ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGUYỄN PHƢƠNG ANH

SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH
VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VỚI NHỮNG
HỆ CON ỔN ĐỊNH VÀ KHÔNG ỔN ĐỊNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGUYỄN PHƢƠNG ANH

SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH
VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VỚI NHỮNG
HỆ CON ỔN ĐỊNH VÀ KHÔNG ỔN ĐỊNH
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. ĐÀO THỊ LIÊN

Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo, bộ phận Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Trường Cao Đẳng Sư phạm Hòa Bình, cùng các
đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và
hoàn thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Phƣơng Anh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

iii

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................... ii
MỤC LỤC ..........................................................................................................iii
MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
Chƣơng 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ ...................................................................... 4
1.1. Hệ phương trình vi phân thường ........................................................... 4

mạch DAEs) có dạng:
E x  A x

(0.2)

trong đó E p , Ap   nn , là ma trận hằng với mỗi tham số p {1,2,, N } ,

det E p  0,  là tín hiệu chuyển mạch.
Trong luận văn này tôi trình bày một số điều kiện đủ cho sự ổn định của hệ
chuyển mạch DAEs trong trường hợp không phải tất cả các hệ con là ổn định.
DAEs tuyến tính cổ điển (tức là không có sự chuyển mạch) xuất hiện
một cách tự nhiên khi mô hình hóa các mạch điện cũng như các hệ thống cơ
học đơn giản với các ràng buộc. Đã có một loạt các kết quả nghiên cứu về
phương trình vi phân đại số cổ điển, ví dụ kết quả của Breman, Campbell và
Petzold [5] Rabier và Rheinboldt [16], Kuke và Mehrmann [10], ... Khi mỗi ma
trận E p là khả nghịch thì phương trình (0.2) đưa được về dạng quen thuộc hơn
là phương trình vi phân thường hay hệ chuyển mạch. Cũng có nhiều kết quả
nghiên cứu như: Wichs, Peleties và Decarlo [18]; Dayawansa và Martin [6]. Lý
thuyết ổn định của các hệ chuyển mạch đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu
trong những năm gần đây (có thể kể ra các công trình của Branicky [4]; Zhao
và Spong [23]; Liberzon [11]; Hesspanha, Liberzon, Angeli và Sontag [8];
Kim, Campbell và Liu [9].
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

2
Theo Liberzon [11] sự chuyển đổi giữa các hệ con ổn định có thể dẫn
đến sự mất ổn định; hệ chuyển mạch là ổn định tiệm cận theo chuyển đổi tùy ý
nếu và chỉ nếu các hệ con chia sẻ một hàm Lyapunov chung và sự ổn định được

hệ chuyển mạch DEAs tuyến tính mà không cần giả sử mỗi hệ con là ổn định
tiệm cận khác biệt với Liberzon và Trenn [12] và chỉ ra sự ổn định tiệm cận
của hệ chuyển mạch DEAs nếu thời gian dừng trung bình được chọn đủ lớn và
tổng thời gian kích hoạt của các hệ con không ổn định là tương đối nhỏ so với
hệ ổn định.
Nội dung luận văn gồm 37 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương
nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chƣơng 1: Kiến thức cơ sở.
Nội dung chương này là trình bày một số kiến thức cơ bản bao gồm các
khái niệm cơ bản, các tính chất của phương trình vi phân, phương trình vi phân
đại số, hệ chuyển mạch sử dụng trong luận văn.
Chƣơng 2: Sự ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính với
các hệ con ổn định và không ổn định.
Nội dung chương này trình bày bài toán và một số kết quả nghiên cứu về
sự ổn định của hệ chuyển mạch DAEs (0.2) với những hệ con ổn định và không
ổn định, cùng một số ví dụ minh họa cho các kết quả trên.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

4
Chƣơng 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Hệ phƣơng trình vi phân thƣờng
1.1.1. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1.1.1. Hệ phương trình vi phân thường (ODE) là hệ phương
trình dạng:


dt

(1.3)

trong đó Y  colon( y1, y2 ,, yn )
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

5
F (t , Y )  colon( f1 (t , Y ),, f n (t , Y ))
dY
dy
dy
 colon( 1 ,, n )
dt
dt
dt

được gọi là ổn định theo nghĩa Lyapunov khi t   (hay ổn định Lyapunov)
nếu với mỗi   0 và t0  (a, ) tồn tại    ( , t0 )  0 sao cho
1. Tất cả các nghiệm Y  Y (t ) của hệ (1.4) (bao gồm cả nghiệm Z (t ) )
thỏa mãn điều kiện
|| Y (t0 )  Z (t0 ) || 

(1.4)

xác định trong khoảng [t 0 , ] tức là Y (t )  Dy khi t [t0 , ) .
2. Đối với các nghiệm này bất đẳng thức sau thỏa mãn
|| Y (t )  Z (t ) ||  khi t0  t  .

(1.8)

tức là ma trận gồm n nghiệm độc lập tuyến tính của (1.8)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

6
 X (1) (t )  colon( x11 (t ),, xn1 (t ))



 X ( n ) (t )  colon( x (t ),, x (t ))
1n
nn


Nếu ma trận nghiệm cơ bản X(t) là chuẩn hóa tại t  t0 , tức là X (t0 )  I n , thì
nghiệm Y(t) của (1.8) có dạng
Y (t )  X (t )Y (t0 ).

(1.9)

Định nghĩa 1.1.2.1. Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) được gọi là ổn
định (hay không ổn định) nếu tất cả các nghiệm Y=Y(t) của nó ổn định (hoặc
không ổn định) Lyapunov khi t   .

Định nghĩa 1.1.2.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) được gọi là ổn
định tiệm cận nếu tất cả các nghiệm của nó ổn định tiệm cận khi t   .


đều có phần thực không dương, tức là:
Re i ( A)  0. (i  1,2,, n)

Định lý 1.1.2.8. Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.8) với ma
trận hằng, ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng

i  i ( A) của A đều có phần thực âm, tức là:
Re i ( A)  0. (i  1,2,, n)

1.2. Hệ phƣơng trình vi phân đại số
1.2.1. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.2.1.1. Cho P L( n ). P được gọi là một phép chiếu nếu P 2  P .
Nhận xét 1.2.1.2.
1. Cho P là phép chiếu. Khi đó ta có KerP  Im P   n .
2. Mỗi phân tích  n  U  V tồn tại duy nhất một phép chiếu P sao cho
Im P  U và KerP  V , khi đó P được gọi là phép chiếu lên U dọc theo V .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN
/>

8
Đặt Q : I  P thì Q cũng là một phép chiếu và là phép chiếu lên V dọc
theo U.
Cho A, B L( Rn ) , gọi S  {x   n : Bx  ImA}
Phép chiếu Q lên KerA dọc theo S được gọi là phép chiếu chính tắc, kí
hiệu Qcan và Pcan  I n  Qcan .

Định nghĩa 1.2.1.3. Cho A  L( n ) . Số tự nhiên k được gọi là chỉ số của ma
trận A, kí hiệu là indA, nếu đó là số nhỏ nhất mà KerAk  KerAk 1 .

Định nghĩa 1.2.1.4. Với A  L( n ) ta luôn có

A  S 1diag (Tr , N )T , B  S 1diag (M , I mr )T
trong đó N(t) là k - lũy linh, tức là N k  0, N l  0 với mọi l  k .
3. Nếu A(t ), B(t )  C ( J , L( n ))

 (t ,  )  det ( A(t )  B(t ))  ar (t ) r  a1(t )  a0 (t )
với ar  0 trên J thì tồn tại các ma trận khả nghịch S ,T  C ( J , L( n )) sao cho
0 
I
S (t ) A(t )T 1 (t )   r
;
 0 N (t ) 
 M (t ) 0 
S (t ) B(t )T 1 (t )  
I mr 
 0

trong đó N(t) là k- lũy linh, tức là N k  0, N l  0 với mọi l < k.
Ngoài ra, nếu

A(t ), B(t )  C i ( J , L( n )), (i  0,1,2,, n)
và deg det( A  b)  rankA : r với mọi t  J thì tồn tại các ma trận khả nghịch

S (t ),T (t )  C i ( J , L( n )) sao cho
I
S (t ) A(t )T 1 (t )   r
0

0
,
0 

A 
Ta nhận được ma trận không suy biến  1    n .
 B2 

Định nghĩa 1.2.1.9. Ma trận A+ thỏa mãn các tính chất
1. A y  x  ImAT với y  ImA mà Ay = y;
2. A y  0 với y  KerAT .
được gọi là nghịch đảo Moore - Penrose của ma trận A  n .

Định nghĩa 1.2.1.10. Giả sử A  n và ind(A) = k. Ma trận thỏa mãn các
tính chất
1. AD y  x nếu y  ImAk và y = Ax;
2. AD y  0 và y  KerAk ,
được gọi là nghịch đảo Drazin của A.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

11

Định lý 1.2.1.11. Giả sử A  n ta có
1. A AA  A và AA A  A ;
2. AA+ là phép chiếu vuông góc lên Im(A) dọc theo Ker ( AT ) và A A là
phép chiếu vuông góc lên ImAT dọc theo Ker A.
Định lý 1.2.1.12. Nếu

ind ( A)  k , rank ( Ak )  r
Im( Ak )  span(s1,, sr )
Ker ( Ak )  span(sr 1,, sm ), S  [s1,, sm ]
thì A  S diag (M , N )S 1 trong đó M là ( r  n) - ma trận không suy biến và N là

Trường hợp A, B L( n ) ta gọi hệ trên là hệ phương trình vi phân đại số
với hệ số hằng.
Định nghĩa 1.2.2.2. Phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.11) được gọi là
chính qui chỉ số 1 nếu cặp ma trận hệ số (A, B) chính quy chỉ số 1.
Định nghĩa 1.2.2.3. Giả sử N(t):= Ker A(t) là trơn, nghĩa là tồn tại phép chiếu

Q  C1 ( P) lên N(t), P = I - Q.
Hàm x(t )  C1N được gọi là nghiệm của phương trình (1.11) trên P nếu
hệ thức
A(t )( P(t )X(t ))' P '(t ) x(t )  B(t )x(t )  q(t )

thỏa mãn với mọi t  R .
Hơn nữa với phương trình vi phân đại số tuyến tính thuần nhất chính quy
chỉ số 1.
A(t ) x ' B(t )x  0, t  

(1.12)

thì S (t )  ImPcan là không gian nghiệm của (1.12) và có số chiều là r (r =
rank A(t)).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

13
Nói một cách chính xác, với mỗi x0  S (t0 ) có đúng một nghiệm của
(1.12) đi qua vào thời điểm t0. Nghiệm của phương trình thuần nhất (1.12) được
xác định bởi
x(t )  Pcan (t )u(t ),

0 
 W(t ) 0 
,
B
(
t
)

 0
I ms 
J (t ) 


trong đó J(t) là k- lũy linh và Ker J(t) = Ker J(0).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

14
Định nghĩa 1.2.2.7. Một ma trận vuông X(t) cấp m được gọi là ma trận nghiệm
cơ bản (FSM) của (1.12) nếu r vectơ cột đầu tiên của nó là các nghiệm độc lập
tuyến tính của (1.12) và (m-r) vectơ cột còn lại là các vectơ không.
Định nghĩa 1.2.2.8. Hệ phương trình Ax ' Bx  0 được gọi là chính quy chỉ sổ
k nếu cặp ma trận (A, B) là chính quy chỉ số k.
Định nghĩa 1.2.2.9. Giá trị phức    được gọi là giá trị riêng hữu hạn của
cặp ma trận (A, B) nếu det( A  B)  0 .
Nếu  là một giá trị riêng hữu hạn của cặp ma trận (A, B) thì có một
vectơ x  0 sao cho  Ax   Bx . Vectơ x như thể được gọi là vectơ riêng của
cặp ma trận (A, B) tương ứng với giá trị riêng  .


trong đó x : I   n , A, B  L( n ), detA  0 . Rõ ràng hệ (1.16) có nghiệm tầm
thường x (t )  0 .
Giả sử hệ (1.16) có chỉ số 1 và Ker A(t) trơn. Gọi Q(t) là phép chiếu khả
vi liên tục trên Ker A(t), đặt P(t ) : I n  Q(t ) .
Định nghĩa 1.2.3.1. Nghiệm tầm thường x (t )  0 của hệ (1.16) được gọi là ổn
định (theo nghĩa Lyapunov) nếu với mọi   0 cho trước và với mọi t0  I đều
tồn tại    (t0 ,  )  0 sao cho nếu x0  R n thỏa mãn || P(t0 , x0 ) ||  thì
|| x(t; t0 , x0 ) ||  , t  t0 .

Định nghĩa 1.2.3.2. Nghiệm tầm thường x (t )  0 của hệ (1.16) được gọi là ổn
định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại số  0 (t0 )  0 sao cho nếu
|| P(t0 , x0 ) ||  0 (t ) thì || x(t; t0 , x0 ) || 0 khi t   .

Định nghĩa 1.2.3.3. Nghiệm tầm thường x (t )  0 của hệ (1.16) được gọi là ổn
định tiệm cận mũ nếu tồn tại hằng số dương  và với mọi số   0 cho trước
đều tồn tại số    (t0 ,  )  0 sao cho nếu x0  n thỏa mãn || P(t0 , x0 ) ||   thì

|| x(t; t0 , x0 ) ||  e (t t0 ) , t  t0 .
1.3. Hệ chuyển mạch
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

16
1.3.1. Sự chuyển mạch phụ thuộc thời gian
Định nghĩa 1.3.1.1. Cho P  {1,2,, m} xét họ f p :  n   n , p  P . Hàm hằng
từng khúc  : [0,)  P , có một số hữu hạn các điểm gián đoạn và liên tục
phải tại những điểm gián đoạn đó, được gọi là tín hiệu chuyển mạch.
Gọi S là tập các cặp ( , x) , trong đó  là tín hiệu chuyển mạch và x là

Định nghĩa 1.3.1.4. Nghiệm của hệ chuyển mạch là cặp ( , x)  S thỏa mãn
1. Mọi khoảng mở trên đó  là hằng số, x là nghiệm của hệ chuyển mạch

x  f (t ) ( x).
2. Tại mỗi thời điểm chuyển mạch t, x(t )   ( (t ),  (t ), x (t )).

Định nghĩa 1.3.1.5.
 K là tập các hàm liên tục chặt  (.) :      ,  (0)  0.
 K_ là tập các hàm liên tục chặt  (.) :      ,  (0)  0 và không
bị chặn.
 KL là tập hợp các hàm  : [0, )  [0, )  [0, ) sao cho
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

17
1. Mỗi t cố định thì  (., t )  K .
2. Mỗi s cố định thì  ( s,.) là đơn điệu giảm và  ( s, t )  0 khi t   .

Định nghĩa 1.3.1.6.
 Điểm cân bằng xeq là ổn định nếu tồn tại  K sao cho

|| x(t )  xeq ||  (|| x(t0 )  xeq ||), t  t0 , || x(t0 )  xeq || c
dọc theo mỗi nghiệm ( , x)  S của hệ chuyển mạch.
 Điểm cân bằng xeq   n là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định
Lyapunov và mỗi nghiệm, mà nghiệm đó tồn tại trên [0,  ) , thì

x(t )  xeq , khi t  .
 Điểm cân bằng xeq   n là ổn định tiệm cận đều nếu tồn tại  KL
sao cho

x

1.3.3. Điều kiện đại số về sự ổn định của hệ chuyển mạch tùy ý
Cho hệ chuyển mạch tuyến tính x  A x, ( , x)  Sall . Giả sử tồn tại

m  n, M  nn và {Bq   mm : q  P} sao cho
MAq  Bq M , q  P
Đặt z : Mx, ta có
z  Mx  MA x  B Mx  B z.

Định lý 1.3.3.1. Nếu V ( z )  z ' z là hàm Lyapunov chung của hệ chuyển mạch
x  B x,

tức là B 'q  Bq  0, q  P thì hệ chuyển mạch thường là ổn định tiệm cận đều (mũ).

Định lý 1.3.3.2. Nếu tập chỉ số P là hữu hạn, với mọi Aq , (q  P) là ổn định
tiệm cận và Ap Aq  Aq Ap , (p, q  P) thì hệ chuyển mạch là ổn định tiệm cận
đều (mũ).

1.3.4. Bài toán ổn định
Xét một hệ được mô tả bởi hệ phương trình vi phân

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

19
 x  f (t , x(t )), t  0

 x(t0 )  x0 (t )


Định nghĩa 1.3.4.2. Hệ (1.21) là ổn định khi và chỉ khi với bất kì ma trận Q đối
xứng, xác định dương thì phương trình Lyapunov

AT P  PA  Q
có nghiệm P đối xứng, xác định dương.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

20
Định nghĩa 1.3.4.3. Cho hệ phương trình vi phân
x (t )  f (t , x(t )), t  0,

trong đó x(t )  n là vectơ trạng thái của hệ f :     n   n là hàm vectơ
cho trước thỏa mãn
f (t ,0)  0, t  0.

(1.22)

Với K là tập các hàm liên tục tăng chặt  (.) :      ,  (0)  0 . Khi
đó V (t , x) :     n   , V (t ,0)  0, với mọi t  0 được gọi là hàm Lyapunov
của hệ (1.22) nếu
1. V(t, x) là hàm khả vi liên tục,
2. V(t, x) là hàm xác định dương,
3. V (t , x(t )) :

V V

f (t , x(t ))  0 với mọi nghiệm của hệ (1.22).