ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
 
   
 
 

ĐỖ ĐÌNH NGÂN
 
 
 

 

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
 
 
 
 
 
 
 
 
 

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
 
 
 

 
 
 
 

              

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Nhụy

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN
 
Lời đầu tiên tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại
học Giáo dục- Đại học Quốc Gia Hà Nội và các thầy giáo, cô giáo đang công
tác giảng dạy tại trường đã nhiệt tình giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho
tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài này.
Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy
PGS.TS. Nguyễn Nhụy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá
trình làm việc để Luận văn được hoàn chỉnh và hoàn thành đúng thời hạn.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu cùng các
thầy cô giáo tổ Toán- Tin và các em học sinh trường THPT Khoái Châu –
Khoái Châu – Hưng Yên đã nhiệt tình ủng hộ, giúp đỡ tác giả trong quá trình
thực nghiệm sư phạm để đề tài được thực hiện đáp ứng được yêu cầu đặt ra.
Sự quan tâm giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi của gia đình, bạn bè
và các đồng nghiệp trong quá trình học tập, thực hiện nghiên cứu đề tài là
nguồn động viên, cổ vũ tiếp thêm sức mạnh cho tác giả. Tác giả xin chân
thành cảm ơn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn Luận văn không thể tránh

Giáo viên 

HS 

Học sinh 

L  

Loại 

SGK 

Sách giáo khoa 

THPT 

Trung học phổ thông 

VN 

Vô nghiệm

 

 

 

 


 

 

 

ii


MỤC LỤC
Trang 
Lời cảm ơn ...................................................................................................... i 
Danh mục các chữ viết tắt .............................................................................. ii 
Mục lục ......................................................................................................... iii 
Danh  mục các hình ........................................................................................ v 
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1 
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN ................................................................. 6 
1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán .................................................................. 6 
1.1.1. Khái niệm kỹ năng ................................................................................ 6 
1.1.2. Kỹ năng giải toán ................................................................................. 7 
1.1.3. Vai trò của kỹ năng giải toán ................................................................ 8 
1.1.4. Phân loại kỹ năng trong môn Toán ....................................................... 9 
1.2. Thực trạng việc dạy học Toán, dạy và học Phương trình lượng giác ở 
một số trường Trung học phổ thông ............................................................. 11 
1.2.1. Thực trạng dạy học Toán ở một số trường Trung học phổ thông trên 
địa bàn huyện Khoái Châu - Hưng Yên ........................................................ 11 
1.2.2. Thực trạng việc học Phương trình lượng giác ở một số trường Trung 
học phổ thông trên địa bàn huyện Khoái Châu - Hưng Yên .......................... 13 
1.2.3. Thực trạng việc dạy Phương trình lượng giác ở một số trường Trung 
học phổ thông trên địa bàn huyện Khoái Châu - Hưng Yên .......................... 14 

2.2.5. Phương trình lượng giác với điều kiện ràng buộc về ẩn ...................... 67 
2.2.6. Phương trình lượng giác không mẫu mực ........................................... 80 
CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .............................................. 86 
3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm .................................. 86 
3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm ................................................... 86 
3.1.2. Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm ................................................... 86 
3.2. Phương pháp thực nghiệm sư phạm ....................................................... 86 
3.3. Kế hoạch và nội dung thực nghiệm sư phạm ......................................... 87 
3.3.1. Kế hoạch và đối tượng thực nghiệm sư phạm ..................................... 87 
3.3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm .......................................................... 87 
3.4. Tiến hành thực nghiệm sư phạm .......................................................... 103 
3.5. Kết quả thực nghiệm sư phạm ............................................................. 103 
3.5.1. Cơ sở để đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm .............................. 103 
3.5.2. Kết quả thực nghiệm sư phạm .......................................................... 107 
3.6. Tổng kết .............................................................................................. 110 
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ........................................................... 111 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................ 112 

 

iv


DANH MỤC CÁC BIỂU
 

TT

Tên biểu


Thực  tế  cho  thấy  thói  quen  "cầm  tay  chỉ  việc"  đã  trở  thành  "mẫu  số 
chung"  của  giáo  viên  ở  nhiều  trường  học.  Việc  đổi  mới  nhằm  khắc  phục  lối 
truyền thụ kiến thức một chiều, ghi nhớ máy móc; phát huy tính tích cực, chủ 
động, sáng  tạo và vận  dụng  kiến thức,  kỹ  năng  của  người  học,  giáo viên tập 
trung  dạy  cách  học,  cách  nghĩ  và  tự  học  theo  phương  châm  “giảng  ít,  học 
nhiều”, bồi dưỡng ý thức học tập suốt đời. Đổi mới từ cách học chủ yếu là lắng 
nghe và ghi chép sang suy nghĩ và phản hồi tích cực với bạn, với thầy.  
Trước đây, lối truyền thụ kiến thức một chiều đã hạn chế năng lực tư 
duy của học sinh. Tuy nhiên, kiến thức phải tự làm ra thì mới vững bền, chắc 
chắn, cho nên phương pháp dạy học để tự học sinh phát hiện, tìm tòi, sáng 
tạo thì kiến thức mới chắc chắn, linh hoạt, nhớ lâu được. Trong dạy học, cần 
 

1


lấy  học sinh làm trung tâm, với vai trò là người tự khám phá kiến thức cho 
mình; thầy giáo là người hướng dẫn, chỉ đạo việc học chứ không truyền thụ 
kiến  thức.  Khoa  học,  công  nghệ  phát  triển  liên  tục,  ngành  nghề,  kỹ  thuật 
luôn đổi mới đòi hỏi mỗi người phải có năng lực tự học, cho nên ngay bậc 
học phổ thông đã phải rèn luyện năng lực tự học cho học sinh. Vì vậy, điều 
quan  trọng  trong  đổi  mới  phương  pháp  dạy  học  là  phải  rèn  luyện  phương 
pháp tự học của học sinh; học sinh tự học trong mối tương tác giữa học sinh 
với nhau, tương tác với tài liệu và sách giáo khoa, dưới sự chỉ dẫn của thầy 
để chiếm lĩnh được tri thức. 
Trong  chương  trình  toán  Trung  học  phổ  thông  nội  dung  về  “Lượng 
giác” được dạy từ lớp 10 đến lớp 11 và đây là một nội dung thường xuất hiện 
trong  các  đề  thi  đại  học,  cao  đẳng  trong  nhiều  năm  nay.  Các  bài  tập  về 
phương trình lượng giác có nhiều công thức lượng giác khó nhớ, các dạng bài 
tập phong phú  với  nhiều  cách  giải  khác nhau,  do  đó  cần  rèn  luyện  cho  học 

rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh nhưng chủ yếu là thông qua các nội 
dung  Toán  học  như  đạo  hàm,  tích  phân,  phép  biến  hình,  phương  pháp 
vectơ,… nhưng chưa có luận văn nào nghiên cứu về việc rèn luyện kỹ năng 
giải Phương trình Lượng giác cho học sinh. 
3. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của Luận văn là nghiên cứu xây dựng, phát triển hệ thống bài 
tập chủ đề “Phương trình lượng giác” nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho 
học sinh Trung học Phổ thông qua chủ đề này.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán. 
- Nghiên cứu thực trạng kỹ năng giải toán của học sinh trong khi học 
chủ đề “Phương trình lượng giác”. 
- Hệ thống hóa các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh và phân tích lý 
luận khi dạy học chủ đề “Phương trình lượng giác”. 
- Qua thực nghiệm sư phạm, kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài để áp 
dụng vào giảng dạy. 
5. Khách thể, đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
5.1. Khách thể nghiên cứu
Hoạt động dạy và học môn Toán ở một số trường Trung học phổ thông. 
 

3


5.2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
5.2.1. Đối tượng nghiên cứu
Quá trình hình thành kỹ năng giải toán của học sinh. 
5.2.2. Phạm vi nghiên cứu
Nội  dung  chương  trình  Đại  số  và  Giải  tích  11  phần  “Phương  trình 
lượng giác”.  


- Phương pháp quan sát điều tra.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
10. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận 
văn được chia làm ba chương: 
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn 
Chương 2. Xây dựng hệ thống các bài tập trong chủ đề “Phương trình
lượng giác” theo hướng rèn luyện kỹ năng giải bài tập cho học sinh 
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm 
 
 

 

5


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán
1.1.1. Khái niệm kỹ năng
Có nhiều cách định nghĩa khác nhau về kỹ năng. Những định nghĩa này 
thường bắt nguồn từ góc nhìn chuyên môn và quan niệm cá nhân của người 
viết. Tuy nhiên hầu hết chúng ta đều thừa nhận rằng kỹ năng được hình thành 
khi chúng ta áp dụng kiến thức vào thực tiễn. Kỹ năng học được do quá trình 
lặp đi lặp lại một hoặc một nhóm hành động nhất định nào đó. Kỹ năng luôn 
có chủ đích và định hướng rõ ràng. 
Theo  tâm  lý  học,  kỹ  năng  là  sự  thực  hiện  có  kết  quả  một  hành  động 
bằng  cách  vận  dụng  những  tri  thức,  kinh  nghiệm  về  hành  động  này  để  tiến 

quả một hành động hay một hoạt động nào đó. Nói đến kỹ năng là nói đến
cách thức, thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt được
mục đích đã định. Kỹ năng được hình thành và phát triển dựa trên kiến thức,
nó tiếp tục giúp củng cố kiến thức và có thể phát triển thành kỹ năng mới phù
hợp với sự phát triển trí tuệ và rộng hơn là phù hợp với yêu cầu của cuộc
sống. Kỹ năng chính là kiến thức trong hành động, nó hình thành và phát
triển trong hoạt động và bằng hoạt động.
Để một người có kỹ năng hành động phải có các yêu cầu sau đây: 
-  Có  tri  thức,  kinh  nghiệm  về  hành  động,  tức  là  nắm  được  nội  dung, 
mục đích, cách thức, điều kiện thực hiện… của hành động. 
- Tiến hành hành động theo đúng yêu cầu của nó với thời gian tương ứng. 
-  Đạt  kết  quả  hành  động  ngay  trong  cả  điều  kiện  quen  thuộc  lẫn  cả 
những điều kiện thay đổi nhất định. 
1.1.2. Kỹ năng giải toán
Giải một bài toán là tiến hành một hệ thống hành động có mục đích, do 
đó  chủ  thể  giải  toán  phải  nắm  vững  tri  thức  về  hành  động,  thực  hiện  hành 
động theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có kết quả trong 
những điều kiện khác nhau. Trong giải toán, theo tôi quan niệm về kỹ năng 
giải toán của học sinh như sau: "Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng có 
mục đích những tri thức và kinh nghiệm đã có vào giải những bài toán cụ thể, 
thực hiện có hiệu quả một hệ thống hành động giải toán để đi đến lời giải bài 
toán một cách khoa học" 
 

7


Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các kiến thức Toán học để giải 
các bài tập Toán học (tìm tòi, suy đoán, suy luận, chứng minh …). 
Kỹ năng giải toán dựa trên cơ sở của tri thức toán học bao gồm: kiến 


thạo vào việc giải bài tập. Có thể nói, bài tập toán chính là “mảnh đất” để rèn 
luyện kỹ năng giải toán. Do đó, để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, 
giáo  viên  cần  tăng  cường  hoạt  động giải toán  (đây  cũng  chính  là  hoạt  động 
chủ yếu khi dạy toán). Cụ thể hơn thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ 
năng giải toán cho học sinh cần quan tâm chú trọng những vấn đề sau: 
- Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho, 
yếu  tố  phải tìm  và mối  quan  hệ  giữa  chúng.  Nói  cách  khác,  hướng  cho  học 
sinh biết cách phân tích đặc điểm bài toán. 
- Hướng cho học sinh hình thành mô hình khái quát để giải quyết các 
bài tập, các đối tượng cùng loại. 
-  Xác  lập  được  mối  liên  quan  giữa  bài  tập  mô  hình  khái  quát  và  các 
kiến thức tương ứng. 
Ngoài ra, cần tạo nhu cầu hứng thú cho học sinh, khắc phục những ảnh 
hưởng tiêu cực của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện các mặt sau: 
- Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó so sánh các cách 
giải với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lý kiến thức. 
- Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán. 
- Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán. 
Tóm  lại,  song  song  với  việc  truyền  thụ  tri  thức  toán  học  thì  việc  rèn 
luyện kỹ năng đóng một vai trò quan trọng góp phần bồi dưỡng tư duy toán 
học cho học sinh. 
1.1.4. Phân loại kỹ năng trong môn Toán
Trong tâm lý - giáo dục, người ta thường chia kỹ năng học tập cơ bản 
thành bốn nhóm: kỹ năng nhận thức, kỹ năng thực hành, kỹ năng tổ chức hoạt 
động nhận thức và kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá [6,tr. 171]. 
1.1.4.1. Kỹ năng nhận thức
Kỹ năng nhận thức trong môn Toán bao gồm nhiều khía cạnh đó là: khả 
năng nắm bắt một khái niệm, định lý, kỹ năng áp dụng thành thạo mỗi quy tắc 
trong đó có yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc [6, tr. 172]. 

- Kỹ năng toán học hoá tình huống thực tiễn. 
1.1.4.3. Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức
Để có kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức đòi hỏi người học phải có 
kế  hoạch  học  tập  và  biết  cách  học  phù  hợp  với  điều  kiện  năng  lực  của  bản 
thân nhằm phấn đấu đạt được mục đích đặt ra trong từng giai đoạn. 
 

10


1.1.4.4. Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá
Người  học  phải  biết  tự  kiểm  tra  đánh  giá  bản  thân  mình  để  biết  xem 
mình đã đạt đến đâu, đạt được cái gì, điểm nào mạnh, điểm nào còn yếu… từ 
đó có kế hoạch điều chỉnh hoạt động học tập của bản thân để đạt được kết quả 
cao hơn. 

 

Ở trường phổ thông chúng ta thường mới quan tâm tới kết quả kiểm tra 
từ phía giáo viên đối với học sinh, từ đó giáo viên có thể điều chỉnh cách dạy 
mà chưa quan tâm đến việc học sinh tự kiểm tra đánh giá bản thân.  
Các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy… đã xét kỹ năng tự kiểm 
tra đánh giá trên các phương diện: kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn 
Toán, kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác, kỹ năng 
vận dụng toán học vào đời sống. 
1.2. Thực trạng việc dạy học Toán, dạy và học Phương trình lượng giác ở
một số trường Trung học phổ thông
1.2.1. Thực trạng dạy học Toán ở một số trường Trung học phổ thông trên
địa bàn huyện Khoái Châu - Hưng Yên
Xuất phát từ yêu cầu nâng cao chất lượng đào tạo, Bộ Giáo dục và Đào 

hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa những ý kiến trái ngược hoặc các 
tình huống có chứa một số điều kiện xuất phát rồi  yêu cầu học sinh đề xuất 
các giải pháp. Còn nhiều giáo viên sử dụng chủ yếu phương pháp thuyết trình, 
đàm thoại chưa chú ý đến nhu cầu hứng thú học sinh trong quá trình học. 
Thực tế ở các trường phổ thông hình thức dạy học chưa phong phú, đa 
dạng, cách thức truyền đạt chưa sinh động, chưa gây hứng thú cho học sinh, 
học sinh nhiều khi tiếp nhận kiến thức còn bị động. Những kỹ năng cần thiết 
của  việc  tự  học  chưa  được  chú  ý  đúng  mức.  Do  vậy  việc  dạy  học  Toán  ở 
trường phổ thông hiện nay còn bộc lộ nhiều khuyết điểm và cần đổi mới. Đó 
là  học  sinh  chưa  thực  sự  hoạt động  một  cách tích  cực,  chưa  chủ  động  sáng 
tạo, chưa được thảo luận để đưa ra khám phá của mình, kỹ năng vận dụng vào 
thực tiễn còn yếu. Vai trò của giáo viên chủ yếu vẫn là thông báo kiến thức 
dạy học sinh cách chứng minh, phán đoán và một số thói quen làm việc nhất 
định chứ chưa kích thích học sinh tìm đoán, sáng tạo bài toán. Hơn nữa do thời 
gian hạn chế, khối lượng kiến thức cần truyền đạt theo SGK thì nhiều và phải 
dạy đúng phân phối chương trình nên chưa phát huy được tính độc lập, sáng 
 

12


tạo học sinh. Chưa tạo được môi trường để học sinh độc lập khám phá, tìm tòi 
và nghiên cứu. 
1.2.2. Thực trạng việc học Phương trình lượng giác ở một số trường Trung
học phổ thông trên địa bàn huyện Khoái Châu - Hưng Yên
Trong quá giảng dạy của mình với những kinh nghiệm và trao đổi với 
giáo viên và học sinh cho thấy lượng giác là một chủ đề khá khó đối với nhiều 
học sinh trong chương trình toán học trung học phổ thông. Mặc dù, SGK mới 
đã có nhiều giảm tải về nội dung và yêu cầu đối với học sinh nhưng để học tốt 
phần lượng giác không đơn giản. Qua tìm hiểu từ các em học sinh đa số các 

- Tính bị động của học sinh khá lớn nên giáo viên vất vả trong quá trình 
giảng dạy nếu yêu cầu cao đối với học sinh.
1.2.3. Thực trạng việc dạy Phương trình lượng giác ở một số trường Trung
học phổ thông trên địa bàn huyện Khoái Châu - Hưng Yên
Theo  chương  trình  cải  cách  giáo  dục  (từ  năm  2007),  các  công  thức 
lượng giác được đưa xuống dạy ở cuối lớp 10; phương trình lượng giác được 
dạy ở đầu lớp 11. Chính vì vậy đây là nội dung được nhiều thầy cô giáo và 
các em học sinh quan tâm. Nhưng để hiểu sâu sắc và thấy được cái hay của 
các bài toán lượng giác thì cả giáo viên và học sinh đều phải bỏ rất nhiều thời 
gian và công sức nghiên cứu. Giáo viên cần có thời gian giảng dạy vài năm để 
đúc rút được kinh nghiệm giảng dạy phần môn học này. Học sinh cũng mất 
một khoảng thời gian để vừa ôn lại kiến thức cũ, vừa lĩnh hội kiến thức mới 
để có thể làm chủ kiến thức lâu hơn khi học các nội dung khác. 
Để tìm hiểu được thực trạng dạy học Phương trình lượng giác ở trường 
THPT tôi đã tiến hành dự giờ quan sát, thăm dò ý kiến giáo viên và học sinh 
thu được kết quả như sau: 
Khi dạy lý thuyết: 
- Giáo viên vừa phải lồng ghép việc ôn kiến thức cũ với việc truyền đạt 
kiến thức mới trong khi phân phối chương trình còn nhiều bất cập. 
-  Đây  là  nội  dung khó nên giáo viên  thường gặp khó khăn trong việc 
phân hoá học sinh, chính vì vậy mất nhiều thời gian phân bậc kiến thức. 
- Việc giúp cho học sinh nhớ hết được các công thức lượng giác đòi hỏi 
giáo viên phải có nhiều kinh nghiệm mới có thể giúp học sinh nhớ lâu được 
các công thức này. 
Khi dạy bài tập: 
 

14




15


người giáo viên phải có năng lực sư phạm tốt: phải nắm vững chương trình, 
có trình độ tư duy toán học tốt, phải nắm chắc trình độ, năng lực học tập và 
tính cách của học sinh. Theo tôi, những nguyên nhân chủ yếu dẫn đến các sai 
lầm thường gặp của học sinh khi giải các Phương trình lượng giác có thể là: 
- Không hiểu được khái niệm, kí hiệu. 
- Tính toán nhầm lẫn. 
- Nhớ sai công thức. 
-  Thực  hiện  các  phép  biến  đổi  đồng  nhất  hoặc  biến  đổi  phương  trình 
làm thay đổi tập xác định của phương trình. 
- Xét thiếu trường hợp 
- Lập luận thiếu lôgic 
- Diễn đạt kém 
- Không hiểu hoặc hiểu sai đề toán 
Như vậy trong hoạt động giải phương trình lượng giác học sinh mắc sai 
lầm có nhiều nguyên nhân như: tư duy thuật toán của học sinh còn yếu, tư duy 
lô gíc chưa tốt; khả năng lĩnh hội và tái hiện kiến thức còn hạn chế; kỹ năng 
tính toán chưa thành thạo. Dưới đây thông qua các ví dụ cụ thể, chúng tôi sẽ 
phân  tích  các  dạng  sai  lầm  thường  gặp  của  học  sinh  khi  giải  phương  trình 
lượng giác, vạch ra một số biện pháp cụ thể nhằm khắc phục những sai lầm đó. 
1.2.4.1. Hiểu không đúng khái niệm, ký hiệu
Trong sách giáo khoa đã nêu định nghĩa phương trình dựa vào mệnh đề 
chứa biến. Theo định nghĩa này, phương trình  sin  x  a  có tập xác định là R 
(tập số thực) và có tập nghiệm là tập tất cả các số thực x0 sao cho mệnh đề 
" sin  x0  a "   là  mệnh  đề  đúng.  Nếu  theo  định  nghĩa  này,  trong  các  phương 

trình lượng giác, ẩn x chỉ các số thực cần tìm và x không phải là góc hay cung 


6

 2k  và  x 

5
 2k . 
6

Như  vậy  trong  chương  trình,  đồng  hành  cả  hai  quan  niệm  về  phương 
trình  lượng  giác,  do  đó  trong  từng  bài  toán  cụ  thể  cần  nhận  thức  được  là 
phương trình được hiểu theo nghĩa nào.  
Ví dụ. Giải các phương trình: 

a) sin  3x  1     sin  x  2    

 

 

 

 

 

1  

b) sin  x  1200   cos 2 x    


theo nghĩa mở rộng: tìm góc x (hoặc số đo của góc lượng giác tính bằng độ) 
thoả mãn đẳng thức  sin    x  1200      cos 2 x . Trong phương trình (3) có thể 
được hiểu theo cả hai nghĩa.  
Như  vậy  học  sinh  viết  kết  quả  của  phương  trình  (1)  dưới  dạng  
x

3
 k1800  và  x  1  450  k 3600  thì HS đó phạm sai lầm không hiểu đúng 
2

khái niệm và ký hiệu. Tương tự, nếu viết nghiệm của (2) là  x 
x

7 2k
 và 

18
3

21
 2k  thì cũng mắc sai lầm nói trên. Để khắc phục các sai lầm loại 
18

này, cần làm cho học sinh quán triệt quan điểm hàm mệnh đề trong định nghĩa 
phương trình lượng giác với nghĩa bổ xung như đã nói ở trên. Mặt khác, để 
 

17



2

2
  nên  x  150  450  x  600   là  một  nghiệm  của 
2

phương trình, do đó tất cả các nghiệm của phương trình là  x  600  k 3600 . 
Giải như vậy học sinh đã làm thừa rất nhiều nghiệm ( x  600  k 3600 không 
là  nghiệm  của  phương  trình)  và  cũng  làm  thiếu  rất nhiều nghiệm  (thiếu  các 
nghiệm x  300  k 3600  ). Lý do dẫn đến sai lầm trên là học sinh đã lẫn lộn 
giữa công thức nghiệm của phương trình cơ bản và phương trình gần cơ bản. 
Phương  trình  đã  cho  là  phương  trình  gần  cơ  bản,  nếu  đặt  t    x  150   thì 
 

18