BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THẾ HÙNG

MỘT SỐ BẤT BIẾN CỦA
TÍCH TRỘN LẪN CÁC IĐÊAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học:

TS. ĐÀO THỊ THANH HÀ

Nghệ An - 2011


1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Mở đầu

2


8

1.6. Vành, môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.7. Số bội

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.8. Dãy chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.9. Chỉ số chính quy Castelnuovo - Mumford . . . . . . . . . . . . .

9

2

Chiều, số bội, độ sâu và chỉ số chính quy Castelnuovo - Mumford của tích trộn lẫn các iđêan
13

2.1. Chiều và số bội

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2. Độ sâu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày
một số khái niệm cơ sở của Đại số giao hoán có sử dụng trong luận văn như:
Vành và môđun phân bậc, Cơ sở Gr¨obner, Chỉ số chính quy CastelnuovoMumford, ... Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có nhằm
phục vụ cho các chứng minh ở phần sau.
Chương 2. Chiều, số bội, độ sâu và chỉ số chính quy Castelnuovo
- Mumford của tích trộn lẫn các iđêan.
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Đại học Vinh. Nhân dịp này


3

tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và kính trọng đến TS. Đào Thị
Thanh Hà cùng với thầy cô giáo trong tổ Đại số đã tạo điều kiện giúp đỡ tác
giả trong quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này. Mặc dầu đã rất cố
gắng, song luận văn không thể tránh những thiếu sót, rất mong nhận được
những đóng góp quý báu của các thầy, các cô và các bạn.
Xin chân thành cảm ơn!

Đại học Vinh, tháng 12 năm 2011
Tác giả


CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong luận văn này chúng tôi luôn giả thiết R là vành giao hoán, có đơn
vị và M là một R- môđun.

1.1


x1 α1 ...xn αn βi .

1.2

Iđêan khởi đầu

1.2.1 Định nghĩa. Iđêan I ⊆ K[x] được gọi là iđêan đơn thức nếu nó sinh
bởi các đơn thức.
Như vậy một iđêan đơn thức có dạng I = (x1 a1 ...xn an |(a1 , ..., an ) ∈ A), trong
đó A ⊆ N n .
1.2.2 Định nghĩa. Cho ≤ là một thứ tự từ và f ∈ R = K[x1 , ..., xn ]. Từ
khởi đầu của f , ký hiệu là in≤ (f ), là từ lớn nhất của đa thức f đối với thứ
tự từ ≤.
1.2.3 Định nghĩa. Cho I là iđêan của R và ≤ là một thứ tự từ. Iđêan khởi
đầu của I , ký hiệu là in≤ (I), là iđêan của R sinh bởi các từ đầu của các phần
tử của I , nghĩa là:

in≤ (I) = {in≤ (f ) | f ∈ I}
.


6

1.3

− ...
được gọi là một dãy khớp nếu Imfi = Kerfi+1 với mọi chỉ số i .
Một dãy khớp có dạng:
f

g

0→
− M→
− N→
− P →
− 0
được gọi là một dãy khớp ngắn.
1.4.2 Định nghĩa. Một R - môđun M khác môđun không được gọi là một
môđun đơn, nếu M chỉ có đúng hai môđun con là môđun con không và chính
nó.


7

1.4.3 Định nghĩa. Một dãy hợp thành của một R - môđun M là một dãy
giảm gồm một số hữu hạn các môđun con

M ⊃ M0 ⊃ M1 ⊃ ... ⊃ Mn = 0
sao cho Mi−1 /Mi là một môđun đơn, i = 1, ..., n. Khi đó số n được gọi là
độ dài của dãy hợp thành này. Môđun M có một dãy hợp thành được gọi là
một môđun có dãy hợp thành.
1.4.4 Định lí. (Định lý Jordan - Holder). Nếu R - môđun M có một dãy
hợp thành với độ dài n, thì tất cả các dãy hợp thành của M cũng có độ dài


hữu hạn.
(ii) Khi tất cả L, M, N đều có độ dài hữu hạn thì (M ) = (L) + (N ).


8

1.5

Chiều Krull

1.5.1 Định nghĩa. Cho R là một vành giao hoán, p là iđêan nguyên tố
của R, chặn trên độ dài của tất cả các dãy giảm ngặt các iđêan nguyên tố

p = p0 ⊃ p1 ⊃ ... ⊃ pr bắt đầu từ iđêan p được gọi là độ cao của p và ký
hiệu ht(p).
1.5.2 Định nghĩa. Cho R là mộ vành giao hoán. Chặn trên độ dài của tất
cả các dãy giảm ngặt các iđêan nguyên tố của R được gọi là chiều Krull của

R hay đơn giản là chiều của vành R và ký hiệu dimR.
1.5.3 Định nghĩa. Iđêan 0 : M được gọi là linh hóa tử của M và ký hiệu

Ann(M ). Vậy Ann(M ) = {r ∈ R | rM = 0}
= {r ∈ R | rx = 0, ∀x ∈ R}.
1.5.4 Định nghĩa. Cho R- môđun M , dim R Ann(M ) được gọi là chiều của
môđun M và ký hiệu dim(M ).

1.6

Vành, môđun phân bậc


(a1 ,...ad )M

qt M

) < ∞. Khi đó hàm Hilbert

), t ∈ Z

0. Đa thức đó gọi là đa thức Hilbert và ký hiệu là

Pq,M (t). Viết Pq,M (t) dưới dạng công thức sau:
Pq,M (t) = e0 (q, M )

t+d
t

−e1 (q, M )

t+d−1
d−1

+· · ·+(−1)d ed (q, M )

Khi đó e0 (q, M ) được gọi là số bội của M đối với q .

1.8

Dãy chính quy

1.8.1 Định nghĩa. Cho R là một vành và M là R - môđun. Ta nói rằng

ai M

= 0.

i=1

1.8.3 Định nghĩa. Cho (R, M) là một vành địa phương Noether, độ dài cực
đại của M - dãy trong M được gọi là độ sâu của M và ký hiệu depthM hoặc

depthR M .

1.9

Chỉ số chính quy Castelnuovo - Mumford

Áp dụng định lý Hilbert về xoắn đối với trường hợp M là một môđun
phân bậc hữu hạn sinh trên S , ta suy ra M có một giải tự do phân bậc tối


10

tiểu
βq

ϕq

β1

ϕ1 β0


(M ) cũng là môđun phân bậc trên R . Định lý triệt tiêu Grothendieck
i
(M ) = 0 nếu i < depth(M ) hoặc i > dim(M ). Hơn thế nữa
nói rằng Hm
i
i
Hm
(M ) là môđun Artin, nên các thành phần phân bậc Hm
(M ) = 0 khi p đủ

lớn. Vì vậy, nếu với mỗi môđun phân bậc N , ta đặt

a(N ) = sup{t ∈ Z/[N ]t = 0}
(ta quy ước a(0) = −∞), thì các số
i
ai (M ) := a(Hm
(M ))

hoặc hữu hạn hoặc là −∞. Hơn nữa, theo định lý không triệt tiêu của
d
Grothendieck, Hm
(M ) = 0 . Vì vậy ad (M ) là một số nguyên.


11

1.9.1 Định nghĩa. Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của M là số

reg(M ) = max{i + ai (M )|0 ≤ i ≤ d}.
Một cách tổng quát hơn, với 0 ≤ p ≤ d, chúng ta đặt:



12

Như vậy, reg(M ) cho chúng ta một chặn trên cho bậc sinh cực đại của M .
Đó là một ý nghĩa quan trọng của chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford.
Sau đây là một số kết quả hay được sử dụng để nghiên cứu chỉ số chính quy
Castelnuovo-Mumford. Bổ đề đầu tiên là của Castelnuovo phát biểu cho lược
đồ và sau đó mở rộng cho môđun.
i
(M )r−i = 0 với mọi i ≤ d thì
1.9.3 Bổ đề. Cho r ≥ gen(M ). Nếu Hm

reg(M ) ≤ r.
1.9.4 Bổ đề. Cho

0→M →N →P →0
Là dãy khớp ngắn các R - môđun hữu hạn sinh. Khi đó
(i) reg(M ) ≤ max{reg(N ), reg(P ) + 1};
(ii) reg(N ) ≤ max{reg(M ), reg(P )};
(iii) reg(P ) ≤ max{reg(N ), reg(M ) − 1}.


CHƯƠNG 2

CHIỀU, SỐ BỘI, ĐỘ SÂU VÀ CHỈ SỐ CHÍNH
QUY CASTELNUOVO - MUMFORD CỦA TÍCH
TRỘN LẪN CÁC IĐÊAN

Tích trộn lẫn các iđêan là các iđêan đơn thức không chứa bình phương có

Chứng minh. Xét thứ tự từ ≤ trên S thì hạn chế ≤1 của nó trên K [x]. (t.ư

≤2 trên K [x]) cũng là một thứ tự từ. Ký hiệu iđêan khởi đầu của một iđêan
α là in≤ (α). Khi đó:
in≤ (IS) in≤ (JS) ⊆ in≤ (IS)(JS) ⊆ in≤ ((IS)∩(JS)) ⊆ in≤ (IS)∩in≤ (JS) (1)
Kết quả đầu tiên được suy ra từ tính chất in≤ (f g) = in≤ (f )in≤ (g) trong khi
hai kết quả sau được suy ra từ tính chất nếu a ⊆ b thì in≤ (a) ⊆ in≤ (b). Nếu

F = {f1 , . . . , fr } ⊂ K [x] là một cơ sở Gr¨obner của I thì nó thỏa mãn tiêu
chuẩn của Buch. Nghĩa là phần dư cả phép chia S - đa thức tùy ý S(fi ; fj )
cho F là 0, ∀ 1 ≤ i < j ≤ 1. Trường hợp này không thay đổi khi ta thay

K [x] bởi K [x, y] vì thế F cũng là một cơ sở Gr¨obner của IS và
in≤ (IS) = (in≤1 (f1 ), ..., in≤1 (fr )).
Tương tự, nếu G = g1 , ..., gs} ⊂ K[y] là cơ sở Gr¨obner của J thì in≤2 (JS) =

(in≤2 (g1 ), ..., in≤2 (gs )). Từ in≤1 (fi ), in≤2 (gj ) nguyên tố cùng nhau, chúng ta
có in≤ (IS)∩in≤ (JS) = in≤ (IS)in≤ (JS). Kết hợp với (1) cho ta in≤ (IS)(JS) =

in≤ ((IS) ∩ (JS)). Theo một tính chất cơ bản của iđêan khởi đầu (xem ([2],
Bổ đề 15.5) ta có (IS) ∩ (JS) = (IS)(JS).
2.1.2 Bổ đề. Cho I1 ⊆ I2 là các iđêan của A, J1 ⊆ J2 là các iđêan của B.
Ta có dãy khớp sau :

0→

S
S
S
S

(I1 J2 + I2 J1 ) ⊆ (I2 )
và

(I1 J2 + I2 J1 ) ⊆ (J2 ).
Theo Bổ đề 2.1.2 trong vành S chúng ta có

(I1 J2 + I2 J1 ) ⊆ (I1 + J1 ) ∩ (I2 ) ∩ (J2 )
(I1 + J1 ) ∩ (I2 J2 ).
Vì vậy

dim

S
S
≥ dim
.
(I1 J2 + I2 J1 )
((I1 + J1 ) ∩ (I2 J2 ))

Mặt khác

((I1 + J1 ) ∩ (I2 J2 ))2 ⊆ (I1 + J1 )(I2 J2 ) ⊆ (I1 J2 + I2 J1 ).
Nghĩa là

dim

S
S
S
= dim

16

Từ

S
∼
=
(I1 + J1 )

A

I1

⊗K

B

J1

chúng ta có: (xem [9], Ví dụ 2.1.14)

dim

S
= d1 + D1 .
(I1 + J1 )

Công thức này cũng dẫn tới

dim

dim

S
= max{n + t − 1, N + q − 1, s + r − 2}.
(Iq Jr + Is Jt )

= n + N − min{n − q + 1, N − t + 1, n + N − (r + s) + 2}.
Định lý 2.1.3 cũng cho ta

dim

S
=r+s−2
(Is + Jr )

và

dim

S
= max{N + q -1,r+s-2}.
(Iq Jr + Is )


17

Giả sử M là S-mô đun phân bậc hữu hạn sinh. Chuỗi Hillbert - Poincare

hM (t) =



S
∼
=
(I + J)

A

⊗K

I

B

J

,

chúng ta có


hS (I+J) (t) =

((A I )i ). ((B J )j )tk


k≥0

=


.
(1 − t)n

Sử dụng Bổ đề 2.1.1 ta có dãy khớp

0→

S
S
S
S
→
⊕
→
→ 0.
(IJ)
(I) (J)
(I + J)


18

Từ chuỗi Hilbert - Poincare, kết hợp với dãy khớp trên cho ta

hS (IJ) (t) = hS (I) (t) + hS (J) (t) − hS (I+J) (t)
=

hA I (t)
(1 − t)N


N

(1 − t)

− hA I1 (t)hB J2 (t) +
hA I1 (t)
(1 − t)N

−

hB J1 (t)
(1 − t)n

− hB J1 (t) +hB J2 (t)

hA I2 (t)
(1 − t)N

+

hB J1 (t)
(1 − t)n

.

+ hA I1 (t)hB J1 (t)

1
− hA I1 (t) +hA I1 (t)hB J1 (t).
(1 − t)n

= d1 , dimA I2

= d2 , dim B J1

= D1 và

dim B J2 = D2 . Đặt
m = max{n + D2 , N +d2 , d1 +D1 }.
Khi đó:
m
e(S/(I1 J2 + I2 J1 )) = δdm2 +N e(A/I2 ) + δn+D
e(B/J2 ) + δdm1 +D1 e(A/I1 )e(B/J1 ).
2

Chứng minh. Từ I1 = 0 và J1 = 0, chúng ta có dimI1 = n và dimJ1 = N .
Theo Định lý 2.1.6 chúng ta có

hS (I1 J2 +I2 J1 ) (t) =

fA/I2 (t)fJ1 (t)
(1 − t)d2 +N

+

fI1 (t)fB/J2 (t)
(1 − t)n+D2

+

fA/I1 (t)fB/J1 (t)


20

là một dãy khớp ngắn của S-môđun phân bậc khác o. Khi đó
(i) depthN ≥ min{depthM, depthP }.
Dấu bằng xảy ra khi depthP = depthM − 1.
(ii) depthM ≥ min{depthN, depthP + 1}.
Dấu bằng xảy ra khi depthN = depthP .
(iii) depthP ≥ min{depthM − 1, depthN }.
Dấu bằng xảy ra khi depthM = depthN .
Chứng minh. Việc chứng minh những bất đẳng thức trên xem ở tài liệu ([2],
mệnh đề 1.2.9) Nếu depthP > depthM − 1, từ bất đẳng thức (ii) kéo theo

depthM ≥ depthN Mặt khác, từ depthM ≤ depthP (do chúng là các số
nguyên). Kết hợp với bất đẳng thức (i) ta có

depthM ≤ depthN.
Bởi vậy

depthN = depthM = min{depthM, depthP }.
Nếu depthP < depthM − 1,từ bất đẳng thức (iii) kéo theo

depthP ≥ depthN.
Mặt khác từ

min{depthM, depthP }=depthP,
kết hợp với bất đẳng thức (i) cho ta depthP ≤ depthN.
Bởi vậy

depthN = depthP = min{depthM, depthP }.

depthS/(IJ) = min{depth(S/(I) ⊕ S/(J)), depthS/(I + J) + 1 = δ + ∆ + 1.

2.2.3 Định lí. Cho I1 ⊆ I2 ⊆ A và J1 ⊆ J2 ⊆ B là các iđêan thuần nhất
khác 0 thực sự của A và B . Đặt dim A I1 = δ1 , dim A I2 = δ2 , dim B J1 = ∆1
và dim B J2 = ∆2 .
(i) Giả sử rằng min {δ1 + ∆2 , δ2 + ∆1 } = δ1 + ∆1 . Khi đó

depth(S/(I1 J2 + I2 J1 ) = min{δ1 + ∆2 + 1, δ2 + ∆1 + 1, δ1 + ∆1 }.
(ii) Giả sử rằng min{N +δ1 +, δ2 + ∆1 + 1} = δ1 + ∆1 + 1. Khi đó:

depth(S/(I1 + I2 J1 ) = min{δ2 + ∆1 + 1, δ1 + ∆1 }.


22

Chứng minh. (i) Theo Bổ đề 2.2.2

depth(S/(I1 J2 ) ⊕ S/(I2 J1 )) = min{depthS/(I1 J2 ), depthS/(I2 J1 )}
= min{δ1 + ∆2 + 1, δ2 + ∆1 + 1}
và

depthS/(I1 J1 ) = δ1 + ∆1 + 1.
Giả thiết cho rằng

depth(S/(I1 J2 ) ⊕ S/(I2 J1 )) = depthS/(I1 J1 )
Bởi vậy từ dãy khớp của Bổ đề 2.1.2

0→

S

0→

S
S
S
S
→
⊕
→
→0
(I1 J1 )
(I1 ) (I2 J1 )
(I1 + I2 J1 )

là trường hợp đặc biệt của Bổ đề 2.1.2 với J2 = B. Chú ý rằng giả thiết (i)
của định lý trên đầy đủ nếu δ1 = δ2 và ∆1 = ∆2 ; hoặc δ1 > δ2 và ∆1 = ∆2 ;
hoặc δ1 = δ2 và ∆1 > ∆2 , trong khi giả thiết của (ii) là đầy đủ nếu δ1 = δ2
và ∆1 + 1 = N. Nếu không có các giả thiết đó thì các công thức trên không
còn đúng trong trường hợp tổng quát. Ví dụ nếu chúng ta lấy I1 = I2 và

∆2 > ∆1 . Khi đó theo Bổ đề 2.2.2
depth

S
S
= depth
= δ1 + ∆2 + 1,
(I1 J2 + I2 J1 )
(I1 J2 )


(Is + Jr )

2.2.5 Hệ quả. Cho I1 ⊆ I2 ⊆ A, J1 ⊆ J2 ⊆ B là các iđêan thuần nhất khác 0
thực sự. Đặt dimA I1 = δ1 , dimA I2 = δ2 , dimB J1 = ∆1 và dimB J2 = ∆2 .
Giả sử rằng

min{δ1 + ∆2 , δ2 + ∆1 } = δ1 + ∆1 .
Khi đó

S/(I1 J2 + I2 J1 )
là một vành Cohen - Macaulay khi và chỉ khi tất cả các vành A/I1 , A/I2 ,

B/J1 , B/J2 là vành Cohen -Macaulay và δ1 = n−1, δ2 = n−2, ∆1 = N −1,
∆2 = N − 2.
Chứng minh. Sử dụng các ký hiệu như của Định lý 2.1.3. Giả sử rằng

S/(I1 J2 + I2 J1 )
là một vành Cohen - Macaulay. Theo Định lý 2.1.3 và Định lý 2.2.3 chúng ta
có

dim

S
S
≥ d1 + D2 ≥ δ1 + ∆1 ≥ depth
(I1 J2 + I2 J1 )
(I1 J2 + I2 J1 )


24

(I1 J2 + I2 J1 )
(I1 J2 + I2 J1 )

≤ δ2 + ∆1 + 1 ≤ d1 + D1 + 1 ≤ δ2 + N ≤ d2 + N (5).
Từ (4) ta được D2 = ∆2 = D1 − 1, d1 = n − 1 và từ (5) ta được d2 = δ2 =

d1 − 1, D1 = N − 1. Bởi vậy cả hai vành A/I2 , B/J2 cũng là vành Cohen Macaulay và δ2 = n − 1, ∆2 = N − 2.
Chiều ngược lại dễ dàng được suy ra từ Định lý 2.1.3 và Định lý 2.2.3.

2.3

Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford

Nhắc lại rằng chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của một môđun phân
bậc hữu hạn sinh E = ⊕n∈N En trên một vành phân bậc chuẩn R = ⊕n≥0 Rn
là một số được xác dịnh

regE = min{p/HRi + (E)q−i = 0, với mọi q > p và i ≥ 0