4.

lim

x+¥

Ta có: 0 £

Và lim

x+¥


=0
x+¥
x2 + x +1
lim

-1 £ sin 2 x £ 1
-2 £ 2 cos x £ 2
 -3 £ sin 2 x + 2 cos x £ 3  0 £ sin 2 x + 2 cos x £ 3
Ta có: 0 £
6.

1 + cos x
=0
x+¥
x
lim

Ta có: 0 £
7.

1 + cos x
2
£
x
x

x sin x
=0
x+¥ x 2 + 1
lim

1
= 0 (như bài 2)
x

x+¥

x 0

x+¥

æ1 1 ö
10. lim x cos çç - 2 ÷÷÷ = 0
çè x x ø
x 0
cos x + sin x
= 0 (như bài 5)
x+¥
x 2 +1

11. lim

2 x + cos x
2x
cos x
= lim
+ lim
= 2+0 = 2
x+¥
x+¥ x + 1
x+¥ x + 1

x0 sin n x
x 0
x m x n sin n x x0 x m x0 sin n x x0 x n
n
æ x ÷ö
sin x m
xm
xm
ç
.lim
lim
= lim m .lim ç
=
÷
x 0
x 0 ç
x 0 x n
è sin x ÷ø x0 x n
x

lim

Nếu m = n thì lim

xm
xm
=
lim
=1
x 0 x m

3

sin 3 x
1- 2 cos x

Đổi biến: t = x -

p
p
 t  0 khi x 
3
3

Ta có:
æ pö
sin 3 x = sin 3ççt + ÷÷÷ = sin (3t + p ) = sin 3t.cos p + sin p.cos 3t = - sin 3t
çè
3ø
æ pö
p
p 1
cos x = cos ççt + ÷÷÷ = cos t cos - sin t.sin = cos t - 3 sin t
çè
3ø
3
3 2

(

 lim

= - lim 3.
.lim
t 0
t 0 1- cos t + 3 sin t
t 0
t
3t t 0 1- cos t + 3 sin t
t

= lim

= -3.

1
1
-3
- 3.
=
=- 3
æ
ö
1
c
os
t
sin
t
1- cos t + 3 sin t
0
+


1- cos t
= lim
t 0
t

lim x sin

x+¥

p
x

Đây là dạng 0.¥ , khi đó ta nghịch đảo số hạng ¥ để xuất hiện dạng

p
lim x sin = lim
x+¥
x x+¥

Đổi biến: t =

 lim x sin
x+¥

4.

sin
1
x


1- tan x
p
æ
ö
x
ç x - p ÷÷
4 sin ç
çè
4 ø÷

lim

Đổi biến: t = x -

p
p
 t  0 khi x 
4
4

p
tan t + tan
æ p ÷ö
4 = 1- tan t + 1 = -2 tan t
Ta có : 1- tan x = 1- tan ççt + ÷÷ = 1çè
p
4ø
1- tan t 1- tan t
1- tan t.tan

lim

Đổi biến : t = cos x  t  1 khi x  0
Ta có: sin 2 x = 1- cos 2 x = 1- t 4 = (1- t )(1 + t + t 2 + t 3 )
1- cos x
1- t
1
1
= lim
= lim
=
2
4
2
3
x 0
t 0 1- t
t 0 1 + t + t + t
sin x
4

lim

6.

(

lim sin x + 1 - sin x

x+¥


2

(

1
x +1 + x

x +1 + x
.sin
2
2

Vậy lim 2 cos
x 0

(

)

(

1
x +1 + x

)

£ 2 sin

2


1
x +1 + x

)

=0

)

Hay lim sin x + 1 - sin x = 0
x+¥

7.

lim
x 0

sin x
x

ì
sin x
ï
ï
neu x  0+
sin x ïï x
=í
Ta có:
ï