ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
CHU THỊ HỒNG HẠNH
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN SỐ PHỨC CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học
(bộ môn Toán)
Mã số: 60 14 01 11
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN THÀNH VĂN
HÀ NỘI - 2015
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến người thầy hướng
dẫn của mình là PGS.TS. NGUYỄN THÀNH VĂN, thầy đã tận tình hướng
dẫn tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn:
- Phòng đào tạo sau đại học trường Đại học Giáo Dục- Đại học Quốc
Gia Hà Nội
- Các thầy cô giáo trường Đại học Giáo Dục – Đại học Quốc Gia Hà
Nội đã dạy dỗ, hướng dẫn và tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt
quá trình học tập và nghiên cứu.
- Ban giám hiệu và các bạn đồng nghiệp ở tổ toán trường Trung học
phổ thông Dương Quảng Hàm – Văn Giang – Hưng Yên đã tạo điều kiện
PPDH
Phương pháp dạy học
SGK
Sách giáo khoa
THPT
Trung học phổ thông
TN
Thực nghiệm
(?)
Gợi ý của giáo viên
(!)
Dự đoán câu trả lời của học sinh
ii
MỤC LỤC
Lời cảm ơn ............................................................................................................... i
1.5.2. Tình hình dạy học chương số phức – Giải tích 12......................................... 17
Chương 2:BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN SỐ PHỨC
2.1. Dạy học các khái niệm trong chương số phức ................................................. 20
2.1.1. Dạy học khái niệm số phức .......................................................................... 20
2.1.2. Dạy học khái niệm acgumen của số phức z ≠ 0 ............................................ 22
2.1.3. Dạy học khái niệm dạng lượng giác của số phức .......................................... 25
2.2. Dạy học các định lý trong chương Số phức ..................................................... 27
2.2.1. Dạy học định lí nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác ......................... 27
2.2.2. Công thức Moivre ........................................................................................ 30
2.3. Dạy học các qui tắc, phương pháp trong chương Số phức ............................... 32
2.3.1. Dạy học quy tắc khai căn bậc hai của số phức .............................................. 32
2.3.2. Dạy học giải phương trình bậc hai................................................................ 34
2.4. Dạy học giải bài tập trong chương Số phức..................................................... 36
2.4.1. Các dạng bài tập liên quan tới dạng dại số của số phức ................................ 36
2.4.2. Các dạng bài tập liên quan tới căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai .. 45
2.4.3. Các dạng bài tập liên quan tới dạng lượng giác của số phức ......................... 50
2.5. Ứng dụng của số phức trong các bài toán lượng giác, tổ hợp và hình học phẳng.. 58
2.5.1. Ứng dụng của số phức trong các bài toán tổ hợp .......................................... 59
2.5.2. Ứng dụng của số phức trong giải hệ phương trình ........................................ 64
2.5.3. Ứng dụng của số phức vào các bài hình học phẳng ...................................... 68
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ........................................................... 71
3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm............................................ 71
3.1.1. Mục đích của thực nghiệm ........................................................................... 71
3.1.2. Nhiệm vụ của thực nghiệm........................................................................... 71
3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm ...................................................................... 71
3.3. Triển khai thực nghiệm sư phạm ..................................................................... 71
3.3.1. Đối tượng thực nghiệm ................................................................................ 71
3.3.2. Một số giáo án dạy thực nghiệm................................................................... 72
3.4. Tiến hành thực nghiệm ................................................................................... 89
người là quan trọng nhất. Chính vì vậy mục tiêu của nước ta trong giai đoạn này là
phát triển nguồn nhân lực có sức khỏe, có đạo đức, có tri thức để đáp ứng yêu cầu của
sự nghiệp xây dựng và bảo vệ tổ quốc. Muốn có nguồn nhân lực như vậy thì một
người công dân ngay từ khi ngồi trên ghế nhà trường cần được giáo dục toàn diện.
Trong Chương I – điều 5 của Luật giáo dục nước cộng hòa xã hội chủ nghĩa
Việt Nam số 38/2005/QH11 ngày 14 tháng 6 năm 2005 đã ghi: “Phương pháp giáo
dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi
dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý
chí vươn lên”. Để thực hiện nhiệm vụ này, ngành giáo dục đã không ngừng đổi mới
nội dung cũng như phương pháp dạy học để đáp ứng yêu cầu cấp thiết của xã hội.
Môn Toán trong chương trình trung học phổ thông đóng vai trò nền tảng. Nó
phát huy tư duy suy luận logic của học sinh và kiến thức toán học liên quan đến
nhiều môn học khác. Không những vậy toán học còn có rất nhiều ứng dụng trong
đời sống thực tế. Vì những ứng dụng đó nên việc bồi dưỡng, nâng cao năng lực giải
toán của học sinh là thực sự cần thiết.
Trong nội dung môn Toán trung học phổ thông, trước đây chương trình sách
khoa cũ không có nội dung số phức, từ năm học 2006 – 2007 số phức được đưa vào
chương cuối của Giải tích lớp 12 với mục đích hoàn thiện hệ thống số và khai thác
một số ứng dụng khác của số phức để giải toán. Đối với học sinh bậc trung học phổ
thông thì nội dung số phức còn mới mẻ. Trong sách giáo khoa Giải tích 12 chỉ đề
cập đến kiến thức cơ bản của Số phức và đưa vào một lượng nhỏ ứng dụng của số
phức để giải các bài toán đại số và hình học, cộng thêm thời lượng giảng dạy trên
lớp không nhiều nên học sinh chỉ phần nào biết được một số ứng dụng của số phức.
Như vậy việc khai thác các ứng dụng của số phức còn bị hạn chế. Điều này đòi hỏi
giáo viên cần thực sự quan tâm đến việc giải toán số phức, cũng như phải có cái
nhìn sâu sắc về số phức. Chỉ có như vậy mới có thể bồi dưỡng được năng lực giải
toán số phức cho học sinh.Bên cạnh đó một số giáo viên chưa thực sự coi trọng
đúng mức việc giải toán số phức cho học sinh.
1
Trên cơ sở hệ thống hóa các kĩ năng cơ bản giải toán số phức và vận dụng
những kĩ năng đã đề xuất trong luận văn thì sẽ phát triển được năng lực giải toán số
phức cho học sinh ở trường trung học phổ thông.
2
8. Phương pháp nghiên cứu
8.1. Nghiên cứu lí luận
Nghiên cứu lí luận về năng lực, giải toán, về dạy học giải bài tập toán học.
8.2. Điều tra, quan sát
Sử dụng phiếu điều tra về tình hình dạy và học giải toán số phức.
8.3. Thực nghiệm sư phạm
Soạn và dạy thực nghiệm một số giáo án về giải toán số phức tại một số lớp
12 trường Trung học phổ thông Dương Quảng Hàm – Huyện Văn Giang – Tỉnh
Hưng Yên.
9. Đóng góp của Luận văn
9.1 Về mặt lý luận
- Tổng quan về năng lực giải toán nói chung và năng lực giải toán số phức
nói riêng.
- Hệ thống những kĩ năng cần thiết giải toán số phức và ứng dụng số phức để
giải một số bài toán trong chương trình Trung học phổ thông.
9.2 Về mặt thực tiễn
Đề xuất được những biện pháp phát triển năng lực giải toán số phức cho học
sinh Trung học phổ thông.
10. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo và phụ lục
nội dung chính của luận văn gồm 3 chương.
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2: Biện pháp phát triển năng lực giải toán số phức cho học sinh
thức, kĩ năng, thái độ và một số yếu tố cá nhân khác.
Khái niệm năng lực theo nghĩa hẹp này có thể được phân biệt với việc thực
hiện một nhiệm vụ học tập, theo đó nó được thể hiện và đánh giá qua những thực
hành có thể nhìn thấy được. Năng lực còn có thể được định nghĩa rộng hơn: Năng
lực chung là khả năng vận dụng, chuyển biến các thành phần kiến thức, kĩ năng,
4
thái độ, và các yếu tố cá nhân khác theo một cơ chế nào đó để thực hiện đạt chuẩn
nhữngnhiệm vụ học tập thiết yếu của một môn học.
Theo [29]: “ Năng lực là khả năng làm việc tốt nhờ có phẩm chất đạo đức và
trình độ chuyên môn”.
Theo [1]: “Năng lực là một thuộc tính tâm lý phức tạp, là điểm hội tụ của
nhiều yếu tố: tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kinh nghiệm, tính tự giác, tích cực, tính trách
nhiệm…”.
Năng lực được phân làm ba nhóm:
- Nhóm năng lực cơ bản.
- Nhóm năng lực chung.
- Nhóm năng lực cụ thể.
Năng lực được chia làm ba bậc (mức độ) sau đây:
Bậc 1 – bậc sơ cấp
Bậc 2 – bậc trung cấp
Bậc 3 – bậc cao cấp.
Năng lực giải toán của học sinh được thể hiện bởi khả năng vận dụng lý
thuyết toán học (khái niệm, định lý….) và những phương pháp đã biết, đã được
cung cấp ngay trong phần lý thuyết của bài học hoặc của chương để giải một hoặc
một số bài tập cụ thể nào đó. Chính vì vậy một trong những biện pháp phát triển
năng lực giải toán số phức cho học sinh THPT là rèn luyện kỹ năng giải toán.
1.2. Kĩ năng và kĩ năng giải toán
tố như: Kiến thức xác định kĩ năng, yêu cầu rèn kĩ năng, mức độ chủ động tích cực
của học sinh,... Có hai con đường hình thành kĩ năng cho học sinh đó là:
- Truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết, rồi sau đó đề ra cho học
sinh những bài toán vận dụng tri thức đó. Từ đó, học sinh sẽ phải tìm tòi cách giải,
bằng những con đường thử nghiệm đúng đắn hoặc sai lầm qua đó phát hiện ra các
mốc định hướng tương ứng, những thủ thuật biến đổi.
- Dạy cho học sinh nhận biết những dấu hiệu mà từ đó có thể xác định được
đường lối giải cho một dạng bài toán và vận dụng đường lối sáng tạo đó vào từng
bài toán cụ thể.
Thực chất sự hình thành kĩ năng là tạo dựng cho học sinh khả năng nắm
vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ các thông tin
chứa đựng trong bài toán.
Khi giúp học sinh hình thành kĩ năng cần tiến hành:
- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố phải
tìm và mối quan hệ giữa chúng.
6
- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải những bài toán
cùng dạng.
- Xác lập được mối liên hệ giữa các bài toán tồng quát và kiến thức tương ứng.
- Nội dung bài tập, yêu cầu và nhiệm vụ đặt ra thường được trừu tượng hóa
hay bị che giấu bởi những yếu tố làm chệch hướng tư duy và ảnh hưởng tới sự hình
thành kĩ năng.
- Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng tới sự hình thành kĩ năng, vì vậy nên
tạo tâm thế thuận lợi trong học tập cho học sinh trong hình thành kĩ năng.
1.2.3. Điều kiện để có kĩ năng
Muốn có kĩ năng về hành động nào đó chủ thể cần:
- Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được điều kiện,
- Rèn luyện kĩ năng ứng dụng toán học trong nghiên cứu khoa học và thực
tiễn cho học sinh.
- Trau dồi những phẩm chất, tình cảm, đạo đức tốt đẹp cho học sinh.
- Bảo đảm tính phổ cập, đồng thời phát hiện và bồi dưỡng các học sinh có
năng khiếu toán học.
1.3.2. Yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh THPT
Rèn kĩ năng giải toán nhằm đạt được các yêu cầu cần thiết sau:
- Giúp học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bản trong
chương trình.
- Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ, cụ thể là phát triển:
+ Tư duy loogic và ngôn ngữ chính xác.
+ Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng, trí tưởng tượng trong không gian.
+ Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa,...
+ Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo.
1.4. Những tình huống điển hình trong dạy học môn Toán
1.4.1. Dạy học khái niệm Toán học
Trong môn toán, việc dạy học các khái niệm có vị trí quan trọng hàng đầu.
Việc hình thành một hệ thống các khái niệm toán học là nền tảng của toàn bộ kiến
thức toán, là tiền đề hình thành khả năng vận dụng hiệu quả các kiến thức đã học
đồng thời có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ và thế giới quan duy vật
biện chứng cho HS. Thực tiễn dạy học cho thấy, HS không giải được bài tập phần
lớn do không hiểu khái niệm toán học tiềm ẩn trong câu hỏi của đề toán.
Theo [10] Giáo sư.Tiến sĩ khoa học Nguyễn Bá Kim, trong dạy học, người ta
phân biệt ba con đường tiếp cận khái niệm:
+ Con đường quy nạp;
8
+ Con đường suy diễn;
Sơ đồ 1.1
Con đường quy nạp có ưu điểm là thuận lợi cho việc huy động hoạt động tích
cực của HS, góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung và tạo điều kiện cho họ nâng
cao tính độc lập trong việc đưa ra định nghĩa. Tuy nhiên, con đường này đòi hỏi tốn
kém nhiều thời gian vì vậy không phải bao giờ cũng có điều kiện thực hiện.
Con đường quy nạp thường được sử dụng trong điều kiện như sau:
9
- Chưa phát hiện được một khái niệm loại nào là điểm xuất phát cho con
đường suy diễn;
- Đã định hình được một số đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm cần
hình thành, do đó có đủ vật liệu để thực hiện phép quy nạp [12, tr348].
b) Con đường suy diễn
Theo tài liệu [12, tr346], quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường
suy diễn thường diễn ra như sau:
(i) Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm đó
một số đặc điểm mà ta quan tâm;
(ii) Phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa
nó nhờ một khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm để hạn chế một bộ
phận trong khái niệm tổng quát đó;
(iii) Đưa ra một số ví dụ đơn giản để minh họa cho khái niệm vừa được định
nghĩa. Sơ đồ hình thành khái niệm theo con đường này có thể biểu đạt như sau (theo
[14] Phó giáo sư.Tiến sĩ Dương Vương Minh).
Khái
niệm đã
biết A
10
(i) Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần được hình
thành hướng vào những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ Toán học
hay từ thực tiễn;
(ii) Khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tượng đại diện, đi tới đặc
điểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thành;
(iii) Phát biểu định nghĩa được gợi ý cho kết quả bước (ii).
Sơ đồ hình thành khái niệm theo con đường này có thể diễn đạt như sau (theo
[14] Phó giáo sư.Tiến sĩ Dương Vương Minh).
Nội bộ
Toán Học
Thực tiễn
Xây
dựng
đối
tượng
đại diện
Khái
quát
hoá
Đặc điểm,
đặc trưng
khái niệm
Con đường suy diễn
Gợi động cơ và phát biểu vấn đề
Dự đoán và phát biểu định lí
Suy diễn dẫn tới định lí
Chứng minh định lí
Phát biểu định lí
Vận dụng định lí để giải quyết vấn đề đặt ra
Củng cố định lí
Sơ đồ 1.4
Dưới đây ta sẽ đi sâu vào từng con đường.
a) Con đường có khâu suy đoán
(i) Gợi động cơ học tập định lí xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực
tiễn hoặc trong nội bộ Toán học..
(ii) Dự đoán và phát biểu định lí dựa vào những phương pháp nhận thức
mang tính suy đoán: quy nạp không hoàn toàn, lật ngược vấn đề, tương tự hóa, khái
quát hóa một định lí đã biết, nghiên cứu trường hợp suy biến, xét mối liên hệ và
phục thuộc,...
(iii) Chứng minh định lí, trong đó đặc biệt chú ý việc gợi động cơ chứng
minh và gợi cho HS thực hiện những họat động ăn khớp với những quy tắc kết luận
lôgíc thường dùng.
Tùy theo yêu cầu của chương trình, trong những trường hợp nhất định, việc
chứng minh một số định lí có thể không đặt ra cho chương trình phổ thông.
phương pháp có thể được phân biệt dựa trên khái niệm thuật giải.
1.4.3.1. Dạy học thuật giải và quy tắc tựa thuật giải
Dạy học thuật giải hoặc quy tắc tựa thuật giải cần lưu ý một số điều sau
13
- Thứ nhất, nên cho HS biết nhiều hình thức thể hiện một quy tắc,tạo điều
kiện cho thuận lợi cho họ nắm vững nội dung từng bước và trình tự thực hiện các
bước của quy tắc đó.
- Thứ hai, cần trình bày rõ các bước trong ví dụ cụ thể theo một sơ đồ nhất
quán trong một thời gian thích đáng.
- Thứ ba, cần luyện tập cho HS thực hiện tốt những chỉ dẫn nêu trong thuật
giải hoặc quy tắc tựa thuật giải.
- Thứ tư, cần làm cho HS ý thức được và biết sử dụng các cấu trúc điều
khiển cơ bản để quyết định trình tự các bước.
- Thứ năm, thông qua dạy học những thuật giải và quy tắc tựa thuật giải cần
có ý thức góp phần phát triển tư duy thuật giải cho HS.
1.4.3.2. Những quy tắc, phương pháp tìm đoán
Cùng với những thuật giải và quy tắc tựa thuật giải, còn một số quy tắc,
phương pháp có tính chất tìm đoán như quy lạ về quen, khái quát hóa, tương tự hóa,
phương pháp tìm lời giải của bài toán,...
Những quy tắc, phương pháp tìm đoán chỉ là những gợi ý giải quyết vấn đề
chứ không phải là những thuật giải bảo đảm chắc chắn dẫn tới thành công.
1.4.4. Dạy học giải bài tập Toán học
Tham khảo các tài liệu [12] có thể thấy
Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong quá trình học tập môn toán ở nhà
trường phổ thông. Giải bài tập toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học.
Thông qua việc giải bài tập, HS phải thực hiện nhiều hoạt động như: Nhận dạng, thể
hiện các khái niệm, định nghĩa, định lý, quy tắc-phương pháp, những hoạt động
- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải
- Nghiên cứu giải bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
1.5. Tình hình dạy học chương số phức - Giải tích 12 nâng cao
1.5.1. Nội dung và mục đích dạy học chương số phức
1.5.1.1. Nội dung
Theo phân phối chương trình mới môn Toán THPT, phần Giải tích lớp 12 có
số tiết là 90. Trong đó chương Số phức có số tiết là 13, cụ thể:
§1. Số phức
5 tiết
§2.Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai
3 tiết
§3. Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng
2 tiết
Thực hành sử dụng máy tính cầm tay
1 tiết
Ôn tập chương
2 tiết
15
- Biết cách biểu diễn số phức bởi điểm và vectơ trong mặt phẳng phức.
16
- Thực hiện thành thạo phép cộng, trừ, nhân, chia hai số phức.
§2. Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai
Về kiến thức: Giúp học sinh
- Hiểu định nghĩa căn bậc hai của số phức.
- Biết cách đưa việc tìm căn bậc hai của số phức về việc giải một hệ hai
phương trình hai ẩn thực.
- Biết cách giải một phương trình bậc hai.
Về kĩ năng: Giúp học sinh
- Tính được căn bậc hai của số phức.
- Giải được phương trình bậc hai với hệ số phức.
§3. Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng
Về kiến thức: Giúp học sinh
- Hiểu rõ khái niệm acgumen của số phức.
- Hiểu rõ dạng lượng giác của số phức.
- Biết công thức nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác.
- Biết công thức Moa-vrơ và ứng dụng vào lượng giác.
Về kĩ năng: Giúp học sinh
- Biết tìm acgumen của số phức.
- Biết đổi từ dạng đại số sang dạng lượng giác của số phức.
- Tính toán thành thạo phép nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác.
- Sử dụng được công thức Moa-vrơ.
1.5.2. Tình hình dạy học chương số phức – Giải tích 12
Để biết được tình hình thực tế của việc dạy và học chương số phức – Giải
tích 12, tôi đã phát phiếu thăm dò đến 11 thầy cô trong tổ toán trường THPT Dương
Quảng Hàm với nội dung phiếu thăm dò như sau:
thời lượng chương trình dành cho nội dung này không nhiều (13 tiết) nên không có điều
kiện để đi sâu thêm các vấn đề có liên quan tới số phức. Nó thật bất cập với lượng kiến
thức mới phải lĩnh hội nên dễ gây ra tâm lý ngại khó khi học chương này.
- Tình hình thực tiễn hiện nay thì việc ứng dụng số phức vào giải toán nói
chung, giải toán hình học phẳng và lượng giác nói riêng chưa được vận dụng, quan
tâm đúng mức.
- Các tài liệu tham khảo hiện này viết về nội dung số phức và ứng dụng của
số phức vào giải toán hình học phẳng và lượng giác chưa nhiều, chưa quan tâm đến
các bài toán gần gũi với các em HS.
- Mặc dù số phức là nội dung khá quan trọng của toán học nhưng lại chưa
được các thầy cô giáo quan tâm đưa vào giảng dạy nhiều cho HS.
18
Copyright: Tài liệu đại học ©