BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

HỒ SỸ LONG

VỀ ĐA TẠP XUYẾN AFIN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học:

TS. NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN

Nghệ An - 2011


MỤC LỤC

Mục lục

1

mở đầu

2

1 đa tạp afin
1.1. Tập đại số . . . . . . . . . .
1.2. Tôpô Zariski . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


21
21
23
24
26
28
31

afin
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
đương

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.


.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.


.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

kết luận

34

tài liệu tham khảo

35


MỞ ĐẦU
Cho K là một trường. Không gian Đềcác n chiều K n được gọi là không
gian afin n chiều. Tập nghiệm của một hệ phương trình đa thức trong vành

K[x] := K[x1 , ..., xn ] được gọi là một đa tạp afin (hay là một tập đại số).
Giả sử S là một tập con của K[x1 , ..., xn ]. Ta gọi V (S) là tập nghiệm của

thể có biểu diễn tham số đa thức.
Mục đích của luận văn này là tìm hiểu về một đa tạp afin đặc biệt, đó
là đa tạp xuyến afin. Luận văn được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo
chính là quyển sách Toric varieties của D.cox, J.Little và H.Schenck [4].
Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
tận tình và nghiêm khắc của cô giáo TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Tác giả
xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến cô. Nhân dịp này, tác giả
xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm
khoa Toán. Tác giả xin được cảm ơn các thầy, cô giáo trong Tổ Đại số,
khoa Toán đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian
học tập. Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là
các bạn trong lớp Cao học 17 - Đại số đã cộng tác, giúp đỡ tác giả trong
suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những
hạn chế, thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
của các thầy giáo, cô giáo và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Nghệ An, tháng 12 năm 2011
Tác giả


CHƯƠNG 1

ĐA TẠP AFIN
1.1

Tập đại số

Hình học đại số là bộ môn toán học dùng các công cụ đại số để nghiên
cứu hình học. Để làm được điều này người ta dùng đồ thị của các phương
trình để mô tả các hình hình học. Để tìm hiểu về khái niệm tập đại số

a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0
Điều này ứng với việc đường thẳng này là giao của hai mặt phẳng của hai
phương trình tuyến tính trên.
Có thể xem các hình hình học trong không gian n-chiều là các tập
nghiệm của các hệ phương trình n ẩn số. Quan niệm này (tuy không chính
xác) có một thuận lợi lớn là việc xét các mối quan hệ giữa các hình hình
học có thể quy về việc xét tập nghiệm của một hệ phương trình. Lúc đó
ta có thể dùng các công cụ đại số để nghiên cứu các hình hình học.
Ví dụ 1.1.3. Xét mệnh đề hình học nói rằng một đường thẳng cắt một
đường cong bậc hai ở nhiều nhất là hai điểm. Tập các giao điểm của đường
thẳng và đường cong bậc hai cho trước chính là tập nghiệm của một hệ
hai phương trình có dạng

ax + by + c = 0
dx2 + exy + f y 2 + gx + hy + i = 0.
Giả sử a = 0 (a, b không đồng thời bằng không). Từ phương trình thứ
nhất ta có

−1
(by + c).
a
Dùng biểu thức này để thế x vào phương trình thứ hai ta sẽ nhận được một
phương trình bậc hai của y . Phương trình này có nhiều nhất hai nghiệm.
Ứng với mỗi nghiệm này ta có duy nhất một nghiệm x. Do đó hệ phương
trình ban đầu có nhiều nhất hai nghiệm.
Thông thường người ta chỉ xét các đa thức có hệ số là hữu tỷ, số thực
hay là số phức. Tổng quát hơn người ta có thể xét các hệ phương trình
đa thức với hệ số thuộc một trường nào đó với các nghiệm số cũng thuộc
trường đó.
x=


V (S) = {α ∈ AnK | f (α) = 0, ∀f ∈ S}.
Nếu S chỉ gồm một đa thức f thì dùng ký hiệu V (f ) và V (f ) được gọi là
một siêu mặt.
Ví dụ 1.1.8. (i). V (0) = AnK .
(ii). Nếu f = a0 + a1 x + ... + an xn thì V (f ) là một siêu phẳng trong

AnK vì sau một phép biến đổi tọa độ ta có thể giả sử f = xn . Khi đó


7

V (f ) = {(a1 , ..., an ) ∈ An K | an = 0} có thể đồng nhất với không gian
An−1
K .
(iii). Nếu S = {x1 − a1 , ..., xn − an } thì V (f ) chỉ gồm một điểm α =
(α1 , ..., αn ).
(iv). V (K[x1 , ..., xn ]) = ∅ vì không có điểm α ∈ AnK nào là nghiệm của
hệ phương trình 1 = 0.
(v). Nếu f (x, y) = x2 − y ∈ K[x, y] thì V (f ) = {(α, α2 ) | α ∈ K}.
(vi). Nếu f (x, y) = x3 − y 2 ∈ K[x, y] thì V (f ) = {(α2 , α3 ) | α ∈ K}.
Sau đây là một số tính chất cơ bản của tập đại số
Bổ đề 1.1.9. Cho S1 và S2 là hai tập hợp tùy ý trong AnK . Nếu S1 ⊇ S2
thì V (S1 ) ⊆ V (S2 ).
Chứng minh. Do S1 ⊇ S2 nên mọi nghiệm của S1 cũng là nghiệm của S2 .
Điều này có nghĩa là V (S1 ) ⊆ V (S2 ).
Định lý 1.1.10. Cho S ⊂ K[x1 , ..., xn ]. Gọi I = (S) là iđêan sinh bởi S .
Khi đó

V (I) = V (S).

V (S1 )
Vậy V (S1 )

V (S2 ) = V (T ).

Chú ý 1.1.12. Hợp của một tập vô hạn các tập đại số không nhất thiết
là một tập đại số. Chẳng hạn, tập hợp chỉ gồm một phần tử α ∈ K là một
tập đại số, nhưng mọi tập con thực sự của K có vô hạn phần tử không
thể là một tập đại số.
Bổ đề 1.1.13. Giao của một hệ tùy ý các tập đại số là một tập đại số.
Chứng minh. Cho {Si }i∈I là một hệ các tập đa thức trong K[x1 , ..., xn ].
Đặt S =

Si . Ta sẽ chứng minh rằng
i∈I

V (Si ) = V (S).
i∈I

Thật vậy, do Si ⊆ S, ∀i ∈ I . nên theo Bổ đề 1.1.9 ta có

V (Si ) ⊇ V (S), ∀i ∈ I.
V (Si ) ⊇ V (S).

Suy ra
i∈I

Đảo lại, nếu α là một nghiệm của Si với mọi i ∈ I thì α cũng là nghiệm

V (Si ) ⊆ V (S).

m
tập nghiệm này là U . Ta thấy ngay là V × Am
K = U . Như vậy V × AK là
n+m
một tập đại số trong AK
. Tương tự ta cũng chứng minh được AnK × W
cũng là một tập đại số trong An+m
K .
Suy ra điều phải chứng minh.

1.2

Tôpô Zariski

Bổ đề 1.1.11, Bổ đề 1.1.13, Ví dụ 1.1.5 cho thấy ta có thể trang bị một
cấu trúc tôpô cho không gian afin AnK với các tập đóng là các tập đại số
trong AnK .
Định nghĩa 1.2.1. Trên AnK tôpô được xác định bởi các tập đóng là các
tập đại số (tập mở của AnK là phần bù của một tập đại số) được gọi là
tôpô Zariski.
Ví dụ 1.2.2. Ta có thể mô tả tôpô Zariski trên không gian afin 1-chiều

A1K , với K là trường đóng đại số như sau:
Tập Z là đóng trong A1K khi và chỉ khi Z gồm hữu hạn điểm, hoặc
Z = A1K hoặc Z = ∅. Thật vậy, vì Z là tập đại số suy ra tồn tại iđêan
I trong K[x1 , ..., xn ] để Z = V (I). Do K[x1 , ..., xn ] là vành chính suy ra
tồn tại f ∈ K[x1 , ..., xn ], I = (f ). Suy ra Z = V (f ), giả sử degf = r, ta
có phân tích
f (x) = (x − a1 )(x − a2 )...(x − ar ).
Ta sẽ chỉ ra Z = V (f ) = {a1 , ..., ar } suy ra | Z |= r.

là một tập mở khác rỗng (theo tôpô Zariski). Vì vậy tính bất khả quy của
một tập đại số còn có thể đặc trưng bởi tính chất giao của hữu hạn các
tập mở khác rỗng là một tập mở khác rỗng.
Định lý 1.3.4. Mọi tập đại số đều có thể phân tích thành hợp của một số
hữu hạn các tập đại số bất khả quy không giao nhau. Các tập bất khả quy
trong sự phân tích như vậy được xác định một cách duy nhất.

1.4

Đa tạp afin

Trong mục 1.2, ta đã thấy rằng trên không gian afin AnK được trang bị
một tôpô gọi là tôpô Zariski. Đối với tôpô này mỗi tập đóng trong AnK là
một tập đại số.
Định nghĩa 1.4.1. Mỗi tập đại số trong AnK được gọi là một đa tạp afin.


11

Định nghĩa 1.4.2. Cho X là không gian tôpô, ta định nghĩa chiều của

X , kí hiệu dimX , là cận trên của tất cả các số tự nhiên n sao cho tồn tại
một chuỗi V0 ⊃ V1 ⊃ ... ⊃ Vn các tập con đóng bất khả quy phân biệt.
Chiều của đa tạp afin hoặc tập đại số là chiều của nó xét như không
gian tôpô. Đây là một khái niệm mở rộng khái niệm của không gia tuyến
tính. Như vậy chiều của tập đại số V (I) đo độ lớn của tập không điểm
này.
Ví dụ 1.4.3. 1. Chiều của không gian A1 là 1. Thật vậy, tập con đóng
bất khả quy trong A1 là toàn bộ không gian và những điểm đơn lẻ trong


của Hilbert nói rằng I(V (I)) =

C[V ] = S/I(V )
được gọi là vành tọa độ của V .
Các phần tử của C[V ] có thể được hiểu như C-giá trị hàm đa thức trên

V . Lưu ý rằng C[V ] là một C- đại số, nghĩa là nó có cấu trúc không gian
vectơ tương thích với cấu trúc vành. Sau đây là một số thông tin về vành
tọa độ:
+) C[V ] là một miền nguyên ⇔ I(V ) là iđêan nguyên tố ⇔ V là bất khả
quy.
+ Ánh xạ đa thức (có khi gọi là cấu xạ) φ : V1 → V2 giữa các đa tạp afin
tương ứng với đồng cấu C-đại số φ∗ : C[V2 ] → C[V1 ], trong đó φ∗ (g) =
g ◦ φ với g ∈ C[V2 ].
+) Hai đa tạp afin là đẳng cấu khi và chỉ khi các vành tọa độ là đẳng cấu
C-đại số.
+) Một điểm p của đa tạp afin V cho iđêan cực đại
{f ∈ C[V ] | f (p) = 0} ⊆ C[V ],
và tất cả iđêan cực đại của C[V ] đều có dạng này.
+) Cho V là một đa tạp afin. Khi đó chiều của V bằng chiều của vành
tọa độ C[V ].

1.6

Tập con mở afin và địa phương hóa

Một số tập con mở Zariski của một đa tạp afin V là một đa tạp afin.
Cho f ∈ C[V ]\{0}, và

Vf = {p ∈ V | f (p) = 0} ⊆ V.

nguyên R được gọi là chuẩn tắc hay đóng nguyên nếu bao đóng nguyên
của R trong K chính bằng R; hay nói cách khác nếu mọi phần tử của K
nguyên trên R (nghĩa là nghiệm của đa thức thuộc R[x] với hệ số cao nhất
bằng 1) đều thuộc R.
Định nghĩa 1.7.1. Đa tạp afin bất khả quy V là chuẩn tắc nếu vành tọa
độ C[V ] là chuẩn tắc.
Chẳng hạn, Cn là chuẩn tắc vì vành tọa độ C[x1 , ..., xn ] là một miền
nhân tử hóa và do đó chuẩn tắc. Sau đây là một ví dụ về đa tạp afin không
chuẩn tắc.


14

Ví dụ 1.7.2. Cho C = V (x3 − y 2 ) ⊆ C2 . Đây là một đường cong bất khả
quy với một đỉnh ở gốc. Dễ thấy rằng C[C] = C[x, y]/ x3 − y 2 . Cho x và

y tương ứng là tập đối của x và y trong C[C], ở đây cho y/x ∈ C(C). Một
tính toán cho rằng y/x ∈
/ C[C] và (y/x)2 = x, do đó C là không chuẩn
tắc.Ta sẽ thấy trong Chương 2 rằng C là một đa tạp xuyến afin.
Một đa tạp afin bất khả quy V có một chuẩn tắc hóa được xác định
như sau. Cho
C[V ] = {α ∈ C(V ) : α là nguyên trên C[V ]}
.
Ta gọi C[V ] là bao đóng nguyên của C[V ]. Ta có thể xem C[V ] là chuẩn
tắc và hữu hạn sinh như C-đại số. Từ đó ta có một đa tạp afin chuẩn tắc

V = Spec(C[V ] ).
Ta gọi V là chuẩn tắc hóa của V . Phép nhúng tự nhiên C[V ] ⊆ C[V ] =
C[V ] tương ứng với ánh xạ V → V . Ánh xạ này là ánh xạ chuẩn tắc hóa.

nghĩa là

Tp (V ) = HomC (mV,p /m2V,p , C).
Chú ý rằng dimTp (Cn ) = n, ∀p ∈ Cn . Không gian tiếp xúc Zariski của
một điểm trong đa tạp afin được tính toán nhờ bổ đề sau đây.
Bổ đề 1.8.1. Cho V ⊆ Cn là một đa tạp afin và p ∈ V . Giả sử rằng

I(V ) = f1 , ..., fs ⊆ C[x1 , ..., xn ]. Với mỗi i cho
dp (fi ) =

∂fi
∂fi
(p)x1 + ... +
(p)xn .
∂x1
∂xn

Khi đó, Tp (V ) đẳng cấu với không gian con của Cn xác định bởi các phương
trình dp (f1 ) = ... = dp (fs ) = 0. Đặc biệt, dimTp (V ) ≤ n.
Định nghĩa 1.8.2. Một điểm p của một đa tạp afin V được gọi là trơn
hay không kỳ dị nếu dimTp (V ) = dimp V , trong đó dimp V là số lớn nhất
trong các số chiều của các thành phần bất khả quy của V chứa p. Điểm p
được gọi là kỳ dị nếu nó không trơn. Đa tạp afin V là trơn nếu mọi điểm
của V là trơn.
Những điểm nằm ở giao điểm của hai hay nhiều thành phần bất khả
quy của V là luôn kỳ dị. Do dimTp (Cn ) = n, ∀p ∈ Cn , nên ta thấy Cn là
trơn. Đối với một đa tạp afin bất khả quy V ⊆ Cn có số chiều d, cố định

p ∈ V và viết I(V ) = f1 , ..., fs . Sử dụng Bổ đề 1.8.1 dễ thấy rằng V là
trơn tại p khi và chỉ khi ma trận Jacôbi


Cho đa tạp afin V1 và V2 , có một số phương pháp cho thấy rằng tích
Đềcác V1 ×V2 là một đa tạp afin. Phương pháp trực tiếp nhất được làm như
sau. Cho V1 ⊆ Cm = Spec(C[x1 , ..., xm ]) và V2 ⊆ Cn = Spec(C[y1 , ..., yn ]).
Lấy I(V1 ) = f1 , ..., fs và I(V2 ) = g1 , ..., gt . Do fi và gj phụ thuộc vào
các tập riêng biệt của các biến, do đó

V1 × V2 = V (f1 , ..., fs , g1 , ..., gt ) ⊆ Cm+n
là một đa tạp afin.
Một phương pháp thông thường là dùng ánh xạ đặc trưng của tích.
Điều này cũng sẽ cho một miêu tả bản chất của vành tọa độ. Cho V1 và

V2 như trên, V1 × V2 là một đa tạp afin với phép chiếu πi : V1 × V2 → Vi ,


17

sao cho nếu ta có biểu đồ

W

φ1
v
φ2

$

V 1 × V2 π 1
 



&


C[W ]

với C-đồng cấu đại số φ∗i : C[Vi ] → C[W ], thì tồn tại duy nhất C-đồng cấu
đại số v ∗ (đường nét đứt) sao cho biểu đồ giao hoán. Bởi tính phổ dụng
của tích tenxơ của C-đại số, C[V1 ] ⊗C C[V2 ] có tính chất ánh xạ mà chúng
ta cần. Từ C[V1 ] ⊗C C[V2 ] là một C-đại số hữu hạn sinh không lũy linh,
nên nó là vành tọa độ C[V1 × V2 ]
Ví dụ 1.9.1. Cho V là đa tạp afin. Từ C = Spec(C[y1 , ..., yn ]) tích V × Cn
có vành tọa độ
C[V ] ⊗C C[y1 , ..., yn ] = C[V ][y1 , ..., yn ].
Nếu V chứa trong Cm với I(V ) = f1 , ..., fs ⊆ C[x1 , ..., xn ], theo đó

I(V × Cn ) = f1 , ..., fs ⊆ C[x1 , ..., xm , y1 , ..., yn ].
Vì mục đích sau này, ta cần chú ý vành tọa độ của V × (C∗ )n là
C[V ] ⊗C C[y1±1 , ..., yn±1 ] = C[V ][y1±1 , ..., yn± ].
Cho đa tạp afin V1 và V2 , chúng ta lưu ý rằng tôpô Zariski trên V1 × V2
thường không phải là tích của tôpô Zariski trên V1 và V2 .


18

Ví dụ 1.9.2. Xét C2 = C × C. Theo định nghĩa, một cơ sở của tôpô
Zariski C × C là tập U1 × U2 , ở đây Ui là các tập mở Zariski trong C. Điều
này suy ra tập Zariski đóng trong C2 , chẳng hạn V (y − x2 ) không thể là
đóng trong tôpô tích.



x + y + z − 1 = 0 và x + 2y − z − 3 = 0. Vì vậy V có vô hạn phần tử. Đặt
z = u, trong đó u là tùy ý, ta có thể biểu diễn V như sau

x = −1 − 3u
y = 2 + 2u,
u ∈ R.

z=u
Ta gọi u là một tham số và biểu diễn trên của V là một tham số hóa của

V . Chú ý là −1 − 3u; 2 + 2u; u đều là các đa thức một biến u trên trường


19

các số thực R. Vì vậy chúng ta còn gọi sự tham số hóa của V như trên là
một biểu diễn tham số đa thức.
Tiếp theo ta xét một ví dụ khác.
Ví dụ 1.10.2. Xét đa tạp afin V = V (I) với I = (y − x2 , z − x3 ) ⊆
R[x, y, z]. Đặt x = u. Khi đó V có biểu diễn tham số đa thức như sau

x = u
y = u2 , u ∈ R.

z = u3
Hai đa tạp afin trong hai ví dụ trên có biểu diễn tham số đa thức,
tuy nhiên không phải đa tạp afin nào cũng có biểu diễn tham số đa thức.
Chúng ta xét ví dụ dưới đây.
Ví dụ 1.10.3. Xét đa tạp afin V = V (I) với I = (x2 + y 2 − 1) ⊆ R[x, y].

đúng. Tuy nhiên điều ngược lại là đúng, có nghĩa là với mỗi biểu diễn tham
số của một đa tạp afin cho trước, ta luôn có thể tìm được các phương trình
để xác định đa tạp này.


20

Ví dụ 1.10.4. Xét biểu diễn tham số

x=1+u
y = 1 + u2 u ∈ R.

(1.2)

Ta biết rằng các điểm của R2 thỏa mãn (1.2) biểu diễn một đường cong
trong mặt phẳng. Tuy nhiên ta chưa biết được liệu các điểm nằm trên
đường cong này có là tập nghiệm chung của một họ đa thức hai biến x, y
trên R hay không? Nói cách khác liệu các điểm của đường cong này có
trùng với các điểm của một đa tạp afin V nào đó hay không? Từ (1.2) dễ
dàng tính được u = x − 1 và do đó

y = 1 + (x − 1)2 = x2 − 2x + 2.
Vậy (1.2) là hệ tham số miêu tả đa tạp afin V = V (I) với

I = (y − x2 + 2x − 2) ⊆ R[x, y].


CHƯƠNG 2

ĐA TẠP XUYẾN AFIN

Wm = {w ∈ W | t.w = χm (t)w, ∀t ∈ T }.
Nếu Wm = {0}, thì mỗi w ∈ Wm \{0} là một vectơ riêng với mọi t ∈ T ,
với giá trị riêng cho bởi χm (t).

Mệnh đề 2.1.3. Với những kí hiệu như trên ta có W =

m∈M

Wm .

Nhóm con một tham số của torus T là cấu xạ λ : C∗ → T nghĩa là λ
là một đồng cấu nhóm. Chẳng hạn, với u = (b1 , ..., bn ) ∈ Zn cho ta một
nhóm con một tham số

λu : C∗ → (C∗ )n
xác định bởi λu (t) = (tb1 , ..., tbn ). Tất cả nhóm con một tham số của (C∗ )n
được biểu diễn theo cách này. Từ đó suy ra nhóm các nhóm con một tham
số của (C∗ )n đẳng cấu tự nhiên với Zn . Đối với một torus T tùy ý, các
nhóm con một tham số tạo thành một nhóm aben tự do N có hạng bằng
chiều của T . Cũng như nhóm các đặc trưng, một phần tử u ∈ N cho ta
nhóm con một tham số λu : C∗ → T .
Phép nhân song tuyến tính tự nhiên , : M × N → Z xác định như
sau.

• Cho trước đặc trưng χm và nhóm con một tham số λu , hợp thành χm ◦λu :
C∗ → C∗ là đặc trưng của C∗ , được cho bởi t → tl với l ∈ Z. Khi đó
m, u = l.
• Nếu T = (C∗ )n với m = (a1 , ..., an ) ∈ Zn , u = (b1 , ..., bn ) ∈ Zn thì người
ta tính được rằng
n

2.2

Đa tạp xuyến afin

Định nghĩa 2.2.1. Một đa tạp xuyến afin là một đa tạp afin bất khả quy

V chứa một torus TN
(C∗ )n như một tập con mở Zariski, sao cho tác
động của TN trên chính nó mở rộng tới một tác động đại số của TN trên
V . (Tác động đại số, nghĩa là một tác động TN × V → V cho bởi một cấu
xạ).
Ví dụ 2.2.2. Ví dụ hiển nhiên của đa tạp xuyến afin là (C∗ )n và Cn .
Sau đây là một vài ví dụ không tầm thường.
Ví dụ 2.2.3. Cho đường cong C = V (x3 − y 2 ) ⊆ C2 có một đỉnh tại gốc.
Đây là đa tạp xuyến afin với torus

C\{0} = C ∩ (C∗ )2 = {(t2 , t3 ) | t ∈ C∗ }

C∗ ,

ở đây đẳng cấu là t → (t2 , t3 ). Ví dụ 1.7.2 cho thấy rằng C là một đa tạp
xuyến không chuẩn tắc.
Ví dụ 2.2.4. Đa tạp V = V (xy − zw) ⊆ C4 là một đa tạp xuyến với
torus
∗
V ∩ (C∗ )4 = {(t1 , t2 , t3 , t1 t2 t−1
3 ) | ti ∈ C }

(C∗ )3 ,



Dàn

Dàn là một nhóm aben tự do có hạng hữu hạn. Do đó một dàn có hạng

n là đẳng cấu với Zn . Chẳng hạn, một torus TN có dàn M các đặc trưng
và N các nhóm con một tham số.
Cho một torus TN với dàn đặc trưng M , tập A = {m1 , ..., ms } ⊆ M
cho đặc trưng χmi : TN → C∗ . Khi đó xét ánh xạ
ΦA : TN → Cs
xác định bởi

ΦA (t) = (χm1 (t), ..., χms (t)) ∈ Cs .
Định nghĩa 2.3.1. Cho một tập hữu hạn A ⊆ M, đa tạp xuyến afin YA
được định nghĩa là bao đóng Zariski của ảnh của ánh xạ ΦA .