SKKN Rèn luyện kĩ năng giải toán về hàm số cho học sinh lớp 12 THPT

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
- Trong nội dung chương trình môn Toán lớp 12 THPT, đạo hàm và
ứng dụng của đạo hàm có vai trò rất quan trọng nó chiếm một khối lượng
lớn kiến thức và thời gian học của chương trình, nó có mặt ở hầu hết các đề
thi tốt nghiệp và đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng. Vì vậy việc sử
dụng đạo hàm để giải các bài toán về hàm số là điều cần thiết và bổ ích đối
với HS lớp 12 trung học phổ thông.
Thực tế dạy và học toán ở trường phổ thông cho thấy HS còn rất
lúng túng và khó khăn khi sử dụng phương pháp đạo hàm để giải các bài
toán về cực trị, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số, chứng minh
bất đẳng thức và đặc biệt là các bài toán hàm số chứa tham số.
- Nhiệm vụ hàng đầu của môn toán ở trường trung học phổ thông là
truyền thụ kiến thức và rèn luyện kĩ năng cho HS vì thế việc rèn luyện cho
HS kĩ năng sử dụng đạo hàm để giải các bài toán hàm số cũng góp phần
thực hiện nhiệm vụ môn toán .
Từ những lý do trên, để giúp HS có kĩ năng ứng dụng đạo hàm để
giải các bài toán hàm số, chúng tôi chọn đề tài: “Rèn luyện kĩ năng giải
toán về hàm số cho học sinh lớp 12 THPT ”.
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng được hệ thống bài tập và đề xuất các biện pháp nhằm rèn
luyện cho HS những kĩ năng sử dụng đạo hàm để giải các bài toán về hàm
số
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
3.1. Khách thể nghiên cứu
Khách thể nghiên cứu của đề tài là kĩ năng giải toán của học sinh nói
chung và kĩ năng giải toán về hàm số của học sinh lớp 12 THPT nói riêng.

1

về hàm số nói riêng hiện nay ở Việt Nam.
2


6.3. Thời gian nghiên cứu
Đề tài được thực hiện trong thời gian từ tháng 8 năm 2012 đến tháng
3 năm 2013, cụ thể:
Chương 1: 15/8/2012 – 10/11/2012
Chương 2: 10/11/2012 – 16/01/2013
Chương 3: 16/01/2013 – 15/3/2013

3


PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kĩ năng và kĩ năng giải toán
1.1.1. Kĩ năng
Theo từ điển Hán Việt của Phan Văn Các, “kĩ năng là khả năng vận
dụng tri thức khoa học vào thực tiễn’’ trong đó khả năng được hiểu là sức
đã có ( về mặt nào đó ) để có thể làm tốt công việc.
Như vậy kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động nào
đó theo một mục đích trong những điều kiện nhất định. Nếu ta tách riêng tri
thức và kĩ năng để xem xét thì tri thức thuộc về phạm vi nhận thức, thuộc
về khả năng “biết”còn kĩ năng thuộc về phạm vi hành động, thuộc khả năng
“biết làm”.
Kĩ năng có các tính chất sau:
+) Kĩ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lí thuyết- đó là kiến thức,
bởi vì cấu trúc của kĩ năng bao gồm: hiểu mục đích - biết cách đi đến kết

quá trình tập luyện, đều là cách thức của hành động. Tuy nhiên kĩ năng và
kĩ xảo có những điểm khác biệt như sau: kĩ năng yêu cầu độ linh hoạt, sáng
tạo của chủ thể cao trong khi kĩ xảo thiên về khuôn mẫu, máy móc. Kĩ xảo
có trước và là tiền đề để có kĩ năng.
Kĩ năng có tính ổn định nhưng không bền vững như kĩ xảo. Trong
quá trình hoạt động, qua thời gian, kĩ năng có thể được bổ sung hoặc rút
ngắn đi, hoặc thay đổi. Kĩ năng thực hiện một hoạt động nào đó có thể mất
đi sau một thời gian đồng thời cũng có thể được tái hình thành ( thường thì
sau một thời gian ngắn hơn thời gian hình thành kĩ năng đó).
+) Theo như đã trình bày, kiến thức là cơ sở của kĩ năng, do đó tùy
theo nội dung kiến thức truyền thụ cho HS mà ta có những yêu cầu rèn
luyện kĩ năng tương ứng. Con đường đi từ kiến thức đến kĩ năng là rất
phong phú và nó phụ thuộc vào nhiều tham số như kiến thức xác định kĩ
năng, yêu cầu rèn luyện kĩ năng, mức độ chủ động, tích cực của HS,…Con
đường tốt nhất và đảm bảo tính sư phạm là sự tham gia hoạt động và bằng
hoạt động chủ động, tích cực, độc lập của chủ thể.
5


1.1.2. Kĩ năng giải toán
Kĩ năng giải toán là khả năng vận dụng các kiến thức toán học để
giải các bài tập toán học ( tìm tòi, suy đoán, suy luận, chứng minh…)
Kĩ năng giải toán dựa trên cơ sở của tri thức toán học bao gồm: kiến
thức, kĩ năng, phương pháp. HS sau khi nắm vững lý thuyết, trong quá
trình tập luyện, củng cố đào sâu kiến thức thì kĩ năng được hình thành, phát
triển đồng thời nó cũng góp phần củng cố, cụ thể hóa tri thức toán học.
Kĩ năng toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực
hiện các hoạt động Toán học và các hoạt động học tập trong môn Toán. Kĩ
năng có thể được rút ngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động.
Do sự trừu tượng hóa trong Toán học diễn ra trên nhiều cấp độ, cần

gồm hai dạng:
- Dạng 1 là những nội dung mà HS sản sinh ra một cách tích cực
bằng các thao tác tư duy, bằng lao động trí óc và thực hành.
- Dạng 2 là những ý tưởng chợt lóe sáng tự phát, được hiểu theo
nghĩa bừng sáng của quá trình tư duy sáng tạo. Chuyển dịch về những vấn
đề quen thuộc đã có thuật giải: quy nạp, tìm kiếm, dự báo, bổ sung vào
thuật giải đã có hoặc tìm kiếm thuật giải mới.
+Kĩ năng tự kiểm tra đánh giá tiến trình và kết quả bài toán, tránh
sai lầm khi giải toán: Trong học tập giải toán, việc phát hiện và sửa chữa
sai lầm là một thành công của người học toán.
+ Kĩ năng thu nhận, hợp thức hóa bài toán thành kiến thức mới của
người giải toán.
b) Ngoài ra cần rèn luyện các nhóm kĩ năng cụ thể sau:
Nhóm kĩ năng thực hành:
+ Kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán: Kĩ năng này
được rèn luyện trong quá trình tìm tòi lời giải của bài toán. Cần chú ý kĩ
năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch để nắm vững và vận dụng
kiến thức (một thành phần của tư duy toán học), kĩ năng biến đổi xuôi
chiều và ngược chiều song song với nhau giúp cho việc hình thành các liên
tưởng ngược diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận.

7


+ Kĩ năng tính toán: đây là điều cần thiết trong thực tiễn cuộc sống.
Ở đâu cũng đòi hỏi kĩ năng tính toán như: tính đúng, tính nhanh, tính hợp
lí. Các đức tính để có được các kĩ năng đó là: cẩn thận, chu đáo, nhanh trí,
kiên trì, luôn có ý thức tìm tòi các phương pháp tính toán khác nhau.
Kĩ năng tính toán được rèn luyện qua các bài luyện tập, thông qua
tính nhẩm, sử dụng bảng số, máy tính, thực hiện các phép tính gần đúng.

trong quá trình giải toán, phân loại các khả năng có lời giải hoặc cách đi
đến lời giải, xác định trọng tâm cần giải quyết trong bài toán.
+ Kĩ năng mô hình hóa: Hành động mô hình hóa bài toán là hành
động chuyển bài toán thành mô hình và phân tích quan hệ toán học cũng
như các phương pháp toán học sử dụng trên mô hình đó. Đây là một kĩ
năng cần thiết để giải bài toán có ứng dụng thực tiễn và các bài toán liên
môn khác .
+ Kĩ năng sử dụng thông tin: nhận biết, thu thập và ghi nhận thông
tin từ nội dung bài toán. Phân loại, sắp xếp và thể hiện qua các kênh thông
tin trong hoạt đông giải toán để tạo cơ sở huy động kiến thức, vốn kinh
nghiệm có liên quan hữu ích đến việc giải bài toán.
1.1.3. Đề xuất các biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS
1.1.3.1 Cơ sở lý luận để xây dựng các biện pháp nhằm rèn luyện
kĩ năng giải toán cho học sịnh THPT
a. Cơ sở tâm lý giáo dục
Quá trình học được tiến hành bằng sự kết hợp giữa hoạt động dạy
của thầy và các hoạt động của học trò, do đó các biện pháp sư phạm phải
thông qua hoạt dộng dạy tác động vào hoạt động học của HS, làm cho HS
có động cơ hoàn thiện tri thức và kĩ năng. Nhân cách của HS trong đó có
kết quả học tập, chính là chất lượng sản phẩm mà nhà trường đào tạo cho
xã hội. Vì vậy cần chú ý đến hoạt động học, các biện pháp tập trung vào
rèn luyện và phát triển các dạng hoạt động của HS, rèn luyện kĩ năng học
tập của HS: kĩ năng nhận thức, kĩ năng thực hành, kĩ năng tổ chức hoạt
động, kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá. Theo tác giả Lê Văn Hồng, tâm lý sư
phạm. NXB ĐHQG Hà Nội 2007: “ Cơ sở tâm lý của kĩ năng là sự thông
hiểu mối quan hệ qua lại giữa mục đích hoạt dộng, các điều kiện và cách
thức hoạt động ấy ”.
b. Cơ sở phương pháp dạy học bộ môn Toán
Phương pháp dạy học Toán ở trường THPT phải luôn gắn liền với
việc truyền thụ tri thức, kĩ năng với việc phát triển các năng lực của HS.


Quy trình giải
(Thuật toán, quy
tắc)

GV
hướng dẫn quy trình
( phương pháp )

Các bài tập áp dụng
và nâng cao

HS thực hành, luyện tập
(áp dụng phương pháp)

Hoàn thiện quy
trình giải dạng toán

Kĩ năng

Khái quát hoá hoạt động
chọn phương pháp tối ưu
(hoàn thiện quy trình giải)

10


1.1.3.3. Giải pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS.
Để rèn luyện được kĩ năng giải toán cho HS ta cần phải có một giải
pháp đồng bộ, bao gồm các hoạt động sau:

Khi đã có một quy trình giải toán chung nhất như trên, cộng với
những tri thức phương pháp về những nội dung toán học cụ thể HS có thể
tìm tòi, khám phá để tìm đến lời giải bài toán.
- Đối với những bài toán đã có thuật giải: GV cần căn cứ vào yêu cầu
chung của chương trình cũng như tình hình thực tế để, hoặc thông báo
tường minh thuật giải hoặc có thể cho HS thực hiện các hoạt động học tập
ăn khớp với tri thức phương pháp đó.
- Đối với những bài toán chưa có hoặc không có thuật giải: GV cần
hướng HS suy nghĩ, tìm tòi lời giải. Qua đó trang bị cho HS một số tri thức
về phương pháp giải toán. Thông qua dạy HS giải một số bài toán cụ thể
mà dần dần cho HS cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật giải một lớp
các bài toán có dạng quen thuộc. Từ đó hình thành kĩ năng giải quyết loại
bài toán đó.
c. Rèn luyện kĩ năng giải toán thông qua củng cố, luyện tập
Cấu tạo của SGK ở phổ thông theo nguyên tắc: Mỗi nội dung Toán
học mới đều dựa vào những nội dung đã được học trước kia. Vì vậy việc
củng cố tri thức kĩ năng một cách có định hướng và có hệ thống có ý nghĩa
to lớn trong việc dạy học toán. Củng cố cần được thực hiện không chỉ đối
với tri thức mà còn đối với cả kĩ năng, kĩ xảo, thói quen và thái độ.
Trong môn toán củng cố diễn ra dưới các hình thức: luyện tập, đào
sâu, ứng dụng, hệ thống hoá và ôn.
Luyện tập: trước hết nhằm mục tiêu rèn luyện kĩ năng kĩ xảo. Luyện
tập không phải chỉ đối với tính toán mà còn cả đối với việc dựng hình, vẽ
đồ thị của hàm số, giải phương trình, bất phương trình, sử dụng thước, máy
tính...
Đào sâu: Đào sâu trước hết nhằm vào việc phát hiện và giải quyết
những vấn đề liên quan đến những phương diện khác nhau, những khía
cạnh khác nhau của tri thức, bổ sung, mở rộng và hoàn chỉnh tri thức.

12

củng cố.
1.2. Bài tập toán và phương pháp dạy học giải bài tập toán
1.2.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học

13


Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán, là giá mang
hoạt động của HS. Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt
động nhất định, bao gồm cả nhận dạng thể hiện định nghĩa, định lí, qui tắc,
phương pháp, những hoạt động toán học phức tạp, những hoạt động phổ
biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và hoạt động ngôn ngữ.
Vai trò của bài tập thể hiện trên 3 bình diện:
+) Trên bình diện mục đích dạy học, bài tập toán học ở trường phổ
thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể
hiện mức độ đạt mục đích. Bài tập toán học góp phần :
-Hình thành, củng cố tri thức kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác
nhau của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn .
-Phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những thao tác tư duy, hình
thành những phẩm chất trí tuệ.
-Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng hình thành những phẩm
chất đạo đức của người lao động mới.
+) Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá
mang những hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, làm cho bài
tập đó trở thành một phương tiện để cài đặt nội dung dưới dạng những tri
thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ xung cho những tri thức nào đó đã
được trình bày trong phần lý thuyết.
+) Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá
mang những hoạt động để người học kiến tạo những nội dung nhất định
và trên cơ sở đó thực hiện các mục đích dạy học khác. Khai thác tốt

hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán
cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán
tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương
pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán
học, toán dựng hình, toán quỹ tích…
Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc
biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên
quan…

15


Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được kết quả
hợp lí nhất.
Trả lời cho các câu hỏi hướng dẫn như: đã gặp bài toán này lần nào
chưa? Xét kĩ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng
cái chưa biết hay có cái cho biết tương tự? Có thể áp dụng một định lí nào
đó? Có thể phát biểu bài toán một cách khác hay không? Nếu không giải
được hãy thử giải một bài toán liên quan dễ hơn hay không? Hãy chọn một
lời giải ngắn gọn, hợp lý nhất…
Bước 3: Trình bày lời giải
Từ cách giải đã phát hiện được, sắp xếp các việc phải làm thành một
chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các
bước đó.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải
Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
1.3. Dạy học chương “ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của
hàm số ” và việc rèn luyện kĩ năng giải Toán cho HS
1.3.1. Nội dung của chương

sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức, hàm phân thức hữu
tỉ; Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số.
Ngoài những yêu cầu trên, GV có thể cho HS thấy được những ứng
dụng độc đáo khác của đạo hàm trong việc chứng minh bất đẳng thức,
trong các bài toán về hàm số chứa tham số…
1.3.3. Các dạng bài tập của chương
+) Ứng dụng đạo hàm xét sự biến thiên của hàm số.
+) Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị của hàm số.
+) Ứng dụng đạo hàm để tìm GTNN, GTLN của hàm số.
+) Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức.
+) Ứng dụng đạo hàm vào PT, BPT, HPT.
1.3.4. Tình hình dạy học ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán về
hàm số ở trường THPT
Để biết được tình hình thực tế của việc rèn luyện kĩ năng sử dụng
đạo hàm để giải các bài toán hàm số cho HS lớp 12 THPT chúng tôi đã
17


phát phiếu thăm dò đến các thầy cô trong tổ Toán trường THPT DTNT
Tỉnh Hòa Bình với nội dung phiếu thăm dò như sau:
Câu hỏi 1: Việc rèn luyện kĩ năng sử dụng đạo hàm để giải các bài toán
hàm số cho HS lớp 12 có thật sự quan trọng không? Tại sao?
Câu hỏi 2: Thầy cô có thường xuyên rèn luyện kĩ năng sử dụng đạo
hàm để giải các bài toán hàm số cho HS lớp 12 hay không?
Câu hỏi 3: Thầy cô thường gặp khó khăn gì khi rèn luyện kĩ năng sử
dụng đạo hàm để giải các bài toán hàm số cho HS lớp 12?
Sau đó chúng tôi đã thu được kết quả như sau:
- Trong câu hỏi 1: Đa số các thầy cô trả lời là đặc biệt quan trọng vì:
Thứ nhất giúp HS củng cố và khắc sâu kiến thức dễ dàng. Thứ hai giúp HS
có kĩ năng giải các bài toán trong đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao


(1) có


(2) ⇔ t + 1 =

m
⇔ 2t 2 + 3t + 1 = m ⇔ 2t 2 + 3t + 1 − m = 0 (3)
2t + 1

(1) có nghiệm ⇔ (3) có nghiệm ⇔ 9 − 8(1 − m) ≥ 0 ⇔ m ≥ −

1
8

Sai lầm của lời giải trên ở chỗ: HS không thấy được mối liên hệ giữa
nghiệm của phương trình (1) và nghiệm của phương trình (3). Chú ý rằng
1
(1) có nghiệm x ⇔ (3) có nghiệm t ≥ − .
4
+) Sai lầm khi tính sai giới hạn của hàm số
Ví dụ : Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x + 3 = m x 2 +1 (1)
Có HS giải bài toán này như sau:
TXĐ: D = R.
Ta có (1) ⇔
f'(x) =

x+ 3
x2 + 1



0

-

10
f(x)

-∞

-∞

(

Dựa vào bảng biến thiên ta có m ∈ −∞; 10  .
Sai lầm của HS là không tính đúng giá trị -1; 1 ở góc trái và góc
phải của bảng biến thiên.
+) Sai lầm khi kết luận sai giá trị cần tìm của tham số.
Ví dụ: Tìm m để bất phương trình
m.9 x + (m + 1).3x + 2m − 3 ≥ 0 (1) ∀x > 0
19


Có HS giải như sau:
Đặt t = 3x , do x > 0 ⇒ t > 1
(1) ⇔ mt 2 + (m + 1)t + 2m − 3 ≥ 0
3−t

⇔ m(t 2 + t + 2) ≥ 3 − t ⇔ m ≥


−

1
7 + 2 10

Căn cứ vào bảng biến thiên suy ra m >
Giá trị đúng là m ≥

+

1
2

1
2

1
1
Sai lầm của HS cho rằng điểm (1; ) không thuộc đồ thị hàm số nên m >
2
2
+) Sai lầm khi diễn đạt sai yêu cầu của bài toán mới.
Chẳng hạn với bài toán trên, sau khi đặt t = 3x (t>1). Có HS phát biểu:
Yêu cầu của bài toán trở thành tìm m để bất phương trình:
m≥

3−t
2

t +t+2

thiên của hàm số, chứng minh bất đẳng thức. Tìm tham số để phương trình,
bất phương trình, hệ phương trình thỏa mãn một điều kiện nào đó.
Các hàm số được xét ở chương này chủ yếu là các hàm đa thức bậc
3, bậc 4 trùng phương, hàm phân thức

b1 b2
,
, các hàm lượng giác, vì đây
b1 b1

là các hàm số phổ biến và thường gặp nhất trong chương trình lớp 12
THPT và trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng.
Ngoài ra Đề tài còn trình bày việc rèn luyện cho HS kĩ năng sử dụng
đạo hàm vào các bài toán tham số có liên quan đến hàm số mũ, logarit, hàm
số chứa căn thức nhằm giúp HS hiểu sâu sắc hơn việc ứng dụng đạo hàm
để giải các bài toán đa dạng về hàm số
2.1. Rèn luyện kĩ năng ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của
hàm số
2.1.1. Kiến thức cơ bản
2.1.1.1. Định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng D
Hàm số y=f(x) gọi là đồng biến trên D nếu ∀ x1, x2 ∈D ; x1 < x2 ⇒
f ( x1 ) < f ( x2 )
Hàm số y=f(x) gọi là nghịch biến trên khoảng D nếu ∀ x1, x2 ∈D ; x1 < x2 ⇒
f ( x1 ) > f ( x2 ) .
2.1.1.2. Điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến trên (a; b)
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên (a; b)
22




-1
0
1
0 - 0 + 0
-2
-3

+∞
+∞

-3

Vậy: Hàm số đồng biến trên (-1; 0) và (1; +∞ )
Hàm số nghịch biến trên ( −∞ ; -1) và (0; 1)

1
Bài 2. Tìm m để hàm số y = x 3 + (m + 2) x 2 + (3m + 4) x + 12 đồng biến trên R
3
23


Lời giải
TXĐ: D=R
y ' = x 2 + 2(m + 2) x + 3m + 4
Hàm số đồng biến trên R ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ R
⇔ x 2 + 2(m + 2) x + 3m + 4 ≥ 0 ∀x ∈ R
⇔ ∆ ' ≤ 0 ⇔ (m + 2)2 − (3m + 4) ≤ 0
⇔ m 2 + m ≤ 0 ⇔ −1 ≤ m ≤ 0
Vậy với m ∈ [-1;0] thì hàm số đồng biến trên R.

4


Một số lưu ý khi giải các bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
Trong dạng toán này nhiều sách tham khảo vẫn sử dụng định lý đảo
về dấu của tam thức bậc hai, nhưng SGK chương trình mới đã bỏ nội dung
này, vì vậy GV cần lưu ý để HS tránh mắc sai lầm khi làm bài tập. Ngoài ra
ta cần chú ý những điều sau:
1. Nói chung khi tìm điều kiện để hàm số đơn điệu ta chấp nhận cả
dấu “=” trong y’. Tuy nhiên, riêng với hàm phân thức bậc nhất: Vì tử số
của đạo hàm không còn chứa x nên khi tìm điều kiện đơn điệu cho hàm này
y’ không chấp nhận dấu bằng.
2. Điều kiện cho hàm đơn điệu rơi vào một trong hai dạng:
Dạng 1. Nếu tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên R thì dùng định lí
thuận về dấu của tam thức bậc hai.
Dạng 2. Nếu tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng nào
đó thì dùng kĩ thuật khảo sát hàm số bằng cách cô lập tham số hoặc kĩ thuật
Parabol sau đây:
x 2 + mx + 3m − 1
Bài 4. Tìm m để hàm số y =
đồng biến trên (2; + ∞)
x −1
Lời giải
y' =

x 2 − 2 x − 4m + 1
( x − 1)2

; Hàm số đồng biến trên (2; + ∞)