▼ô❝ ❧ô❝

❚r❛♥❣

▼ô❝ ❧ô❝
▼ë ➤➬✉

✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✶

✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✷

❈❤➢➡♥❣ ✶✳

✶✳✶

➳♥❤ ①➵ ➤ã♥❣ α✲s✉② ré♥❣ ✈➭ ➳♥❤ ①➵ α✲➤ã♥❣ s✉② ré♥❣ ✳ ✹

➳♥❤ ①➵ ➤ã♥❣ α✲s✉② ré♥❣

✶✳✷ ❈➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
❈❤➢➡♥❣ ✷✳

✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✹

αTi ; Ti , i = 1, 21 ; αTb

✈➭

αTd ❀

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹

r ệ ớ t ử ở ử ó tề ở tề ó
ử tề ở ử tề ó
st ớ tệ ệ ủ t

ở ó

tr t ể từ ó ề t ọ q t
ứ ế ệ ự tr t
ứ
ứ

ó

ớ

s rộ P

g ợ s tr r

ứ

ở ỉ ự tr t gở

ự tr r
s s

ở

grrst



s rộ t




ó s rộ t tềó ợ

í q ó s rộ ó s rộ



❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

αTi , Ti ❀ i = 1, 21 ✱ αTb , αTd

✈➭ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡

❜➯♥ ❝ñ❛ ❝❤ó♥❣✳
❈❤➢➡♥❣ ✷ ✈í✐ t✐➟✉ ➤Ò

➳♥❤ ①➵ gα✲❦❤➠♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ ✈➭ ➳♥❤ ①➵ α✲♠ë ①✃♣

①Ø✳ ❚r♦♥❣ ♣❤➬♥ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ➳♥❤ ①➵

❣✐➯✐ ➤➢î❝✱ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

g ✲❧✐➟♥

t❤➠♥❣✱ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

❈❤ñ ♥❤✐Ö♠ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥✱ ❇❛♥ ❈❤ñ ♥❤✐Ö♠ ❑❤♦❛ ❙❛✉ ➤➵✐ ❤ä❝✱ ❝➳❝ t❤➬② ❣✐➳♦✱
❝➠ ❣✐➳♦ tr♦♥❣ ❚æ ●✐➯✐ tÝ❝❤ ✲ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❱✐♥❤ ➤➲ ❣✐ó♣ ➤ì
tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ❈✉è✐ ❝ï♥❣ ①✐♥ ❝➯♠
➡♥ ❇❛♥ ●✐➳♠ ❤✐Ö✉ tr➢ê♥❣ ❚❍P❚ P❤➵♠ ❍å♥❣ ❚❤➳✐✱ tæ ❚♦➳♥ tr➢ê♥❣ ❚❍P❚
P❤➵♠ ❍å♥❣ ❚❤➳✐ ❣✐❛ ➤×♥❤✱ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤➷❝ ❜✐Öt ❧➭ ❤ä❝ ✈✐➟♥ ❝❛♦ ❤ä❝
❦❤ã❛ ✶✼ ❚♦➳♥✲●✐➯✐ tÝ❝❤ t➵✐ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❱✐♥❤ ➤➲ t➵♦ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t❤✉❐♥ ❧î✐
❣✐ó♣ t➳❝ ❣✐➯ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ♥❤✐Ö♠ ✈ô tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣✳
▼➷❝ ❞ï ❝ã ♥❤✐Ò✉ ❝è ❣➽♥❣✱ s♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❦❤➠♥❣ tr➳♥❤ ❦❤á✐ ♥❤÷♥❣ s❛✐
sãt✳ ❈❤ó♥❣ t➠✐ r✃t ♠♦♥❣ ♥❤❐♥ ➤➢î❝ ♥❤÷♥❣ ý ❦✐Õ♥ ➤ã♥❣ ❣ã♣ ❝ñ❛ ❝➳❝ t❤➬②✱
❝➠ ❣✐➳♦ ✈➭ ❜➵♥ ➤ä❝ ➤Ó ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤✐Ö♥ ❤➡♥✳

❱✐♥❤✱ t❤➳♥❣ ✶✷ ♥➝♠ ✷✵✶✶

❚➳❝ ❣✐➯

✸



ó


ó

s rộ

ó s rộ

s rộ ó s rộ


t(A) P ù ủ t tề ở

ợ ọ t tề ó


A ợ ọ ở tr (X, ) ế A t((t(A))).

P ù ủ t

ở ọ t ó ó t B



ó tr

(X, ) ỉ (t((B))) B
ợ tt t

ở ủ (X, ) ứ tr A ý ệ t (A)

tt t

ó ủ (X, ) ứ B

ọ tt t

ý ệ (B)

ở ủ (X, ) ý ệ ó



ột t

(X, )

(X, )

A

ủ

ế (A)

(X, )
U

g ó

tr



A ủ (X, ) ợ ọ ở


ợ ọ ó s

A U

U


tr

g ó

ủ

(X, )

ế (A)

ợ ọ ó

U A U



U

s
ở

(X, )



A ủ (X, ) ợ ọ ở s rộ ết g ở tr

(X, ) ế ù ủ ó X\A g ó
ét ỗ t


ở

(X, )



A ủ (X, ) ợ ọ ở s rộ ết gở tr

(X, ) ế ù X\A gó
ét



ỗ t

g ó ột t gó

ét

A ủ X

F t (A) ớ F A F

ó tr


ỉ
ế



g ở tr (X, ) ỉ

gó

ủ

(X, )

tì

A

t

g

(X, )

ó tr

ở





f

: (X, ) (Y, )



ó t ứ ó F

ủ


(X, ) t ó f (F ) t ó t ứ ở tr (Y, )

f

: (X, ) (Y, )

ỗ t ở tr

ợ t ứ

t ứ

g ó

ó tr

(X, )

ế

f





ó

t ứ

ợ ọ ột é

ồ

g



ợ tềó

ễ t ợ
ỉ ớ ỗ t

f : (X, ) (Y, )

g ở U

ủ

ị ý



g


s

: (X, ) (Y, )





f : (X, ) (Y, ) tụ

ị ĩ t
ế ớ ỗ t ó
s

ợ ỉ

F

tử

(X, ) ợ ọ í q

x
/ F tồ t t ở A B

rờ

x A F B


g ó ủ (Y, )


ủ

(X, ) t ó f (F )




f

ó F

t

: (X, ) (Y, )

ủ

(X, ) t ó f (F ) t g ó ủ (Y, )

ị ý
ớ ỗ t
ột t

g ở V

S



t ó

f 1 (V ) U

s

(X, )

f 1 (Y \f (F )) X\F = U

ứ

f 1 (V ) U

g ó X\U

g ở ứ S

Y \V f (F ) F X\f 1 (V )




S t (Y, ) U

ột t

ợ sử


f 1 (V ) U = X\F

ề é t

g

ó t ó

Y \V = f (F )

g ó từ tứ t s r f (F ) g ó ó f

ì

Y \V



g ó
ị ý ế
tềó tì ớ ọ t

F



f : (X, ) (Y, )

g ó





(Y, )

s

f 1 (O)



ợ tề

A gó ủ (Y, ) t ó f 1 (A) g ó

ứ sử

ủ



F

f (F ) O

ở (F )

t

g ó tr (X, ) O


O

ó

ì

f



f (F )


✭✐✐✮ ●✐➯ sö

F

❧➭ t❐♣

g ✲➤ã♥❣

tr♦♥❣

X

✈➭

U


❧➭ ❧✐➟♥ tô❝ ✈➭ ➤ã♥❣✳ ❚õ ➤ã s✉② r❛✱

α

)−→ (Y, δ α )

f −1 (A) ❧➭ g ✲➤ã♥❣ tr♦♥❣ (X, τ α )✱ ❤❛② ♥ã ❧➭

gα✲➤ã♥❣ tr♦♥❣ (X, τ )✳ ❱× ♠ç✐ t❐♣ gα✲➤ã♥❣ ❧➭ t❐♣ αg ✲➤ã♥❣✱ t❛ s✉② r❛ f −1 (A)
❧➭ t❐♣

αg ✲➤ã♥❣ tr♦♥❣ (X, τ ).

✶✳✶✳✶✻✳ ➜Þ♥❤ ❧ý✳✭❬✻❪✮ ●✐➯ sö

f : (X, τ )−→ (Y, δ) ✈➭ h : (Y, δ)−→ (Z, η)

❧➭ ❤❛✐ ➳♥❤ ①➵ ❝❤♦ tr➢í❝✳
✭✐✮ ◆Õ✉

h ◦ f : (X, τ )−→ (X, η)

t♦➭♥ ➳♥❤ ❧✐➟♥ tô❝✱ t❤×
✭✐✐✮ ◆Õ✉

✭✐✐✐✮ ◆Õ✉

f : (X, τ )−→ (Y, δ)

❧➭


h ❧➭ αg ✲➤ã♥❣✳

f : (X, τ )−→ (Y, δ)

✈➭ t✐Ò♥✲α✲➤ã♥❣✱ t❤×

❧➭

❧➭ ➤ã♥❣ tr♦♥❣

F

❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣ ❝ñ❛

(X, τ )✳

❚õ ❣✐➯ t❤✐Õt✱

(Y, δ)✳

❑❤✐ ➤ã ✈×

(h ◦ f )(f −1 (F ))

f

❧✐➟♥ tô❝

❧➭ t❐♣

❉♦

f (F ) ❧➭

αg ✲➤ã♥❣ tr♦♥❣ (Y, δ)✱ t❛ s✉② r❛ ❝❧α (f (F )) ⊂ h−1 (U )✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦

h(❝❧α (f (F ))) ⊂ U ✳ ▲➵✐ ✈× h ❧➭ t✐Ò♥✲α✲➤ã♥❣ t❛ ❝ã h(❝❧α (f (F ))) ❧➭ t❐♣ αg ✲➤ã♥❣
✽


tr♦♥❣

(Z, η)✳ ❙✉② r❛ ❝❧α h(❝❧α (f (F ))) ⊂ U ✳ ❚õ ➤ã t❛ ❝ã ❝❧α h(f (F )) ⊂ U ✳ ❱❐②

(h ◦ f )(F ) ❧➭ t❐♣ αg ✲➤ã♥❣ tr♦♥❣ (Z, η)✳
✭✐✐✐✮ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t➢➡♥❣ tù✳
✶✳✶✳✶✼✳ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ✭❬✻❪✮ ✭✐✮ ◆Õ✉
t❐♣ ➤ã♥❣ ❝ñ❛
❧➭

(X, τ )✱

f : (X, τ )−→ (Y, δ)

t❤× ➳♥❤ ①➵ t❤✉ ❤Ñ♣ ❝ñ❛ ♥ã

❧➭

αg ✲➤ã♥❣


αg ✲➤ã♥❣ ✈➭ ❧✐➟♥ tô❝✳
✭✐✐✐✮ ◆Õ✉

f : (X, τ )−→(Y, δ) ❧✐➟♥ tô❝✱ αg ✲➤ã♥❣ ✈➭ H

❧➭ t❐♣

g ✲➤ã♥❣ ❝ñ❛

(X, τ )✱ t❤× ➳♥❤ ①➵ t❤✉ ❤Ñ♣ ❝ñ❛ ♥ã f |H : (H, τ |H)−→ (Y, δ) ❧➭ αg ✲➤ã♥❣ ✈➭
❧✐➟♥ tô❝✳
✭✐✈✮ ●✐➯ sö
❧➭

B ❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ♠ë✱ αg ✲➤ã♥❣ ❝ñ❛ (Y, δ)✳ ◆Õ✉ f : (X, τ )−→ (Y, δ)

α✲➤ã♥❣✱ t❤× ➳♥❤ ①➵ t❤✉ ❤Ñ♣ ❝ñ❛ ♥ã f |H : (H, τ |H)−→ (Y, δ) ❧➭ α✲➤ã♥❣

✈í✐

H = f −1 (B)✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✐✮ ●✐➯ sö

(X, τ )✱
①➵

t❛ ❝ã

F



F

❧➭ t❐♣

❧➭ ➤ã♥❣ tr♦♥❣

g ✲➤ã♥❣

❝ñ❛

◆❤ê ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✶✺✭✐✐✮ t❛ ❝ã
✈❐②✱

f |H

❧➭ ➳♥❤ ①➵

✭✐✈✮ ●✐➯ sö
➤ã♥❣ tr♦♥❣

F

(H, τ |H)✳ ❑❤✐ ➤ã F

(X, τ )✳

❱× t❤Õ t❛ ❝ã

❧➭


❑❤✐ ➤ã

F = K∩H

f (K) ❧➭ α✲➤ã♥❣ tr♦♥❣ (Y, δ)✳
✾

=

◆❤➢♥❣

B

✈í✐

K

❧➭

❧➭ ♠ë ✈➭


αg ✲➤ã♥❣ tr♦♥❣ (Y, δ)✱ sö ❞ô♥❣ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✶✳✶✷ tõ ➤✐Ò✉ ♥➭② t❛ s✉② r❛ f (K)∩B
❧➭

α✲➤ã♥❣

tr♦♥❣


❣✐❛♥ ❝❤✉➮♥ t➽❝✳

A, B

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sö

❧➭ ❝➳❝ t❐♣ ➤ã♥❣ rê✐ ♥❤❛✉ ❝ñ❛

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝❤✉➮♥ t➽❝✱ ♥➟♥ tå♥ t➵✐ ❝➳❝ t❐♣ ♠ë rê✐ ♥❤❛✉
s❛♦ ❝❤♦

f −1 (A) ⊂ U

f −1 (B) ⊂ V ✳

✈➭

A ⊂ G, B ⊂ H

U

(Y, δ)✳ ❱× (X, τ )
✈➭

f −1 (G) ⊂ U

➤ã ❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã

f −1 (G) ∩ f −1 (H) = φ ✈➭ ❞♦ ➤ã G ∩ H = φ✳


G ❧➭ αg ✲♠ë
❚➢➡♥❣ tù t❛

⊃ B ✳ ❉♦ ➤ã ✐♥tα (G) ∩ ✐♥tα (H) = φ ✈➭ ✈× ✈❐② ✐♥t✭❝❧✭✐♥t(✐♥tα (G))) ∩

✐♥t✭❝❧✭✐♥t(✐♥tα (H)))

= φ✳

✐♥t✭❝❧✭✐♥t(✐♥tα (G)))✱ t❛ ❝ã

❱×

A ⊂

✐♥tα (G)

⊂

✐♥t✭❝❧✭✐♥t(✐♥tα (G))) ✈➭

B ⊂

(Y, δ) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝❤✉➮♥ t➽❝✳

✶✳✶✳✶✾✳ ➜Þ♥❤ ❧ý✳✭❬✻❪✮ ●✐➯ sö
✈➭ t✐Ò♥✲αg ✲➤ã♥❣ ✈➭ ❣✐➯ sö

f : (X, τ )−→ (Y, δ)



αg ✲♠ë

⊃ A ✈➭ ✐♥tα (f (H)) ⊃ B
✐♥tα (f (G))

❉♦ ➤ã✱ tå♥ t➵✐ ❝➳❝ t❐♣
❝ñ❛

❱×

✈➭

f

❝ñ❛

(Y, δ)✳

❱×

(X, τ ) s❛♦ ❝❤♦

❧➭ t✐Ò♥✲αg ✲➤ã♥❣ ✈➭ s♦♥❣ ➳♥❤✱

❧➬♥ ❧➢ît ❝❤ø❛

A

✈➭


B ⊂ ✐♥t✭❝❧✭✐♥t(D))), t❛ ❝ã (Y, δ) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝❤✉➮♥ t➽❝✳

✶✳✶✳✷✵✳ ➜Þ♥❤ ❧ý✳✭❬✻❪✮ ❚r♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t➠♣➠

(X, τ )

❝➳❝ ♠Ö♥❤ ➤Ò s❛✉

❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣
✭❛✮

(X, τ ) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ α✲❝❤Ý♥❤ q✉②❀

✭❜✮ ❱í✐ ♠ä✐ ♣❤➬♥ tö

α✲♠ë U

t❐♣

s❛♦ ❝❤♦

S

❧➭ ➤ã♥❣ ✈➭

s❛♦ ❝❤♦

❝❧α (X\S)
✭❜✮

✈➭

◆❤ê ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ✭❛✮ tå♥ t➵✐ ❝➳❝ t❐♣
✈➭

x✳

= X\S ✱ t❛ ❝ã ➤✐Ò✉ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❧➭ x ∈ U ⊂ ❝❧α (X\U ) ⊂ V ✳

⇒ ✭❛✮✳

✈➭

●✐➯ sö

x ∈ U, X\V ⊂ S

●✐➯ sö

F

❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣ ✈➭ ♣❤➬♥ tö

➤Þ♥❤ ✭❜✮ tå♥ t➵✐ ♠ét t❐♣
➤ã✱

♠ë ❝❤ø❛

x ∈ U ⊂ ❝❧α (U ) ⊂ V ✳



❉♦
✈➭

U ∩ (X\❝❧α (U )) = φ✳ ❱❐② (X, τ ) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ α✲❝❤Ý♥❤ q✉②✳
✶✳✶✳✷✶✳ ➜Þ♥❤ ❧ý✳✭❬✻❪✮ ●✐➯ sö

f : (X, τ )−→ (Y, δ)

❧➭ t♦➭♥ ➳♥❤ ❧✐➟♥ tô❝✱

α✲♠ë ✈➭ αg ✲➤ã♥❣ ✈➭ ❣✐➯ sö (X, τ ) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝❤Ý♥❤ q✉②✳ ❑❤✐ ➤ã (Y, δ)
❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

α✲❝❤Ý♥❤ q✉②✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sö

❧➭ ♣❤➬♥ tö ❝ñ❛
✈➭

f

t❤Õ✱

y∈Y

✈➭

❧➭ t❐♣ ♠ë ❝❤ø❛


❧➭ ➳♥❤ ①➵

❝❧(U )

αg ✲➤ã♥❣✱

⊂ f −1 (V )✳
t❛ ❝ã

❱×

f (❝❧(U ))

αg ✲➤ã♥❣ ➤➢î❝ ❝❤ø❛ tr♦♥❣ t❐♣ ♠ë V ✳ ❱× ✈❐② t❛ ❝ã ❝❧α (f (❝❧(U ))) ⊂ V ✳

❉♦ ➤ã✱

y ∈ f (U ) ⊂

❝❧α (f (U ))

y ∈ f (U ) ⊂ ❝❧α (f (U )) ⊂ V

✈➭

⊂

❝❧α (f (❝❧(U )))


ó

(Y, )

í q

ứ sử

tử ủ

(X, ) í q



V

t ở ứ

y sử x ột

ờ tết ị ý tồ t

x U (U ) f 1 (V ) ó y f (U ) f (U )

f ( (U )) t g ó ợ ứ tr t ở V

(f ( (U )))

V


: (X, ) (Y, )

gó ế ớ ỗ t ó F

ọ

t ó

f (F )

ó gó

g ó g ó

ứ sử

f : (X, ) (Y, ) ó từ

(X, ) (Y, ) F

t ó t ỳ ủ

ó f (F ) t ó ủ Y



(X, )

gó g ó


ó

f



gó
từ ề ỗ t

gó t g ó

từ ề ỗ t

g ó t g ó

ề ợ ủ ệ ề tr ú ợ tể ệ q
í ụ s
í ụ ột

gó t tết ó





X = Y = {a, b, c}, = {0, {a}, {a, b}, X} = {0, {a}, {b, c}, X}

ét




f :

(X, ) (Y, ) ợ ị s f (a) = a, f (b) = c f (c) = b
ó

f ({c}) = {b} g ó tr (Y, )

g ó f



f



g ó

í ụ ũ t




ó t tết ó

g ó t tết tềg ó

í ụ ột

g ó



f : (X, ) (Y, ) ệ ề s t



f : (X, ) (Y, ) gó



s ủ ó f : (X, ) (Y, ) gó

ớ ỗ t

S

ủ

(Y, ) ớ ỗ t ở U

f : (X, ) (Y, ) tồ t ột t gở V

s

ứ

SV

f 1 (S) ớ



sử ụ ị ĩ t ó ề ứ


ứ t tự ị ý

ị ý sử
s

hf

f : (X, ) (Y, ) h : (Y, ) (X, )



gó ó

ế

f

ế

h ợ tềó tì f

t tụ tì

h gó



ế ọ

g ó ó
t

(X, )

ợ ọ

(X, )

ợ ọ

(X, )



T 12

ế ọ t

gó



ế ọ t

g ó




(X, ) ột T 21 ỉ ớ ọ

x X, {x} ở ó tr (X, )


(X, ) T 12 ỉ ớ ỗ x X, {x} ở






ó tr (X, ) (X, ) T 12

ỉ

(X, )

T 21
ứ sử

{x}

ế

X

T 12


x A

{x} ở tì ì x A {x} A = t s r x A ế {x} t

ó tì t ó
ú ó t ó

{x A = {x} A = ì ế {x} A = tì {x} A =

A X\{x} X\{x} ở A g ó A X\{x}

ề t ớ


g ó

x A ì {x A = t s r x A A = A

A ó
ứ t tự
ị ý ế

A

t

g ó

tì (A)\A ứ


(A)\A ó tồ t ể

{x} F

ế ợ

x

(A)\A ề

(A)

{x} A = ì

{x} A = tì t ó A X\{x} A ag ó ề

é t (A)
tế t ó

(A)\A

xF

X\{x} X\{x} ề t ớ x (A) ì

{x} A = ề t ớ {x} F (A)\A

ó tồ t t ó
ớ ể t ỳ


t

(X, )



Tb

tì ớ ỗ

x X

{x} ó ở tr (X, )
(X, ) Td

ế


tì ớ ỗ

x X t {x} ó

g ở tr (X, )
x X, {x}

ứ sử r ớ

ị ý ét t ó

ó


Ti

ỗ



Ti

Ti

ớ

ứ sử

ó t ỳ ủ

Tb

(X, ) Tb



ớ

ừ ị ý t

Td

s


A

t

g ó

ó

(X, )



Td


sử

(X, ) Tb A t g ó t ỳ ủ (X, )

ì ỗ t

g ó ột t g ó từ tết (X, ) Tb

t s r
sử

A t ó ì (X, ) T 21
(X, ) T1 t ứ T 21 sử x X



(X, ) T 12 ì ỗ T2

T1 trờ ợ i = 2 ể

ét í ụ s t ề ợ ủ ị
ý ú

Td

í ụ ột

t tết

Tb



X = {a, b, c}, = {0, {a}, X} ó {a, b} g ó
ó
ột t

(X, ) Tb ó Td ì ỗ t g ó

g ó tr (X, )

í ụ ột

X


ủ í ụ t ó


(X, )



ét

(X, )

ử ụ ị ý t ó

(X, )



T 12

Td

Tb

í ụ ột

T 12

X = {a, b, c}, = {0, {a}, {a, b}, X}
ị ý t ó


ét í ụ í ụ s ỉ r r

Tb



T1 ộ ớ í ụ ũ

t t r ó

Td T1 ộ ớ


í ụ ột

Tb

X = {a, b, c} = {0, {a}, {b}, {a, b}, {b, c}, X}
(X, ) T1



T1

t tết

ó

{b}


f

ợ ế ỉ ế



: (X, ) (Y, )

T 21



ợ t ỳ






f : (X, ) (Y, ) tụ

ứ ề ệ sử

f

(X, )



Td


f 1 (M ) ó f : (X, ) (Y, ) tụ
ề ệ ủ sử
tr



Y



ó

f 1 (M )

f : (X, ) (Y, ) tụ M

M


t

ì



t t ỳ

f : (X, ) (Y, ) tụ t ó f 1 (M )


f

ột

(X, )



f : (X, ) (Y, )

ột é ồ

ồ
Tb

t ứ

Td



f : (X, ) (Y, )

ột

(Y, ) Tb t ứ Td

é ồ tì

ứ ì

ột

f : (X, )(Y, ) ột ồ sử F

ột

g ó ủ (Y, )



ó từ t ó

s tềó ó




tềó ì

ồ

sử
t

f 1

f

f


f 1 : (Y, ) (X, ) tụ

f 1 (F ) g ó tr (X, ) ì (X, )

f 1 (F )

ó t ứ

g ó

tr

ột ó t ứ ó tụ

ó t ứ

g ó tr (Y, )





(Y, ) Tb

t




g ợ


tử ủ

g

t ủ

g

ế

X

ợ ọ

Gi g

ớ ọ

Gi g ó g ế X g

t s rộ ý ệ

t

X =

g

g




g tềở r ế A ig (Cg (A))



grở ế A = ig (Cg (A))



gở ế A ig (Cg (ig (A)))



g ở ế A Cg (ig (Cg (A)))

ù ủ t

g ửở g tềở gở g ở

t

g ửó t ứ g tềó gó g ó
sẽ ý ệ

(g)

t ứ


ớ ọ t

ị ĩ
s rộ ó

ợ ọ

(X, gX )

f : XX

ỗ t

V







(gX , gX )

tụ ế

g ở tr X
(X , gX )

f 1 (V )


(gX , gX ) tụ t

g ở ứ f (x) tồ t ột t U



g ở ứ

x s f (U ) ig (Cg (V ))
ị ĩ sử
s rộ ó

tr

f : XX

ợ ọ

(, gX ) tụ ế f 1 (V ) gở tr X
X





(, gX )

tụ ế

V

tr



(, gX )

X

ớ ọ t



g ở tr X

tr

(X, gX ) (X , gX ) t

tụ ế



) tụ ế f 1 (V ) g ở tr X ớ ọ t V

g ở



ị ĩ sử
s rộ ó


x X ế ỗ t V
X

ủ

ứ





f : XX

gở ủ X

ợ ọ
ứ

g

ợ t

f (x) tồ t ột t U gở

x s f (U ) V

(X, gX ) t s rộ A X

ủ tt t

f 1 (F ) gó tr X



f (C (A)) C (f (A)) ớ ọ t A ủ X



C (f 1 (V )) f 1 (C (V )) ớ ọ t V



f 1 (i (V )) i (f 1 (V )) ớ ọ t V



f





g ợ

t

F





sử V

t t ỳ ủ

X

ừ t ó

f (C (f 1 (V ))) C (f f 1 (V )) C (V ).


C (f 1 (V )) f 1 f (C (f 1 (V ))) f 1 (C (V )).





g ợ t ọ x X

ứ



ớ ọ t

sử (V ) t t ỳ ủ X

ừ t ó



f 1 (V )



t

gở

ủ

X

V = i (V )

ó

ó

f

r


ừ

f 1 (V ) =

g


gở t

x f 1 (V ) = i (f 1 (V ))

ó

gở ủ X

t



t

U =

f (U ) = f (f 1 (V )) V

g ợ ớ ỗ x X

sử V

t

ừ tết tồ t t
ó

g ợ x X

U


r

f







g

ợ
ị ý sử
s rộ

X

f : XX

ó

f



ớ ọ t



1 1

V

t t ỳ ủ

t ó

X

ờ ị ý

f 1 (i (f (V ))) i (f 1 f (V )) = i (V ).



f f 1 (i (f (V ))) f (i (V )) ó i (f (V )) f (i (V ))
ợ sử

V

t

gở ủ X

ó

V = i (V ) ừ tết

t ó

iα (A) = A ∩ ig (Cg (ig (A)))Cα (A) = A ∪ Cg (ig (Cg (A))).
✷✳✶✳✶✷✳ ❇æ ➤Ò✳ ●✐➯ sö

(X, gX )

❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t➠♣➠ s✉② ré♥❣✳ ❑❤✐

➤ã
✭✶✮

Cα (A) ⊆ Cg (A) ✈í✐ ♠ä✐ t❐♣ ❝♦♥ A ❝ñ❛ X ✳

✭✷✮

Cg (A) = Cα (A) ✈í✐ ♠ä✐ t❐♣ ❝♦♥ A ❧➭ gα✲♠ë ❝ñ❛ X ✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✶✮ ●✐➯ sö

A ❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ❜✃t ❦ú ❝ñ❛ X ✳

❑❤✐ ➤ã✱ ✈× ig (A)

⊆

iα (A) ♥➟♥ X − ig (A) ⊇ X − iα (A)✳ ❱❐② Cα (A) ⊆ Cg (A)✳
✭✷✮ ●✐➯ sö A ❧➭ t❐♣ ❝♦♥ gα✲♠ë ❜✃t ❦ú ❝ñ❛ X ✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã A
❉♦ ➤ã

Cg (A) ⊆ Cg (ig (Cg (ig (A)))) = Cg (ig (A)) ⊆ Cg (ig (Cg (A))).



V

❝ñ❛

X

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sö

✳

V

❧➭ t❐♣ ❝♦♥

❣✐➯✐ ➤➢î❝✱ ♥❤ê ❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✶✷ t❛ ❝ã

g ✲♠ë ❜✃t ❦ú ❝ñ❛ X

✳ ❱×

f

Cα (f −1 (V )) = Cg (f −1 (V ))✳
✷✹

❧➭

gα✲❦❤➠♥❣



f

(gX , gX )

❧➭

❧✐➟♥ tô❝ ②Õ✉✳

✷✳✶✳✶✺✳ ◆❤❐♥ ①Ðt✳ ❚õ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✷✳✶✳✼ ✈➭ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✶✳✶✹ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã
♠è✐ q✉❛♥ ❤Ö ♥❤➢ s❛✉✿

(α, gX )✲❧✐➟♥ tô❝

(gX , gX )✲❧✐➟♥ tô❝

(δ, gX )✲❧✐➟♥ tô❝

gα✲❦❤➠♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢î❝
(gX , gX )✲❧✐➟♥ tô❝ ②Õ✉

(gX , gX )✲❤➬✉ ❧✐➟♥ tô❝

◆❤❐♥ ①Ðt✿ ❈❤✐Ò✉ ♥❣➢î❝ ❧➵✐ ❝ñ❛ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ ❦Ð♦ t❤❡♦ tr➟♥ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ➤ó♥❣
➤➢î❝ t❤Ó ❤✐Ö♥ q✉❛ ❝➳❝ ✈Ý ❞ô s❛✉✳
✷✳✶✳✶✻✳ ❱Ý ❞ô✳ ✭❬✶❪✮ ●✐➯ sö
❝➳❝ t➠♣➠ s✉② ré♥❣ t➢➡♥❣ ø♥❣
①➵

X = X = {a, b, c, d}✳

❧➭ t❐♣

gα✲♠ë✱

❦❤➠♥❣ ❧➭ ➳♥❤ ①➵

✷✳✶✳✶✼✳ ❱Ý ❞ô✳✭❬✶❪✮ ❈❤♦

t❛ ❝ã

f −1 ({a, c}) = {c}

❦❤➠♥❣ ❧➭ t❐♣

gα✲❦❤➠♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢î❝✳

X = X = {a, b, c, d} ✈➭

gX = {∅, {a}, {a, b}, {a, b, c}}, gX = {∅, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.
❳Ðt ➳♥❤ ①➵

f : (X, gX )−→(X , gX ) ➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ♥❤➢ s❛✉✿ f (a) = c, f (b) =

f (d) = d ✈➭ f (c) = a✳ ❑❤✐ ➤ã f

❧➭

gα✲❦❤➠♥❣ ❣✐➯✐ ➤➢î❝✳ ◆❤➢♥❣ ✈× {a, b, c} ❧➭
✷✺