ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8 (lần 2)

Năm học 2009 - 2010
Bài 1: Cho biểu thức M =






+
+
−
+
−
2
1
36
6
4
3
2
xx
xx
x
:






2
a) Phân

tích biểu thức A thành nhân tử.
b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0.
Bài 3:
a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
A = x
2
- 2xy + 2y
2
- 4y + 5
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau :
B =
1
)1(3
23
+++
+
xxx
x
Bài 4:
Cho hình bình hành ABCD . Với AB = a ; AD = b. Từ đỉnh A , kẻ một đường
thẳng a bất kỳ cắt đường chéo BD tại E, cắt cạnh BC tại F và cắt tia DC tại G.
a) Chứng minh: AE
2
=EF.EG
b). Chứng minh rằng khi đường thẳng a quay quanh A thay đổi thì tích BF.DG
không đổi.
Bài 5:



+
+
−
+
−
2
1
36
6
4
3
2
xx
xx
x
:








+
−
+−
2

6
2
.
)2)(2(
6 +
+−
− x
xx
=
x−2
1
b)Tính giá trị của M khi
x
=
2
1
x
=
2
1
⇔
x =
2
1
hoặc x = -
2
1

Với x =
2


Bài 2a) Phân

tích biểu thức A thành nhân tử.
Ta có : A = ( b
2
+ c
2
- a
2
)
2
- 4b
2
c
2
= ( b
2
+ c
2
- a
2
)
2
- (2bc)
2
= ( b
2
+ c
2

2

≥
0 ; (y - 2)
2

≥
0
Nên A= (x-y)
2
+ (y - 2)
2
+ 1
≥
1
Dấu ''='' xãy ra
⇔
x = y và y = 2
Vậy GTNN của A là 1
⇔
x = y =2
b) B =
1
)1(3
23
+++
+
xxx
x
=

⇔
x = 0
Vậy GTLN của B là 3
⇔
x = 0
Bài 4:
a)
Do AB//CD nên ta có:

ED
EB
EG
EA
=
=
DG
AB
(1)
Do BF//AD nên ta có:

ED
EB
EA
EF
=
=
FB
AD
(2)
Từ (1) và (2)

y- x
3
yz-y
2
z+xy
2
z
2
= xy
2
-x
2
z - xy
3
z +x
2
yz
2

⇔
x
2
y- x
3
yz - y
2
z+ xy
2
z
2

0 nên xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = 0
Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm)

E

F

A

B

D

C

G

ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8
Năm học 2009 - 2010
Bài 1: Cho biểu thức M =
nn
aa
aa
3
2
1
2
−
−+
+


48
b) ( 7.5
2n
+12.6
n
)

19; Với n là số nguyên dương
Bài 3:
Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác 0, đồng thời thoả mãn
0=++
z
c
y
b
x
a
và
1=++
c
z
b
y
a
x
. Chứng minh rằng
1
2
2

)2010( +x
x
HD:
Bài 1: a) Rút gọn M
Ta có: M =
nn
aa
aa
3
2
1
2
−
−+
+
.






−
−
−
−+
aaa
aa
22
22

> 0
Do đó
1
2
+
+
n
a
a
> 0 (1)
Với a>2
⇒
a + 2 < 2a và a
n+1
≥
a
2

Do đó
1
2
+
+
n
a
a
< 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < M < 1
Bài 2:
a) (m

+12.6
n
= 7.5
2n
+12.6
n
+7.6
n
- 7.6
n
=( 7.25
n
- 7.6
n
) + 19.6
n
= 7(25
n
- 6
n
)
+19.6
n
Do 7(25
n
- 6
n
)

19 và 19.6

b
y
a
x
⇒
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
++
+
ab
xy2
+
bc
yz2
+
ac
xz2
= 1
⇒
2

2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
(đpcm)
Bài 4:
a) Chứng minh: BE.DF = a
2

∆
BEC ~
∆
DCF
⇒
DF
BC
DC
BE
=
Hay BE.DF = BC.DC = a
2


(1)

∆
DCF ~
∆
AEF
⇒
FA
AE
DF
DC
=
(2)
Nhân (1) và (2) vế theo vế ta có:

2
2
.
AF
AE
DF
DC
BC
BE
=
Hay
2
2
AF
AE

(Đề chính thức) MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Thí sinh làm tất cả các bài toán sau đây:
Bài 1: (4 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử:
1. 4x
2
– 8x + 3
2. x
2
– y
2
+ 10 x – 6y + 16
3. x
5
+ x + 1
4. a (b
2
– c
2
) + b (c
2
– a
2
) + c (a
2
– b
2
)
Bài 2: (5 điểm)
1. Xác đònh hệ số a, b sao cho đa thức: x

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN
NĂM HỌC 2006 - 2007
BÀI
CÂ
U
NỘI DUNG
BIỂU
ĐIỂM
1
(4
đ)
1
2
3
4
4x
2
– 8x + 3 = 4x
2
– 2x – 6x + 3
= 2x(2x – 1) – 3(2x – 1)
= (2x – 1)(2x – 3)
x
2
– y
2
+ 10x – 6y +16 = x
2
+ 10x + 25 – y

2
(x – 1)(x
2
+ x + 1) + (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)( x
3
- x + 1)
a (b
2
– c
2
) + b (c
2
– a
2
) + c (a
2
– b
2
) =
= a (b
2
– c
2
) + b(c
2

Câu
2
(5
đ)
1
2
Thực hiện phép chia đa thức x
4
+ ax
3
+ b cho đa thức
x
2
-1 ta được thương là x
2
+ ax + 1, số dư là ax + (b + 1)
Để chia hết thì đa thức dư phải bằng 0 với mọi x
Do đó: a = 0 và b + 1 = 0
Vậy: a = 0 và b = - 1
a.
1
0.5
0.5
0.5
BÀI
CÂ
U
NỘI DUNG
BIỂU
ĐIỂM

2
} – 3bc (a + b + c)
= (a + b + c) (a
2
– ab – ac + b
2
+ 2bc + c
2
– 3bc)
= (a + b + c) (a
2
+ b
2
+ c
2
– ab – ac – bc)
Áp dụng câu 1: nếu a + b + c = 0 thì: a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
Ta co ù: 
Vậy: A = xyz = 3
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5

BÀI
CÂ
U
NỘI DUNG
BIỂU
ĐIỂM
3
4
AC và BD.
Ta có: OM là đường trung bình của ACE
Vậy: OM // CE.
Ta có: = (góc đồng vò) (1)
COD cân tại O; CIK cân tại I
Do đó: = (2)
= (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra : =
Vậy: HK // AC
Xét ACE có đường thẳng HK đi qua trung điểm I
của CE và HK // AC nên đường thẳng HK đi qua trung
điểm của AE, tức đi qua điểm M.
Vậy 3 điểm M, H, K thẳng hàng.
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
5
K
E

Hình
vẽ
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8
Năm học 2009 - 2010
Bài 1: Cho biểu thức M =
nn
aa
aa
3
2
1
2
−
−+
+
.






−
−

Bài 3:
Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác 0, đồng thời thoả mãn
0=++
z
c
y
b
x
a
và
1=++
c
z
b
y
a
x
. Chứng minh rằng
1
2
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y

2
1
2
−
−+
+
.






−
−
−
−+
aaa
aa
22
22
3
44
)2(
=
)3(
)1)(2(
−
−+
aa

> 0 (1)
Với a>2
⇒
a + 2 < 2a và a
n+1
≥
a
2

Do đó
1
2
+
+
n
a
a
< 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < M < 1
Bài 2:
a) (m
3
+3m
2
- 3m -3)

48
Ta có: m
3
+3m

n
=( 7.25
n
- 7.6
n
) + 19.6
n
= 7(25
n
- 6
n
)
+19.6
n
Do 7(25
n
- 6
n
)

19 và 19.6
n

19
Nên ( 7.5
2n
+12.6
n
)


2
2
c
z
b
y
a
x
++
+
ab
xy2
+
bc
yz2
+
ac
xz2
= 1
⇒
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y

y
a
x
(đpcm)
Bài 4:
a) Chứng minh: BE.DF = a
2

∆
BEC ~
∆
DCF
⇒
DF
BC
DC
BE
=
Hay BE.DF = BC.DC = a
2
b) Chứng minh đẳng thức
2
2
AF
AE
DF
BE
=

∆

DC
BC
BE
=
Hay
2
2
AF
AE
DF
BE
=
c) Ta có: S
FAE
=
2
F.AAE

A

F

C

B

D

E
Mặt khác BE.DF = a