SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU
Mục
1

Tên đề mục

Trang
2

Lý do chọn đề tài

2

Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài

2

3

Đối tượng nghiên cứu

3

4

Phạm vi nghiên cứu

3


Kết quả

20
PHẦN III: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

Mục
1

Tên đề mục
Kết luận

Trang
22

2

Kiến nghị

22

3

Tài liệu tham khảo

26
PHẦN I: MỞ ĐẦU

I.1./ Lý do chọn đề tài:
Hiện nay, sự nghiệp giáo dục và đào tạo đang đổi mới, trước yêu cầu phát triển

thác bài toán. Với các lí do trên, tôi xin trình bày đề tài “Khai thác từ kết quả một bài
toán ” hi vọng góp phần vào giải quyết vấn đề trên.
I. 2./ Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài:
Củng cố và phát triển cho học sinh lớp 8 một số kiến thức để giải một bài toán
và khai thác chúng. Cũng từ đó mà phát triển tư duy lôgic cho học sinh, phát triển
năng lực giải toán cho các em, giúp cho bài giải của các em hoàn thiện hơn, chính xác
hơn và còn giúp các em tự tin hơn khi làm toán.

I. 3/ Đối tượng nghiên cứu: HS lớp 8ª1; 8ª2 THCS Lê Đình Chinh
Kim Nhân

2

THCS Lê Đình Chinh


SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

I.4/ Giới hạn phạm vi nghiên cứu:
Các bài toán trong chương trình toán lớp 8.
I.5./ Các phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng, sách giáo
khoa, sách tham khảo…
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm ở những lớp học sinh trước để rút kinh nghiệm
cho lớp học sinh sau.
PHẦN II: NỘI DUNG
II.1./ Cơ sở lý luận:
Đặc điểm của lứa tuổi HS THCS là muốn vươn lên làm người lớn, muốn tự mình
khám phá, tìm hiểu trong quá trình nhận thức. Các em có khả năng điều chỉnh hoạt
động học tập, sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần phải có

nghe đặc biệt là các em HS giỏi luôn thích tìm tòi và thường xuyên đặt câu hỏi cho tôi
để tôi gợi mở khi các em thực hiện
* Khó khăn:
- Đa số HS, sau khi tìm được một lời giải đúng cho bài toán thì các em hài lòng và
dừng lại, mà không tìm lời giải khác, không khai thác thêm bài toán, không sáng tạo
gì thêm nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
b. Thành công – hạn chế:
* Thành công : Qua quá trình thực hiện đề tài ( Chỉ là một sáng kiến nho nhỏ) nhưng
đến nay thì 1 số em HS như em : Nguyễn Thị Nga lớp 8ª2 ; Em : Lê Thị Duyên lớp
8ª1... đã phần nào thành thạo trong quá trình giải xong bài toán rồi thì lại tò mò tìm lời
giải mới hoặc tiếp tục tự đặt đề bài cho mình tự giải.
* Hạn chế: Điều hạn chế của đề tài này là các em HS yếu của lớp, các em chưa thực
sự thấy thích thú với dạng toán này vì việc làm này đòi hỏi trí óc phải hoạt động thực
sự nhanh nhạy, với lại thời gian trên lớp quá ít.
c./ Mặt mạnh – mặt yếu:
* Mặt mạnh : Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với
nhau, phát triển một bài toán sẽ giúp cho HS khắc sâu được kiến thức. Quan trọng hơn
là nâng cao được tư duy cho các em HS, giúp HS có hứng thú hơn khi học toán.
* Mặt yếu: Không ít HS thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù
hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao. Một
số bài toán tuy không biết giải nhưng vẫn không chịu hỏi thầy cô.
Kim Nhân

4

THCS Lê Đình Chinh


SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "




SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

- Chưa sáng tạo trong vận dụng kiến thức
Trước khi thực hiện đề tài qua khảo sát điều tra tôi thu được kết quả như sau:
Số h/s

Số h/s giải được

Số h/s có cách giải chưa

Số h/s không giải được

hợp lý

8ª1

8ª2

Số lượng

Tỉ lệ

Số lượng

Tỉ lệ

Số lượng


3

10%

25

83%

II.3./ Giải pháp , biện pháp :
a. Mục tiêu của giải pháp,biện pháp :
Qua những bài toán mà HS đã giải được, tôi định hướng cho các em tư duy, tập trung
nghiên cứu thêm về lời giải, về kết quả bài toán đó. Bằng các hình thức như:
- Kiểm tra kết quả. Xem xét lại các lập luận.
- Nghiên cứu, tìm tòi, . . . với việc tập trung giải quyết các vấn đề như:

Liệu bài toán

còn có cách giải khác hay không? Có thể thay đổi dữ kiện bài cho để đề xuất bài toán
mới không? Bài toán đã cho có liên quan với các bài toán nào khác không? . . ..
Trong đề tài này, tôi xin minh hoạ bằng cách khai thác, phát triển từ kết quả một bài
toán quen thuộc. Tôi xin đưa 2 bài toán gốc là 2 bài tập ở SGK Đại số lớp 8 và một số
ví dụ nhằm giúp HS thấy được cái hay, cái đẹp, sự thú vị trong học toán. Từ đó, giúp
HS tự tin, tích cực, sáng tạo hơn trong học toán , giúp HS thêm yêu thích, nâng cao
chất lượng, kết quả học tập môn toán.
b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp,biện pháp :
Việc khai thác và hình thành cho học sinh cách tự đặt đề bài tương tự là cách
tôi thường xuyên áp dụng nên khi dạy đến bài tập 18 trang 11 SGK Toán 8 Tập 1 và
Bài tập 32 SGK Toán 8 tập 1 trang 50 thì tôi nảy ra ý định làm một sáng kiến nho nhỏ
Kim Nhân


1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
x ( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6)

Hướng dẫn :
1
1
1
= −
x( x + 1) x x + 1
1
1
1
=
−
( x + 1)( x + 2) x + 1 x + 2

......................
1
1
1
=

1
1
+ 2
+ 2
+ 2
+ 2
+ 2
x + x x + 3 x + 2 x + 5 x + 6 x + 7 x + 12 x + 9 x + 20 x + 11x + 30
2

* Hướng giải:
S=
=

1
1
1
1
1
1
+ 2
+ 2
+ 2
+ 2
+ 2
x + x x + 3 x + 2 x + 5 x + 6 x + 7 x + 12 x + 9 x + 20 x + 11x + 30
2

1
1

(1)
x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) x + 6

* Hướng giải: ĐKXĐ : x ∉ { 0; −1; −2; −3; −4; −5; −6}
1
x

Rút gọn vế trái : VT= −
(1) ⇔

1
, Khi đó :
x+6

6− x
1
2
= 0 ⇒ x = 6 (TM ĐK)
−
=0 ⇔
x( x + 6)
x x+6

Vậy pt (1) có một nghiệm là: x = 6
c. Khai thác 3: Muốn dẫn học sinh giỏi vào dạng toán tìm cực trị thì yêu cầu HS làm
bài tập sau:
Bài toán 1.3: Tìm GTLN của biểu thức:

Kim Nhân


3

Nên A ≥ 6: (-9) = − . Vậy MaxA = −

2
tại x = - 3
3

d. Khai thác 4: Ta có thể mở rộng bài toán với số lớn hơn và yêu cầu HS tính giá trị
biểu thức
Bài toán 1.4: Tính giá trị biểu thức tại x =
1

1

1
2010

1

1

S = x( x + 1) + ( x + 1)( x + 2) + ( x + 2)( x + 3) + ... + ( x + 2009)( x + 2010)
2010

Kết quả: S = x( x + 2010)
Tại x =

1
thì S = 2009,999502

1

1

S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ... + n( n + 1)
Kết quả: S = 1 -

với n ∈ N*

1
n
=
n +1 n +1

• Dùng phép tương tự ta xét đặc điểm mẫu các phân thức: Mỗi phân thức có tử thức
bằng 1 và mẫu thức là tích của hai nhân tử “hơn kém nhau 2 đơn vị ”
Hoặc “hơn kém nhau 3; 4; 5;... đơn vị ”để từ đó ta có các dạng bài toán khác:
Bài toán 1- 7: Tính các tổng sau:
Kim Nhân

9

THCS Lê Đình Chinh


SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

1
1
1


2009.2011 2  2009 2011 
1
1  1005
=
Suy ra A = 1 −
2  2011  2011
1
1 
n +1
=
B = 1 −
2  2n + 3  2n + 3

Bài toán 1 - 8: Tính các tổng sau:
1

1

1

1

M = 2.5 + 5.8 + 8.11 + ... + ( 3n + 2)( 3n + 5) với n ∈ N
1 1

1




1 
ab −b 
 −
 =  k +1 1 
b  b1 bk +1 
b  b1.bk +1 

• Nếu thay đổi mẫu thức thành tích 3;4;5 ... nhân tử “cách đều nhau” thì ta có bài
toán sau:
Bài toán 1 - 10:

Kim Nhân

10

THCS Lê Đình Chinh


SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

Tớnh M =

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2.3 2.3.4 3.4.5


• Nếu tổng quát lên thì ta có bài toán sau
1

1

1

Bài toán 1 - 11: Tớnh N = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + (n − 1)n(n + 1)
Hướng giải:
Chú ý rằng
Thì N =

2
1
1
=
−
(n − 1)n(n + 1) (n − 1)n n( n + 1)

11
1 
 −

2  2 n(n + 1) 

• Nếu ta nâng mẫu lên lũy thừa thì ta có bài toán sau:
Bài toán 1 - 12: Tính
3


1
2009
+ + + ... +
=
x( x + 1) 2011 (1)
3 6 10
2

ĐK : x ≠ 0 và x ≠ -1 (*)

Hướng giải :
2

2

2

2

2009

Phương trình (1) <=> 2.3 + 3.4 + 4.5 + ... + x( x + 1) = 2011
Kim Nhân

11

THCS Lê Đình Chinh


SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "


Chứng minh rằng

1
1
1
1
2
+
+
+ ... +


=>

1
1


2  2 ( n + 1)( n + 2 )  4
12

Đối với dạng này thì nếu khai thác thêm thì hơi quá nên dừng lại.
Kim Nhân

12

THCS Lê Đình Chinh


SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

3.2. Bài toán gốc 2:
Bài 18 SGK trang 11
Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhoè đi
một số chỗ:
a) x2 + 6xy + ... = ( ... + 3y)2;
b) ... - 10xy + 25y2 = ( ... - ... )2;
Hãy nêu một đề bài tương tự.
Lời giải:
* Nếu những phần của hằng đẳng thức bị mực làm nhoè đi là những đơn thức thì ta
có thể khôi phục lại những hằng đẳng thức trên như sau:
a) x2 + 6xy + 9y2 = ( x + 3y)2;
b) x2 - 10xy + 25y2 = (x - 5y )2
(hoặc x2 - 10xy + 25y2 = (5y - x)2) .
* Nếu những phần của hằng đẳng thức bị mực làm nhoè đi là những biểu thức thì ta
có thể khôi phục lại những hằng đẳng thức trên bằng rất nhiều cách khác nhau như
sau:
Ví dụ 1:

SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

Trở lại nội dung bài 18 SGK trang 11 thì ta có nhận xét là không thể đưa ra được
một lời giải tối ưu bởi vì có rất nhiều cách để giúp bạn An khôi phục lại những hằng
đẳng thức bị mực làm nhoè đi một số chỗ.
Để giúp học sinh đỡ lúng túng khi trình bày lời giải bài toán thì giáo viên nên thay
đổi nội dung câu hỏi một chút để có được lời giải tối ưu cho bài toán như sau:
Bài toán 1:
Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhoè đi
một số chỗ bằng cách điền các đơn thức thích hợp vào chỗ trống (...):
a) x2 + 6xy + ... = ( ... + 3y)2;
b) ... – 10xy + 25y2 = ( ... - ... )2;
Hãy nêu một đề bài tương tự.
Hoặc là:
Bài toán 2:
Điền đơn thức thích hợp vào chỗ có dấu * để biểu thức
a) x2 + 6xy + * ;
b) * – 10xy + 25y2
trở thành bình phương của một nhị thức
*Việc đưa ra nội dung bài toán 2 lại giúp hình thành trong tôi một ý tưởng là tiếp
tục khai thác lời giải của bài toán 2, ta có ví dụ 1
Ví dụ 1:
Điền đơn thức thích hợp vào chỗ có dấu * để biểu thức A = x2 – 20x + *
trở thành bình phương của một nhị thức.
Giải: Đây là bài toán quen thuộc mà học sinh lớp 8 đều làm được:
A = x2 – 20x + * = x2 – 20x + 100 = x2 – 2.x.10 + 100 = (x - 10)2
Nhận xét: Trường hợp dấu * là một số cho trước
Chẳng hạn * = -1 ta có ví dụ 2
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 - 10x - 1
Giải: A = x2 - 10x - 1 = x2 - 10x + 25 - 26 = (x - 5)2 - 26

P = ax2 + bx + c
Giải:

với a > 0

b
x) + c
a
b
b2
b2
2
P = a ( x + 2 x. + 2 − 2 ) + c
2a 4 a 4 a
P = a( x 2 +

b
b2
b2
P = a ( x + 2 x.
+ 2 ) +c −
2a 4a
4a
b 2
b2
4ac − b 2
P = a ( x + ) + (c − ) ≥
2a
4a
4a

Nhận xét: Kết hợp ví dụ 4 và ví dụ 5 ta có tam thức ax2 + bx + c có giá trị nhỏ
nhất nếu a > 0 ; có giá trị lớn nhất nếu a < 0.
Trong nhiều trường hợp, ta cần đổi biến đưa biểu thức về dạng tam thức bậc hai
đối với biến mới. Ví dụ 6
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M = (3x - 1)2 – 4. 3x − 1 + 5
Giải: Đặt 3x − 1 = y , ta có:
M = y2 – 4y + 5 = (y – 2)2 + 1 ≥ 1
Giá trị nhỏ nhất của M là 1 khi và chỉ khi y – 2 = 0 hay y = 2.
Với y = 2 ta có:
x = 1
3 x − 1 = 2
3x − 1 = 2 ⇔ 
⇔
x = − 1
3 x − 1 = −2
3


Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1 khi và chỉ khi x = 1 hoặc x = −

1
3

Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
N = x(x – 3)(x – 4)(x – 7)
Giải: Biến đổi N = x(x - 3)(x – 4)(x – 7) = (x2 – 7x)(x2 – 7x + 12)
Cách 1:
Đặt x2 – 7x = y ta có:
N = y(y + 12) = y2 + 12y = (y + 6)2 – 36 ≥ -36

đẳng thức hoặc không nhóm các hạng tử được.
Vậy thì làm thế nào để xuất hiện nhân tử chung?
Chúng ta có thể “Tách ” hạng tử bằng cách có thể như sau:
- Để chia nhóm ta có thể tách 1 hạng tử thành 2 hạng tử để thành 4 hạng tử và
như vậy ta sẽ chia thành 2 nhóm sẽ xuất hiện nhân tử chung.
- Có thể hướng dẫn học sinh giải theo cách sau:
a. Tách một hạng tử:
* Cách 1: x2 – 3x + 2 = x2 – x –2x +2
= (x2 – x) – (2x – 2)
= x (x – 1) – 2 (x – 1)
= (x – 1) (x –2)
* Cách 2: x2 – 3x + 2 = x2 – 3x +

9 1
−
4 4

9
1
4
4
3
1
= (x - )2 – ( )2
2
2
3
1
3 1
= (x - + ) (x - - )

= (x – 1) (3x – 2x – 2)
= (x – 1) (x – 2)
b. Tách hai hạng tử: Có thể hướng dẫn học sinh giải theo cách tách 2 hạng tử để chia
thành 2 nhóm trong đó có 1 nhóm được viết dưới dạng hằng đẳng thức và 1 nhóm thì
sẽ xuất hiện nhân tử chung, theo các cách sau:
* Cách 6: x2 – 3x + 2= x2 – 2x – x + 1 + 1
= (x2 – 2x + 1) – (x – 1)
= (x – 1)2 – (x – 1)
= (x – 1) (x – 1 – 1)
= (x – 1) (x – 2)
* Cách 7: x2 – 3x + 2= x2 – 4x + x + 4 – 2
= (x2 – 4x + 4) + (x – 2)
= (x – 2)2 + (x – 2)
= (x – 2) (x – 2 + 1)
= (x – 2) (x – 1)
c. Tách ba hạng tử. Có thể tách cả 3 hạng tử để chia thành 3 nhóm mà mỗi nhóm đều
có nhân tử chung như cách sau:
* Cách 8: x2 – 3x + 2= 3x2 – 2x2 – 6x + 3x + 8 – 6

= (3x2 – 6x) – (2x2 – 8) + (3x – 6)
= 3x(x – 2) – 2(x2 – 4) + 3(x – 2)
= 3x(x – 2) – 2(x – 2) (x + 2) + 3(x – 2)
= (x – 2) (3x – 2x – 4 + 3)
= (x – 2) (x – 1)
Ví dụ 2: x2 + x – 6
Tương tự như vậy ở ví dụ 1 giáo viên cũng có thể hướng dẫn giải theo các cách tách 1
hạng, tách 2 hạng tử hoặc tách 3 hạng tử, theo các cách sau:
* Cách 1: x2 + x – 6 = x2 + 3x – 2x – 6
= (x2 +3x) – (2x + 6)
= x(x + 3) – 2(x + 3)

= (x + - ) (x + + )
2 2
2
2

= (x2 +x +

= (x – 2) (x + 3)
* Cách 3: x2 + x – 6 = x2 + x – 2 – 4
= (x2 – 4) + (x – 2)
= (x – 2) (x + 2) + (x – 2)
= (x – 2) (x + 2 + 1)
= (x – 2) (x + 3)
* Cách 4:
x2 + x – 6 = x2 + x – 9 + 3
= (x2 – 9) + (x + 3)
= (x – 3) (x + 3) + (x + 3)
= (x + 3) (x –3 + 1)
= (x – 2) (x + 3)
* Cách 5: x2 + x – 6 = x2 - 4x + 4 + 5x – 10
= (x2 - 4x + 4) + (5x – 10)
= (x – 2)2 + 5(x – 2)
= (x – 2) (x – 2 + 5)
= (x – 2) (x + 3)
* Tổng quát: Để phân tích đa thức có dạng: x2 + px + q.
Nếu ta tìm được 2 số a và b sao cho:
a + b = p và ab = q thì ta có thể tách px = (a + b)x = ax + bx để có dạng hằng đẳng
thức: x2 + px + q = x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)
Ở dạng này có rất nhiều dạng bài tập nhưng tôi chỉ đưa ra một số ví dụ để tham
khảo, mong quý thầy cô góp ý thêm.

mà HS hiểu bài hơn rất nhiều.
d. Mối quan hệ giữa các biện pháp, giải pháp:
Do đây là dạng toán hơi khó nên ban đầu tôi chưa dám đưa ra nhiều dạng khác, chỉ
thử nghiệm xem học sinh có thực sự hứng thú với việc khai thác một bài toán hay
chưa . Nhưng bước đầu đã gây được sự hứng thú của học sinh đã làm cho tôi thấy dần
dần sẽ phát huy cách làm này.
Để khai thác một nội dung kiến thức nào đó được triệt để đòi hỏi người GV
phải có sự chuẩn bị chu đáo và kỹ càng, đồng thời phải có nguồn tư liệu dồi dào
phong phú . Việc khai thác một bài toán phải xác định nhiều hướng khác nhau, nhiều
dạng bài tập khác nhau, nhưng phải đảm bảo tính logich, tính khoa học và tính chính
xác, tránh lung tung xa rời thực tế. Cung cấp kiến thức cho đúng đối tượng HS mới
phát huy được trí lực và phát triển được tính tự giác tích cực học tập của các em.Vì
vậy mỗi giáo viên phải thường xuyên đưa học sinh vào các tình huống có vấn đề để
các em tư duy, tự tìm hiểu kiến thức mới qua mỗi dạng toán. Đồng thời phải biết động
viên, khích lệ, biểu dương sự cố gắng của các em, trân trọng thành quả đạt được của
các em.
e. Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu:
Trên đây là một nội dung nhỏ trong việc rèn kĩ năng khai thác một bài toán cho
học sinh. Tôi đã áp dụng những kinh nghiệm trên vào thực tế giảng dạy bồi dưỡng
học sinh giỏi của trường đã thu được một số kết quả khả quan:
Đa phần các em đã có thể ngòai việc sau khi giải xong một bài toán thường thấy
các em trăn trở và tìm cách khai thác thêm bài toán.

Kim Nhân

20

THCS Lê Đình Chinh




Số lượng

Tỉ lệ

23

74%

4

13%

4

13%

Số lượng

Tỉ lệ

Số lượng

Tỉ lệ

Số lượng

Tỉ lệ

20

nhiều phát hiện thể hiện sự tìm tòi, sáng tạo bước đầu rất tích cực.
( Ở đây tôi không dám nói là sau khi thực hiện đề tài thì các em làm được tất cả
nhưng ít nhất đối với HS yếu thì cũng đã thay chữ cái khác trong các bài tập)
Thực tế, tôi đã sử dụng vào giảng dạy cho khối 8 hai năm học liền gần đây thì
kết quả cho thấy HS đều có ý thức thi đua nhau học tập, rất hào hứng phát biểu các
suy nghĩ, tìm tòi, phát hiện của mình về cách giải khác, bài toán mới, . . .. Và tôi thấy
tinh thần học tập của các em sôi nổi, phấn khởi hơn, khả năng tự nghiên cứu toán học
của các em được phát huy một cách tích cực; kết quả học tập môn toán, nhất là hình
học có nhiều tiến bộ. Các em không những nắm vững kiến thức trong SGK, các em
còn có cố gắng trong việc tìm hiểu giải các bài toán nâng cao, các bài toán khó, bước
đầu có thói quen tốt: Biết chịu khó, tích cực tìm tòi khai thác, phát triển các bài toán
cho trước, đối với HS đại trà thì hơi khó khăn nhưng đối với HS giỏi thì rất bổ ích.
PHẦN III.

KẾT LUẬN,KIẾN NGHỊ
III.1./ Kết luận: Việc khai thác, phát triển một bài toán cho trước góp phần rất
quan trọng trong việc nâng cao năng lực tư duy cho HS khi học môn Toán - nhất là
việc bồi dưỡng HS giỏi. Qua quá trình giảng dạy và nghiên cứu, bản thân tôi nhận
thấy:
- Các GV giảng dạy toán đều đánh giá cao tầm quan trọng của việc khai thác,
phát triển từ một bài toán mà HS đã giải được. Mở rộng, phát triển thêm các bài toán
khác (đơn giản hoặc thường là phức tạp hơn) nhằm phát triển tư duy sáng tạo, linh
hoạt, độc lập, tích cực suy nghĩ cho cả người dạy và người học.
- Trong quá trình giảng dạy và học tập toán, việc khai thác, tìm hiểu sâu thêm
kết quả của bài toán là rất quan trọng và rất có ích. Nó không chỉ giúp chúng ta nắm
bắt kĩ kiến thức của một dạng toán mà nó còn nâng cao tính khái quát hoá, đặc biệt
hoá, tổng quát hoá một bài toán; từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo, linh
Kim Nhân

22

trào có tác dụng tốt, rất có ý nghĩa, đặc biệt là trong xu thế thời đại đang rất cần sự
sáng tạo, chủ động, tích cực trên mọi lĩnh vực công tác hiện nay. Vì vậy, tôi mạnh dạn
và mong muốn Phòng giáo dục đào tạo và cấp trên duy trì phong trào này, khích lệ
Kim Nhân

23

THCS Lê Đình Chinh


SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

động viên các tập thể, cá nhân có những sáng kiến hữu hiệu, tích cực; có hình thức
phổ biến, trao đổi về các sáng kiến hay tới đông đảo giáo viên để nâng cao chất lượng
mũi nhọn ở học sinh.
Tuy đã cố gắng nhưng do kinh nghiệm cá nhân còn hạn chế nên nội dung của
sáng kiến kinh nghiệm này chắc chắn không tránh khỏi nhiều khiếm khuyết. Tôi rất
mong được sự trao đổi, chỉ bảo và đóng góp ý kiến bổ sung của các thầy giáo, cô giáo
để đề tài được hoàn thiện hơn.

Quảng điền, ngày 22 tháng 02 năm
2015
Người viết

Dương Thị Kim Nhân
NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………