TRNG I HC VINH
KHOA TON HC

TH HNG PHNG

MễUN CC THNG SUY RNG

luận văn thạc sỹ toán học

Ngh An, 2011
1


TRNG I HC VINH
KHOA TON HC

TH HNG PHNG

V MễUN CC THNG SUY RNG
luận văn thạc sỹ toán học

Chuyên ngành: I S V Lí THUYT S
Mó s: 60.46.05

Ngi hng dn khoa hc
TS. NGUYN TH HNG LOAN

Ngh An, 2011
MC LC
2



như là công cụ chính để nghiên cứu nhiều vấn đề trong Đại số giao hoán. Vì khuôn
khổ có hạn của Luận văn nên trong chương này, chúng tôi chỉ trình bày những vấn
đề sau:
- Cho M là một R- môđun với dim R = n. Môđun đối đồng điều địa phương
H mn ( M ) có thể được xem như là một môđun các thương suy rộng của môđun M
ứng với một tập tam giác trong Rn+1.
- Mối quan hệ của môđun các thương suy rộng với Giả thuyết Đơn thức của
Hochster.
Luận văn được hoàn thành vào tháng 10 năm 2011 tại trường Đại học Vinh
dưới sự hướng dẫn của cô giáo TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp này tác giả
xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, người đã hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo và
nghiêm khắc trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Cũng nhân dịp này tác giả
xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán và khoa Sau đại học
đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn. Tác giả xin chân
thành cảm ơn các anh chị, các bạn trong lớp Cao học 17 - Đại số - Lý thuyết số đã
giúp đỡ động viên tác giả trong suốt quá trình học tập.
Luận văn được hoàn thành bằng tất cả sự nỗ lực và cố gắng của bản thân,
song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được
những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và bạn đọc để luận văn hoàn
thiện hơn.
Vinh, tháng 10 năm 2011
Tác giả

4


CHƯƠNG I

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.3.1. Tập nhân đóng. Cho R là một vành và S ⊆ R. S được gọi là tập nhân đóng
của vành R nếu 1∈ S và ∀a, b ∈ S thì ab ∈ S.
Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó S = R\ p là một tập nhân
đóng của vành R. Thật vậy, 1 ∈ R\ p. Vì nếu 1 ∉ R\ p hay 1 ∈ p thì a.1 = a ∈ p, ∀
a ∈ R. Khi đó p = R. Điều này là mâu thuẫn. Vậy 1 ∈ R\ p. Mặt khác, ∀ a, b ∈ R\

p tức là a, b ∉ p ta có ab ∉ p do p là iđêan nguyên tố. Do đó ab ∈ R\ p. Suy ra
R\ p là tập nhân đóng của vành R.
5


Nếu R là một miền nguyên thì R* = R\ { 0} là một tập nhân đóng của vành R.
1.3.2. Xây dựng vành các thương. Cho S là tập nhân đóng của vành R. Trên tích
Đề các R x S ta xét quan hệ hai ngôi ∼:

( r, s ) :

( r , s ) ⇔ ∃t ∈ S : t ( rs − sr ) = 0 .
,

,

,

,

Dễ thấy ∼ là một quan hệ tương đương trên R x S. Với (r,s) ∈ R x S, ký hiệu r/s là
lớp tương đương chứa (r,s) và S-1R là tập thương của R x S theo quan hệ tương
đương ∼:
S-1R = {r/s | r∈ R, s∈ S}.


( m , s ) ⇔ ∃t ∈ S : t ( ms − sm ) = 0 .
,

,

,

,

Khi đó ∼ là quan hệ tương đương trên M x S. Do đó M x S được chia thành các lớp
tương đương, ký hiệu tập thương của M x S theo quan hệ tương đương ∼ là S-1M và
ký hiệu lớp tương đương chứa (m,s) là m / s . Như vậy
S-1 M = { m / s | m∈ M, s∈ S}.
Trên S-1M trang bị phép cộng và phép nhân với vô hướng:

m / s + m '/ s ' = ( s ' m + sm ' ) / ss ', ∀m / s; m '/ s ' ∈ S −1 M
và

r / t.m / s = rm / ts, ∀r / t ∈ S −1 R, m / s ∈ S −1 M .
Quy tắc cộng và nhân ở trên không phụ thuộc vào cách chọn phần tử đại
diện. Khi đó S −1 M có cấu trúc là một S −1 R -môđun và gọi là môđun các thương
của M theo tập nhân đóng S. S −1 M cũng có thể xem là một R-môđun với phép
nhân vô hướng như sau: r. x / s = rx / s , với mọi r ∈ R, x / s ∈ S −1 M .
Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R và S = R \ p. Khi đó môđun S −1 M
được gọi là môđun địa phương hoá của M tại iđêan nguyên tố p, ký hiệu là Mp .
Như vậy Mp có thể xem như là Rp -môđun hoặc là R-môđun.
1.3.4. Định lí. Cho S là tập nhân đóng của vành R. Khi đó với mọi dãy khớp ngắn
các R – môđun
0 

1.4.3. Chiều Krull của môđun. Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên
tố trong R được gọi là chiều Krull của vành R , ký hiệu là dim R .
Cho M là một R − môđun. Khi đó linh hóa tử của môđun M:

AnnR M = { a ∈ R aM = 0} = { a ∈ R ax = 0, x ∈ M }
là một iđêan của M. Chiều của vành thương dim ( R / Ann R M ) được gọi là chiều
Krull của môđun M, ký hiệu là dimRM (hoặc dim M).

{

}

1.4.4. Giá của môđun. Tập con Supp M = p∈ SpecR M p ≠ 0 của Spec R được
gọi là giá của môđun M.
Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì

Supp M = V (Ann R M ) = { p∈ SpecR p ⊇ Ann R M} .
1.5. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun
1.5.1. Định nghĩa. Cho M là một R – môđun. Ta gọi iđêan nguyên tố p của R là
một iđêan nguyên tố liên kết của M nếu một trong hai điều kiện tương đương sau
được thỏa mãn:
(i) Tồn tại phần tử x ∈ M sao cho AnnR(x) = p trong đó:
8


AnnR x = { a ∈ R ax = 0} ;
(ii) M chứa một môđun con đẳng cấu với R/ p.
Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssRM hoặc AssM
nếu không để ý đến vành R.
1.5.2. Mệnh đề. AssRM ⊆ SuppRM và mọi phần tử tối tiểu của Supp RM đều thuộc

lR ( M ) = lR ( N ) + lR ( M / N ) .
(iv) Nếu R là vành Noether và M là một R – môđun có độ dài hữu hạn
thì AssR(M) = SuppR(M).
1.7. Hệ tham số
Cho M là môđun hữu hạn sinh với dim M = d trên vành giao hoán, địa
phương, Noether (R,

m). Một hệ gồm d phần tử x = ( x1 , x2 ,....., xd ) của

m sao

cho lR (M/(x1,x2,........,xd)M) < +∞ được gọi là một hệ tham số của M.
Nếu x = ( x1 , x2 ,....., xd ) là một hệ tham số của M thì các phần tử

( x1 , x2 ,....., xi )

gọi là một phần hệ tham số với mọi i = 1, 2, ...., d. Iđêan

q = (x1, ...., xd)R được gọi là iđêan tham số của M.
Ta có một số tính chất sau của hệ tham số.
i) dim (M/(x1,x2,........,xi)M) = d – i với mọi i = 1,...,d
ii) xi + 1 ∉ p với mọi p ∈ AssR(M/(x1,x2,........,xd)M) thỏa mãn dim (R/ p) = d – i với
mọi

i = 1,...,d – 1.

iii) Nếu x = ( x1 , x2 ,....., xd ) là một hệ tham số của M và n = ( n1 , n2 ,....., nd ) là bộ

(


→ M ' 
→ M 
→ M " 
→0

10


được gọi là một dãy khớp ngắn. Chú ý rằng dãy này là khớp khi và chỉ khi f
là đơn cấu, g là toàn cấu và Im f = Ker g.
1.8.1. Định nghĩa. Cho I là iđêan của R. Với mỗi R – môđun N ta định nghĩa
Γ I ( N ) = U( 0 :N I n ) . Nếu f : N 
→ N ' là đồng cấu các R – môđun thì ta có
n≥0
→Γ I ( N ') cho bởi f * ( x) = f ( x). Khi đó nếu
đồng cấu f * : Γ I ( N ) 
f
g
0 
→ M ' 
→ M 
→ M " 
→0

là một dãy khớp ngắn các R – môđun thì dãy cảm sinh
f
g
0 
→Γ I ( M ') 
→Γ I ( M ) 

*
*
Khi đó H I ( N ) = Ker un / Im un −1 , tức là môđun đối đồng điều thứ n của N với

giá I chính là môđun đối đồng điều thứ n của đối phức trên. Chú ý rằng
*
*
môđun Ker un / Im un−1 không phụ thuộc vào việc chọn lời giải nội xạ của N.

Sau đây là một số tính chất cơ bản của môđun đối đồng điều địa
phương.
1.8.4. Mệnh đề. Cho N là một R – môđun. Các phát biểu sau đây là đúng.
0
(i) H I ( N ) ≅ Γ I ( N )
i
(ii) Nếu N là nội xạ thì H I ( N ) = 0 với mọi i ≥ 1.
i
(iii) Nếu N = Γ I ( N ) thì H I ( N ) = 0 với mọi i ≥ 1.
i
i
i
(iv) H I ( M ) là môđun I – xoắn với mọi I, tức là H I ( M ) = Γ I ( H I ( M ) )

.
j
i
Đặc biệt, H I ( H I ( M ) ) = 0 với mọi j > 0.

1.8.5. Mệnh đề. Cho 0 
→ N ' 



1.8.6. Mệnh đề. Đặt M = M / Γ I ( M ) . Khi đó với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta có

( )

H In ( M ) ≅ H In M .
Độ sâu của môđun M trong một iđêan I được đặc trưng thông qua tính
triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương như sau.
1.8.7. Mệnh đề. Cho I là iđêan của R ta có
depth ( I , M ) = inf { i H Ii ( M ) ≠ 0} .

Kết quả sau đây nói rằng chiều của một môđun hữu hạn sinh M là một
bất biến quan trọng của M có liên quan trực tiếp tới tính triệt tiêu của môđun
đối đồng điều địa phương.
i
1.8.8. Mệnh đề. dim M = sup { i H m ( M ) ≠ 0} .

Kí hiệu ara (I) là số tự nhiên t bé nhất sao cho có t phần tử của R sinh
ra

I . Ta có kết quả sau.

i
1.8.9. Mệnh đề. H I ( M ) = 0 với mọi i > ara( I ) .

13


CHƯƠNG II

là tập con tam giác trong Rd + 1.
2.2. Xây dựng mô đun các thương suy rộng
Khi cho trước một tập con tam giác U, trong bài báo [7] Sharp và Zakeri đã
xây dựng một R – môđun U-nM và họ gọi đó là môđun các thương suy rộng của M
ứng với tập con tam giác U như sau.
14


2.2.1. Quan hệ tương đương trên M x U. Trên tích Đề - các M x U ta xét quan hệ
hai ngôi : : với b, c ∈ M và u = (u1, ...., un); v = (v1, ...., vn) ∈ U:
(b, (u1, ...., un)) : (c, (v1, ...., vn)) khi và chỉ khi tồn tại (w1,...., wn) ∈ U và H, K ∈
Dn(R) sao cho:
 n−1

H
b
−
K
c
∈
H[u1, ...., un] = [w1,.....,wn] = K[v1,.....,vn] và
 ∑ Rwi ÷M .
 i =1

T

T

T


∈
Rw
∑
i

÷M

 i =1


Do đó (c, (v1, ...., vn)) : (b, (u1, ...., un)) .
Tính bắc cầu: giả sử a, b, c ∈ M và s = (s1, ...., sn), t = (t1, ...., tn), u = (u1, ...., un)
∈ U sao cho
(a, (s1, ...., sn)) : (b, (t1, ...., tn))
và
(b, (t1, ...., tn)) : (c, (u1, ...., un).
15


Khi đó tồn tại (s’1,...., s’n), (t’1,...., t’n) ∈ U và H, K, P, Q ∈ Dn(R) sao cho:
 n −1

H
a
−
K
b
∈
Hs = s’ = Kt,
 ∑ Rs 'i ÷M

Vì XKt = Xs’ = v = Yt’ = YPt và theo [7, 2.3] ta có

(

 n−1 2 
DXH − DYP ) b ∈  ∑ Rvi ÷M .
 i =1


Khi đó,
 n−1 2 
DXH a − DYQ c ∈  ∑ Rvi ÷M .
 i =1


(*)

2
2
Vì U là tập con tam giác của Rn nên ( v1 ,...., vn ) ∈U và Dn(R) khép kín đối với phép

nhân nên DXH, DYQ ∈ Dn(R). Do đó từ
T

DXH = DXs ' = Dv = v12 ,...., vn2  = DYt ' = DYQu
và (*) suy ra
(a, (s1, ...., sn)) : (c, (u1, ...., un).
Vậy : là một quan hệ tương đương trên MxU.

16

b
+
=
• Phép cộng:
,
( s1 ,...., sn ) ( u1 ,...., un ) (v1,...., vn )
với (v1, ....,vn) ∈ U và H, K ∈ Dn(R) thỏa mãn: Hs = v = Ku;
• Phép nhân với vô hướng: r.

a
ra
=
.
( s1 ,...., sn ) ( s1 ,...., sn )

Hai phép toán trên không phụ thuộc vào việc chọn phần tử đại diện.
2.2.3. Mệnh đề. Với hai phép toán trên, U-nM trở thành một R – môđun.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh rằng U-nM lập thành một nhóm giao hoán
với phép cộng. Thật vậy, với mọi

a
b
,
,
( s1 ,...., sn ) ( u1 ,...., un )

c
∈U − n M , ta
( t1,...., tn )


( v '1,...., v 'n )

(với ( v '1 ,...., v 'n ) ∈U và X , Y ∈ Dn ( R) : Xv = v’ = Yt).
17


Mặt khác
X ( H a + K b) + Y c

( v '1,...., v 'n )

=
=

XH a + XK b + Y c
( v '1,...., v 'n )
XH a + ( XK b + Y c ) I n

( v '1,...., v 'n )

=

XK b + Y c
a
+
( s1 ,...., sn ) ( v '1 ,...., v 'n )

=



=
.
( u1,...., un ) ( u1,...., un ) ( u1,...., un ) ( u1,...., un ) ( u1,...., un ) ( u1,...., un )

Với mọi

a
−a
∈U − n M thì tồn tại phần tử đối là
∈U − n M .Thật vậy
( s1 ,...., sn )
( s1 ,...., sn )
I a + I n (−a )
a
−a
0
+
= n
=
.
( s1 ,...., sn ) ( s1 ,...., sn )
( s1,...., sn )
( s1,...., sn )

Giả sử

H a+ K b
a
b
+

+
( s1 ,...., sn ) ( u1 ,...., un ) ( u1,...., un ) ( s1 ,...., sn ) .
Do đó U-nM với phép cộng là một nhóm giao hoán.
• Xét ánh xạ: R × U − n M 
→U n M .

a
 r ,
 ( s1 ,....., sn )
Với mọi r1 , r2 ∈ R;


÷
÷a


ra
( s1,....., sn )

a
b
,
∈U − n M :
( s1 ,...., sn ) ( u1 ,...., un )



H a+ K b
a
b

( s1 ,...., sn ) ( u1 ,...., un ) ( s1,...., sn ) ( u1 ,...., un ) .

a
( r + r ) a = r1a + r2a
= 1 2
( s1,...., sn ) ( s1,...., sn ) ( s1,...., sn )
=

I n r1a + I n r2 a
r1a
r2 a
=
+
( s1 ,...., sn )
( s1 ,...., sn ) ( s1,...., sn )
(vì Ins = s = Ins và I n = 1 ).

( r1.r2 )
1.


a
( r .r ) a = r1 (r2a)
(r2 a )
a
= 1 2
= r1
= r1  r2
( s1 ,...., sn ) ( s1 ,...., sn ) ( s1,...., sn )
( s1 ,...., sn )  ( s1 ,...., sn )


H un m ∈  ∑ Rwi ÷M . Khi đó
 i =1

n −1


 n−1

hij  wn − ∑ hniui ÷m ∈  ∑ Rwi ÷M .
∏
i =1
i =1


 i =1

n −1

 n−1

h
......
h
w
m
∈
Do đó theo [7, 2.2] 11
n −1n −1 n
 ∑ Rwi ÷M . Khi đó, theo [7, 3.3(ii)]

• Phép nhân với vô hướng: với

a
a ra
∈ S −1M và r ∈ R ta có: r = .
s
s s
20


Vậy với n = 1 thì U-1M ≡ S-1M.
2.3.2. Ví dụ. Cho R là một vành giao hoán, địa phương, Noether; M là một
R – môđun, dim M = d. Tập hợp
U(M)d+1 = {(x1, ...., xd,1) ∈ Rd+1 : ∃ j, 0 ≤ j ≤ d, (x1, ...., xj) là một phần hệ tham số
của M và xj+1 = .....=xd = 1}
là tập con tam giác của Rd+1. Khi đó môđun

U (M )

− d −1
d +1

là môđun các thương suy

rộng theo tập con tam giác U.
n
2.3.3. Ví dụ. Giả sử f1, ..., fn là n phần tử cố định của R, đặt f = ( f1 ,....., f n ) ∈ R ,

M là một R – môđun. Cho
Uf =

Cho (R,

m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với dim

R = n; M là

một R-môđun. Trong mục này, chúng ta sẽ thấy môđun Hnm(M) có thể biểu diễn
qua môđun các thương suy rộng.
3.1.1. Bổ đề. Giả sử R là vành Noether, I là một iđêan của R, U là tập con tam
j
−k
giác của Rk sao cho uk ∈ I với mọi (u1,....,uk) ∈ U. Khi đó H I ( U M ) = 0 với mọi

j ≥ 0.
Chứng minh. Cho f = ( f1 ,..., f k ) ∈U , như trong [7, 3.4], lấy
Uf =

{( f

α1
1

}

)

,...., f1α k : α i ∈ ¥ , ∀i = 1, 2..., k .

−k
Khi đó Uf là tập con tam giác của Rk, và U f M được kí hiệu bởi Mf. Một hệ quả dễ

3.1.2. Bổ đề. Tồn tại đồng cấu e : M 

mỗi

i > 0 sao cho
e 0 ( m) =

m
(1)

( m ∈ M ),



m
m
ei 
÷=
 (u1 ,..., ui )  (u1 ,..., ui ,1)

( m ∈ M , (u1 ,..., ui ) ∈Vi , i > 0).

Hơn thế nữa,
−1

0

1

i

(u1 ,..., ui )



m
i −1
 im e :
÷ = p.
(
u
,...,
u
)
1
i 


m
= 0, tồn tại H = [ hrs ] ∈ Di +1 ( R ) và ( t1 ,..., ti +1 ) ∈Vi +1 sao cho
(u1 ,..., ui ,1)
H = [ u1 ,..., ui ,1] = [ t1,..., ti , ti +1 ]
T

 i

và H m ∈  ∑ Rt j ÷M .
 j =1


 i

H mj ( ker ei / imei −1 ) = 0

với mỗi j ≥ n − i .

(ii) Với mọi i = 1,...,n
H mj ( Vi − i M ) = 0
Nhắc lại rằng (R,

với mỗi j ≥ 0 .

m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với dim R =

n; M là một R-môđun. Định lý sau đây cho thấy môđun đối đồng điều địa phương
H mn ( M ) có thể được xem như một môđun các thương suy rộng của M ứng với một
tập con tam giác của Rn+1.
3.1.5. Định lí. Vn−+n1−1M ≅ H mn ( M ) . Đặc biệt U n−+n1−1M ≅ H mn ( M ) .
Đồng cấu tự nhiên
24


θ n+1 : Vn−+n1−1M 
→U n−+n1−1M
mà


m
m
θ n+1 
=
÷


m
m
θ i 
=
÷
÷
 ( v1 ,...., vi )  ( v1 ,....., vi )
0
→ M là ánh xạ đồng nhất
với mọi m ∈ M và (v1,.....,vi) ∈ Vi. Nếu ta lấy θ : M 

khi đó
→ C(U, M)
Θ = (θ 0 )i≥0 : C(V, M) 
là một phức cấu xạ.
Trong những phần sau chúng ta sẽ viết tắt C(V, M) bởi C(V) và C(U, M)
bởi C(U). Nó sẽ thuận tiện cho phép V0−0 M và U 0−0 M để biểu thị M.
Với mỗi i = 0,..., n, đặt Ki = Vi −i M / ker ei , Li = U i− i M / ker d i ,

θ i ' : co ker ei −1 
→ co ker d i −1 ,
→ Hi(C(U))
θ i* : Hi(C(V)) 
và

θ i + : K i 
→ Li
là đồng cấu cảm sinh bởi Θ . Do đó ta có biểu đồ giao hoán