BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ HOA

SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ
CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học:

TS. NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN

Nghệ An - 2011


MỤC LỤC

Trang bìa phụ

1

Mục lục

2

Mở đầu

3


2.1. Vành đa thức nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2. Iđêan đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3. Sự phân tích nguyên sơ của iđêan đơn thức . . . . . . . . . . . . 37
2.4. Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Kết luận

44

Tài liệu tham khảo

45


MỞ ĐẦU

Định lý Lasker - Noether về sự phân tích nguyên sơ là tổng quát hóa Định
lý cơ bản trong Số học. Ý nghĩa hình học của định lý phân tích nguyên sơ
cho iđêan là: Mỗi tập đại số afin đều được phân tích thành hợp của một số
hữu hạn các tập đại số afin bất khả quy.
Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, M là một R-môđun Noether.
Theo Định lí Lasker - Noether về sự phân tích nguyên sơ thì mọi môđun con

N của M luôn có sự phân tích nguyên sơ thu gọn và giả sử
N = Q1 ∩ Q2 ∩ . . . ∩ Qn

(∗)

thức. Lớp các iđêan đơn thức trông tuy đơn giản nhưng có rất nhiều tính chất
thú vị. Lớp iđêan này rất quan trọng, trước hết vì nó là ví dụ cho nhiều vấn
đề trong Đại số giao hoán. Hơn nữa, lí thuyết về cơ sở Gr¨obner cho phép xấp
xỉ một iđêan tùy ý bằng iđêan đơn thức, mà trong nhiều trường hợp từ cấu
trúc của nó có thể nhận thông tin ngược trở lại về iđêan ban đầu. Như phần
trên đã trình bày thì iđêan đơn thức I có sự phân tích nguyên sơ. Có những
phương pháp nào để phân tích và làm thế nào để phân tích nhanh nhất một
iđêan đơn thức thành giao của các iđêan nguyên sơ. Mục đích của luận văn
là dựa vào các tài liệu tham khảo để trình bày về những vấn đề đó.
Luận văn này được chia thành 2 chương.
Chương 1. Sự phân tích nguyên sơ của môđun Noether. Trong
chương này, chúng tôi trình bày về lý thuyết phân tích nguyên sơ của vành
và môđun Noether. Cụ thể là sẽ trình bày về các vấn đề như: iđêan nguyên
sơ, môđun con nguyên sơ, tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun, Định
lí Lasker - Noether về sự phân tích nguyên sơ của vành và môđun Noether,
.... Ngoài ra, còn nêu một số kết quả đã có sẵn dưới dạng những mệnh đề
nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau.


5

Chương 2. Sự phân tích nguyên sơ của iđêan đơn thức. Chương
này là nội dung chính của luận văn. Chúng tôi trình bày về vành đa thức
nhiều biến; về một lớp iđêan đặc biệt trong vành đa thức nhiều biến, đó là
lớp iđêan đơn thức và sự phân tích nguyên sơ của các iđêan đơn thức trong
vành đa thức cùng một số phương pháp phân tích.
Để hoàn thành luận văn này tác giả xin cảm ơn sự hướng dẫn tận tình,
chu đáo của TS. Nguyễn Thị Hồng Loan và muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số - Khoa Toán của trường Đại
học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học

nguyên.
1.1.3 Iđêan cực đại. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, m là một iđêan
của vành R và m = R. Iđêan m được gọi là iđêan cực đại nếu không tồn tại
iđêan J = R mà m

J.

Ví dụ, trong vành số nguyên Z, iđêan mZ là cực đại nếu và chỉ nếu m là
số nguyên tố.


7

Chú ý rằng, m là iđêan cực đại của vành R khi và chỉ khi R/m là một
trường. Do đó iđêan m cực đại ⇒ iđêan m nguyên tố ⇒ iđêan m nguyên sơ.
1.1.4 Iđêan sinh bởi một tập, iđêan hữu hạn sinh. Cho R là vành và

S ⊂ R. Khi đó giao của tất cả các iđêan của R chứa S là một iđêan của R
chứa S . Iđêan này được gọi là iđêan sinh bởi tập hợp S , kí hiệu: < S >.
Như vậy, I = < S > khi và chỉ khi I là iđêan bé nhất của vành R chứa

S . Nếu S là iđêan của vành R thì < S > = S . Vì vậy, hệ sinh của một iđêan
là không duy nhất.
Cho I là một iđêan của vành R. Nếu tồn tại một hệ sinh của I gồm hữu
hạn phần tử thì I được gọi là iđêan hữu hạn sinh.
1.1.5 Iđêan chính. Iđêan sinh bởi một phần tử gọi là iđêan chính.
Ví dụ, trong vành số nguyên Z, mọi iđêan đều có dạng mZ với m là một
số nguyên nào đó, nên chúng là iđêan chính mZ = < m >.
1.1.6 Iđêan bất khả quy. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là một
iđêan của vành R và I = R. Iđêan I được gọi iđêan bất khả quy nếu I không

Tương tự, định nghĩa cho tích của hữu hạn iđêan. Cho I1 , I2 , . . . , In là các
iđêan của vành R. Khi đó
m

a1i a2i . . . ani | aji ∈ Ij , ∀i = 0, m, ∀j = 1, n, m ∈ N

I1 I2 . . . In =
i=0

là một iđêan của vành R và được gọi là tích của các iđêan I1 , I2 , . . . , In .
Đặc biệt, I n =

m

a1i a2i . . . ani | aji ∈ I, ∀i = 0, m, ∀j = 1, n, m ∈ N .
i=0

Quy ước, I 0 = R = < 1 >.
1.1.9 Thương của các iđêan. Cho vành R và I, J là các iđêan của vành

R. Khi đó tập hợp
I : J = {a ∈ R| aJ ⊆ I} = {a ∈ R| ab ∈ I, ∀b ∈ J}
là một iđêan của vành R và được gọi là thương của hai iđêan I và J .
Kí hiệu

AnnR (J) := 0 : J = {a ∈ R| ab = 0, ∀b ∈ J}
là một iđêan của vành R và AnnR (J) được gọi là linh hoá tử của iđêan J .
Cho x ∈ R, x = 0. Ta viết AnnR (x) thay cho AnnR (< x >), tức là

AnnR (x) = {a ∈ R| ax = 0}.

1.2

Vành và môđun Noether

1.2.1 Môđun Noether. Cho M là một R-môđun. Môđun M được gọi là
môđun Noether nếu mọi dãy tăng các môđun con của M đều dừng, nghĩa là
nếu M1 ⊂ M2 ⊂ . . . ⊂ Mn ⊂ . . . là một dãy tăng các môđun con của M thì
tồn tại một số tự nhiên m sao cho Mk = Mm với mọi k ≥ m.
Định lí sau đây là những đặc trưng của môđun Noether.
1.2.2 Định lí. Cho môđun M . Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

(i) M là môđun Noether;
(ii) Mọi tập hợp khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử cực đại
theo quan hệ thứ tự bao hàm;

(iii) Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Gọi S = {Ai | Ai là môđun con nào đó của M }. Lấy

A1 ∈ S . Nếu A1 tối đại trong S ta có (ii). Nếu A1 không tối đại trong S thì
sẽ ∃A2 ∈ S mà A1 ⊂ A2 . Lập luận A2 như A1 ta có A1 ⊂ A2 ⊂ A3 . Tiếp tục
quá trình lập luận trên ta sẽ có một dãy tăng A1 ⊂ A2 ⊂ . . . ⊂ Ak ⊂ . . .. Và
do M là môđun Noether nên ∃k ∈ N∗ để Ak = Ak+1 = . . .. Do đó Ak tối đại
trong S nên ta có (ii).


10

(ii) ⇒ (iii). Lấy A là môđun con bất kì của M . Xét tập hợp

Γ = {môđun con hữu hạn sinh của A}.


∞
i=1 An

nên An ⊆ A nên A = An tức là An = An+1 = . . .. Vậy dãy (∗)

dừng nên M là môđun Noether, tức là ta có (i).
1.2.3 Ví dụ. a) Xét Z là Z-môđun thì Z là môđun Noether.
b) V là không gian vectơ hữu hạn chiều thì V là một môđun Noether.
1.2.4 Vành Noether. Vành R được gọi là vành Noether nếu mọi dãy tăng
các iđêan trong R đều dừng, nghĩa là nếu I1 ⊂ I2 ⊂ . . . ⊂ In ⊂ . . . là dãy
tăng các iđêan trong R thì tồn tại số tự nhiên m sao cho Ik = Im với mọi

k ≥ m.
Như vậy, vành R là Noether nếu nó là môđun Noether trên chính nó.
Chúng ta có nhiều cách nhận biết vành Noether qua định lí đặc trưng của
vành Noether như sau.


11

1.2.5 Định lí. Giả sử R là một vành. Khi đó các điều kiện sau là tương
đương:

(i) R là vành Noether;
(ii) Mọi tập hợp khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử cực đại theo
quan hệ thứ tự bao hàm;

(iii) Mọi iđêan của R đều hữu hạn sinh.
1.2.6 Ví dụ. a) Vành số nguyên Z là vành Noether, vì mọi iđêan của Z có


⇔

∃t ∈ S : t(rs − r s) = 0.

Dễ dàng chứng minh được quan hệ ∼ là một quan hệ tương đương trên R×S .
Khi đó R × S được chia thành các lớp tương đương

(r, s) = {(r , s ) ∈ R × S| (r , s ) ∼ (r, s)}.
Kí hiệu r/s thay cho (r, s) và

S −1 R = R × S/∼ = {(r, s)| r ∈ R, s ∈ S}.
Trang bị phép toán cộng (+) và nhân (·) trên S −1 R như sau:
Phép toán cộng (+):
Phép toán nhân (·):

r/s + r /s = (rs + sr )/ss .
r/s · r /s = rr /ss .

Hai phép toán trên không phụ thuộc vào việc chọn đại diện.
Tập hợp S −1 R cùng với phép cộng và nhân như trên là một vành giao
hoán có đơn vị.
Phần tử không: 0/1 = 0/s với ∀s ∈ S .
Phần tử đơn vị: 1/1 = s/s.
Phần tử r/s = r /s ⇔ (r, s) ∼ (r , s ) ⇔ ∃t ∈ S : t(rs − r s) = 0.
Cho M là một R-môđun và S là tập nhân đóng của vành R. Trên tích
Đề-các M × S ta xét quan hệ hai ngôi ∼ như sau:

(m, s) ∼ (m , s )



S . Nếu p là một iđêan nguyên tố của vành R thì S = R\p là một tập nhân
đóng của vành R. Trong trường hợp này thay cho việc S −1 R ta viết Rp và
thay cho việc S −1 M ta viết Mp . Khi đó Rp (tương ứng Mp ) được gọi là vành
địa phương hoá (tương ứng môđun địa phương hoá ) của vành R (tương ứng
môđun M ) tại iđêan nguyên tố p.
1.2.11 Mệnh đề. Cho S là một tập nhân đóng của vành giao hoán R. Nếu

0→M →M →M →0
là một dãy khớp ngắn các R-môđun thì

0 → S −1 M → S −1 M → S −1 M → 0
cũng là một dãy khớp ngắn.


14

1.2.12 Hệ quả. Giả sử N và P là các môđun con của R-môđun M . Khi đó

S −1 (M/N ) ∼
= S −1 M/S −1 N.
1.2.13 Giá của môđun. Cho môđun M là một R-môđun. Ta gọi giá của
môđun M là tập hợp được kí hiệu SuppR M = {p ∈ SpecR| Mp = 0} ⊆

SpecR.
Chú ý, nếu M là môđun hữu hạn sinh thì SuppR M = V (AnnM ).

1.3

Iđêan nguyên tố liên kết của môđun

= R/Kerf = R/p.
Ngược lại, giả sử tồn tại một môđun con N của M sao cho N ∼
= R/p. Lấy
phần tử tuỳ ý x ∈ N, x = 0, do đó x ∈ M . Do N ∼
= R/p nên mỗi phần tử
của N có thể được viết dưới dạng x = x + p với x ∈ R. Chứng minh như Ví
dụ 1.3.2, ta có AssR (x) = p. Do đó p ∈ AssR M .
1.3.4 Mệnh đề. Kí hiệu

là tập hợp tất cả các iđêan của R có dạng Ann(x)

với x ∈ M, x = 0. Nếu p là phần tử cực đại trong

theo quan hệ bao hàm

thì p ∈ AssM .
Chứng minh. Để chứng minh p ∈ AssR M ta chỉ cần chứng minh p là iđêan
nguyên tố. Thật vậy, giả sử p = Ann(x) với x ∈ M, x = 0. Lấy ∀a, b ∈ R,
với ab ∈ p và b ∈
/ p. Khi đó, bx = 0 và abx = 0. Suy ra a ∈ AnnR (bx). Mặt
khác, ta lại có AnnR (bx) ⊇ AnnR (x) = p. Do Ann(bx) ∈
cực đại của

và p là phần tử

nên p = AssR (bx). Do đó a ∈ p. Vậy p là iđêan nguyên tố.

Từ kết quả trên ta suy ra được các hệ quả sau.
1.3.5 Hệ quả. M = 0 khi và chỉ khi AssR M = ∅.
Chứng minh. Nếu M = 0. Khi đó tập hợp

a ∈ p. Do đó D ⊆
Giả sử b ∈

p∈AssR M

p∈AssR M

p.

p. Khi đó, ∃p ∈ AssR M sao cho b ∈ p. Mặt khác, do

p ∈ AssR M nên ∃x ∈ M, x = 0 sao cho p = AssR M . Từ đó b ∈ Ann(x) hay

bx = 0. Do đó b ∈ D. Suy ra

p∈AssR M

p ⊆ D.

1.3.7 Mệnh đề. Cho S là một tập nhân đóng của vành R và M là R-môđun
hữu hạn sinh. Khi đó:

AssR (S −1 M ) = AssR M ∩ {p ∈ SpecR| p ∩ S = ∅}.
1.3.8 Bổ đề. Giả sử 0 → M → M → M → 0 là một dãy khớp ngắn các

R-môđun. Khi đó:
(i) AssR M ⊆ AssR M ⊆ AssR M ∪ AssR M ;
(ii) SuppR M = SuppR M ∪ SuppR M .
Chứng minh. (i) Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết M là môđun
con của M và M = M/M . Vì M là môđun con của M nên theo định nghĩa,


AssR M ⊆ SuppR M và bất kì phần tử tối thiểu nào của SuppM theo quan hệ
bao hàm đều thuộc AssR M .
Chứng minh. Giả sử p ∈ AssR M . Theo Mệnh đề 1.3.3 thì R/p đẳng cấu với
một môđun con của M . Do đó ta có dãy khớp 0 → R/p → M . Áp dụng
Mệnh đề 1.2.11, ta có dãy khớp 0 → Rp /pRp → Mp . Do Rp /pRp là trường
thặng dư của vành Rp nên Rp /pRp = 0. Do đó Mp = 0 hay p ∈ SuppM .
Vậy AssR M ⊆ SuppR M . Giả sử p là thành phần cực tiểu của SuppM (theo
quan hệ thứ tự bao hàm). Khi đó Mp = 0. Ta có SpecR = {qRp | q ⊆ p; q ∈

SpecR}. Do đó SuppRp Mp = {pRp }.
Mặt khác, do Mp = 0 nên AssRp Mp = 0 bởi Hệ quả 1.3.5. Theo chứng minh
trên ta lại có AssRp Mp ⊆ SuppRp Mp = {pRp }. Do đó AssRp Mp = {pRp }. Suy
ra AssRp Mp = {p}. Áp dụng Mệnh đề 1.3.7, ta có AssRp Mp = AssR M ∩ {q ∈

SpecR| q ⊆ p}. Từ đó suy ra p ∈ AssR M .


18

1.3.10 Định lí. Giả sử M là R-môđun Noether khi đó tập hợp AssR M là
hữu hạn.
Chứng minh. Nếu M = 0 thì AssR M = ∅ bởi Hệ quả 1.3.5. Giả sử M = 0
ta có AssR M = ∅. Do đó ∃p1 ∈ AssR M . Theo Mệnh đề 1.3.3, tồn tại môđun
con M1 ⊂ M sao cho M1 ∼
= R/p1 .
- Nếu M1 = M thì M/M1 = 0, suy ra ∃p2 ∈ AssR (M/M1 ) = 0. Do đó
tồn tại môđun con M2 ⊆ M và M2 ⊇ M để M/M1 ∼
= M2 /M1 .
- Nếu M2 = M1 lại tiếp tục quá trình trên với M1 /M2 , . . . ta tìm được một

M , điều này tương đương với 0 : a = {x ∈ M | ax = 0} = 0.
(ii) λa là luỹ linh nếu và chỉ nếu ∃n ∈ N∗ để an M = 0, tương đương với
√
an ∈ AnnM , hay a ∈ AnnM .

√

(iii) Nếu M = 0 thì mỗi phần tử a ∈ R không thể đồng thời vừa thuộc

AnnM , vừa không thể là ước của không trong M , tức là λa không thể vừa

là đơn cấu, vừa là luỹ linh.
1.4.2 Định nghĩa. Môđun con N của một R-môđun M được gọi là một
môđun con nguyên sơ của M nếu N = M , đồng thời với mỗi a ∈ R thì đồng
cấu nhân λa : M/N → M/N hoặc đơn cấu hoặc luỹ linh.
Từ Định nghĩa 1.4.2 ta thấy, một môđun con thực sự N của M là một
môđun con nguyên sơ khi và chỉ khi, với mỗi a ∈ R mà ∃x ∈ M \N làm cho

ax ∈ N , thì ∃n để an M ⊂ N .
1.4.3 Mệnh đề. Nếu N là một môđun con nguyên sơ của môđun M . Khi
√
đó tập hợp p = rM (N ) = N : M = Ann(M/N ) là một iđêan nguyên tố.
Trong trường hợp này, người ta gọi N là môđun con p-nguyên sơ của M .
Chứng minh. Nếu N là một môđun con nguyên sơ của M thì rM (N ) là tập
tất cả những phần tử a ∈ R làm cho đồng cấu nhân λa : M/N → M/N
không là đơn cấu.
Mặt khác, nếu ab ∈ rM (N ), tức là λab = λa λb không là đơn cấu, thì một
trong hai đồng cấu λa hoặc λb sẽ không là đơn cấu. Điều đó rút ra hoặc

a ∈ rM (N ), hoặc b ∈ rM (N ). Chú ý rằng đồng cấu đồng nhất λ1 là đơn cấu,

1.4.6 Hệ quả. Luỹ thừa của một iđêan cực đại là một iđêan nguyên sơ.
1.4.7 Mệnh đề. Nếu N1 , N2 là các môđun con p-nguyên sơ của M thì N =

N1 ∩ N2 cũng là một môđun con p-nguyên sơ của M .
Chứng minh. Giả sử rM (N1 ) = rM (N2 ) = p. Khi đó với mỗi a ∈ p, ∃n1 và

∃n2 để an1 M ⊂ N1 và an2 M ⊂ N2 . Do đó an1 +n2 M ⊂ N hay a ∈ rM (N ).
Ngược lại, với mỗi a ∈∈ rM (N ), thì ∃n để an M ⊂ N = N1 ∩ N2 , nghĩa là

a ∈ p. Do vậy rM (N ) = p.
Ta còn phải chứng minh N là nguyên sơ. Thật vậy, với ∀a ∈ R, x ∈ M
sao cho ax ∈ N . Suy ra ax ∈ N1 và ax ∈ N2 . Điều đó dẫn đến a ∈ p hoặc

x ∈ N1 ∩ N2 . Do đó nếu a ∈
/ rM (N ) = p thì x ∈ N1 ∩ N2 = N . Vậy N là
một môđun con nguyên sơ.


21

1.5

Sự phân tích nguyên sơ của môđun Noether

1.5.1 Định nghĩa. Cho vành R và M là một R-môđun.
(i) Cho N là môđun con của M . Ta nói rằng N có sự phân tích nguyên sơ
nếu tồn tại hữu hạn môđun con nguyên sơ Q1 , Q2 , . . . , Qn sao cho

N = Q1 ∩ Q2 ∩ . . . ∩ Qn


. Do M là Noether nên tồn tại phần tử cực
. Ta có Q(p) = M vì p ∈
/ AssR Q(p).


22

Ta chứng minh Q(p) là p-nguyên sơ tức là AssR (M/Q(p)) = {p}. Dễ thấy
p ∈ AssR (M/Q(p)) = {p}. Giả sử tồn tại p = p và p ∈ AssR (M/Q(p)).
Theo Mệnh đề 1.3.3 tồn tại môđun con Q ⊃ Q(p) để Q /Q(p) ∼
= R/p. Do
đó AssR Q ⊆ AssR Q(p) ∪ AssR (Q /Q(p)). Từ đó suy ra p ∈
/ AssR Q và do
đó Q ∈

. Điều này vô lí vì Q(p) là phần tử cực đại thuộc

. Do đó

AssR (M/Q(p)) = {p}.
Ta thấy

AssR

Ass(Q(p)) = ∅.

Q(p) =
p∈AssR M

p∈AssR M

Từ đó ta có đơn cấu
n

Qi → M/Q1 ⊕ M/Q2 ⊕ . . . ⊕ M/Qn .

ϕ : M/
i=1


23

Suy ra

AssR (M/N ) ⊆ AssR (M/Q1 ⊕ M/Q2 ⊕ . . . ⊕ M/Qn )
⊆ AssR (M/Q1 ) ∪ AssR (M/Q2 ) ∪ . . . ∪ AssR (M/Qn ) = {p1 , p2 , . . . , pn }.
Bây giờ ta sẽ chứng minh {p1 , p2 , . . . , pn } ⊆ AssR (M/N ), tức là ta chỉ cần
chứng minh {p1 } ∈ AssR (M/N ) (các pi khác tương tự). Thật vậy, ta có

Q1 + (Q2 ∩ Q3 ∩ . . . ∩ Qn )/Q1 ∼
= (Q2 ∩ Q3 ∩ . . . ∩ Qn )/N.
Mặt khác

Q1 + (Q2 ∩ Q3 ∩ . . . ∩ Qn )/Q1 ⊆ M/Q1 .
Suy ra

AssR ((Q2 ∩ Q3 ∩ . . . ∩ Qn )/N ) ⊆ AssR (M/Q1 ) = {p1 }.

(∗)

Vì N = Q1 ∩Q2 ∩Q3 ∩. . .∩Qn là sự phân tích thu gọn nên Q2 ∩Q3 ∩. . .∩Qn =

{x ∈ M/Q1 | f (x) = 0} = {x ∈ M/Q1 | ∃t ∈
x ∈ M/Q1 thì Ann(x) ⊆ p1 ). Vậy f là đơn cấu.
Do đó ta có biểu đồ sau giao hoán
α

M FF

FF
FF
π FFF"

/ (M/Q )
1 p1
q8
q
q
q
qqq
q
q
f
q

M/Q1
Do (M/N )p1 = Mp1 /Np1 = Mp1 /(Q1 )p1 = (M/Q1 )p1 nên biểu đồ trên có thể
viết dưới dạng

M FF

α