▼Ö❈ ▲Ö❈
❚r❛♥❣
▼Ö❈ ▲Ö❈ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶
▲❮■ ◆➶■ ✣❺❯ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷

❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❈→❝ ♣❤➛♥ tû ❤↕♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ tr♦♥❣ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤ ♥û❛
♥❣✉②➯♥ tè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹
✶✳✶ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹
✶✳✷ P❤➛♥ tû ❤↕♥❣ ♠ët ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻
✶✳✸ P❤➛♥ tû ❤↕♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸
❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ⑩♥❤ ①↕ ❤↕❝❤ ✈➔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❤↕❝❤ tr♦♥❣ ✤↕✐ sè ❇❛✲
♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼
✷✳✶ ⑩♥❤ ①↕ ❤↕❝❤ ❣✐ú❛ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼
✷✳✷ ❈→❝ ♣❤➛♥ tû ❤↕❝❤ tr♦♥❣ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶
❑➌❚ ▲❯❾◆ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽
❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾

✶


▲❮■ ◆➶■ ✣❺❯
✣↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤ ✈➔ ❧þ t❤✉②➳♥ ♣❤ê ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❝❤õ ✤➲ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠✱ ♥â ❝â ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❣✐↔✐ t➼❝❤
✈➔ ❝→❝ ♥❣➔♥❤ ❦❤→❝ ❝õ❛ t♦→♥ ❤å❝✳ ❑❤✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧þ t❤✉②➳t ♣❤ê tr♦♥❣ ✤↕✐
sè ❇❛♥❛❝❤✱ ♥❣÷í✐ t❛ t❤÷í♥❣ ❝❤ó þ ✤➳♥ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❤↕♥❣
❤ú✉ ❤↕♥ ✈➔ ♣❤➛♥ tû ❤↕❝❤✳ P❤➛♥ tû ❤↕♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ ✈➔ ♣❤➛♥ tû ❤↕❝❤ ❧➔ ♠ët
tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❝❤õ ✤➲ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ❝❤✉②➯♥ ❣✐❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠ q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ ✭①❡♠ ❬✹❪✱ ❬✺❪✱ ❬✻❪✱ ❬✼❪ ✈➔ ❬✽❪✮✳ ❚✳ ▼♦✉t♦♥ ✈➔ ❍✳ ❘❛✉❜❡♥❤❡✐♠❡r ❬✼❪ ✈➔ ❏✳
P✉❤❧ ❬✽❪ ❧➔ ♥❤ú♥❣ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ♥❤ú♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ✤à♥❤ ❧➼
q✉❛♥ trå♥❣ ✈➲ ♣❤➛♥ tû ❤↕♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ ✈➔ ♣❤➛♥ tû ❤↕❝❤✳ ▼ö❝ ✤➼♥❤ ❝❤➼♥❤
❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ ❞ü❛ ✈➔♦ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✤➸ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➲ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤✱

t ũ õ ố ữ ổ tr ọ ỳ
t sõt ú tổ rt ữủ ỳ ỵ õ
õ ừ qỵ t ổ ồ ữủ t ỡ
tr trồ ỡ
t






❈❍×❒◆● ✶

❈⑩❈ P❍❺◆ ❚Û ❍❸◆● ❍Ú❯ ❍❸◆ ❚❘❖◆● ✣❸■
❙➮ ❇❆◆❆❈❍ ◆Û❆ ◆●❯❨➊◆ ❚➮
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➲ ♣❤➛♥ tû ❤↕♥❣
♠ët✱ ❤↕♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❤↕♥❣
❤ú✉ ❤↕♥✳

✶✳✶ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

▼ö❝ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤ ✈➔ ❧þ t❤✉②➳t ♣❤ê✱ →♥❤ ①↕
t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝✱ ✳✳✳ ❧➔♠ ❝ì sð ❝❤♦ ✈✐➺❝ tr➻♥❤ ❜➔② ❧✉➟♥ ✈➠♥✳

✶✳✶✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✭❬✶❪✮✳ ❈❤♦ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ tr➯♥

tr÷í♥❣ K ✭K = R, C✮✳ ❍➔♠ . : E−→R✱ ❝❤♦ ❜ð✐ x → x ✱ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
♠ët ❝❤✉➞♥ tr➯♥ E ♥➳✉ t❤♦↔ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❧✐➺♥ s❛✉✿
❛✮ x ≥ 0 ✈î✐ ♠å✐ x t❤✉ë❝ E ✈➔ x = 0 ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ x = 0❀

f (x) ≤ k x

✈î✐

●✐↔ sû E ✱ F ❧➔ ❤❛✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✱ t❛ ❦➼ ❤✐➺✉
L(E, F ) = {f : E → F |f

t✉②➳♥ t➼♥❤✱ ❧✐➯♥ tö❝}

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈î✐ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣ ❤❛✐ ❤➔♠ ✈➔ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥
✈æ ❤÷î♥❣ ✈î✐ ♠ët ❤➔♠ t❤æ♥❣ t❤÷í♥❣✳ ❱î✐ ♠é✐ f t❤✉ë❝ L(E, F )✱ ✤➦t
L(E, F )

f = inf{k ≥ 0 : f (x) ≤ k. x , x ∈ E}.

✭✶✮

✶✳✶✳✺ ▼➺♥❤ ✤➲ ✭❬✶❪✮✳ ❱î✐ ♠é✐ f ∈ L(E, F )✱ t❛ ❝â
f = sup
x=0

f (x)
= sup f (x) = sup f (x)
x
x ≤1
x =1

✈➔ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✶✮ ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët ❝❤✉➞♥ tr➯♥ L(E, F )✳

✶✳✶✳✻ ✣à♥❤ ❧þ ✭❬✶❪✮✳ ◆➳✉ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✱ F ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ✤↕✐ sè ♣❤ù❝ ❤❛② ♥â✐ ❣å♥ ❧➔ ✤↕✐ sè✳
▼ët ✤↕✐ sè A ♥➳✉ t❤♦↔ ♠➣♥ t❤➯♠ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
✹✮ A ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈î✐ ❝❤✉➞♥ . t❤♦↔ ♠➣♥
xy ≤ x . y ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ A✱
✤÷ñ❝ ❣å✐ ♠ët ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤✳
C

✻


tỗ t tỷ e tr số A s xe = ex = x ợ
ồ x A e = 1 t A ồ số õ ỡ
tr tr số A õ t t A
ữủ ồ số

t P tỷ ỡ ừ số t

ởt số t t tứ ớ
ụ õ t ú ởt số õ ỡ
P tr tr số tử tử tr tử


sỷ A ởt số ổ B

ừ A ợ t tr ừ A ữủ ồ số
ừ số A
B ởt số õ ừ số A t B ụ
số

B số ừ số A t

✐✮ x(yz) = (x1, ..., xn)(y1z1, ..., ynzn)
x = max{|xj | : j = 1, ..., n}

= (x1 y1 z1 , ..., xn yn zn ) = (x1 y1 , ..., xn yn )(z1 , ..., zn )
= (xy)z.

✐✐✮ x(y + z) = (x1, ..., xn)(y1 + z1, ..., yn + zn)
= (x1 (y1 + z1 ), ..., xn (yn + zn ))
= (x1 y1 + x1 z1 , ..., xn yn + xn zn )
= (x1 y1 , ..., xn yn ) + (x1 z1 , ..., xn zn ) = xy + xz ✳

❚÷ì♥❣ tü✱ (x + y)z = xz + yz✳
✐✐✐✮ α(xy) = α(x1y1, ..., xnyn) = (αx1y1, ..., αxnyn)
= (αx1 , ..., αxn )(y1 , ..., yn ) = (αx)y

◆❤÷ ✈➟②✱

= (x1 , ..., xn )(αy1 , ..., αyn ) = x(αy)✳

α(xy) = (αx)y = x(αy).

✐✈✮

xy = max |xj yj | ≤ max |xj | max |yj | = x

✽

y .



õ
(f )g = (f g).

ữỡ tỹ (f )g = f (g) ợ ồ K
(f )g = f (g) = (f g)
ợ ồ f, g A t õ
f g = sup |(f g)(x)| = sup |f (x)g(x)|
xX

xX

= sup |f (x)||g(x)| sup |f (x)|. sup |g(x)|
xX

xX

xX

= f . g .

f g f . g õ A ởt số ỡ ỳ A ởt
số õ ỡ
ỗ t e : X C e(x) = 1 ợ ồ x X ú
ỵ r t tt X t t t A = C(X) ợ C(X)
số tử tứ X C
sỷ E ổ t L(E) t L(E, E)
t L(E) ởt ổ ợ
f = sup f (x) ợ ồ f L(E)
x 1
ớ t ỹ L(E) tr t ởt số õ ỡ


g(x) ≤ sup

f

g

x

x ≤1

✳
❍ì♥ ♥ú❛✱ tç♥ t↕✐ →♥❤ ①↕ ✤ç♥❣ ♥❤➜t e t❤♦↔ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ef = f e = f
✈➔ e = sup e(x) = sup x = 1✳ ❉♦ ✤â✱ e ❧➔ ♣❤➛♥ tû ✤ì♥ ✈à ❝õ❛
x ≤1
x ≤1
L(E)✳
❱➟② L(E) ❧➔ ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤ ❝â ✤ì♥ ✈à✳
= f

g

❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ♥❤ú♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ♣❤ê ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♣❤ê✳ ❚❛ ❧✉æ♥
❣✐↔ t❤✐➳t r➡♥❣ A ❧➔ ♠ët ✤↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤ ❝â ✤ì♥ ✈à✳

✶✳✶✳✶✺ ❇ê ✤➲ ✭❬✶❪✮✳ ❚➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤ ❝õ❛ ✤↕✐ sè A

❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ A−1 ❧➟♣ t❤➔♥❤ ♠ët ♥❤â♠ ✭✤è✐ ✈î✐ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥✮✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ❣✐↔ sû x ∈ A−1, y ∈ A−1✳ ❑❤✐ ✤â✱ ♣❤➛♥ tû y−1x
❧➔ ♣❤➛♥ tû ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ ♣❤➛♥ tû x−1y✳ ❱➻ t❤➳ t❛ ❝â y−1x ∈ A−1✳ ❱➟②

n=1
xn A ợ ồ n
ữủ ồ t tr D õ t t ồ tở
D

x A t

A(x) t t rộ
: SA(x) A () = ( x)1 t
tr SA(x)

t tr r ừ x A t A(x)

t tr r ừ x A x ổ ỡ
ứ õ s r x ổ s õ x ổ
A(x)



q ợ ồ x A t õ

A(x) B[0, x ] = { C :| | x }
0 SA(x) t d(0, A(x)) = inf{| 0 |: A(x)}
1
( x)

0

1


✶✳✶✳✷✹ ✣à♥❤ ❧➼ ✭⑩♥❤ ①↕ ♣❤ê✮ ✭❬✻❪✮✳ ◆➳✉ p ❧➔ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ ♠ët ❜✐➳♥ ✈➔
a∈A

t❤➻ p(σ(a)) ⊂ σ(p(a))✳

✶✳✶✳✷✺ ✣à♥❤ ❧➼ ✭❬✻❪✮✳ ✶✮ ◆➳✉ x ∈ A ✈➔ p ❧➔ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ ♠ët ❜✐➳♥ s❛♦

❝❤♦ p(x) = 0 t❤➻ σ(x) ✤÷ñ❝ ❝❤ù❛ tr♦♥❣ t➟♣ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ p✱
✷✮ ◆➳✉ x ❧➔ ❧✉ÿ ✤➥♥❣ t❤➻ σ(x) ⊂ {0, 1}✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✶✮ ❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ →♥❤ ①↕ ♣❤ê t❛ ❝â
p(σ(x)) ⊂ σ(p(x)) = σ(0) = {0}.

❉♦ ✤â ✈î✐ ♠å✐ λ ∈ σ(x) t❛ ❝â p(λ) = 0✳ ❱➻ ✈➟② σ(x) ❝❤ù❛ tr♦♥❣ t➟♣ ❝→❝
❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ p✳
✷✮ ❑❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ p(λ) = λ2 − λ ❝â ❤❛✐ ❣✐→ trà ❧➔ 0; 1 ▼➦t
❦❤→❝ x ❧➔ ❧✉ÿ ✤➥♥❣ ♥➯♥ x2 = x✳ ❉♦ ✤â p(x) = x2 − x = 0✳ ❚❤❡♦ ✶✮ t❤➻
σ(x) ⊂ {0; 1}.

✶✳✶✳✷✻ ✣à♥❤ ❧➼ ✭❬✻❪✮✳ ◆➳✉ a ∈ A ❧➔ ♣❤➛♥ tû ❧✉ÿ ✤➥♥❣ t❤➻ (1 − a) ❧➔ ❧✉ÿ

✤➥♥❣ ✈➔ a(1 − a) = (1 − a)a = 0✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱➻ a ❧➔ ♣❤➛♥ tû ❧✉ÿ ✤➥♥❣ ♥➯♥ t❛ ❝â

(1 − a)2 = 1 − 2a + a2 = 1 − 2a + a = 1 − a.

❉♦ ✤â (1 − a) ❧➔ ♣❤➛♥ tû ❧✉ÿ ✤➥♥❣✳ ▼➦t ❦❤→❝
a(1 − a) = a − a2 = a − a = 0,

✈➔
(1 − a)a = a − a2 = a − a = 0.

A ữủ ồ C số A ởt số tr õ õ ởt
ố ủ t
a.a = a 2 ợ ồ a A
A

a a , a A

sỷ A ởt số A

t tt ỗ ự ừ A ừ số A




Rad(A)✱

✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❧➔
Rad(A) = {a ∈ A : a(Φ) = 0 ✈î✐

♠å✐ Φ ∈ ∆A}.

✶✳✶✳✸✵ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✭❬✽❪✮✳ ✣↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤ A ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥û❛ ✤ì♥ ♥➳✉

Rad(A) = 0✳

✣↕✐ sè ❇❛♥❛❝❤ A ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥û❛ ♥❣✉②➯♥ tè ♥➳✉ x ∈ A ✈➔ xAx = {0}
❦➨♦ t❤❡♦ x = 0✳

✶✳✶✳✸✶ ◆❤➟♥ ①➨t ✭❬✽❪✮✳ ◆➳✉ A ❧➔ ✤↕✐ sè ♥û❛ ✤ì♥ t❤➻ A ❧➔ ✤↕✐ sè ♥û❛


a2 =

a (x0 a)
a.
a (x0 )

ữ tỗ t = (x(x a)) t a2 = a
sỷ 1 C tỷ tọ a2 = 1a õ (1 )a = 0
1 = 0 t a = 1 (1 )a = 0 t ợ
tt õ 1 =
a

a

0

0

1

sỷ a F1, a = 0 ồ số ự t

a2 = a t ừ a tr(a) q ữợ t ừ
tỷ 0 A 0 C ữ a2 = tr(a)a ợ ồ a F1

t A õ ỡ t tr(a) = a(e) ợ ồ

a F1

t a F1 t a2 = aea = a(e)a tự tr(a) = a(e)

tr(a)

ợ ồ x A
ữủ sỷ tỗ t a A s ax = a(x)a ợ ồ x A
õ a := a(a)a A õ a(x)a = a(a)a(x)a = a(a)ax =
a2 x = axa ợ ồ x A õ a F1 (A)
=

1
x.tr(a)a
tr(a)

= xa

a A tỷ ởt a = 0 t

õ tr t
a A a = 0 t a tỷ ởt
aAa = Ca
a F1(A) t a F1(A) ợ ồ C
a tỷ ỹ t t a F1
ự sỷ a A s axa = a(x)a ợ ộ x A
a tỷ ởt axa = a(x)a ợ ồ x A õ t õ
(a (x) a (x))a = 0 ợ ồ x A a = 0 a (x) = a (x) ợ ồ
x A a = a
sỷ a A tỷ ởt a = 0
tỗ t a A s axa = a(x)a ợ ồ x A
õ aAa Ca a(x) C
a


sỷ a F1(A) C a = 0 = 0 t a = 0
F1 (A) õ t sỷ a = 0 = 0 õ a = 0 tỗ t a A



s axa = a(x)a ợ ồ x A a A a A õ
(a)x(a) = 2 axa = 2 a (x)a = a (x)a = (a )(x)(a)

ợ ồ x A
a F1(A)
ứ tỷ ỹ t t õ ự


A ởt số ỷ tố õ

ỡ t AF1(A)A F1(A)
ự a F1(A), b b A ự
tr t ự tọ bab F1(A) t c := bab a F1(A) tỗ
t a A s axa = a(x)a ợ ồ x A
c : A C ổ tự
c (x) = a (b xb), x A.

õ ợ ồ x, y A C t õ
c (x) = a (b xb) = a (b xb) = c (x)


c (x + y) = a (b (x + y)b) = a (b xb + b yb)
= a (b xb) + a (b yb) = c (x) + c (y)

õ c t t t

✶✳✷✳✼ ▼➺♥❤ ✤➲✳ ◆➳✉ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ f

∈ L(E)

✈➔

t❤➻ f ❧➔ ♣❤➛♥ tû ❤↕♥❣ ♠ët✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱➻ dim f (E) = 1 ♥➯♥ tç♥ t↕✐ a ∈ f (E) s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠é✐
x ∈ E ✱ tç♥ t↕✐ ❞✉② ♥❤➜t λx ∈ K s❛♦ ❝❤♦ f (x) = λx a✳ ❚❛ ①→❝ ✤à♥❤
❤➔♠ ∧ : f (E) −→ K ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ∧(f (x)) = λx, x ∈ E ✳ ❑❤✐ ✤â ∧
❧➔ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ❚ø dim f (E) = 1 t❛ s✉② r❛ ∧ ❧✐➯♥ tö❝✳ ❉♦ ✤â✱
∧ ◦ f : E −→ K ❧➔ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝✳ ❇➙② ❣✐í t❛ ①→❝ ✤à♥❤
❤➔♠ τf : L(E) −→ K ❝❤♦ ❜ð✐

dim f (E) = 1

τf (g) = ∧(f (g(a))), g ∈ L(E).

❱î✐ ♠å✐ g1, g2 ∈ L(E) ✈î✐ ♠å✐ α, β ∈ K t❛ ❝â
τf (αg1 + βg2 ) = ∧(f (αg1 + βg2 )(a))
= ∧(αf (g1 (a)) + βf (g2 )(a))
= α ∧ (f (g1 (a))) + β ∧ (f (g2 (a)))
= ατf (g1 ) + βτf (g2 )✳

❱➟② τf ❧➔ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ▼➦t ❦❤→❝✱

✈î✐ ♠å✐ g ∈ L(E)✳
❉♦ ✤â τf ❧✐➯♥ tö❝✱ tù❝ ❧➔ τf ∈ (L(E))∗✳ ❱î✐ ♠å✐ x ∈ E ✱ t❛ ❝â
τf (g) = ∧ (f (g(a))) ≤ ∧


1
xuy0 z0 u =
xuy0 z J ,
u (y0 z0 )
u (y0 z0 )

z J J tr ừ A ự tọ J = Au J tự
J = J
J tr ỹ t tr A

A õ ỡ A = C t (a) = {0, tr(a)}

ợ ồ a F1
ự ợ ồ a F1 t t tr(a) = a(e)
õ t ự (a) = {0, a(e)} t a F1
tỗ t a A s axa = a(x)a ợ ồ x A
a = 0 t t õ (0) = {0} = {0, 0(e)} 0(e) = 0
sỷ a = 0 ồ x = e õ aea = a(e)a aa = a(e)a
õ ồ tự p(z) = z2 a(e)z t p(a) = 0 t t



(a) {0, a(e)} ớ sỷ / (a) õ
tỗ t ( a)1 õ = a(e) t tứ a2 = a(e)a = a s
r ( a)a = 0 ừ tự ố ợ ( a)1 t ữủ
a = 0 ởt t õ = a (e) = 0 t tỗ
t a1 õ t t e = aa1e F1
t A = eAe = Ce = C ụ õ ởt t
õ = 0 ữ tứ / (a) t s r = a(e) = 0
ự tọ {0, a(e)} (a) (a) = {0, a(e)}

t õ xai F1 ợ ồ i = 1, 2, ..., n s r xa F ợ ồ a F
xF F



ự tữỡ tỹ t õ F x F F ừ A

tỷ a, b F1 \ {0} ữủ ồ tữỡ

ữỡ t a b õ ởt tỷ x0 A s ax0b = 0

ờ q tữỡ ữỡ tr F1

ự sỷ a F1, a = 0 A ỷ
tố tỗ t x0 A s ax0a = 0 õ a a
ố ự sỷ a b t q tỗ t
x0 A s ax0 b = 0 A ỷ tố tỗ t y0 A s
ax0by0ax0b = 0 ứ õ s r by0a = 0 õ b a
a, b, c F1, a b b a ự
a c t a b tỗ t x0 A s ax0 b = 0
b c tỗ t x1 A s bx1 c = 0 A ỷ tố
tỗ t y0 A s 0 = ax0by0ax0b = b(y0ax0)ax0b õ 0 =
b (y0 ax0 )bx1 c = by0 ax0 bx1 c tứ õ s r ax0 bx1 c = 0 a c

ờ sỷ E ổ ợ ộ f E

x E t Tx,f tứ E E ữủ ổ tự
Tx,f (t) = f (t)x ợ ồ t E
õ Tx,f tỷ ởt ừ L(E) tr(Tx,f ) = f (x)


.
τb (y0 ax0 )

=

tr♦♥❣ ✤â f (x) = ττ (y(xbyax )) ✈î✐ ♠å✐ x ∈ A✳
❱➻ a, b, x0, y0 ❧➔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝è ✤à♥❤ tr♦♥❣ A ✈➔ t➼♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝
❝õ❛ τa ♥➯♥ f ❧➔ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝✱ tù❝ ❧➔ f ∈ A∗✳ ❚❤❡♦ ❇ê ✤➲
✶✳✸✳✺✱ Dab ❧➔ ♣❤➛♥ tû ❤↕♥❣ ♠ët tr♦♥❣ L(A) ✈➔
a

b

0

0

0

▼➦t ❦❤→❝✱
τa (ax0 bby0 )
ax0 b
τb (y0 ax0 )

1
aax0 bby0 ax0 b = τb (y01ax0 ) aax0 bτb (y0 ax0 )b
τb (y0 ax0 )
= a2 x0 b2 = tr(a)ax0 tr(b)b

=