MỤC LỤC


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán, nó có vai trò giá mang
hoạt động của học sinh. Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt
động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc,
phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ
biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ.
Vì vậy, rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh là một vấn đề quan trọng trong dạy
học, là một trong những mục tiêu dạy học môn Toán, cần phải được tiến hành có kế
hoạch, thường xuyên, hệ thống, bền bỉ, liên tục. Thông qua rèn luyện kĩ năng, học
sinh biết vận dụng những kiến thức được học vào luyện tập, qua đó giúp học sinh
hiểu sâu, nắm vững kiến thức, đồng thời góp phần phát triển năng lực trí tuệ, những
kĩ năng cần thiết cho cuộc sống.
Trong chương trình toán phổ thông, phương pháp tọa độ trong không gian
nói chung, phương trình đường thẳng trong không gian nói riêng là một trong
những nội dung quan trọng. Lớp bài toán viết phương trình đường thẳng trong
không gian là lớp bài toán hay và không quá khó. Để làm tốt bài toán này đòi hỏi
học sinh phải nắm vững kiến thức hình học không gian, mối quan hệ giữa đường
thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. Là dạng toán chiếm tỷ lệ nhiều trong các đề thi tốt
nghiệp THPT và thi vào Cao đẳng, Đại học nên yêu cầu học sinh phải làm tốt được
dạng toán này là hết sức cần thiết.
Tuy nhiên thực tế trong quá trình dạy học cho thấy học sinh còn gặp nhiều
khó khăn và dễ mắc sai lầm khi giải toán. Các em dễ nhầm lẫn khi giải bài toán
dạng này với bài toán viết phương trình mặt phẳng, nhẫm lẫn với phương trình
đường thẳng trong mặt phẳng. Hơn nữa bài học Phương trình đường thẳng trong
không gian trong sách giáo khoa Hình học lớp 12 chỉ đưa ra một cách chung chung
chưa phân dạng cụ thể tường minh. Vì vậy việc hệ thống hóa và phân dạng các dạng
bài tập cơ bản để cho số đông học sinh có thể tiếp thu tốt phương trình đường thẳng

hơn, đồng thời sẽ phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh, qua
đó nâng cao chất lượng dạy và học ở trường phổ thông.
5. Đóng góp của luận văn
- Trình bày tổng quan về kĩ năng, kĩ năng giải toán, rèn luyện kĩ năng giải
toán, dạy học giải bài tập toán học.
2


- Tìm hiểu tình hình dạy và học môn Toán của giáo viên, học sinh tỉnh Lai Châu.
- Đề xuất một số biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán viết phương trình
đường thẳng trong không gian cho học sinh lớp 12 tỉnh Lai Châu.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận : Nghiên cứu các tài liệu lý luận về
phương pháp dạy và học, đặc biệt là các tài liệu viết về rèn luyện kĩ năng giải toán
cho học sinh.
- Phương pháp điều tra quan sát: tiến hành dự giờ, trao đổi, tham khảo ý kiến
một số đồng nghiệp có kinh nghiệm trong giảng dạy, tìm hiểu thực tiễn việc dạy và
học nội dung phương trình đường thẳng trong không gian cho HS lớp 12 tỉnh Lai
Châu. Đặc biệt là về mặt rèn luyện kĩ năng giải toán.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: thực nghiệm giảng dạy một số giáo án
soạn theo hướng của đề tài nhằm đánh giá tính khả thi và tính hiệu quả của đề tài.
7. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục, luận văn gồm ba
chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Rèn luyện kĩ năng giải toán về phương trình đường thẳng trong
không gian
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

3

4


nhưng không vận dụng được lý thuyết vào bài tập, không biết lựa chọn định lý nào
phù hợp với bài toán mà mình cần giải. Nguyên nhân của hiện tượng đó là kĩ năng
chưa được hình thành.
b) Sự hình thành kỹ năng
Theo từ điển giáo dục học, để hình thành được kĩ năng trước hết cần có kiến
thức làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực
hiện được hành động theo đúng mục đích, yêu cầu…
1.1.3. Kĩ năng giải toán.
Kĩ năng giải bài tập toán (kĩ năng giải toán) là khả năng sử dụng những tri
thức toán học đã học để giải các bài tập toán học ([5, tr5]).
Do sự trừu tượng hóa trong toán học diễn ra trên nhiều cấp độ, nên trong khi dạy
học môn toán cần rèn luyện cho học sinh những kĩ năng trên ba bình diện khác nhau:
+ Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán;
+ Kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào các môn học khác nhau;
+ Kĩ năng vận dụng toán học vào đời sống ([10, tr42]);
Kĩ năng trên bình diện thứ nhất là một sự thể hiện mức độ thông hiểu tri thức
toán học. Không thể hình dung một người hiểu tri thức toán học mà lại không biết
vận dụng chúng để làm toán ([10, tr43]).
Kĩ năng trên bình diện thứ hai thể hiện vai trò công cụ của toán học đối với
những môn học khác, điều này thể hiện mối liên môn giữa các môn học trong nhà
trường và đòi hỏi người giáo viên dạy toán cần có quan điểm tích hợp trong việc
dạy học môn toán ([10, tr43]).
Kĩ năng bình diện thứ ba là một mục tiêu quan trọng của môn toán. Nó cũng
cho học sinh thấy rõ mối liên hệ giữa toán học và đời sống ([10, tr43]).
Lấy ví dụ minh họa khi dạy nội dung phương trình đường thẳng trong không
gian ở lớp 12.
Kĩ năng trên bình diện thứ nhất là học sinh cần nắm vững tri thức được trình

trước hết là kĩ năng giải toán cần đạt được một số yêu cầu sau đây:
+ Giúp HS hình thành và nắm vững mạch kiến thức cơ bản xuyên suốt
chương trình
+ Coi trọng việc rèn luyện kĩ năng tính toán.
+ Giúp học sinh phát triển năng lực trí tuệ.
+ Giúp học sinh rèn luyện các phẩm chất đạo đức và thẩm mĩ ([2, tr5]).
6


1.2.2. Biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh qua môn Toán
Kĩ năng giải toán trên cơ sở tri thức toán học bao gồm: Tri thức sự vật, tri
thức phương pháp, tri thức giá trị. Trong đó tri thức phương pháp ảnh hưởng trực
tiếp tới việc rèn luyện kĩ năng. Sau khi học sinh nắm vững lý thuyết trong quá trình
thực hiện các hoạt động toán học thì kĩ năng hình thành ([2, Tr6]).
Kĩ năng giải toán được hình thành trong quá trình học sinh giải bài tập. Song
muốn quá trình luyện tập đạt kết quả cao thì cần phải tổ chức quá trình luyện tập
hợp lý. Có nghĩa là trước tiên giáo viên cần soạn hệ thống bài tập có chủ định, sau
đó tổ chức học sinh hoạt động một cách tích cực, tự giác trong quá trình luyện tập
([2, Tr6]).
Hệ thống bài tập thỏa mãn những yêu cầu sau:
+ Quán triệt mục tiêu dạy học. Khi thiết kế bài tập phải luôn bám sát nội
dung chương trình SGK. Cần căn cứ vào mục tiêu của bài học để lựa chọn những
bài tập nhằm rèn luyện những kĩ năng tương ứng hướng vào thực hiện mục tiêu
chung của chương trình môn toán ([2, Tr6]).
+ Phát huy tính tích cực của học sinh. Bài tập phù hợp với trình độ nhận thức
hiện tại của HS, không quá khó và không quá dễ nhằm mục đích gợi mở, kích thích
nhằm gây hứng thú để gợi ra nhu cầu nhận thức của học sinh. Bài tập phải phân bậc
từ đơn giản đến phức tạp nhằm mục đích rèn luyện những kĩ năng cơ bản và những
kĩ năng nâng cao ([2, Tr6]).
+ Đảm bảo tính chính xác, khoa học, giúp học sinh củng cố và khắc sâu kiến

+ Bước 1: Giải bài tập mẫu để HS nắm được các thao tác cơ bản (có thể GV
trình bày hoặc gợi ý để HS làm).
+ Bước 2: Luyện tập giải một số bài tập toán học tương tự bài tập mẫu, nhằm
giúp HS thành thạo các thao tác cơ bản. Việc luyện tập này có thể tiến hành ngay ở
một bài học, cũng có thể rải rác ở một số bài hoặc bài tập ở nhà.
+ Bước 3: Luyện tập một số bài tập tổng hợp, nhằm rèn luyện cho HS vận
dụng phối hợp, linh hoạt các thao tác giải toán. Các bài tập dạng này thường được
sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó, giúp HS hình thành và phát triển
các kĩ năng ngày một tốt hơn ([5, tr6]).
Ví dụ: Để hình thành kĩ năng xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong
không gian, ta có thể cho HS lần lượt giải các bài toán sau, dựa theo 3 bước ở trên:

8


 x = −1 + t

Bài 1: Xét vị trí tương đối của d:  y = 3 − t với đường thẳng
 z = 3t


x = 2 + t'

∆1 :  y = 8 − 2t '
 z = 1 + 4t '

(Với bài này HS chỉ cần giải bài toán theo mẫu)
Bài 2: Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương
trình sau đây d :


trình độ học sinh mà thiết kế tình huống có vấn đề ở những cấp độ khác nhau.
- Giáo viên có tác động điều chỉnh quá trình hoạt động của học sinh. Ví dụ
giúp học sinh vượt qua khó khăn, phân tích một bài toán thành một bài toán đơn
giản hơn, đưa ra câu hỏi giúp học sinh định hướng giải bài toán hoặc cung cấp cho
học sinh tri thức về phương pháp giải bài toán.
+ Đối với những bài toán có thuật giải. Giáo viên cần căn cứ vào yêu cầu
9


chung của chương trình cũng như tình hình thực tế để thông báo tường minh thuật
giải hoặc thông báo tri thức phương pháp trong quá trình hoạt động.
+ Đối với những bài toán chưa có hoặc không có thuật giải: Giáo viên vần hướng
học sinh suy nghĩ, tìm tòi lời giải. Qua đó trang bị cho học sinh một số tri thức về
phương pháp giải toán. Thông qua dạy học sinh giải một số bài toán điển hình để học
sinh nắm được cách thức, kinh nghiệm tiến tới có kĩ năng giải quyết lớp bài toán.
- Giáo viên giúp học sinh xác nhận tri thức đã đạt được trong quá trình hoạt
động và đưa ra những bình luận cần thiết để học sinh hiểu tri thức đó một cách đầy
đủ hơn.
1.3. Dạy học giải bài tập toán học
1.3.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học
Theo [10], vai trò của bài tập thể hiện ba bình diện: Mục tiêu, nội dung,
phương pháp.
Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu dạy học. Bài tập toán học ở trường phổ
thông góp phần thực hiện các mục tiêu môn toán cụ thể là:
* Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau của
quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn;
* Phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành
những phẩm chất trí tuệ;
* Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất
của người lao động mới.

(1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có
thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
* Phát biểu đề bài dưới dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán;
* Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh;
* Có thể dùng công thức, ký hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
Khi hướng dẫn HS tìm hiểu nội dung đề bài, GV thường đưa ra những câu
hỏi phát vấn dạng:
+ Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thể thỏa mãn các điều
kiện cho trước hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn?
+ Hãy vẽ hình. Sử dụng ký hiệu thích hợp.
+ Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả các điều kiện
11


đó thành công thức hay không?
Bước 2: Tìm cách giải
* Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến
đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc
cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ
tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó
có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán chứng minh
phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích,…
* Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt
hóa kết quả tìm được đối chiếu với một số tri thức có liên quan,…
* Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lý nhất.
Trong quá trình đi tìm lời giải cần đặt những câu hỏi dạng:
+ Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở một dạng
hơi khác?
+ Hãy xét kỹ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng

+ Nắm lại toàn bộ cách giải đã tìm ra trong quá trình suy nghĩ đã nêu ở bước 2.
+ Trình bày lại lời giải sau khi đã lược bỏ những yếu tố dự đoán, phát hiện,
những yếu tố lệch lạc nhất thời, và đã điều chỉnh những chỗ cần thiết
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
* Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải
* Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng có
 x = 7t
x −1 y + 2

=
= z ; d 2 :  y = 4t
phương trình: d1 :
3
3
z = 2

Viết phương trình đường thẳng d cắt d1 và d2 đồng thời đi qua điểm M(1; -2; 2).
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài:
GV: Bài toán yêu cầu gì?
HS: Bài toán yêu cầu viết PTĐT d cắt d1 và d2 đồng thời đi qua điểm M cho trước
Bước 2: Tìm cách giải
GV: Các yếu tố để viết PTĐT?
HS: 1 điểm và 1 VTCP
13


GV: Từ giả thiết tìm các yếu tố đó
HS: + Yếu tố điểm: M
uuur

'
Phương trình đường thẳng d là:  y = −2 + t
z = 2

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
GV: Tìm cách giải khác: Xác định hai mp phân biệt cùng chứa đường thẳng d
HS: Đường thẳng d đi qua A và cắt đường thẳng d1 nên d thuộc mp ( P ) đi
qua A và chứa d1
Đường thẳng d đi qua A và cắt đường thẳng d 2 nên d thuộc mp ( Q ) đi qua
A và chứa d 2

14


Do đó, đường thẳng d cần tìm là giao tuyến của hai mp(P) và (Q)
GV: Chú ý cho HS trong cách giải trên, ta mới lập luận d chứa trong mặt
phẳng ( P ) xác định bởi A và d1 và d chứa trong mặt phẳng (Q) xác định bởi A và
d 2 . Như vậy sẽ có khả năng d không cắt d1 hoặc d 2 . Do đó phải kiểm tra xem d
có cắt hai đường thẳng đó không.
Cách 3
Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, chứa d 1
Bước 2: Tìm giao điểm N = d 2 ∩ (P)
(Nếu (P) // d 2 thì bài toán vô nghiệm).
Bước 3: Lập phương trình đường thẳng AN
Bước 4: Kiểm tra: Nếu AN // d1 thì bài toán vô nghiệm, nếu MN cắt d1 suy ra
đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng MN
1.4. Tình hình dạy và học môn Toán của giáo viên, học sinh tỉnh Lai Châu
1.4.1. Những thuận lợi, khó khăn trong học tập môn Toán của HS tỉnh
Lai Châu
a) Thuận lợi

toán. Nếu HS hiểu trong PTTS của đường thẳng tất cả các tham số đều ký hiệu là t
thì sẽ gây nhầm lẫn khi tìm giao điểm của hai đường thẳng đó.
- Học sinh thường có biểu hiện ngộ nhận và mắc phải những sai lầm như:
+ Hai đường thẳng vuông góc thì HS cũng thừa nhận luôn là vuông góc tức
là cắt nhau.
+ Trong không gian, hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng
thì song song với nhau.
+ Hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì vuông góc
với nhau.
+ Nhầm lẫn góc giữa hai đường thẳng luôn bằng góc giữa hai VTCP
- Quan hệ giữa các đối tượng hình học (như tính góc, khoảng cách, xét vị trí
tương đối) được mô tả bằng các công thức, trong đó có những công thức phức tạp
như công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (Chương trình nâng cao), ban
cơ bản lại đưa về tính độ dài đoạn vuông góc chung. Điều này gây cho học sinh khó
nhớ và dễ nhầm khi tính toán.
- Khó khăn bộc lộ trong định hướng giải, cách giải đối với các bài toán
không gian: Khó tìm ra cách giải, nhưng xem lời giải thì thấy dễ hiểu. Để tháo gỡ
16


vấn đề này, giáo viên có thể tiến hành bằng cách xây dựng các quy trình và phương
pháp thực hiện giải toán.
- Vấn đề các dạng khác nhau của đáp số: Học sinh thường lúng túng khi viết
phương trình của đường thẳng, mặt phẳng bằng những cách khác nhau và có các kết
quả có vẻ như khác nhau. Cần làm cho học sinh nhớ lại khái niệm về sự tương
đương của hai phương trình (hoặc hai hệ phương trình). Bằng cách dùng phép biến
đổi tương đương ta có thể đưa một hệ phương trình về một hệ có vẻ rất khác, nhưng
vẫn là tương đương, nghĩa là tập nghiệm của hai hệ là như nhau. Cần lưu ý thêm
cho HS là ta có thể chọn nhiều điểm khác nhau trên đường thẳng ∆ làm điểm M 0
cho trước và nhiều VTCP (tỉ lệ với nhau) nên cùng một đường thẳng ∆ có nhiều

b) Chuẩn kiến thức, kĩ năng học sinh cần đạt được
Về kiến thức: Biết PTTS của đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng
chéo nhau, cắt nhau, song song hoặc vuông góc với nhau.
Về kĩ năng: Biết cách viết PTTS của đường thẳng. Biết cách sử dụng phương
trình của hai đường thẳng để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng đó.
c) Một số yêu cầu nội dung dạy học PTĐT trong không gian
- Trước tiên cần phải trang bị hệ thống kiến thức lý thuyết cơ bản và đầy đủ.
Phần phương pháp tọa độ trong không gian là phần củng cố và tiếp tục phát triển
những nội dung quen thuộc mà học sinh đã được học ở lớp 10, đồng thời cũng cần
có những lưu ý cần thiết để thấy được sự phát triển của phương pháp đó trong
không gian. Trong phần này, các khái niệm như điểm, vectơ thực hiện tương tự như
đã thực hiện trong mặt phẳng với chú ý rằng tọa độ của một điểm hay tọa độ của
một vectơ trong không gian là một bộ ba số.
- Việc trang bị thêm cho học sinh lớp 12 một công cụ mới là phương pháp
tọa độ trong không gian để nghiên cứu hình học là một việc làm cần thiết giúp học
sinh suy luận, khái quát, tập tư duy trừu tượng, đồng thời có thêm những công cụ
mới để làm toán và tư duy trong các lĩnh vực mới mẻ của các ngành khoa học. Tuy
nhiên chúng ta cần tập cho học sinh hiểu rõ bản chất các khái niệm, tập suy luận
một cách chính xác, tránh được các thói quen tư duy một cách hình thức, máy móc,
không khoa học và thiếu trách nhiệm.
- Khi dạy về phương pháp tọa độ trong không gian nói chung, phương trình
đường thẳng trong không gian nói riêng cần thường xuyên ôn lại những kiến thức có
liên quan đến phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Tuy nhiên, cần hết sức tránh gây ra
18


những hiểu lầm không đáng có. Ví dụ như phương trình Ax + By + C = 0 trong mặt
phẳng Oxy là phương trình của một đường thẳng, nhưng trong không gian Oxyz,
phương trình có biểu thị một mặt phẳng song song với trục Oz (hoặc chứa Oz);
- Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là một công

liên quan đến việc giải hệ phương trình nhiều ẩn số. Học sinh cần thành thạo cách
giải, có thể dùng máy tính. Tuy vậy cũng nên chú ý hai tình huống:
19


+ Cách giải hệ phương trình có ẩn số nhiều hơn số phương trình.
+ Kết luận về số nghiệm của hệ chưa đủ để kết luận về quan hệ hình học. Ví dụ
để tìm vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d’ được cho bởi PTTS, ta có thể giải
hệ gồm sáu phương trình để tìm số nghiệm của hệ đó. Nếu hệ vô nghiệm thì ta chỉ có
thể kết luận rằng hai đường thẳng đó song song hoặc chéo nhau mà thôi. Cần phải xét
thêm các vectơ chỉ phương của d và d’ mới có thể đi đến kết luận cuối cùng.
- Vấn đề trực quan trong giảng dạy:
+ Nên chú ý đúng mức tới yếu tố trực quan: hình vẽ, bảng biểu,…. Về
nguyên tắc, khi giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ ta không cần tới
hình vẽ. Nhưng nhiều khi hình vẽ có thể giúp cho học sinh đưa ra được phương
pháp giải hợp lí.
+ Để làm ví dụ, ta xét bài toán “Viết phương trình đường thẳng d đi qua
điểm M0 có tọa độ đã cho, và cắt hai đường thẳng d1, d2 có phương trình đã cho”.
Ta làm cho học sinh thấy rằng đường thẳng d (nếu có) phải là giao tuyến của
hai mặt phẳng: mp(d1,M) và mp(d2,M). Hơn thế nữa qua hình vẽ HS cũng thấy rằng
phải kiểm tra điều kiện giao tuyến đó phải cắt d1, d2 trước khi đưa ra đáp số của bài
toán (Tất nhiên bài toán trên có thể giải bằng cách khác)
- Để HS ôn tập tốt, GV nên cho HS làm các tóm tắt, tổng kết theo từng vấn
đề, có thể lập thành các bảng biểu, sơ đồ tư duy cho dễ nhớ. Cần hệ thống hóa các
dạng toán và phương pháp giải tương ứng, nhằm rèn luyện kĩ năng,.. Ví dụ: tóm tắt
các vị trí tương đối của hai đường thẳng, các dạng toán viết PTĐT,…
- Giáo viên cần tạo điều kiện thuận lợi cho HS được tăng cường, thảo luận
trên lớp: Qua trao đổi, thảo luận các em sẽ hiểu bản chất của vấn đề hơn, học được
ở thầy, ở bạn cách suy nghĩ, giải quyết vấn đề, thấy được đúng, sai trong cách nghĩ,
cách làm.

•  a, b  = 
 y2 z2 z2 x2 x2 y2 
rr r
r r


⇔
a
• Hai vectơ a , b cùng phương
 , b = 0 .
rr r
r r
• Hai vectơ a , b không cùng phương ⇔  a, b  ≠ 0
rr r
rrr
• Ba vectơ a, b,c đồng phẳng ⇔  a, b  .c = 0 .
rr r
rrr


⇔
a
• Ba vectơ a, b,c không đồng phẳng
 , b  .c ≠ 0 .
Chứng minh hai vectơ cùng phương
r
r
r
r r r
• a và b cùng phương ⇔ a = k .b b ≠ 0


• a và b cùng phương ⇔

Cách xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d’ cho bởi PT sau:

22


 x = x0 + at

d:  y = y0 + bt và d’:
 z = z + ct
0


 x = x '0 + a ' t '

 y = y '0 + b ' t '
 z = z ' + c 't '
0

r
ur
Đường thẳng d đi qua M có VTCP a và d ' đi qua M’ có VTCP a ' .
Từ điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau hay chéo nhau trình
bày dưới đây GV hướng dẫn HS cách xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong
không gian (theo các bước)
r ur uuuuur
  a, a ' .MM ' = 0


Bước 2: Xét sự cùng phương của hai vectơ chỉ phương
r ur r
r ur
+ Nếu a, a ' =0 thì a, a ' cïng ph­¬ng . Khi đó hai đường thẳng đã cho song
song hoặc trùng nhau
r ur r
r ur
+ Nếu a, a ' ≠ 0 thì a, a ' không cùng phương. Khi đó hai đường thẳng đã
cho cắt nhau hoặc chéo nhau
Bước 3:
Nếu cặp VTCP cùng phương thì lấy điểm M ∈ d và thay vào đường thẳng d’
o Nếu M ∉ d’ thì d // d’.
o Nếu M ∈ d’ thì d ≡ d’

r ur uuuuur
Nếu cặp VTCP không cùng phương thì tính  a, a ' .MM '
23


r ur uuuuur

o Nếu  a, a ' .MM ' ≠ 0 thì d, d’ chéo nhau.

r ur uuuuur

a
o Nếu  , a ' .MM ' = 0 thì d cắt d’
Cách 2: Xét hệ PT gồm PT hai đường thẳng d và d’:

 x0 + at = x '0 + a ' t ' (1)

r ur
- Nếu hệ vô nghiệm và a , a ' cùng phương thì d song song với d’
r ur
- Nếu hệ vô nghiệm và a , a ' không cùng phương thì d và d’ chéo nhau
Chú ý:
- Để giải hệ (*) ta đi giải hệ gồm PT (1) và (2) (Hoặc (1) và (3), hoặc (2) và
(3)), rồi thế t và t’ vào PT còn lại.
- Trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau thì ta chỉ cần giải hệ PT (*) với 1
nghiệm duy nhất tìm được mà không nhất thiết phải xét mối quan hệ giữa hai VTCP.
- Cách lấy một điểm thuộc đường thẳng d:
* Ý nghĩa của tham số t:
+ Ứng với mỗi một giá trị cụ thể của tham số t cho ta tọa độ một điểm thuộc
đường thẳng.
+ Ứng với mỗi điểm thuộc đường thẳng ta tìm được một giá trị tham số t
24