phòng giáo dục và đào tạo
kim bảng

1

kiểm tra chất lợng học sinh giỏi năm học 2008 2009

môn toán lớp 8
Thời gian 150 phút Không kể thời gian giao đề

Đề chính thức
Bài 1 (3 điểm)Tính giá trị biểu thức

1 4 1 4 1
4 1
1+ ữ 3 + ữ 5 + ữ.......... 29 + ữ
4
4
4
4

A=
4 1 4 1 4 1
4 1
2 + ữ 4 + ữ 6 + ữ.......... 30 + ữ
4
4
4
4



Môn: Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút

Bài 1. Cho biểu thức: A =

x5 + x 2
x3 x 2 + x

a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x để A - A = 0
c) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: a) Cho a > b > 0 và 2( a2 + b2) = 5ab
Tính giá trị của biểu thức: P =

3a b
2a + b

b) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng a2 + 2bc > b2 + c2
Bài 3: Giải các phơng trình:


a)

2

2 x
1 x
x
1 =


Bài 2: (2điểm)


3

Giải phơng trình:
1. x 2 3 x + 2 + x 1 = 0
2

2

2

1
2

2. 8 x + 1 ữ + 4 x 2 + 12 ữ 4 x 2 + 12 ữ
x + ữ = ( x + 4)
x
x
x
x



x + 11 x + 22 x + 33 x + 44
+
=
+
3.


GB
HD
.
=
BC AH + HC

Hết

đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
năm học 2008 - 2009
môn: Toán 8

Phòng Giáo dục- Đào tạo
TRựC NINH

*****

(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề)

đề chính thức

Đề thi này gồm 1 trang

Bi 1 (4 im): Cho biu thc
A=

4xy
y x2
2


b) Tỡm cỏc s x, y, z bit :
x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
v x 2009 + y 2009 + z 2009 = 32010
Bi 3 (3 im): Chng minh rng vi mi n N thỡ n5 v n luụn cú ch s tn cựng ging nhau.
Bi 4 (7 im): Cho tam giỏc ABC vuụng ti A. Ly mt im M bt k trờn cnh AC. T C v
mt ng thng vuụng gúc vi tia BM, ng thng ny ct tia BM ti D, ct tia BA ti E.
ã
ã
a) Chng minh: EA.EB = ED.EC v EAD
= ECB
2
ã
b) Cho BMC
= 1200 v S AED = 36cm . Tớnh SEBC?
c) Chng minh rng khi im M di chuyn trờn cnh AC thỡ tng BM.BD + CM.CA cú giỏ tr
khụng i.
d) K DH BC ( H BC ) . Gi P, Q ln lt l trung im ca cỏc on thng BH, DH.
Chng minh CQ PD .
Bi 5 (2 im):
a) Chng minh bt ng thc sau:

x y
+ 2 (vi x v y cựng du)
y x

b) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P =

x y
x2 y 2

+
c
=
2009

2, Cho ba số x, y, z thoả mãn x + y + z = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của B = xy + yz + zx .
Bài 2: (2 điểm)
Cho đa thức f ( x ) = x 2 + px + q với p Z, q Z . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để
f ( k ) = f ( 2008 ) .f ( 2009 ) .
Bài 3: (4 điểm)
1, Tìm các số nguyên dơng x, y thoả mãn 3xy + x + 15y 44 = 0 .
2, Cho số tự nhiên a = ( 2 9 )

2009

, b là tổng các chữ số của a, c là tổng các chữ số của b, d là

tổng các chữ số của c. Tính d.
Bài 4: (3 điểm)
Cho phơng trình
Bài 5: (3 điểm)

2x m x 1
+
= 3 , tìm m để phơng trình có nghiệm dơng.
x2 x+2


5
Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng đờng chéo AC, trên tia đối của tia AD lấy điểm E, đờng


n +2

D=n -n+2 là số chính phơng . (n 2)
5


6

Câu 2: (5 điểm) Chứng minh rằng :
a)

a
b
c
+
+
= 1 biết abc=1
ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1

b) Với a+b+c=0 thì a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2
2
2
2
c) a 2 + b 2 + c 2 c + b + a

b

c


=
AB CD EF

c) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE.Nêu cách dựng dờng thẳng đI qua K và chia đôI diện tích
tam giác DEF.
-----------------------------------------------hết-----------------------------------------------------------------pgd thị xã gia nghỉa

đề thi phát hiện học sinh giỏi bậc thcs năm
học 2008-2009
Môn : toán ( 120 phút không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1 đ)
Cho biết a-b=7 tính giá trị của biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab
Bài 2: (1 đ)
Chứng minh rằng biểu rhứ sau luôn luôn dơng (hoặc âm) với một giá trị của chử đã cho :
-a2+a-3
Bài 3: (1 đ)
Chứng minh rằng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì tứ giác đó là hình bình hành.
Bài 4: (2 đ)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

2
4 x + 8x 5
2

Bài 5: (2 đ)
Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ có một số là lập
phơng của một số tự nhiên khác.Tìm số đó.
Bài 6: (2 đ)
Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD , đờng chéo AC vuông góc với cạnh bên CD, BAC = CAD
.Tính AD nếu chu vi của hình thang bằng 20 cm và góc D bằng 600.

7

b) Gọi M trung điểm của BE . Tính góc AHM.
------------------------------------------------hết--------------------------------------------------------------Phòng GD-đt vũ th
Hớng dẫn chấm môn toán 8

Bài

1.1

Nội dung

Điểm

a+b+c=0
Cho ba số a, b, c thoả mãn 2
, tính A = a 4 + b 4 + c 4 .
2
2
a
+
b
+
c
=
2009

2
2
2

1,00

2,00

= xy + 3 ( x + y ) ( x + y ) = x 2 y 2 xy + 3x + 3y
2

2

2

2

y 3 3y 2 + 6y + 9
y 3 3
2


= x +
+
= x +
+ ( y 1) + 3 3
ữ
ữ
2
4
2
4





Với x = 2008 chọn k = f ( 2008 ) + 2008 Â

Suy ra f ( k ) = f ( 2008 ) .f ( 2009 )
3.1 Tìm các số nguyên dơng x, y thoả mãn 3xy + x + 15y 44 = 0 .
3xy + x + 15y 44 = 0 ( x + 5 ) ( 3y + 1) = 49
x, y nghuyêndơng do vậy x + 5, 3y + 1 nguyên dơng và lớn hơn 1.

1,25
0,50
0,25

2,00
0,75
0,50


Thoả mãn yêu cầu bài toán khi x + 5, 3y + 1 là ớc lớn hơn 1 của 49 nên có:
x+5 = 7
x = 2


3y + 1 = 7
y = 2
Vậy phơng trình có nghiệm nguyên là x = y = 2.
3.2 Cho số tự nhiên a = 2 9 2009 , b là tổng các chữ số của a, c là tổng các chữ số của b, d
( )

8

+
= 3 ... x ( 1 m ) = 2m 14
x2 x+2
m = 1phơng trình có dạng 0 = -12 vô nghiệm.
2m 14
m 1 phơng trình trở thành x =
1 m
2m 14
1 m 2

m4
2m 14
Phơng trình có nghiệm dơng
2
1 < m < 7
1 m
2m 14
1 m > 0

m4
Vậy thoả mãn yêu cầu bài toán khi
.
1 < m < 7
Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng đờng chéo AC, trên tia đối của tia AD lấy điểm E,
đờng thẳng EB cắt đờng thẳng DC tại F. Chứng minh AEC đồng dạng CAF , tính
3

4

5

ã
ã
mà
AEC
= CAF
ã
ã
ã
ã
ã
EOF
= AEC
+ EAO
= ACF
+ EAO
ã
= 180 0 DAC
= 120 0

E
A
O
B
D

C

9
1,00
1,00

CF
FK.AC
AF.AC
CF
AF.AC
D
C
ACF
E
F
B
BF AF.AB
=
Tơng tự
CE AE.AC
BE BF AB 2
=

(đpcm).
CE CF AC 2
Trên bảng có các số tự nhiên từ 1 đến 2008, ngời ta làm nh sau lấy ra hai số bất kỳ
và thay bằng hiệu của chúng, cứ làm nh vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng
lại. Có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 đợc không? Giải thích.
Khi thay hai số a, b bởi hiệu hiệu hai số thì tính chất chẵn lẻ của tổng các số có trên
bảng không đổi.
2008. ( 2008 + 1)
Mà S = 1 + 2 + 3 + ... + 2008 =
= 1004.2009 0 mod 2 ; 1 1mod 2
2
do vậy trên bảng không thể chỉ còn lại số 1.


lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008
Môn : Toán
Đáp án và thang điểm:
Nội dung

PHòNG Giáo dục và đào tạo

Bài 1 Câu
1.
1.1

1.2

(0,75 điểm)

= ( x + 1) ( x + 6 )

0,5

(1,25 điểm)

= x + x + 1 + 2007 ( x + x + 1) = ( x + 1) x + 2007 ( x + x + 1)
4

2

2

2

Điểm
2,0
0.5

x 2 + 7 x + 6 = x 2 + x + 6 x + 6 = x ( x + 1) + 6 ( x + 1)

x 4 + 2008 x 2 + 2007 x + 2008 = x 4 + x 2 + 2007 x 2 + 2007 x + 2007 + 1

2.

10

+ Nếu x < 1 : (1) x 2 4 x + 3 = 0 x 2 x 3 ( x 1) = 0 ( x 1) ( x 3 ) = 0
x = 1; x = 3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)
Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là x = 1 .
2

2

0,5
0,5

2

1
1
1
1
2


1
1
2
2


8 x + ữ 8 x 2 + 2 ữ = ( x + 4 ) ( x + 4 ) = 16
x
x


x = 0 hay x = 8 và x 0 .
Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm x = 8

Phòng Giáo dục- Đào tạo
TRựC NINH

*****

0,5
0,25

đáp án và hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi
năm học 2008 - 2009
môn: Toán 8

Bi 1: (4 im)
a) iu kin: x y; y 0
(1 im)
b) A = 2x(x+y)


2
hạn: 
y = 2 + 3

2
2

+ Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2
Bài 2: (4 điểm)
x + 11 x + 22 x + 33 x + 44
+
=
+
a)
115
104
93
82
x + 11
x + 22
x + 33
x + 44
⇔(
+ 1) + (
+ 1) = (
1) + (
+ 1)
115
104

⇔ ...

⇔ x + 126 = 0

⇔ x = −126

b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
⇔ 2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0
⇔ (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0

(0,5 điểm)
(0,75 điểm)

x − y = 0

⇔ y − z = 0
z − x = 0


⇔x=y=z
⇔ x2009 = y2009 = z2009

(0,75 điểm)

Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009 = 32010
⇔ z2009 = 32009
⇔ z =3
Vậy x = y = z = 3

(0,5 điểm)

B

P

I

H

C©u a: 2 ®iÓm
* Chøng minh EA.EB = ED.EC
- Chøng minh ∆ EBD ®ång d¹ng víi

C

(1 ®iÓm)
ECA
(gg)
∆

EB ED
=
⇒ EA.EB = ED.EC
EC EA
·
·
* Chøng minh EAD
(1 ®iÓm)
= ECB
- Tõ ®ã suy ra



0,5 ®iÓm

0,5 ®iÓm


13
2

- Lý luận cho

S EAD ED từ đó
=
ữ
S ECB EB

SECB = 144 cm2

0,5 điểm

Câu c: 1,5 điểm
- Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg)
- Chứng minh CM.CA = CI.BC
- Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi
Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2

0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm


ã
ã
ma`BDP + PDC = 90

1 điểm

Bi 5: (2 im)
a) vỡ x, y cựng du nờn xy > 0, do ú

x y
+ 2
y x

(*)

x 2 + y 2 2xy

(x y)2 0 (**). Bt ng thc (**) luụn ỳng, suy ra bt (*) ỳng (pcm) (0,75)
x y
+ =t
y x
x2 y2
2 + 2 = t2 2
(0,25)
y
x
Biu thc ó cho tr thnh P = t2 3t + 3
P = t2 2t t + 2 + 1 = t(t 2) (t 2) + 1 = (t 2)(t 1) + 1
(0,25)
- Nu x; y cựng du, theo c/m cõu a) suy ra t 2. t 2 0 ; t 1 > 0 ( t 2 ) ( t 1) 0


1
Có a4+ = a 2 + 1 ữ a 2 = a 2 + a + 1
a2 a + ữ
ữ
4
2
2
2






Khi cho a các giá trị từ 1 đến 30 thì:
Tử thức viết đợc thành





Điểm
1,0
0,5


1
1
1

14
0,5

(22+2+ )(22-2+ )(42+4+ )(42-4+ )(302+30+ )(302-30+ )
Mặt khác (k+1)2-(k+1)+
Nên A=

12 1 +

1
2

302 + 30 +

1
2

=

1
1
=.=k2+k+
2
2

0,5
0,5

1
1861

2
Vậy A có giá trị nhỏ nhất là khi a =
và b =
9
3
3

Do đó A a2 2a 2 +

Bài 4 : 3 điểm
- Chọn ẩn và đạt điều kiện đúng
- Biểu thị đợc mỗi đại lợng theo ẩn và số liệu đã biết(4 đại lợng)
- Lập đợc phơng trình
- Giải đúng phơng trình
- Đối chiếu và trả lời đúng thời gian của 1 ô tô
- Lập luận , tính và trả lời đúng thời gian của ô tô còn lại
Bài 5 : 6 điểm
ý a : 2 điểm
Chứng minh đợc 1
1.0
cặp góc bằng nhau
Nêu đợc cặp góc
0,5
bằng nhau còn lại
Chỉ ra đợc hai tam
0,5
giác đồng dạng
ý b : 2 điểm
Từ hai tam giác
0,5

Kết luận đúng 2 tam
giác đồng dạng
ý c : 2 điểm

15
A

0,5

H
N

G

O

C

B
M

- Từ hai tam giác đồng dạng 0,5
ở câu b suy ra góc AGH =
góc MGO (1)
- Mặt khác góc MGO + Góc 0,5
AGO = 1800(2)
- Từ (1) và (2) suy ra góc
0,5
AGH + góc AGO = 1800
- Do đó H, G, O thẳng hàng 0,5

x + ữ = ( x + 4)
x
x
x
x




Bài 3: (2điểm)











4. Căn bậc hai của 64 có thể viết dới dạng nh sau: 64 = 6 + 4
Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dới dạng
nh trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó.
5. Tìm số d trong phép chia của biểu thức
x 2 + 10 x + 21 .
Bài 4: (4 điểm)

( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x + 6 ) ( x + 8 ) + 2008 cho đa thức



Bi 1 (4 im): Cho biu thc
A=

4xy
y x2
2

1

1

: 2
+ 2
2
2
y + 2 xy + x
y x

a) Tỡm iu kin ca x, y giỏ tr ca A c xỏc nh.
b) Rỳt gn A.
c) Nu x; y l cỏc s thc lm cho A xỏc nh v tho món: 3x 2 + y2 + 2x 2y = 1, hóy tỡm tt
c cỏc giỏ tr nguyờn dng ca A?
Bi 2 (4 im):
a) Gii phng trỡnh :
x + 11 x + 22 x + 33 x + 44
+
=
+
115

x2 y 2
b) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = 2 + 2 3 + ữ+ 5
y
x
y x

(vi x 0, y 0 )


pgd &đt bỉm sơn
đề thi học sinh giỏi lớp 8
trờng thcs xi măng
năm học 2008-2009 môn toán 2008-2009
môn toán (150 phút không kể thời gian giao đề)

17

Câu 1(5điểm) Tìm số tự nhiên n để :
a) A=n3-n2+n-1 là số nguyên tố.
4
3
2
b) B= n + 3n +2 2n + 6n 2 có giá trị là một số nguyên .

n +2

c) D=n -n+2 là số chính phơng . (n 2)
Câu 2: (5 điểm) Chứng minh rằng :
5



x 214 x 132 x 54
+
+
=6
86
84
82

b) 2x(8x-1)2(4x-1)=9
c) x2-y2+2x-4y-10=0 với x,y nguyên dơng.
câu 4: (5 điểm).Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,O là giao điểm hai đờng chéo. Qua O kẻ đờng
thẳng song song với AB cắt DA tại E ,cát BC tại F.
d) chứng minh rằng : diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC.
e) Chứng minh :

1
1
2
+
=
AB CD EF

f) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE.Nêu cách dựng dờng thẳng đI qua K và chia đôI diện tích
tam giác DEF.
-----------------------------------------------hết-----------------------------------------------------------------pgd thị xã gia nghỉa

đề thi phát hiện học sinh giỏi bậc thcs năm
học 2008-2009
Môn : toán ( 120 phút không kể thời gian giao đề)


18
2x
2x
1

3
: 1 2

2
x 1 x + x x 1 x +1

C=

d) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C đợc Xác định.
e) Rút gọn C.
f) Với giá trị nào của x thì biểu thức C đợc xác định.
Bài 10 (3 đ)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB) , đờng cao AH. Trên tia HC lấy HD =HA, đờng vuông
góc với BC tại D cắt AC tại E.
c) chứng minh AE=AB
d) Gọi M trung điểm của BE . Tính góc AHM.
------------------------------------------------hết---------------------------------------------------------------

UBND THàNH PHố Huế
PHòNG Giáo dục và đào tạo

Bài 1 Câu
1.
1.1

2

2

2

2

= ( x + x + 1) ( x x + 1) + 2007 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x x + 2008 )
2

2.

2.1

2

2

2

2

0,25
0,25
0,25
2,0

x 2 3 x + 2 + x 1 = 0 (1)
+ Nếu x 1 : (1) ( x 1) 2 = 0 x = 1 (thỏa mãn điều kiện x 1 ).

x



Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x 0
2
2
1
1
2

2 1 2 1
(2) 8 x + ữ + 4 x + 2 ữ x + 2 ữ x + ữ = ( x + 4 )
x
x
x
x



0,25

2

1
1
2
2



⇒ 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 ⇒ A + (x – y + 1)2 = 2
⇒ A = 2 – (x – y + 1)2 ≤ 2 (do (x – y + 1) ≥ 0 (với mọi x ; y) ⇒ A ≤ 2. (0,5đ)

1

x − y + 1 = 0
x
=


2
+ A = 2 khi 2x ( x + y ) = 2 ⇔ 

y = 3
x
≠
±
y;y
≠
0


2
(x − y + 1)2 = 1

+ A = 1 khi 2x ( x + y ) = 1 Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y, chẳng

x ≠ ± y;y ≠ 0

2 −1

93
82

⇔

x + 126 x + 126 x + 126 x + 126
+
=
+
115
104
93
82
x + 126 x + 126 x + 126 x + 126
⇔
+
−
−
=0
115
104
93
82

⇔ ...

(0,5 điểm)

(1 điểm)


⇔ z =3
Vậy x = y = z = 3
(0,5 điểm)
Bài 3 (3 điểm)
Cần chứng minh: n5 – n M10
- Chứng minh : n5 - n M2
n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) M2 (vì n(n – 1) là tích của hai số nguyên liên
tiếp)
(1 điểm)
5
- Chứng minh: n – n M5
n5 - n = ... = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5)
= n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 )
lý luận dẫn đến tổng trên chia hết cho 5
(1,25 điểm)
5
5
- Vì ( 2 ; 5 ) = 1 nên n – n M2.5 tức là n – n M10
Suy ra n5 và n có chữ số tận cũng giống nhau.
(0,75 điểm)
Bµi 4: 6 ®iÓm
E

D
A
M
Q

B


0,5 điểm

- Từ đó suy ra

- Chứng minh

EAD đồng dạng với ECB (cgc)

0,75 điểm

ã
ã
- Suy ra EAD
= ECB

0,25 điểm

Câu b: 1,5 điểm

ã
- Từ BMC
= 120o ãAMB = 60o ãABM = 30o
- Xét EDB vuông tại D có B
à = 30o
ED =

0,5 điểm

1
ED 1

- Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg)

0,5 điểm



0,5 điểm

BH BD
2 BP BD
BP BD
=

=

=
DH DC
2 DQ DC
DQ DC

- Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc)

ã
ã

BDP
= DCQ
CQ PD
ã
ã

P 1 . ng thc xy ra khi v ch khi t = 2 x = y (1) (0,25)

d) t

21


22
- Nếu x; y trái dấu thì

x
y
< 0 và < 0
y
x

⇒ ( t − 2 ) ( t − 1) > 0 ⇒ P > 1

⇒ t < 0 ⇒ t – 1 < 0 và t – 2 < 0

(2)
(0,25đ)
- Từ (1) và (2) suy ra: Với mọi x ≠ 0 ; y ≠ 0 thì luôn có P ≥ 1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x = y. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là Pm=1 khi x=y


23


24