1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

-------------------------

CAO TÚ CƯỜNG

VỀ MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH
BIỂU DIỄN ĐƯỢC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An, 2011


2

MỤC LỤC
MỤC LỤC ……………………………………………………………………………...........1
LỜI NÓI ĐẦU……………………………………………………………………………….2
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ…………………………………………………….5
1.1 MÔĐUN ARTIN……………………………………………………………………..5
1.2 BIỂU DIỄN THỨ CẤP VÀ MÔĐUN BIỂU DIỄN ĐƯỢC……………..6
1.3 GIỚI HẠN THUẬN, GIỚI HẠN NGƯỢC……………………………..........6
1.4 HÀM TỬ DẪN XUẤT TRÁI…………………………………………………….9
1.5 HÀM TỬ DẪN XUẤT PHẢI…………………………………………………10
1.6 MÔĐUN MỞ RỘNG………………………………………………………...10
1.7 TÍCH TEXƠ CỦA HAI MÔĐUN…………………………………………11
1.8 MÔĐUN PHẲNG…………………………………………………………….12

là p-thứ cấp. Một biểu diễn thứ cấp của R -môđun M là một phân tích
M = M 1 + M 2 + ... + M n thành tổng của hữu hạn các môđun con pi- thứ cấp M i . Nếu
M = 0 hoặc M có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói M là biểu diễn được.

Một trong những vấn đề thú vị xuất hiện khi nghiên cứu các môđun Artin
là môđun đối địa phương hóa. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và M là
một R - môđun. L. Melkersson và P. Schenzel [12] đã định nghĩa đối địa phương


4
hóa Hom R ( RS ; M ) của môđun M tương ứng với tập nhân đóng S trong R . Khi
M là Artin họ chỉ ra rằng cấu trúc của Hom R ( RS ; M ) có nhiều tính chất hay, chẳng

hạn, Hom R ( RS ; M ) là biểu diễn được và Hom R ( RS ; −) là hàm tử khớp từ phạm trù
các R - môđun Artin đến phạm trù các RS - môđun. Tuy nhiên họ cũng chứng
minh rằng Hom R ( RS ; M ) thường không là RS - môđun Artin ngay cả khi vành R là
địa phương đầy đủ. Như vậy, việc mở rộng nhiên cứu ra phạm trù các môđun
compắc tuyến tính là thực sự cần thiết vì không những nó giữ được rất nhiều tính
chất tốt của môđun Artin mà còn làm cho hàm tử đối địa phương hóa đóng. Năm
2001, N. T. Cường và L. T. Nhàn [5] đã mở rộng các kết quả của L. Melkersson
và P. Schenzel tới lớp tất cả các môđun compắc tuyến tính biểu diễn được. Lớp
môđun này thực sự chứa tất cả các môđun Artin. Thêm nữa, thay cho hàm tử đối
địa phương hóa, N. T. Cường và L. T. Nhàn [5] xét hàm tử Hom R ( F ; −) với F là
R - môđun phẳng. Họ đã chỉ ra rằng Hom R ( F ; −) là hàm tử đóng trong phạm trù

các R - môđun compắc tuyến tính biểu diễn được. Đây chính là câu trả lời khẳng
định tới câu hỏi của L. Melkersson [11] cho các môđun compắc tuyến tính không
nhất thiết có chiều Goldie hữu hạn.
Mục đích của Luận văn là trình bày lại một cách chi tiết và rõ ràng kết quả
nói trên của N. T. Cường và L. T. Nhàn trong [5].

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày (không chứng minh) các kiến
thức cơ sở cần thiết dùng cho chứng minh ở chương sau. Trong toàn bộ luận văn
luôn giả thiết vành R là giao hoán có đơn vị 1 ≠ 0 .

1. 1. Môđun Artin
1. 1. 1. Định nghĩa. (i) Một R – môđun M được gọi là môđun Artin nếu mọi
dãy giảm các môđun con của M đều dừng, tức là nếu
M 1 ⊇ M 2 ⊇ ... ⊇ M n ⊇ ...

là một dãy giảm các môđun con của M . Khi đó tồn tại số tự nhiên n0 sao cho
M n = M n0 với mọi n ≥ n0 .

(ii) Vành R được gọi là vành Artin nếu R là một R – môđun Artin.
1. 1. 2. Định lý. Giả sử M là một R - môđun. Các điều kiện sau là tương đương:
(i) M là Artin;
(ii) Mọi tập khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử tối tiểu theo
quan hệ bao hàm;
(iii) Đối với mỗi tập hợp { Ai | i ∈ I } ≠ ∅ những môđun con của M tồn tại
một tập con hữu hạn I0 của I sao cho
I Ai = I Ai .
I

I0

1. 1. 3. Hệ quả. Nếu môđun M là tổng hữu hạn của những môđun con Artin thì
M Artin.


7



8
được gọi là hệ thuận trên V nếu thỏa mãn các điều kiện sau đây ftt = id M và
t

f sr . fts = f tr với t ≤ s ≤ r. Khi các đồng cấu f tr đã được xác định, ta có thể ký hiệu

gọn hệ thuận ở trên là { M t } .
'
'
Cho hai hệ thuận các R - môđun { M t , f tr } và { M t , ftr } trên cùng một tập
'
'
định hướng V . Một đồng cấu của các hệ thuận { M t , ftr } → { M t , ftr } là một họ các
'
'
R - đồng cấu { ϕt : M t → M t } thỏa mãn f ts .ϕt = ϕ s . fts với t ≤ s . Giới hạn thuận của hệ

Mt
thuận { M t , fts } được định nghĩa như sau: Trên môđun tổng trực tiếp T = t⊕
∈V

đồng nhất môđun M t với ảnh đồng cấu chính tắc của nó trong T , ta có thể xem
M t như là một môđun con của T . Gọi C là môđun con của T sinh bởi tập tất cả

các phần tử dạng xt − ftr ( xt ), t ≤ r , xt ∈ M t . Môđun thương T / C được gọi là giới hạn
uuur M t .
thuận của hệ thuận { M t , ftr } và ký hiệu bởi lim
t


suuu M t .
Khi đó D được gọi là giới hạn ngược của { M t , f rt } và ký hiệu bởi lim
t

1. 3. 3. Một số tính chất của giới hạn thuận và giới hạn ngược
a, Giới hạn thuận là hàm tử khớp trên phạm trù các R - môđun. Nghĩa là nếu
0 → { M t } → { Nt } → { Pt } → 0

là dãy khớp ngắn các hệ thuận R - môđun thì
0 → lim
uuur M t → lim
uuur N t → lim
uuur Pt → 0
t

t

t

là dãy khớp.
b, Giới hạn ngược là hàm tử khớp trái trên phạm trù các R - môđun. Nói chung
nó không là hàm tử khớp, nghĩa là nếu
0 → { M t } → { N t } → { Pt }

là dãy khớp các hệ ngược các R - môđun thì
0 → lim
suuu M t → lim
suuu N t → lim
suuu Pt
t

suuu Hom R ( M t ; N )
t

t

với mọi R - môđun N .

1. 4. Hàm tử dẫn xuất trái
1. 4. 1. Định nghĩa. Cho F : R − mod → R − mod là một hàm tử hiệp biến, cộng
tính, khớp phải trên phạm trù các R − mod . Cho M là một R - môđun, khi đó tồn
tại lời giải xạ ảnh
ε
P• 
→M

ta có phức
F ( P• ) :... → F ( Pi +1 ) → F ( Pi )... → F ( P1 ) → F ( P0 ) .
∞
Hàm tử dẫn xuất trái L• F của F là họ các hàm tử L• F = { Li F } i =0 được xác định

bởi Li F = H i ( F ( P• )) , trong đó H i ( F ( P• )) là môđun đồng điều thứ i của phức F ( P• ) .
1. 4. 2. Tính chất. (1). Li F ( M ) không phụ thuộc việc chọn lời giải xạ ảnh của M
.
(2). Nếu M là một R - môđun xạ ảnh thì Li F ( M ) = 0, ∀i ≠ 0.
(3). L0 F = F .
(4). Giải sử 0 → M ' → M → M '' → 0 là một dãy khớp ngắn các R - môđun. Khi đó
ta có dãy khớp dài:
... → Li +1 ( F ( M '' )) → Li ( F ( M ' )) → Li ( F ( M )) → Li ( F ( M '' )) → …
... → L1 ( F ( M '' )) → L0 ( F ( M ' )) → L0 ( F ( M )) → L0 ( F ( M '' )) → 0 .


được gọi là hàm tử mở rộng của M . Ký hiệu
R i F ( N ) = Ext iR ( M , N )

gọi là môđun mở rộng thứ i của M và N .
1. 6. 2. Một số tính chất cơ bản của môđun mở rộng
(i) Ext 0R ( M , N ) ≅ Hom R ( M , N ) .
(ii) Ext iR ( M , I ) = 0, ∀i ≠ 0 khi I là nội xạ.
(iii) Từ dãy khớp ngắn các R - môđun:
0 → N ' → N → N '' → 0

ta có dãy khớp dài các R - môđun
0 → Hom R ( M , N ' ) → Hom R ( M , N ) → Hom R ( M , N '' )
δ

→ Ext1R ( M , N ' ) → Ext1R ( M , N ) → Ext1R ( M , N '' ) → ....

Nếu hàm tử F ' = Hom R (−, M ) thì F ' là hàm tử hiệp biến và tương tự như trên
ta cũng có các môđun mở rộng Ext iR ( M , N ) thỏa mãn các tính chất sau:
(i) Ext 0R ( N , M ) ≅ Hom R ( N , M ) ;
(ii) Ext iR ( P, M ) = 0, ∀i ≥ 1, khi P là xạ ảnh;
(iii) Từ dãy khớp ngắn các R -môđun:
0 → N ' → N → N '' → 0


12
ta có dãy khớp dài các R - môđun
0 → Hom R ( N '' , M ) → Hom R ( N , M ) → Hom R ( N ' , M )
→ Ext1R ( N ' , M ) → ....

1. 7. Tích tenxơ của hai môđun


13
1. 8. 2. Mệnh đề. Một R – môđun M là phẳng nếu và chỉ nếu với mọi dãy khớp
ngắn các R – môđun
f
g
0
0 
→ N ' 
→ N 
→ N '' 
→0,

dãy cảm sinh
0 
→M

⊗

id M ⊗ f
N ' 
→M

⊗

id M ⊗ g
N 
→M

⊗

khi I ∩ S = ∅ .
Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R . Khi đó S = R \ p là một tập nhân
đóng của vành R . Vành S −1R trong trường hợp này là vành địa phương, ký hiệu
−1
là Rp , với iđêan cực đại duy nhất pRp = S p = { a / s a∈p, s∈R \ p} nên được gọi là

vành địa phương hoá của vành R tại iđêan nguyên tố p .
1. 9. 2. Môđun các thương. Cho S là tập nhân đóng của vành R . Khi đó ta có
vành các thương S −1R . Trên tích Đề các M × S ta xét quan hệ hai ngôi:


14

( m, s ) :

( m , s ) ⇔ ∃t ∈ S : t ( ms − sm ) = 0 . Khi đó ∼ là quan hệ tương đương
'

'

'

'

trên M × S . Do đó M × S được chia thành các lớp tương đương, ta ký hiệu tập
thương của M × S theo quan hệ tương đương ∼ là S −1M và ký hiệu lớp tương
−1
đương chứa (m, s) là m / s . Như vậy S M = { m / s | m ∈ M , s ∈ S } .

Trên S −1M trang bị phép cộng và phép nhân với vô hướng:


15
Ass R (S −1M )=Ass R M I{ P ∈ SpecR | P I S = ∅} .

1. 10. 3. Hệ quả. Nếu N là một môđun con của R -môđun M thì AssN ⊂ AssM
1. 10. 4. Định nghĩa. Cho M là R -môđun. Khi đó tập hợp
Supp R M = { p ∈ SpecR | M p ≠ 0}

được gọi là giá của R - môđun M .

CHƯƠNG 2. MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH
BIỂU DIỄN ĐƯỢC
Năm 1942, S. Leschetz đưa ra khái niệm không gian vectơ compắc tuyến
tính nhằm nghiên cứu các không gian vectơ vô hạn chiều. Năm 1953, D.
Zelinsky đã mở rộng khái niệm này thành khái niệm môđun compắc tuyến tính.
Từ đó đến nay, lớp môđun compắc tuyến tính đã được nhiều nhà toán học trên


16
thế giới quan tâm nghiên cứu. Chú ý rằng, lớp môđun compắc tuyến tính rất
rộng, chứa nhiều lớp môđun quan trọng trong Đại số giao hoán. Thậm chí một
lớp môđun con của môđun compắc tuyến tính đó là môđun compắc tuyến tính
nửa rời rạc cũng chứa thực sự các môđun Artin; hơn thế nữa nó còn chứa các
môđun Noether trên vành địa phương đầy đủ.
Mục đích của chương này là trình bày lại một cách chi tiết các kết quả của
N. T. Cường và L. T. Nhàn trong [5] về môđun compắc tuyến tính biểu diễn
được. Các kết quả trong bài báo này là một mở rộng của các kết quả trong bài
báo [12] của L. Melkersson and P. Schenzel.

2. 1. Môđun compắc tuyến tính

các đồng cấu liên tục là compắc tuyến tính.
(vi) Nếu M là môđun tôpô tuyến tính Hausdorff và N1 ,..., N r là các môđun
con compắc tuyến tính của M thì N1 + ... + N r là compắc tuyến tính.
2. 1. 3. Bổ đề. Cho { M t } là hệ ngược các môđun compắc tuyến tính với các đồng
cấu liên tục. Khi đó với mọi i > 0 ta có
(i )
lim
suuu ( M t ) = 0 ,

t

(i )
suuu (−) là hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử giới hạn ngược.
trong đó lim
t

Giả sử P là một R -môđun tự do với cơ sở { xi } i∈I và M là một R -môđun
tôpô tuyến tính. Chúng ta có thể trang bị cho Hom R ( P; M ) một tôpô tuyến tính
như là tôpô tích của M I thông qua đẳng cấu Hom R ( P, M ) ≅ M I . Mặt khác ta có
nếu f : P → P '

là đồng cấu giữa hai R -môđun tự do thì đồng cấu cảm sinh

f* : Hom R ( P ' , M ) → Hom R ( P, M ) là liên tục.


18
Cho F là R -môđun phẳng. Khi đó tồn tại hệ thuận {Ft} các R -môđun tự
uuur Ft . Theo lập luận ở trên, { Hom R ( Ft , M )} có dạng là
do hữu hạn sinh sao cho F ≅ lim

ở trên không phụ thuộc vào cách chọn hệ thuận {Ft} với F ≅ lim
t

2. 1. 4. Định lý. Cho F là một R - môđun phẳng, M là một R - môđun compắc
tuyến tính. Giả sử {Ft }t∈K là một hệ thuận các R -môđun tự do hữu hạn sinh sao
uuur Ft . Khi đó ta có
cho F ≅ lim
t∈K

(i) R -môđun tôpô tuyến tính Hom R ( F ; M ) định nghĩa bởi hệ thuận {Ft }t∈K là
compắc tuyến tính và tôpô của nó độc lập với cách chọn hệ thuận này.


19
(ii) Ext iR ( F ; M ) = 0 , với mọi i > 0 .
Chứng minh. (i). Rõ ràng Hom R ( F ; M ) là compắc tuyến tính theo Bổ đề 2.1.2,
(iv), (v). Gọi {Fs' }s∈K ' là hệ thuận thứ hai các R - môđun tự do hữu hạn sinh sao
'
uuur Fs . Gọi L = Hom R ( F ; M ) là R - môđun tôpô định nghĩa bởi hệ thuận
cho F ≅ lim
s∈K
'

thứ nhất và L' = Hom R ( F ; M ) được định nghĩa bởi hệ thuận thứ nhất. Chúng ta cần
Ft và T ' = ⊕ Fs' . Khi đó T và T ' là
chứng minh L đồng phôi với L' . Đặt T = t⊕
∈K
s∈K '

các R - môđun tự do. Chú ý rằng F là ảnh đồng cấu của T và nó cũng là ảnh

0 
→ L' 
→ Hom R (T ' ; M ) 
→ Hom R (T1' ; M )

k∗

h∗

f∗
g∗
0 
→ L 
→ Hom R (T ; M ) 
→ Hom R (T1; M )

với các dòng khớp là các đồng cấu cảm sinh h∗ , k∗ , g∗' , g∗ là liên tục. Vì thế ánh xạ
đồng nhất L → L' phải liên tục. Hoàn toàn tương tự chúng ta có thể chỉ ra rằng
ánh xạ đồng nhất L' → L là liên tục. Vậy L đồng phôi với L' .
(ii). Ta có dãy phổ
( p)

q
i
E2 p ,q ≅ lim
uurFt ; M ) .
suu Ext R ( Ft ; M ) ⇒ Ext R (lim
t∈K

t∈K

các môđun con pi- thứ cấp M i . Nếu M = 0 hoặc M có một biểu diễn thứ cấp thì
ta nói M là biểu diễn được. Biểu diễn thứ cấp này được gọi là tối thiểu nếu các
iđêan nguyên tố pi là đôi một khác nhau và không có hạng tử M i nào là thừa. Dễ
thấy rằng mọi biểu diễn thứ cấp của M đều có thể quy về tối thiểu. Tập hợp

{ p1 , p2 ,..., pn } là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối thiểu của
{ p1 , p2 ,..., pn } được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của

M . Vì thế

M và ký hiệu bởi

Att R ( M ) . Các hạng tử M i , i = 1,..., n , được gọi là các thành phần thứ cấp của M .

Nếu pi là tối thiểu trong Att R ( M ) thì M i được gọi là thành phần thứ cấp cô lập.
2. 2. 1. Bổ đề. Cho F là R -môđun phẳng và M là R -môđun compắc tuyến tính.
Nếu M là p – thứ cấp thì Hom R ( F ; M ) hoặc bằng 0 hoặc là p – thứ cấp.


21
Chứng minh. Giả sử Hom R ( F ; M ) ≠ 0 . Lấy x ∈ p . Thế thì x n M = 0 với một số
nguyên dương n nào đó. Do đó x n Hom R ( F ; M ) = 0 . Lấy x ∉ p . Khi đó xM = M . Vì
M là Hausdorff nên 0 là môđun con đóng của M . Do phép nhân bởi x trên M

là liên tục nên (0 : xR) M là môđun con đóng của M . Vì thế nó là compắc tuyến
tính theo Bổ đề 2.1.2, (i). Do đó ta có dãy khớp các R -môđun compắc tuyến tính
x → M 
0 
→(0 : xR) M 
→ M 

đều là compắc tuyến tính.
Chứng minh: Gọi M = M 1 + M 2 + ... + M n là biểu diễn thứ cấp tối thiểu của M ,
trong đó M i là pi-thứ cấp với i = 1,...., n . Khi đó Att R M = { p1 ,..., pn } . Ký hiệu M i là


22
bao đóng của M i với i = 1,...., n . Theo Bổ đề 2.1.2, (i) các môđun con M i là
compắc tuyến tính. Lại theo Bổ đề 2.2.2, với mọi i = 1,...., n , các môđun con M i
cũng là pi-thứ cấp vì
M 1 + ... + M n ⊇ M 1 + ... + M n = M

nên M = M 1 + ... + M n là biểu diễn thứ cấp mà mọi thành phần thứ cấp Mi với
i = 1,...., n đều là compắc tuyến tính. Như vậy ta chỉ còn phải chứng minh biểu

diễn này là tối tiểu. Giả sử rằng nó không tối tiểu. Vì các pi là đôi một phân biệt
M j với i nào đó.
nên phải có một thành phần thứ cấp M i là thừa, tức là M i ⊆ ∑
j ≠i
M j . Theo Bổ đề 2.2.2, p ∉ Att M . Mâu thuẫn.
Vì thế M = ∑
i
R
j ≠i

□

2. 2. 4. Hệ quả. Cho M là một R -môđun compắc tuyến tính biểu diễn được và p
là một phần tử của Att R M . Khi đó tồn tại ảnh đồng cấu B của M sao cho B là
compắc tuyến tính p – thứ cấp.
Chứng minh. Theo Hệ quả 2.2.3, ta có thể chọn được một biểu diễn thứ cấp tối

đặt

N1 = M 1 ; N 2 = M 2 + ... + M n . Khi đó N 2 là compắc tuyến tính theo Bổ đề 2.1.2, (vi).

Vì thế, theo Bổ đề 2.1.2, môđun N1 I N 2 , N1 ⊕ N 2 là compắc tuyến tính. Sử dụng
tính chất khớp của hàm tử Hom R ( F ; −) trong Hệ quả 2.1.5 vào dãy khớp các R môđun compắc tuyến tính

0 → N1 I N 2 → N1 ⊕ N 2 → N1 + N 2 → 0
ta có
Hom R ( F ; N1 + N 2 ) ≅ Hom R ( F ; N1 ⊕ N 2 ) / Hom( F ; N1 I N 2 )
≅ (Hom R ( F ; N1 ) ⊕ Hom R ( F ; N 2 ) / Hom R ( F ; N1 ) I Hom R ( F ; N 2 )
≅ Hom R ( F ; N1 ) + Hom R ( F ; N 2 ).

Vì thế

Hom R ( F ; N1 + N 2 ) = Hom R ( F ; N1 ) + Hom R ( F ; N 2 ) ,
trong đó Hom R ( F ; N1 ) và Hom R ( F ; N 2 ) được xét như các môđun con của
Hom R ( F ; M ) . Sử dụng giả thiết quy nạp cho môđun N 2 ta có điều cần chứng

minh.

□

2. 2. 7. Chú ý. Tính biểu diễn được của lớp các môđun có chiều Goldie hữu hạn
đã được nghiên cứu bởi L. Melkersson [11] (một môđun được gọi là có chiều
Goldie hữu hạn nếu nó không chứa tổng trực tiếp của vô hạn các môđun con).
Trong lớp các môđun này, ông đã đặc trưng tính biểu diễn được bằng đối đồng


24



25
tập vô hạn. Từ đây ta có thể dễ dàng suy ra được Hom R ( Rp ; M ) là Rp - môđun
không có chiều Goldie hữu hạn và vì thế nó cũng là R – môđun không có chiều
Goldie hữu hạn. Đặc biệt, nó không là môđun Artin.

□

2. 3. Đối địa phương hóa
Khái niệm đối địa phương hóa được L. Melkersson và P. Schenzel đưa ra
năm 1995 trong [12].
2. 3. 1. Định nghĩa. Đối địa phương hóa của R – môđun M tương ứng với tập
đóng nhân S của R là RS - môđun Hom R ( R; M ) .
Chú ý rằng khi A là Artin, Hom( RS ; A) hầu như không là RS - môđun Artin,
trong khi đó với M là R - môđun compắc tuyến tính biểu diễn được, Hom( RS ; M )
luôn luôn là R – môđun compắc tuyến tính biểu diễn được. Do đó việc nghiên
cứu hàm tử đối địa phương hóa trên các môđun compắc tuyến tính biểu diễn
được là thực sự có ý nghĩa.
2. 3. 2. Bổ đề. Cho S tập đóng nhân của R và M là R – môđun compắc tuyến
tính. Giả sử
ϕ : Hom R ( RS ; M ) → M

là đồng cấu định nghĩa bởi ϕ ( f ) = f (1) , với mọi f ∈ Hom R ( RS ; M ) . Khi đó ta có
Imϕ = I sM .
s∈S
'
sM ; I = U (0 : s) R . Khi đó M ' là compắc tuyến tính theo
Chứng minh. Đặt M = sI
s∈S