BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN ĐĂNG KHOA

Mét sè vÊn ®Ò vÒ
thÓ tÝch hçn t¹p
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

VINH - 2011

1


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN ĐĂNG KHOA

Mét sè vÊn ®Ò vÒ
thÓ tÝch hçn t¹p
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Hình học - Tôpô
Mã số: 60.46.10

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. PHẠM NGỌC BỘI

VINH - 2011
2


“Hình học lồi” là một hướng quan trọng trong hình học, được nhiều nhà toán
học quan tâm, nghiên cứu. Các vấn đề của “Hình học lồi” có mối liên hệ với các
3


lĩnh vực khác của toán học bao gồm: Giải tích, Đại số tuyến tính, Thống kê, Lý
thuyết số và Tổ hợp. Nội dung của “Hình học lồi” chứa một vấn đề có ý nghĩa về
phương diện độ đo, đó là thể tích hỗn tạp của các thể lồi.
Khi nghiên cứu thể tích của các thể lồi, chúng ta xuất phát từ không gian
Euclid (hữu hạn chiều), sau đó trang bị mêtric Hausdorff cho không gian các thể
lồi. Trong không gian Euclid, để tính thể tích của một tổ hợp tuyến tính các thể lồi,
người ta biểu biễn thể tích này dưới dạng một đa thức thuần nhất mà biến là các hệ
số của tổ hợp tuyến tính đó. Các hệ số của đa thức này được gọi là thể tích hỗn tạp
của các thể lồi. Việc xây dựng công thức về thể tích hỗn tạp của một thể lồi bất kỳ
được xuất phát từ việc xấp xỉ thể tích hỗn tạp của các đa diện lồi. Tiếp theo đó xuất
hiện các vấn đề xây dựng công thức diện tích bề mặt, thể tích trong và các
quermassintegrals của các thể lồi.
Mục đích của luận văn trình bày một cách có hệ thống về các vấn đề thể tích
hỗn tạp, thể tích trong, diện tích bề mặt, các quermassintegrals. Trên cơ sở tham
khảo các tài liệu tham khảo có thể có được trong điều kiện hiện nay, chúng tôi tìm
hiểu, hệ thống một số vấn đề về thể tích hỗn tạp.
Với mục đích trên luận văn được chia làm hai chương như sau:
Chương 1. Tập lồi trong không gian Euclid Ed
Chương này được trình bày theo các đề mục sau
1.1. Tập lồi và hàm lồi
Trong mục này chúng tôi trình bày khái niệm về tập lồi, thể lồi, bao lồi của
các tập trong không gian Euclid hữu hạn chiều, trình bày và chứng minh một số
tính chất cơ bản của chúng, trình bày khái niệm về hàm lồi, hàm lõm.
1.2. Siêu phẳng tựa và hàm tựa
Trong mục này chúng tôi trình bày khái niệm về siêu phẳng tựa, hàm tựa,

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!
Vinh, tháng 12 năm 2011
5


Tác giả

CHƯƠNG 1. TẬP LỒI TRONG KHÔNG GIAN EUCLID Ed
Trong luận văn này chúng tôi xét không gian Euclid Ed có số chiều bằng d
trên trường số thực ¡ .
1.1. Tập lồi và hàm lồi
1.1.1. Định nghĩa
6


d
(i) Giả sử x, y Î E , đoạn thẳng nối x và y được định nghĩa như sau

{

}

éx, yù= z = l x + (1- l )y 0 £ l £ 1 .
ê
ë ú
û
(ii) Giả sử A Ì Ed . Tập A được gọi là tập lồi nếu với mọi x, y Î A kéo theo
éx, yùÌ A .
ê û
ú


å

i =1

l i xi , trong đó l i ³ 0, i = 1,..., n và

n

ål
i =1

i

= 1.

1.1.5. Mệnh đề. Tập A Ì Ed là tập lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi
của các phần tử thuộc A .

7


Chứng minh. Nếu A chứa mọi tổ hợp lồi của các phần tử thuộc A thì ta xét
trường hợp n = 2 , với mọi x1, x2 Î A; l 1, l 2 ³ 0 và

l 1 + l 2 = 1 ta có

x =l 1x1 + l 2x2 Î A , theo Định nghĩa 1.1.1 suy ra A là tập lồi.
n



n = k + 1.
k+1

Thật vậy, giả sử x = å l i xi , với mọi xi Î A, l i ³ 0, i = 1,..., k + 1 và
i =1

k+1

ål
i =1

i

= 1,

k+1

ta phải chứng minh x = å l i xi Î A .
i =1

k+1

Do

ål
i =1

i




k+1

Từ Định nghĩa 1.1.1 suy ra x = å l i xi = (1- l k+1)y + l k+1xk+1 Î A . W.
i =1

1.1.6. Định lý
(i) Giao của một họ tùy ý các tập hợp lồi là một tập hợp lồi.
(ii) Tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các tập hợp lồi là tập hợp lồi.
(iii) Ảnh và nghịch ảnh toàn phần của tập hợp lồi qua ánh xạ tuyến tính là
tập lồi.
Chứng minh
(i) Giả sử { Ai } i Î I là họ tùy ý các tập hợp lồi trong Ed , ta phải chứng minh
A = Ç Ai là tập lồi.
iÎ I
ù và A là tập
Thật vậy , lấy x, y Î A , khi đó x, y Î Ai , " i Î I . Do đó với l Î é
ê
ú
i
ë0;1û
lồi " i Î I nên l x + (1- l )y Î Ai , " i Î I Þ l x + (1- l )y Î A .
Ai là tập lồi.
Vậy A = iÇ
ÎI
d
(ii) Giả sử Ai Ì E , i = 1, n là các tập hợp lồi và l i Î ¡ , i = 1, n , ta sẽ

chứng minh tập hợp A = l 1A1 + ... + l nAn là tập lồi. Thật vậy, lấy x, y Î A và


l i xi + (1- l )å l iyi = å l i (l xi + (1- l )yi ) .

Vì các tập Ai là lồi nên
l xi + (1- l )yi Î Ai , " i = 1, n Þ l x + (1- l )y Î A .
Như vậy A = l 1A1 + ... + l nAn là tập lồi.
9


(iii) Giả sử V là một không gian vectơ trên ¡ và f : Ed ® V là ánh xạ
tuyến tính.
- Giả sử A Ì Ed là tập lồi, ta phải chứng minh f (A) là tập lồi trong V .
ù, khi đó tồn tại a,b Î A : x = f (a), y = f (b) .
Lấy x, y Î f (A) và l Î é
ê
ë0;1ú
û

Mặt khác f là ánh xạ tuyến tính nên l x + (1- l )y = l f (a) + (1- l )f (b) =
= f (l a) + f ((1- l )b) = f (l a + (1- l )b) Î f (A) , (vì A là tập lồi).
Như vậy chúng ta đã chỉ ra được l x + (1- l )y Î f (A) , với mọi x, y Î f (A) và
ù, hay f (A) là tập lồi trong V .
mọi l Î é
ê
ë0;1ú
û
- Giả sử B Ì V là tập lồi, ta phải chứng minh f - 1(B ) là lồi trong Ed .
ù, x, y Î f - 1(B ) thì f (x), f (y) Î B và l f (x) + (1- l )f (y) Î B .
0
;1

m

n

0;1ù
Giả sử x = å l i xi , y = å mj yj , trong đó xi , yj Î A; l i , yj Î é
ê
ú
ë
û, i = 1, m
i =1
j =1
m

;

j = 1, n

và

ål
i =1

n

i

m

= å mj = 1. Suy ra

Tiếp theo ta dùng các kí hiệu int(A), s (A), A chỉ phần trong, biên, bao
đóng của tập A .
1.1.10. Định lý. Giả sử A Ì Ed là tập lồi. Khi đó các tập A , int(A) là các
tập lồi.
Chứng minh
ù, ta phải chứng minh z = l a + (1- l )b Î A . Vì
(1) Lấy a,b Î A và l Î é
ê
ë0;1ú
û
A là tập đóng nên tồn tại các dãy số {xn },{yn } Ì A sao cho xn ® a và yn ® b

11


khi n ® ¥ . Đặt zn = l xn + (1- l )yn , khi đó {zn } Ì A và zn ® z khi n ® ¥ ,
suy ra z Î A ( vì A là tập đóng ).
Vậy A là tập lồi.
ù, ta phải chứng minh
(2) Giả sử int(A) ¹ Æ. Lấy a,b Î int(A) và l Î é
ê
ú
ë0;1û
z = l a + (1- l )b Î int(A) .
Vì a,b Î int(A) nên tồn tại hình cầu mở B d tâm o trong Ed sao cho a + B d và
b + B d được chứa trong A .
Do đó z + B d = l (a + B d ) + (1- l )(b + B d ) Ì A ( vì A là tập lồi ), tức là
z = l a + (1- l )b Î int(A) .
Vậy int(A) là tập lồi.W.
1.1.11. Định lý (Carathéodory). Giả sử A Ì Ed . Khi đó mỗi điểm thuộc

x = l 1x1 + ... + l nxn = l 1x1 + ... + l nxn - t(m1x1 + ... + mnxn )
= (l 1 - tm1)x1 + ... + (l k- 1 - tmk- 1)xk- 1 + (l k+1 - tmk+1)xk+1 +
+ ... + (l n - tmn )xn .
Như vậy x là tổ hợp lồi của n - 1 điểm trong các điểm x1,..., xn thuộc A .
Không mất tính tổng quát có thể giả sử x là tổ hợp lồi của các điểm x1,..., xn- 1 . Ta
xét hai khả năng sau:
• Nếu hệ { x1,..., xn- 1} độc lập affine thì theo nhận xét ở trên thì n - 1 £ d + 1
, hay n £ d + 2. Khi đó khẳng định trong định lý là đúng.
• Nếu hệ { x1,..., xn- 1} phụ thuộc affine, lặp lại quá trình chứng minh ở trên
cho các điểm x1,..., xn- 1 như đã làm cho các điểm x1,..., xn , khi đó cũng xảy ra hai
khả năng tương tự như ở trên. Quá trình cứ tiếp tục như vậy nhưng nó sẽ kết thúc ở
một bước nào đó vì số điểm là hữu hạn. Sau mỗi bước ta bớt đi một điểm và số các
điểm đã cho x1,..., xn là hữu hạn nên không thể xảy ra vô hạn khả năng thứ hai, có
nghĩa là đến bước nào đó ta tìm được hệ điểm độc lập affine trong các điểm
x1,..., xn và x là tổ hợp lồi của chúng.

13


Tóm lại ta đã chứng tỏ được rằng mỗi x Î co(A) thì x là tổ hợp lồi của
không quá d + 1 điểm thuộc A .W.
1.1.12. Hệ quả. Giả sử C Ì Ed là tập compact. Khi đó co(C ) là tập
compact.
Chứng minh. Tập hợp

{

B = (l 1,..., l d+1, x1,..., xd+1) l i ³ 0, l 1 + ... + l d+1 = 1, l 1,..., l d+1, xj Î C

}

14


1.2.2. Định nghĩa. Cho C là thể lồi trong Ed , khi đó hàm số hC : Ed ® ¡ ,
xác định bởi hC (u) = sup{u.y : y Î C } với u Î Ed được gọi là hàm tựa của thể lồi
C.

Giả sử một siêu phẳng tựa HC (u) của C với vectơ pháp tuyến ngoài u ¹ o
cố định. Rõ ràng:
HC (u) = {x : u.x = hC (u)}, HC- (u) = {x : u.x £ hC (u)}.
1.2.3. Mệnh đề. Giả sử C là thể lồi trong Ed và hC : Ed ® ¡ là hàm tựa
tương ứng của C . Khi đó hC có các tính chất:
d
(i) hC (l u) = l hC (u) , với u Î E , l ³ 0.

(ii) hC (u + v) £ hC (u) + hC (v) , với u, v Î Ed .
d
Chứng minh. Với u, v Î E , l ³ 0 và sử dụng Định nghĩa 1.2.2 ta có:

(i) hC (l u) = sup{l u.x : x Î C } = l sup{u.x : x Î C } = l hC (u) .
(ii) hC (u + v) = sup{(u + v).x : x Î C }
£ sup{u.x : x Î C } + sup{vx
. : x Î C } = hC (u) + hC (v).W.
1.3. Đa diện lồi
1.3.1. Định nghĩa. Bao lồi của hữu hạn điểm được gọi là đa diện lồi. Nếu H
là một siêu phẳng tựa của đa diện lồi K , chúng ta gọi tập F = K Ç H là mặt của
K .

Ta ký hiệu à là tập hợp tất cả các đa diện lồi trong Ed .
1.3.2. Định lý. Mỗi đa diện lồi chứa hữu hạn mặt, mỗi mặt cũng là đa diện


k

k

ål

i =1

k

k

k

k

i =1

i =1

i =1

i =1

i =1

i

= 1. Suy ra


ål
i =1

i

= 1. Do đó

k

s

k

i =1

i =1

j =s+1

xa
. = å l i (ai .a) = a å l i + å l j bj = a +

k

å

l j bj .

j =s+1

= 1. Điều đó có nghĩa

x là tổ hợp lồi của các điểm a1,...,as . Vậy F là đa diện lồi.
Vì các tập con của tập {a1,...,ak } là hữu hạn nên số mặt của P là hữu hạn.
Vậy Định lý được chứng minh .W.
1.3.3. Định lý (Krein – Milman). Mỗi đa diện lồi là bao lồi của các đỉnh của
nó.
Chứng minh. Ký hiệu vert P là tập hợp các đỉnh của đa diện lồi P . Ta sẽ
chứng minh
P = co(vert P ) .
Giả

sử

P = co {a1,...,ak } .

Do

tính

chất

x Î co {a1,...,ak }

thì

co { x,a1,...,ak } = co {a1,...,ak } nên ta có thể giả sử a1 Ï co {a2,...,ak } . Ta chứng

minh a1 là đỉnh của P . Đặt Q = co {a2,...,ak } và p là ảnh của a1 qua phép chiếu
Ed lên Q . Suy ra siêu phẳng H đi qua p có vectơ pháp tuyến là a1 - p và H là


}

C + D = x + y x Î C ,y Î D ,

2.1.2. Mệnh đề. Giả sử C , D Î C và l Î ¡ . Khi đó C + D Î C, l C Î C.
Chứng minh. Từ Định nghĩa 2.1.1 ta dễ thấy l C Î C. Như vậy ta chỉ cần
chứng minh C + D Î C, tức là phải chứng minh C + D là tập lồi và C + D là tập
compact. Thật vậy
ù.
(1) Lấy u + x, v + y Î C + D trong đó u, v Î C , x, y Î D và giả sử l Î é
ê
ë0;1ú
û

Thế thì
(1- l )(u + x) + l (v + y) = ((1- l )u + l v) + ((1- l )x + l y) Î C + D
bởi vì C , D là các tập lồi.

{

}

(2) Vì C , D là các tập compact nên C ´ D = (x,y) x Î C ,y Î D cũng là tập
compact trong Ed ´ Ed .
Xét ánh xạ
f : E d ´ Ed ® E d
.
(x, y) a x + y


Vì vậy dẫn đến x Î l 1(C 1 Ç HC 1(u)) + ... + l m(C m Ç HC m (u)) , tức là bao hàm thức
(1) được chứng minh.
Bây giờ ta chứng minh bao hàm thức ngược lại
(2)

l 1(C 1 Ç HC (u)) + ... + l m(C m Ç HC (u)) Ì C Ç HC (u).
1

m

Giả sử xi Î C i Ç HC i (u) với i = 1,..., m . Khi đó
x = l 1x1 + ... + l mxm Î l 1C 1 + ... + l mC m = C ,
u.x = l 1u.x1 + ... + l mu.xm = l 1hC (u) + ... + l mhC (u)
= hl C

1 1

+...+l mC m

(u) = hC (u).

1

m

Suy ra x Î HC (u) . Vì vậy x Î C Ç HC (u) , tức là (2) được chứng minh.
Từ (1) và (2) dẫn đến Bổ đề được chứng minh .W.
2.2. Mêtric Hausdorff
2.2.1. Định nghĩa. Cho C , D Î C, ta định nghĩa
dH (C , D) = max{maxmin x - y , maxmin x - y }.

dH (C , D) = d(a, D) ³ d(bC
, ) , trường hợp thứ hai tương tự. Vì vậy cho nên nếu
z < dH (C , D) thì z < d(a, D ) . Khi đó không thể xảy ra hệ thức: C Ì D + zB d , nói
khác đi z Ï D . Nghĩa là dH (C , D) £ z , với mọi z Î D . Với bất kỳ e > dH (C , D) ,
1
, ) , do đó
gọi r = [e+dH (C , D)]. Rõ ràng e > r > dH (C , D ) = d(a, D) ³ d(bC
2
C Ì D + rB d và D Ì C + rB d . Suy ra r Î D . Từ các lập luận trên suy ra (ii) .W.
2.2.3. Định lý. Giả sử C , D, E Î C. Khi đó ta có
(i) dH (C , D) ³ 0 và dH (C , D) = 0 khi và chỉ khi C = D .
(ii) dH (C , D) = dH (D,C ) .
(iii) dH (C , E ) £ dH (C , D) + dH (D, E ) ( bất đẳng thức tam giác ).
Định lý trên phát biểu cách khác: dH là một mêtric trên C.

22


Chứng minh
(i) Dễ thấy từ Mệnh đề 2.2.2 thì dH (C , D ) ³ 0 với mọi C , D Î C. Bây giờ ta
chứng tỏ dH (C , D ) = 0 khi và chỉ khi C = D . Thật vậy nếu dH (C , D) = 0 thì
C Ì D + 0B d, D Ì C + 0B d hay C Ì D, D Ì C . Tức là C = D .
Ngược lại hiển nhiên dH (C ,C ) = 0.
(ii) dH (C , D) = dH (D,C ) được suy ra từ Mệnh đề 2.2.2.
H
H
H
(iii) Đặt r = d (C , E ), d (C , D) = s, d (D, E ) = t , ta phải chứng minh

r £ s +t .


}

dn (x) = dist(x,C n ) = min x - u : u Î C n với x Î B .
Để áp dụng Định lý Arzelá - Ascoli cho dãy hàm (dn ) , trước hết ta phải chứng
minh một số tính chất. Ta có
(3)

dn là hàm lồi:

Lấy x, y Î B

và 0 £ l £ 1. Chọn u, v Î C n sao cho dn (x) = x - u

và

dn (y) = y - v . Vì (1- l )u + l u Î C n bởi tính lồi của C n cho nên

dn ((1- l )x + l y) £ (1- l )x + l y - ((1- l )u + l u)
£ (1- l ) x - u + l y - v = (1- l )dn (x) + l dn(y).
Do đó (3) được chứng minh. Bây giờ ta chứng minh
(4)

dn (x) - dn(y) £ x - y với x, y Î B .

Lấy x, y Î B , chọn u, v Î C n sao cho dn (x) = x - u và dn (y) = y - v . Khi đó
dn (x) £ x - v £ x - y + y - v = x - y + dn (y) ,

hay dn (x) - dn (y) £ x - y . Tương tự ta có dn (y) - dn (x) £ x - y . Như vậy bất
đẳng thức (4) được chứng minh. Chú ý rằng dn (x) = 0 với x Î C n , kết hợp với (4)


B : dC (x) £ d} Ì C + eB d .

Vì dC (x) £ dnk (x) + d với k đủ lớn nên
(8)

{

} {x Î

C n = x Î B : dn (x) = 0 Ì
k

k

B : dC (x) £ d} Ì C + eB d với k

đủ lớn.

{

}

d
Từ định nghĩa của dnk ta thấy rằng x Î B : dnk (x) £ e Ì C nk + eB .

Do dnk (x) £ dC (x) + e với k đủ lớn nên
(9)

C = { x Î B : dC (x) = 0} Ì