Trng HSP H Ni Khoa Toỏn Tin
A. Mở ĐầU
I.Lý DO CHọN ĐÊ TàI
Phát triển năng lực giải toán cho học sinh là một trong các nhiệm vụ đặc biệt
quan trọng của ngời thầy giáo vì không ai khác chính thầy giáo là ngời chăm sóc
vun sới cho những năng khiếu toán học ở học sinh.
Nhiệm vụ đào tạo của nhà trờng phổ thông Việt Nam là hình thành những cơ
sở ban đầu và trọng yếu của con ngời mới phát triển toàn diện, nghị quyết hội nghị
lần thứ hai của Ban chấp hành trung ơng Đảng cộng sản Việt Nam khoá VIII đã
khẳng đinh: "Nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục nhằm xây dựng những con
ngời và thế hệ gắn bó với lý tởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội, có đạo đức
trong sáng, có ý chí kiên cờng xây dựng bảo vệ tổ quốc, công nghiệp hoá, hiện đại
hoá đất nớc, giữ gìn và phát huy giá trị văn hoá dân tộc, có năng lực tiếp thu tinh
hoa của nhân loại, phát huy tiềm năng của dân tộc và con ngời việt nam, có ý thức
cộng đồng và phát huy tính tích cực của cá nhân, làm chủ tri thức khoa học và công
nghệ hiện đại, có t duy sáng tạo, có kỹ năng thực hành giỏi, có tác phong công
nghiệp, có tính tổ chức, kỷ luật"
Để đáp ứng nhiệm vụ và mục tiêu trên, nhà trờng phải là nơi đào tạo, rèn
luyện phẩm chất và trí tuệ của con ngời mới phát triển toàn diện về mọi mặt vì vậy
nhiệm vụ của dạy học ngoài việc dạy kiến thức còn dạy cho học sinh cách suy nghĩ,
hiểu một cách sâu sắc một vấn đề nói chung hay một lĩnh vực nói riêng.
Toán tập hợp điểm (quỹ tích) là một trong những nội dung kiến thức khó của
chơng trình toán học THCS. Học sinh thờng mắc khó khăn khi học đến nội dung
kiến thức này. Thực tế cho thấy đứng trớc một bài toán về tập hợp điểm (quỹ tích)
nhiều học sinh cha nắm rõ về mặt lý thuyết và về phơng pháp giải loại toán này vì
thế mà học sinh ngại suy nghĩ, ngại khó khi gặp dạng toán này. Bên cạnh đó, chơng
trình toán THCS phần giành riêng cho toán quỹ tích đa ra các bài tập chỉ mang tính
chất giới thiệu sơ lợc. Mà dạng toán tập hợp điểm, đây cũng là phần nội dung kiến
thức thờng gặp trong các đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp 9 cấp thành phố, cấp
Hc viờn: Trng Vn Bc Lp HSP Toỏn K2 Hũa Bỡnh
1

Trng HSP H Ni Khoa Toỏn Tin
Phạm vi: Phát triển năng lực, t duy cho học sinh thông qua gải bài toán tập
hợp điểm đối với học sinh lớp 8, lớp 9. Đặc biệt nâng cao kiến thức và khả năng t
duy toán học cho học sinh tham gia kỳ thi học sinh giỏi bậc THCS, thi vào các tr-
ờng chuyên.
Đối tợng: Đề tài áp dụng cho học sinh lớp 8, lớp 9, học sinh tham gia các kỳ
thi chọn học sinh giỏi các cấp, học sinh tham dự thi tuyển cấp 3 vào các trờng
chuyên, lớp chọn
V. PHƯƠNG PHáP NGHIÊN CứU:
Chủ yếu sử dụng phơng pháp nghiên cứu lý luận. Trên cơ sở đọc các tài liệu
về lí luận dạy học môn toán. Nghiên cứu về lý thuyết thông qua sách giáo khoa,
sách bài tập, tài liệu kham khảo.
Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm, học hỏi đồng nghiệp.
B. NộI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ Sở Lý LUậN THựC TIễN Có LIÊN QUAN ĐếN Đề TàI
NGHIÊN CứU
I. Quan điểm của các nhà tâm lý - giáo dục học về năng lực toán học, năng
lực giải toán
Trong cuốn "Tâm lý năng lực học toán của học sinh" tác giả V.A.Ka'rutexki đã đa
ra các yếu tố cấu thành năng lực toán học gồm:
- Thu nhận thông tin toán học
- Chế biến thông tin toán học
- Lu trữ thông tin toán học
- Tổng hợp khái quát
Năng lực giải thoán là một thành phần trong năng lực toán học, các yếu tố cấu
thành của năng lực giải toán đợc cụ thể hoá từ các yếu tố đó là:
- Nền kiến thức chắc chắn có đợc qua quá trình thu thập thông tin toán học
Hc viờn: Trng Vn Bc Lp HSP Toỏn K2 Hũa Bỡnh
3
Trng HSP H Ni Khoa Toỏn Tin

4
Trng HSP H Ni Khoa Toỏn Tin
(1)Tập hợp điểm là một đờng thẳng hay một đoạn thẳng
(2)Tập hợp điểm là một đờng tròn hay cung
Nh vậy, khi giải bài toán tìm tập hợp điểm thoả mãn điều kiện đề bài toán là một
hình gì thì học sinh có thể phán đoán căn cứ vào một trong hai dạng tập hợp điểm
chính đó là:
Một có thể là đờng thẳng hay đoạn thẳng
Hai có thể là đờng tròn hay cung
3.Phơng pháp giải toán tập hợp điểm
Để tìm tập hợp điểm M thảo mãn tính chất A, ta thực hiện các bớc sau:
Bớc 1: Tìm cách giải:
- Xác định các yếu tố cố định không đổi
- Xác định các điều kiện của điểm M
- Dự đoán tập hợp điểm
Bớc 2: Trình bày lời giải:
a)Phần thuận: Chứng minh rằng nếu điểm M có tính chất A thì điểm M thuộc
hình H
b)Giới hạn: Căn cứ vào vị trí đặc biệt của điểm M, chứng tỏ điểm M chỉ
thuộc một phần B của hình (nếu có). Vẽ hình B và H
c)Phần đảo: Lấy điểm M bất kì thuộc B, giả sử tính chất A gồm n điều kiện.
Dựng một hình sao cho điểm M' thoả mãn n-1 điều kiện trong n điều kiện nêu trên
Chứng minh M' thoả mãn điều kiện còn lại.
d)Kết luận: Tập hợp các điểm M có tính chất A là hình B. Nêu rõ hình dạng
và cách xác định hình B.
4.Phơng pháp giới hạn tập hợp điểm:
Trong trờng hợp tập hợp điểm cần tìm chỉ là một phần B của hình H là tập
hợp điểm cơ bản, cấn xác định phần B tức là chỉ rõ phần nào của hình H thoả mãn
điều kiện bài toán. Quá trình này gọi là tìm giới hạn của tập hợp điểm
Có hai phơng pháp để tìm giới hạn của tập hợp điểm:

đờng thẳng đó một khoảng bằng a
Hc viờn: Trng Vn Bc Lp HSP Toỏn K2 Hũa Bỡnh
6
B
M
M
y
z
x
O
M'
M
b
d
b'
Trng HSP H Ni Khoa Toỏn Tin
4.Tập hợp điểm là "Đờng tròn":
Tập hợp các điểm M cách điểm O
cho trớc một khoảng cách không đổi
( r > 0 ) là đờng tròn tâm O bán kính
r
5.Tập hợp điểm là "Cung chứa
góc":
Tập hợp điểm M tạo thành với hai
mút của đoạn thẳng AB cho trớc một
góc AMB có số đo không đổi á ( 0
0
<
á < 180
0

á
Trng HSP H Ni Khoa Toỏn Tin
*Phần thuận: M, N đối xứng qua AB => BM = BN => BMN cân tại B
BMN cân tại B, BA là đờng trung trực của MN => BA là tia phân giác của MBN
ABC không đổi, BA cố định do đó N thuộc đờng thẳng cố định Bx sao cho
xBA = ABC
*Giới hạn:
Khi M B thì N B
Khi M C thì N C' ( C' là điểm đối xứng của C qua AB)
Vậy N di động trên đoạn BC'
*Phần đảo: Lấy điểm N bất kì trên đoạn BC", M là điểm đối xứng của N qua AB
Ta có: BN = BM => BMN cân tại B, mà AB là đờng trung trực của MN. Do đó BA
là tia phân giác của MBN
xBA = ABM, mà xBA = ABC => ABM = ABC => M BC
*Kết luận: Tập hợp điểm N là đoạn thẳng BC' ( C' là điểm đối xứng với C qua AB)
Bài 2: Cho tam giác ABC, một điểm D di động trên cạnh BC. Từ D vẽ các đờng
song song với AB và AC cắt AB tại M và AC tại N. Tìm tập hợp trung điểm I của
MN
Hớng dẫn giải:
Hc viờn: Trng Vn Bc Lp HSP Toỏn K2 Hũa Bỡnh
8
I''
I'
I
y
x
N
M
C
D J H

9
Trng HSP H Ni Khoa Toỏn Tin
Bài 3:
Cho một đờng thảng xy và một điểm A trên đờng thẳng đó. Tìm tập hợp tâm O của
các đờng tròn tiếp xúc với đờng thẳng xy tại điểm A.
Hớng dẫn giải:
*Phần thuận:
Đờng tròn (O) tiếp xúc với xy tại A nên OA xy ( tính chất tiếp tuyến)
Do đó O nằm trên đờng thẳng d xy tại A
*Gới hạn: O là điểm tuỳ ý trên đờng thẳng d
*Phần đảo:
Lấy điểm O bất kỳ trên đờng thẳng d, vẽ đờng tròn (O; OA) do d xy, A xy nên
OA xy tại A. Vậy đờng tròn (O) tiếp xúc với đờng thẳng xy
*Kết luận:
Tập hợp tâm của các đờng tròn tiếp xúc với đờng thẳng xy tại A là đờng thẳng
vuông góc với xy tại A.
Bài 4: Cho đờng tròn (O; R), đờng kính AB. Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại A. C là
điểm chuyển động trên đờng thẳng d. BC cắt (O) tại D ( D # B). Gọi E là trung điểm
của BD. Tìm tập hợp các tâm I của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
*Phần thuận:
E là trung điểm của BD => OE BD, tứ giác OECA có OEC + OAC =
180
0
nên nội tiếp đợc trong đờng tròn, suy ra tâm I của đờng tròn ngoại tiếp AEC
là tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác OECA. Do đó IO = IA
Hc viờn: Trng Vn Bc Lp HSP Toỏn K2 Hũa Bỡnh
10
d
y
.

11
I
I
1
O
Trng HSP H Ni Khoa Toỏn Tin
Gọi D là giao điểm của OA với đờng tròn (I) (A # D)
Xét OAB và OCD có:
OAB = OCD ( cùng chắn cung BD của (I))
AOB = COD ( đối đỉnh )
OAB OCD
= => OA.OD = OB.OC => OA.OD = R
2
OD = (không đổi) => D cố định
Vậy I thuộc đờng thẳng d cố định là đờng trung trực của đoạn thẳng AD
*Giới hạn:
Khi BOC qua A thì I di chuyển đến I
1
( I
1
là trung điểm của AD)
Khi BOC không qua A thì I chạy vô tận trên đờng thẳng d
Vậy I chuyển động trên đờng thẳng d ( trừ điểm I
1
là trung điểm của AD) là đờng
trung trực của đoạn thẳng AD
*Phần đảo:
Lấy điểm I bất kì thuộc đờng thẳng d ( I #I
1
). Vẽ đờng tròn (I;IA) cắt đờng

*Giới hạn: M chuyển động bất kì trên đờng tròn (I; R)
*Phần đảo: Lấy điểm M bất kì trên đờng tròn (I; R)
Ta có IM = R. Trên tia đối của tia MA lấy điểm B sao cho =
Nối O và B ta có: = hay =
OAB có = ( = ) => IM // OB (định lí đảo của định lí Talét)
= = => OB = 3IM = 3.R = R => B (O;R)
*Kết luận: Tập hợp điểm M là đờng tròn tâm I bán kính R ( I là điểm trên đoạn
thẳng OA sao cho = )
Bài 2: Cho điểm M chuyển động trên đờng tròn (O;R). A là điểm cố định và OA =
2R. Kẻ phân giác OD của phân giác OD của tam giác OAM. Tìm tập hợp các điểm
D.
Hớng dẫn giải:
Hc viờn: Trng Vn Bc Lp HSP Toỏn K2 Hũa Bỡnh
13
Trng HSP H Ni Khoa Toỏn Tin
*Phần thuận:
Vẽ DI // OM ( I OA)
OAM có OD là phân giác => = = 2 => = hay =
Do đó IA = OA = R => I cố định và DI = OM = R (không đổi)
Vậy D thuộc đờng tròn ( I; R)
*Giới hạn: Điểm M chuyển động trên đờng tròn (O;R) nên D di động trên ( I; R)
*Phần đảo: Lấy điểm D bất kì trên đờng tròn ( I; R), ta có DI = R
Qua O vẽ đờng thẳng song song với DI cắt AD tại M
OI = OA = IA = R
DI = IO = R => IDO = OID Mà IDO = DOM ( DI // OM) nền IOD =
DOM
OD là phân giác của tam giác OAM
OAM có DI // OM => = hay = => OM = R => M thuộc đờng tròn (O;R)
*Kết luận: Tập hợp các điểm D là đờng tròn ( I; R)
Bài 3: Cho đoạn thẳng AB = 6cm cố định, M là điểm chuyển động sao cho = . Tìm

Ta có: DMC = 90
0
, Vẽ AH MC ( H MC), AH cắt MB tại K
DB
AB
DM
AK
CD
CA
DM
AH
MCAH
MCDM
DMAH
=
=


=>=>
{//{
Mà DB = DA + AB = AB + AB = 12cm nên = = = (1)
CD = CA + DA = 2 + 6 = 8cm
Vậy = = = (2)
Từ (1) và (2) suy ra: = 2. => AK = 2AH => H là trung điểm của AK
MAK có MH AH, H là trung điểm của AK => MAK cân tại M
MC là phân giác của AMB
AMx + AMB = 180
0
DMA + AMC = 180
0

0
(góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn)
DB // CE // KM, mà K là trung điểm của DE => M là trung điểm của BC
*Kết luận: Tập hợp các trung điểm M của BC là đờng tròn đờng kính KA.
Bài 5: Cho đoạn thẳng BC cố định, tìm tập hợp các điểm A để có tam giác ABC
thoả mãn
Hc viờn: Trng Vn Bc Lp HSP Toỏn K2 Hũa Bỡnh
16
Trng HSP H Ni Khoa Toỏn Tin
AB
2
+ AC
2
= 5BC
2
Hớng dẫn giải
*Phần thuận:
Gọi các trung tuyến của tam giác ABC là AM, BD, CE cắt nhau tại G
Ta có M là trung điểm của BC, MG = MA
Tam giác ABC có BD là trung tuyến nên:
AB
2
+ AC
2
= 2BD
2
+
4BD
2
= 2AB

2
+ 4BC
2

BD
2
+ CE
2
= BC
2
GB
2
+ GC
2
= BC
2
GBC vuông tại G
Mà GM là trung tuyến nên GM = BC => MA = 3GM = BC
M cố định, BC không đổi. Vậy A thuộc đờng tròn tâm M bán kính BC
*Giới hạn: A thuôcj đờng tròn tâm M bán kính BC
*Phần đảo:
Hc viờn: Trng Vn Bc Lp HSP Toỏn K2 Hũa Bỡnh
17
A
C
D
E
B
M
G

AB
2
+ AC
2
= 5BC
2
*Kết luận: Tập hợp các điểm A là đờng tròn tâm M bán kính BC ( M là trung điểm
của BC)
III.TìM TòI Và SáNG TạO TRONG HọC TOáN TậP HợP ĐIểM
1.Quan hệ giữa bài toán tập hợp điểm và bài toán dựng hình
Bài toán dựng hình giúp ta dự đoán, xác định hình dạng, vị trí và độ lớn của
tập hợp điểm. Một số bài toán dựng hình đa về dựng một điểm thoả mãn hai điều
kiện. từ mỗi điều kiện giúp ta tìm đợc một tập hợp điểm và tìm đợc điểm cấn xác
định.
Nh vậy, để xác định rõ tập hợp điểm ta cần đến sự hỗ trợ của bài toán dựng
hình và ngợc lại để giải bài toán dựng hình có khi cũng nhờ đến sự hỗ trợ xủa bài
toán tập hợp điểm. Hai bài toán này có mỗi quan hệ khăng khít với nhau. Sau đây
xin đợc trao đổi cùng bạn đọc một số bài toán dựng hình để minh hoạ điều vừa nói
trên.
Bài 1:
Dựng hình thang ABCD ( AB // CD) biết hai đáy AD = 2cm, BC = 4cm và hai đ-
ờng chéo AC = 7cm, BD = 5cm.
Hc viờn: Trng Vn Bc Lp HSP Toỏn K2 Hũa Bỡnh
18
Trng HSP H Ni Khoa Toỏn Tin
Hớng dẫn giải:
*Phân tích:
Giả sử đã dựng đợc hình thang ABCD thoả mãn các yêu cầu của đề bài toán.
Qua D vẽ DE // AC, E thuộc BC
Ta có : DBE dựng đợc vì BD = 5cm

đầu bài.
Bài toán có 1 nghiệm hình.
Bài toán tổng quan:
Dựng hình thang ABCD biết hai đáy: AD = a (cm); BC = b(cm) và hai đờng chéo
AC = p(cm); BD = q(cm)
Bài 2: Dựng ABC bết bán kính đờng tròn ngoại tiếp là R, bán kính đờng tròn nội
tiếp là r và # = á
Hớng dẫn giải:
*Phân tích:
Giả sử ABC đã dựng đợc thjoả mãn đầu bài:
- Nội tiếp đờng tròn (O;R)
Hc viờn: Trng Vn Bc Lp HSP Toỏn K2 Hũa Bỡnh
20
Trng HSP H Ni Khoa Toỏn Tin
- Có đờng tròn nội tiếp (I;r) và # = á => AOB = 2á
Do đó ACB dựng đợc
Ta lại có: IAB = IBA = (180
0
- á) và IAB + IBA = 180
0
- AIB
Vậy: AIB = 90
0
+ không đổi
A, B cố định nằm trên cung chứa góc 90
0
+
I nằm trên đờng thẳng xy // AB và cách AB một khoảng r. Vậy I xác định
*Cách dựng
- Dựng AOB có OA = OB = R và AOB = 2á

quát. Khai thác một bài toán là công việc thờng xuyên của ngời học toán, dạy toán.
Hc viờn: Trng Vn Bc Lp HSP Toỏn K2 Hũa Bỡnh
21
Trng HSP H Ni Khoa Toỏn Tin
Bài toán 1:
Cho góc vuông xOy, trên cạnh Ox lấy điểm A cố định ( A # O), B là điểm chuyển
động trên cạnh Oy. Tìm quỹ tích điểm C sao cho ABC đều.
Hớng dẫn giải:
Dựng điểm D trong góc xOy sao cho AD = AO và OAD = 60
0
D cố định và OAB = DAC. Dễ thấy OAB = DAC ( c-g-c) => AOB =
ADC
Mà AOB = 90
0
nên ADC = 90
0
. Vậy D thuộc tia Dz sao cho ADz = 90
0
Từ lời giải trên ta thấy: Nếu ABC có AB = AC, BAC = á và xOy =
( á; là các số cho trớc, 0
0
< á; < 180
0
) thì tìm đợc điểm D cố định và ADz =
Ta tìm đợc hai bài toán tổng quát của bài toán 1
Bài toán1': Cho góc xOy, trên cạnh Ox lấy điểm A cố định ( A # O), B là điểm
chuyển động trên cạnh Oy. Tìm quỹ tích điểm C sao cho ABC cân tại A có Â = á
cho trớc.
Ta cũng nhận ra rằng = = 1. Nếu ta thay "1" bởi "m" ( với m > 0, m cho trớc) thì
OAB và DAC đồng dạng với nhau. Và ta cũng có D thuộc tia Dz sao cho ADz

Đối với tiết lý thuyết điều quan trọng là giáo viên xây dựng đợc một hệ thống
kiến thức dễ hiểu, dể tiếp nhận. Trong tiết học này nên tổ chức cho học sinh hoạt
động nắm vững kiến thức, rèn luyện kĩ năng, vận dụng kiến thức. Chính trong tiết
học này mà nhiều bài toán cơ bản đợc nảy sinh, kết đọng lại và khắc sâu trong tâm
trí ngời học.
Hc viờn: Trng Vn Bc Lp HSP Toỏn K2 Hũa Bỡnh
23
Trng HSP H Ni Khoa Toỏn Tin
Đối với những tiết bồi dỡng học sinh giỏi thì chuyên đề toán tìm tập hợp
điểm thờng đợc giáo viên và học sinh chú trọg quian tâm. Vì thế giáo viên cần cho
học sinh một kĩ năng khai thác bài toán quỹ tích theo chiều hớng tích cực. Giáo
viên cần có một hệ thống kiến thức xuyên suốt, một hệ thống câu hỏi mang tích
chất gợi mở, kích thích trí tìm tòi sáng tạo học quỹ tích ở học sinh và đặc biệt phải
cho học sinh một phơng pháp luận tìm tòi sáng tạo để hình thành đợc một lời giải
thông minh sáng tạo nhất. Bên cạnh đó một hệ thống bài tập phong phú và phù hợp
với đối tợng học sinh là vô cùng quan trọng.
2.Biện pháp có kết hợp nhiều hình thức dạy học nh dạy học theo chuyên
đề hay tổ chức giữa các học sinh.
Trong chơng trình toán THCS dạy học chuyên đề thờng đợc chú trọng. Thuận
lợi hơn chuyên đề dạy học các bài toán khó dạy thì dạng bài toán quỹ tích cũng th-
ờng đợc lựa chọn làm chuyên đề chính trong giảng dạy. Điều đó càng thuân lợi cho
việc học sinh hiểu sâu hơn, khai thác sâu hơn về dạng toán quỹ tích.
Với các tiết học chuyên đề đòi hỏi ngời giáo viên phải có sự chuyển bị công
phu, ngời giáo viên phải biết cách hệ thống hoá đợc các nội dung kiến thức quan
trọng, đặc biệt việc tìm tòi các dạng bài tập. Sau đó phân bậc các bài tập theo hớng
sử lí và chế biến thông tin, khái quát hoá tổng hợp theo từng dạng toán, đa ra các
phơng pháp giải của từng dạng toán theo con đờng phát triển dần dần từ dễ đến khó.
Để các buổi học chuyên đề đạt kết quả cao thì thầy và trò đều phải có sự
chuyển bị kĩ lỡng, học sinh phải đợc tập dợt sơ bộ từng phần của việc phân loại các
bài tập mà thầy giáo vó thể đa vào các giờ học chính khoá. Giáo viên có giao các