tran thi thai hoa

1


MỞ ĐẦU
Vào giữa những năm 70 của thế kỉ XX một lĩnh vực của toán học có
nhiều ứng dụng ra đời đó là hình học Fractal. Công cụ để nghiên cứu
trong hình học Fractal là chiều và độ đo. Có rất nhiều khái niệm về
chiều cũng như độ đo được đề xướng, được nhiều nhà toán học quan tâm
nghiên cứu và thu được nhiều kết quả cũng như tìm thấy nhiều ứng dụng
hữu ích cho nhiều lĩnh vực khác nhau. Một trong những độ đo Fractal
được đặc biệt quan tâm là độ đo tự đồng dạng (Self - Similar Measure).
Độ đo này được khởi xướng vào năm 1981 bởi Hutchinson và sau đó được
rất nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu như P. Erdos, B. Solomyak,
A. Fan, R. Salem, K. Lau, R. Strichartz, J. Neunhauserer,... Nhờ việc
nghiên cứu độ đo này mà ta có thể nghiên cứu về chiều Hausdorff của
các tập Fractal vì giá của độ đo tự đồng dạng sinh bởi họ các ánh xạ
đồng dạng chính là tập Fractal sinh bởi các ánh xạ đó. Mặt khác, nhờ
nghiên cứu độ đo tự đồng dạng ta có thể nghiên cứu cấu trúc địa phương
của các tập Fractal. Chính vì thế, độ đo này luôn thu hút sự quan tâm
nghiên cứu của nhiều nhà toán học. Với những lí do trên tôi chọn đề tài
nghiên cứu cho luận văn của mình là
Về độ đo tự đồng dạng.
Mục đích của luận văn là thông qua các tài liệu, chúng tôi tìm hiểu,
trình bày một cách hệ thống và chứng minh chi tiết các kết quả về độ
đo tự đồng dạng. Nghiên cứu về tính kỳ dị và tính liên tục tuyệt đối của
một số độ đo tự đồng dạng thường gặp.
Ngoài phần Mở đầu, Mục lục và Tài liệu tham khảo, Nội dung luận
văn được trình bày trong hai chương.
Chương 1. Độ đo tự đồng dạng

3


CHƯƠNG 1

ĐỘ ĐO TỰ ĐỒNG DẠNG
1.1 Độ đo, độ đo liên tục tuyệt đối, độ đo hoàn toàn kì dị
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về độ đo, độ
đo kỳ dị, độ đo liên tục tuyệt đối, hệ hàm lặp, biến ngẫu nhiên,...Trình
bày và chứng minh chi tiết một số bổ đề, mệnh đề, định lý bổ trợ để
trình bày chứng minh các kết quả cơ bản trong luận văn; trình bày định
nghĩa và chứng minh các tính chất cơ bản của độ đo tự đồng dạng.
1.1.1 Định nghĩa. Cho X = ∅, C là một σ-đại số các tập con của X.
Hàm tập µ : C → R được gọi là độ đo nếu
i) µ(A) ≥ 0, ∀A ∈ C;
ii) µ(∅) = 0;
iii) µ là σ-cộng tính, nghĩa là nếu
∞

Ai ∈ C, Ai ∩ Aj = ∅, (i = j),

Ai ∈ C
i=1

thì
∞

µ(

∞


µ(Ak ).
k=1

Đặc biệt, nếu thêm điều kiện µ(Ak ) = 0, ∀k = 1, 2, ... thì µ(A) = 0.
∞

v) Nếu Ak ∈ C, Ak ∩ Aj = ∅ (k = j), A ∈ C, A ⊃

Ak thì
k=1

∞

µ(A) ≥

µ(Ak ).
k=1

1.1.3 Định nghĩa. Cho µ là một độ đo trên C. Khi đó, giá của độ
đo µ (nếu tồn tại) là tập đóng bé nhất với phần bù có độ đo bằng 0, ký
hiệu là sptµ.
1.1.4 Định nghĩa. Giả sử X là một tập tùy ý khác rỗng, C là một
σ-đại số các tập con của X. Khi đó, cặp (X, C) được gọi là một không
gian đo. Mỗi A ∈ C được gọi là tập đo được.
1.1.5 Định nghĩa. Giả sử X = (X, d) là không gian mêtric. Khi đó,
i) σ-đại số nhỏ nhất bao hàm lớp các tập mở trong không gian mêtric
X được gọi là σ-đại số Borel của không gian X và những tập thuộc σ-đại
số này được gọi là tập Borel trong không gian X.
ii) Ta nói µ là độ đo Borel đều nếu và chỉ nếu tất cả các tập Borel

µ.

µL ta nói µ là liên tục tuyệt đối.

1.1.9 Mệnh đề. Giả sử µ và ν là các độ đo xác định trên C. Khi đó,
nếu ν

µ và ν ⊥ µ thì ν(E) = 0 với mọi E ∈ C.

Chứng minh. Vì ν ⊥ µ nên tồn tại A, B ⊂ X sao cho
A ∪ B = X, A ∩ B = ∅ và µ(B) = ν(A) = 0.

(1.1)

Khi đó, với mọi E ∈ C ta có
ν(E) = ν(E ∩ X) = ν[E ∩ (A ∪ B)]
= ν[(E ∩ A) ∪ (E ∩ B)] = ν(E ∩ A) + ν(E ∩ B).
(do ν cộng tính hữu hạn và A, B rời nhau).
Vì ν là độ đo nên 0 < ν(E ∩ A) ≤ ν(A) = 0 (theo (1.1)). Vậy
ν(E) ≤ ν(A) + ν(E ∩ B) = 0 + ν(E ∩ B) = ν(E ∩ B).
6

(1.2)


Hơn nữa, ν

µ và µ(B) = 0 nên ν(B) = 0.

suy ra ν(E ∩ B) ≤ ν(B) = 0 suy ra ν(E ∩ B) = 0.

đồng dạng của ánh xạ f .
iii) Ánh xạ f : D→Rn được gọi là ánh xạ Lipschitz nếu tồn tại hằng
số c > 0 sao cho
|f (x) − f (y)| ≤ c|x − y|,
7

∀x, y ∈ D.


iv) Ánh xạ f : D→Rn được gọi là ánh xạ Holder nếu tồn tại các hằng
số c > 0 và α > 0 sao cho
|f (x) − f (y)| ≤ c|x − y|α ,

∀x, y ∈ D.

1.2.2 Định nghĩa. i) Một họ hữu hạn gồm m ánh xạ co {f1 , f2 , . . . , fm }
trên D được gọi là hệ hàm lặp (viết tắt là IFS - Iterated Function System)
trên D.
ii) Cho hệ hàm lặp {fi }m
i=1 gồm các ánh xạ đồng dạng. Ta nói hệ
hàm lặp đã cho thỏa mãn điều kiện tập mở (viết tắt là OSC-Open Set
Condition) nếu tồn tại tập mở bị chặn khác rỗng V ⊂ Rn sao cho
m
 f (V ) ⊆ V ;
i
i=1

fi (V )

fj (V ) = ∅ (i = j).

m

thỏa mãn F =

fi (F ) được gọi là tập bất biến hay tập hút (attractor)
i=1

của hệ hàm lặp {fi }m
i=1 .
ii) Nếu các fi (1 ≤ i ≤ m) là các ánh xạ đồng dạng thì tập bất biến F
được gọi là tập tự đồng dạng (Self-similar Set).
8


iii) Các tập bất biến của một hệ hàm lặp được xem là các tập fractal.
1.2.5 Một số ví dụ về tập fractal.
Các ví dụ nêu sau đây khá phổ biến trong hình học fractal. Do đó,
chúng tôi không trình bày lại chi tiết các chứng minh chúng là tập bất
biến của hệ hàm lặp mà chỉ mô tả cách xây dựng và chỉ ra hệ hàm lặp
sinh ra chúng.
a) Tập tựa Cantor. Với mỗi n ≥ 3, ta xây dựng tập Cn trên R thông
qua các bước lặp như sau: Một đoạn thẳng được chia thành n đoạn nhỏ
có độ dài như nhau, ở bước lặp tiếp theo ta chỉ giữ lại một đoạn đầu tiên
và một đoạn cuối cùng của n phần chia này. Gọi Ek (k = 0, 1, 2, 3, . . . )
là bước thứ k của quá trình lặp.
E0 :

Cn0 = [0; 1];

E1 :

Cn =

Cnk .
k=0

Khi đó, Cn được gọi là tập tựa Cantor, nó là tập fractal bất biến qua
hệ hàm lặp {fi }2i=1 với fi : R→R, i = 1, 2 xác định bởi
f1 (x) =

1
x,
n

f2 (x) =

1
n−1
x+
.
n
n

Trường hợp n = 3 thì C3 chính là tập Cantor cổ điển (Midle Cantor Set).
b) Bụi cantor. Xuất phát từ hình vuông đơn vị, chia nó thành 16
hình vuông nhỏ có độ dài cạnh là 14 , giữ lại 4 hình vuông và bỏ đi 12
hình vuông khác. Cứ tiếp tục như thế cho đến bước thứ k ta có 4k hình
vuông cạnh là

1
4k .

.
4 4 2

c) Tam giác Sierpinski. Tập được xây dựng bằng cách xuất phát
từ hình tam giác đều có cạnh là một đơn vị độ dài, chia nó thành 4 tam
giác nhỏ bởi các đường trung bình của tam giác, độ dài cạnh tam giác
mới là 12 , giữ lại 3 hình tam giác xung quanh và bỏ đi một hình tam giác
ở giữa. Cứ tiếp tục như thế cho 3 tam giác còn lại. Lặp lại quá trình này
vô hạn lần, thì đến bước thứ k ta có 3k tam giác, cạnh là

1
2k .

Quá trình

này được lặp lại vô hạn lần, khi đó ta thu được tam giác Sierpinski. Tam
giác Sierpinski là tập fractal sinh bởi hệ hàm lặp {fi }3i=1 trên R2 xác
định bởi

x
,
2
x
f2 (x, y) =
+
2

f1 (x, y) =

f3 (x, y) =

iii) Một biến ngẫu nhiên gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó chỉ
nhận một số hữu hạn hoặc đếm được các giá trị.
10


1.3.2 Định nghĩa. Giả sử (X, C, P) là không gian xác suất. Họ các
biến ngẫu nhiên (Xi )i∈I được gọi là độc lập (độc lập đôi một) nếu họ
σ-đại số (σ(Xi )i ∈ I) độc lập (độc lập đôi một).
1.4 Định nghĩa, tính chất và ví dụ về độ đo tự đồng dạng
Gọi X = (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, µ là độ đo Borel đều
trên X. Khi đó
i) Khối lượng của µ xác định bởi M(µ) = µ(X).
ii) Gọi M là tập hợp các độ đo Borel đều có giá bị chặn và khối lượng
hữu hạn. Đặt M1 = {µ ∈ M : M(µ) = 1}.
iii) Cho f : X → R ta định nghĩa
Lipf = sup
x=y

d(f (x),f (y))
.
d(x,y)

iv) Đặt
BC(X) = {f : X → R : f liên tục và bị chặn trên các tập hợp con bị chặn}.
Với µ ∈ M, φ ∈ BC(X), ta định nghĩa
µ(φ) =

φdµ.

Khi đó, µ : BC(X) → [0, +∞) là tuyến tính và dương (nghĩa là nếu

L(µ, ν) = sup{µ(φ) − ν(φ)| φ : X → R, Lipφ ≤ 1}.
1.4.1 Mệnh đề ([3]). Với cách xác định như trên L là một mêtric đầy
đủ trên M1 . Do đó, (M1 , L) trở thành không gian metric đầy đủ.
Với các kí hiệu về S, M1 , L như trên ta có định lý sau
1.4.2 Định lý ([4]). Giả sử (S, ρ) : M1 → M1 xác định bởi
N

(S, ρ)(ν) =

ρi Si# ν.
i=1

Khi đó, (S, ρ) là ánh xạ co trên không gian mêtric (M1 , L).
Chứng minh. Ta có Lipφ ≤ 1 và lấy r = max ri < 1 với ri là tỉ số co
1≤i≤N

của các Si tương ứng (i = 1, 2, ..., N ). Khi đó, với µ, ν ∈ M1 ta có
N

N

(S, ρ)(µ)(φ) − (S, ρ)(ν)(φ) =

(ρi Si# µ)(φ) −
i=1

(ρi Si# ν)(φ)
i=1

N

{S1 , ..., SN } là họ hữu hạn các ánh xạ co trên X. Giả sử ρ1 , ..., ρN ∈ (0, 1)
N

ρi = 1. Khi đó, tồn tại duy nhất độ đo xác suất Borel µ sao cho

và
i=1

N

ρi µ ◦ Si−1

µ=
i=1

nghĩa là
N

ρi µ(Si−1 (A))

µ(A) =
i=1

đối với mọi tập đo được A.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.4.1 (M1 , L) là không gian mêtric đầy
đủ. Mặt khác, theo Định lý 1.4.2 (S, ρ) là ánh xạ co.
Vậy theo nguyên lý ánh xạ co thì tồn tại duy nhất độ đo µ ∈ M1 sao
N

cho (S, ρ) = µ nghĩa là µ =

như sau.
Lấy X0 , X1 , ... là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối,
mỗi biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực a1 , ..., am với các xác suất tương
ứng là p1 , ...pm .

∞

Với 0 < ρ < 1 lấy S =

ρj Xj và kí hiệu

j=1

µρ (A) = P rob{ω : S(ω) ∈ A}

(1.5)

đối với mọi tập đo được A.
Ta có kết quả sau.
1.4.5 Định lý ([4]). Độ đo µ trong Định nghĩa 1.4.4 trùng với độ đo
µρ được xác định bởi (1.5).

∞

Chứng minh. Với 0 < ρ < 1 lấy biến ngẫu nhiên S =

ρj Xj . Khi

j=1



=
j=1

pj µ(Fj−1 (A))

= µ(A).
Vậy theo tính duy nhất của độ đo tự đồng dạng trong Định lý 1.4.3
thì độ đo µ trùng với độ đo µρ .
Độ đo tự đồng dạng có một ý nghĩa quan trọng trong nghiên cứu hình
học fractal. Cụ thể ta có định lý sau.
1.4.6 Định lý([3]). Giả sử µ là độ đo tự đồng dạng sinh bởi hệ hàm
lặp {Fj }m
j=1 với Fj (x) = ρx + aj , 0 < ρ < 1, x ∈ R, aj ∈ R, j = 1, 2, ...m
thì tập bất biến của hệ hàm lặp {Fj }m
j=1 là E =

n

Fj (E) chính là sptµ.
j=1

Chứng minh. Giả sử X0 , X1 , ... là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có
cùng phân phối, mỗi biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực a1 , ..., am với các
xác suất tương ứng là p1 , ..., pm .
∞

Với 0 < ρ < 1 lấy S =

ρn Xn . Khi đó, ta có độ đo sinh bởi S là


Fj (E)
j=1

= E.
Vậy định lý được chứng minh.
Từ Định lý này ta thấy rằng để nghiên cứu một tập fractal E ta có
thể dựa vào độ đo và giá của độ đo để nghiên cứu.
15


Theo Định lý phân tích Lebesgue thì bất kì độ đo ν nào trên C cũng
có thể phân tích thành ν = νa + νs trong đó νs ⊥ ν, νa

ν với (X, C) là

một không gian đo.
Tuy nhiên, đối với độ đo tự đồng dạng ta lại có tính chất đặc biệt sau
đây. Trước hết, ta kí hiệu
b = (β1 , ..., βn ) ∈ (0, 1)n ; d = (d1 , ..., dn ) ∈ Rn , di = dj , i = j.
Từ đó, ta xác định một hệ hàm lặp IFS {Ti }ni=1 như sau
Ti (x) = βi x + di , i = 1, 2, ...n.

(1.6)

Lấy vectơ trọng số xác suất p = (p1 , ..., pn ).
Khi đó, tồn tại duy nhất độ đo xác suất Borel µpb,d thỏa mãn
n

µpb,d (A)


sk
i=1

với #ki (s) = Card{sj |sj = di với j = 0, 1, ..., k − 1} và s = (sk ) ∈ Σ.
Để cho gọn, thay vì viết πb,d ta ký hiệu π, µ thay µpb,d , b thay bp .
Trước hết, với các kí hiệu như ở trên ta chứng minh các bổ đề sau.
1.4.7 Bổ đề. Cho j = 1, ..., n và (s0 , s1 , s2 ...) ∈ Σ ta có
Tj (π((s0 , s1 , s2 , ...))) = π((dj , s0 , s1 , s2 , ...)).
16


Chứng minh. Ta có
∞

Tj (π((s0 , s1 , s2 , ...))) = βj (
=
=

n

sk

#ki (s)

βi

) + dj
i=1
k=0

Giả sử µ(Tj−1 A) = b(π −1 (Tj−1 A)) > 0 với j ∈ {1, ..., n}.
Khi đó,
b({(dj , so , s1 , s2 ...)|(s0 , s1 , s2 ...) ∈ π −1 (Tj−1 A)}) > 0
kéo theo µ(A) = b(π −1 (A)) > 0, điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Chứng tỏ µ(Tj−1 (A)) = 0 với j = 1, ..., n.
Vậy bổ đề được chứng minh.
Lấy C ⊆ F là một tập Borel tùy ý. Lấy C0 = C và xây dựng Cu bởi công
thức truy hồi

n

Tj−1 (Cu−1 )

Cu =
j=1
∞

và đặt Λ =

Cu .
u=0

Ta có bổ đề sau.
1.4.9 Bổ đề. Cho tập Borel tùy ý C ⊆ F . Khi đó, hoặc là µL (Λ) = 0
hoặc là µL (Λ) = µL (F )(µL là độ đo Lebesgue).
17


Chứng minh. Lấy Λ = F \ Λ. Ta chứng minh bổ đề này với phần bù
Λ.

Điều này kéo theo
µL (Ts1 ◦ T s2 ◦ Tsv (F )) 1 n
≥ min βi := c2 .
µL (J)
2 i=1

(1.8)

Từ đó (1.7) và (1.8) ta có
µL (Λ ∩ J)
≥ c1 c2 .
µL (J)
Điều này nghĩa là Λ không có điểm trù mật trong F và theo Định lý
trù mật Lebesgue kéo theo µL (Λ) = µL (F ) hay µL (Λ) = 0.
Ngược lại, µL (Λ) = 0 thì µL (Λ) = µL (F ).
Vậy bổ đề được chứng minh.
18


Từ Định lý 1.1.9 thì bất kì một độ đo ν nào trên C cũng có thể phân
tích thành ν = νa + νs trong đó νs ⊥ ν, νa

ν với (X, C) là một không

gian đo và từ các bổ đề trên ta có tính chất đặc biệt của độ đo tự đồng
dạng được trình bày trong định lý sau.
1.4.10 Định lý. Giả sử µ là độ đo tự đồng dạng thì µ hoặc là liên
tục tuyệt đối hoặc là hoàn toàn kỳ dị.
Chứng minh. Giả sử rằng µ là độ đo liên tục tuyệt đối nhưng không
tương đương với độ đo Lebesgue µL .

19


Vấn đề cơ bản đặt ra với độ đo νλ là với giá trị nào của λ thì độ đo νλ
là liên tục tuyệt đối hay hoàn toàn kì dị. Bài toán này được rất nhiều nhà
toán học quan tâm nghiên cứu như Erdos (1930,1940), Solomyak (1995),
Peres và Solomyak (1996), Alexander và Yorke, Przytycki và Urbanski,
Mauldin và Simon (1998).
Cho đến nay, độ đo này vẫn còn nhiều vấn đề mở thu hút sự quan tâm
nghiên cứu của nhiều nhà toán học.
b) Cho Si (x) = 31 x + 23 i, x ∈ R, i = 0, 1 là hai ánh xạ đồng dạng có
cùng tỉ số với xác suất p0 = p1 = 21 . Khi đó, độ đo xác suất ν trên R
thỏa mãn

1

pi ν(Si−1 (A)),

ν(A) =
i=0

đối với mọi tập đo được A trong R.
ν là độ đo tự đồng dạng và ν được gọi là độ đo Cantor chuẩn.
c) Giả sử X là biến ngẫu nhiên nhận giá trị {0, 1, 2, ...m} với xác suất
tương ứng cho bởi
pi = p(X = i) =

1 i
i
Cm với Cm


Lấy vectơ trọng số xác suất p = (p1 , ..., pn ). Khi đó, tồn tại duy nhất
độ đo xác suất Borel µpb,d thỏa mãn
n

µpb,d (A)

pi (µpb,d ◦ Ti−1 (A))

=
i=1

là độ đo tự đồng dạng sinh bởi hệ hàm lặp {Ti }ni=1 .

21


CHƯƠNG 2

TÍNH KÌ DỊ VÀ TÍNH LIÊN TỤC TUYỆT ĐỐI
CỦA MỘT SỐ ĐỘ ĐO TỰ ĐỒNG DẠNG
Trong chương này chúng tôi trình bày và chứng minh chi tiết tính kỳ
dị và tính liên tục tuyệt đối của một số độ đo tự đồng dạng.
2.1 Tích chập Bernoulli
Tích chập Bernoulli được đưa ra đầu tiên bởi Wintner và các cộng sự
của ông vào 1930. Đặc biệt, vào sau những năm 80 một loạt các vấn đề
về động lực học liên quan đến tích chập Bernoulli làm nó trở thành vấn
đề hấp dẫn. Chẳng hạn như công trình của Alexander và Yorke (1982),
Przytycki và Urbanski (1989), Ledrappier (1982),...Đến sau những năm
1990, Pollicott và Simon còn chỉ ra tích chập Bernoulli liên quan đến bài


sinh bởi hệ hai ánh xạ đồng dạng trên R là
T0 (x) = λx − 1, T1 (x) = λx + 1.
với các xác suất là ( 21 , 21 ).
Độ đo này có nhiều hữu ích trong nghiên cứu hệ động lực học và việc
tính chiều của một tập. Độ đo νλ có thể xem như là phép chiếu không
tuyến tính nghĩa là, lấy Ω = {−1, 1}N là không gian các dãy với độ đo
Bernoulli µ. Khi đó,
νλ = µ ◦ Π−1
λ
với

∞

ωn λn ,

Πλ (ω) =
n=1

trong đó (ωn ) ∈ Ω. Sự biểu diễn này rất hữu ích trong lý thuyết độ đo
hình học.
Vì νλ là độ đo tự đồng dạng nên theo Định lý 1.4.10 thì νλ hoặc liên
tục tuyệt đối hoặc hoàn toàn kì dị. Bài toán xác định giá trị λ ∈ (0, 1)
để νλ liên tục tuyệt đối hay νλ hoàn toàn kì dị là bài toán có ý nghĩa,
thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học từ những năm
80 của thế kỉ XX. Cho đến nay, bài toán này vẫn còn nhiều vấn đề chưa
được giải quyết và đang được nhiều nhà toán học quan tâm.
Nếu độ đo νλ là kì dị thì người ta quan tâm đến việc tính hay ước
tính chiều của nó. Vì khi đó sptνλ là tập fractal. Người ta thu được kết
1

k−1

2
k=1

1
. k =
3

∞

1 2 k 1 1
( ) = .
3 3
3 1−
k=0

2
3

=1

và µL ([0, 1]) = 1 nên µL (C) = 0.
Do đó, sptνλ ⊂ C thì µL (sptνλ ) = 0.
Vậy, theo Định nghĩa 1.1.6 ta có νλ là hoàn toàn kì dị.
Năm 1962, Garsia đã phán đoán rằng νλ là liên tục tuyệt đối với hầu
hết λ ∈ ( 21 , 1) và dự đoán này được B. Solomyak chứng minh. Và gần
đây, dự đoán này được chứng minh một cách đơn giản bởi Y. Peres và
B. Solomyak. Phần tiếp đây chúng tôi trình bày chứng minh của hai tác
giả này.

2.1.4 Bổ đề. Giả sử một (∗)-hàm h(x) thỏa mãn
h(x0 ) > δ và h (x0 ) < −δ

(2.2)

với x0 nào đó ∈ (0, 1) và δ ∈ (0, 1). Khi đó, điều kiện δ-gác ngang đúng
trên [0, x0 ].
Chứng minh. Trước hết ta chỉ ra rằng h(x) > δ và h (x) < −δ với mọi
x ∈ [0, x0 ].
Thật vậy, ta có h (x) = 0 với nhiều nhất là một giá trị của x ∈ (0, 1).
Ta có h (0) = −1 nếu k > 1 và ngược lại thì h (0) = a1 (theo cách xác
định (∗)-hàm h).
Do đó, h (0) > −δ (nếu k = 1 suy ra từ h (x0 ) < −δ). Vì h (1− ) = +∞
nên h (x) < −δ với mọi x ∈ (0, x0 ).
Ta có h(x) > h(x0 ) > δ với x ∈ (0, 1). Lấy g(x) là chuỗi lũy thừa có
dạng

∞

bn xn với bn ∈ {−1, 0, 1}.

g(x) = 1 +
n=1

Xét f (x) = g(x) − h(x) thì với cách xác định g(x) và định nghĩa
(∗)-hàm kéo theo rằng
∞

l


ci xi nên

l
i=1

ci ixi−1