SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH
ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH
TRUNG BÌNH, YẾU.

Người thực hiện: Nguyễn Thị Huê
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn):: Toán

THANH HÓA NĂM 2019


MỤC LỤC
Nội dung
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Nhắc lại các kiến thức liên quan
2.3.2. Mô tả các giải pháp sau khi có sáng kiến kinh nghiệm
2.4. Hiệu quả của sáng kiến

Trong Toán học thì bài tập đóng vai trò quan trọng. Thông qua việc giải các
bài toán cụ thể, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả
nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc, phương pháp, những hoạt
động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động
ngôn ngữ. Vì vậy trong dạy học Toán, việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho học
sinh là một vấn đề quan trọng, là một trong những mục tiêu dạy học Toán cần
phải được tiến hành có kế hoạch, thường xuyên, hệ thống, bền bỉ và liên
tục.Thông qua việc rèn luyện kĩ năng, học sinh biết vận dụng những kiến thức
được học vào luyện tập, qua đó giúp học sinh hiểu sâu, nắm vững kiến thức,
đồng thời góp phần phát triển năng lực trí tuệ, những kĩ năng cần thiết cho cuộc
sống.
Trong chương trình toán THPT, phương pháp tọa độ trong không gian nói
chung, phương trình đường thẳng nói riêng là một trong những nội dung quan
trọng. Để làm tốt được nội dung này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến
thức về hình học không gian, quan hệ giữa điểm, đường thẳng, mặt phẳng và
măt cầu. Đây là dạng toán thường xuyên xuất hiện trong kì thi THPT quốc gia,
do đó yêu cầu học sinh làm tốt các bài toán liên quan là hết sức cần thiết.
Tuy nhiên, trong thực tế giảng dạy học sinh lớp 12 qua các năm học, tôi thấy
kĩ năng giải toán về phương trình đường thẳng trong không gian của học sinh
còn yếu. Học sinh còn gặp khó khăn và dễ mắc sai lầm khi giải toán. Đa số học
sinh đều cho rằng hình học là một môn khó, chiếm tỉ lệ điểm thấp trong môn
Toán nên một số em không chú ý học dẫn đến các kiến thức cơ bản liên quan
đều không nắm vững. Hơn thế nữa từ năm 2017 trở lại đây, môn Toán lại thi
theo hình thức trắc nghiệm nên một số bộ phận học sinh không chú ý học phần
này mà các em có tư tưởng khoan bừa hoặc dùng máy tính để bấm xác suất chọn
phương án trả lời cho câu hỏi liên quan.Vì vậy việc hệ thống hóa và phân dạng
bài tập cơ bản cho số đông học sinh, đặc biệt là học sinh trung bình, yếu có thể
tiếp thu tốt và viết được phương trình đường thẳng trong không gian là việc làm
cần thiết.
Xuất phát từ những lí do trên, tôi xin mạnh dạn đưa ra một kinh nghiệm

một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích
tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát
triển năng lực…”
Trong học tập môn Toán, tư duy giải bài tập là hoạt động chủ đạo và thường
xuyên, thông qua đó rèn luyện kĩ năng, phát triển trí tuệ và nâng cao tính tích
cực, chủ động của học sinh.
Thực tế giảng dạy các tiết tại Trường THPT Triệu Sơn 4 qua những năm đảm
nhiệm dạy lớp 12 tôi thấy kĩ năng viết phương trình đường thẳng trong không
gian của học sinh còn yếu. Các em gặp khó khăn và dễ nhầm lẫn khi giải bài
toán dạng này với bài toán viết phương trình mặt phẳng, nhầm lẫn với phương
trình đường thẳng trong mặt phẳng. Hơn nữa trong sách giáo khoa Hình học lớp
12 chỉ đưa ra cách viết phương trình đường thẳng trong không gian một cách
chung chung chưa phân dạng cụ thể, khi gặp một bài toán liên quan học sinh
chưa định hướng được nên thực hiện như thế nào. Vì vậy việc hệ thống hóa và
phân các dạng bài tập cơ bản để cho học sinh có học lực trung bình, yếu có thể
tiếp thu và vận dụng được là việc làm cần thiết.
Các dạng viết phương trình đường thẳng trong không gian ở các tài liệu
tham khảo thì có rất nhiều. Tuy nhiên đối với đa số học sinh, khi kiến thức cơ

2


bản còn chưa nắm vững thì khi đọc những nội dung kiến thức này lại càng làm
cho các em không thích môn hình học, dẫn đến việc chọn bừa một đáp án theo
suy đoán của các em là “Số đẹp”.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trong chương III hình học 12 nội dung sách giáo khoa có đề cập đến hai
dạng phương trình của đường thẳng: Phương trình tham số và phương trình
chính tắc.
Để viết được một trong hai dạng phương trình nói trên hoặc cần xác định một

7
18,9
13
35,1
17
45,94
2
4
12B8
41
0
0
6
14,6
12
29,2
23
56,1
3
7
Kết quả đạt được quá thấp, tôi đã tiến hành kiểm tra nhanh kiến thức của học
sinh bằng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm dạng nhận biết và thông hiểu và thấy đa
số học sinh ngộ nhận và mắc phải những sai lầm như:
+ Hai đường thẳng vuông góc trong không gian thì học sinh cũng thừa nhận
luôn vuông góc tức là cắt nhau.
+ Trong không gian, hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì
song song với nhau.
+ Hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng vuông góc thì vuông góc với nhau.
+ Goc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai véc tơ chỉ phương tương ứng
của hai đường thẳng đó.

* và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng thì là vectơ chỉ
phương của đường thẳng
* là chỉ phương của thì cũng là chỉ phương của
2.3.1.2. Vectơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng:
* và có giá vuông góc với mặt phẳng thì là VTPT của .
* là VTPT của thì cũng là VTPT của
2.3.1.3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
* Phương trình tổng quát của có dạng :
với
* Nếu có phương trình:
thì VTPT của là
* Nếu đi qua điểm và nhận làm VTPT thì phương trình của là :
.
, với
* Nếu chứa hay song song với giá của hai vectơ không cùng phương
với thì VTPT của là
.
*Nếu cắt các trục lần lượt tại thì có phương trình là : (điều kiện )
( phương trình trên gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn )
2.3.1.4. Phương trình của đường thẳng :
Nếu điểm và VTCP của là thì :
* Phương trình tham số của đường thẳng là: .
* Phương trình chính tắc của là : với
2.3.1.5. Các kiến thức khác:
* Cho và điểm , ta có:
+) Vectơ .

4



Bước 1: Menu 5 chọn 1, nhấn 3 rồi nhập véc tơ A.
Nhấn OPTN nhấn 2, nhấn 1, chọn 3 rồi nhập véc tơ B.
Bước 2: Nhấn OPTN, bấm 3
Nhấn OPTN, bấm 3 để chọn véc tơ A.
Nhấn OPTN bấm 4 chọn véc tơ B.
Bấm “ = ” cho ta kết quả.
2.3.2. Mô tả các giải pháp sau khi có sáng kiến kinh nghiệm.
Trên cơ sở các kiến thức cơ bản về hình học giải tích đã được trình bày
trong sách giáo khoa Hình học 12. Kiến thức cơ bản về đường thẳng trong
không gian lớp 11. Nhằm khắc phục những thiếu sót và sai lầm trên, tôi thực
hiện theo các giải pháp sau:
Giải pháp 1:

5


Bước 1: Hệ thống hóa các dạng phương trình đường thẳng, sắp xếp một
cách có hệ thống theo hướng từ dễ đến khó,trong đó có đưa ra những kiến thức
và phương pháp giải phù hợp để học sinh có thể nắm được bản chất, tính chất
hình học bằng cách kết hợp giữa đại số và hình học trong giải toán.
Bước 2: Nội dung được xây dựng và sắp xếp cơ bản theo thứ tự: Kiến thức
cơ bản, ví dụ minh họa, phương pháp giải, bài tập tương tự rèn luyện cho từng
dạng cụ thể.
Giải pháp 2:
Xây dựng một số biện pháp rèn luyện cho học sinh những kĩ năng cơ bản để
giải quyết lớp bài toán về phương trình đường thẳng trong không gian.
Về phương pháp dạy học: Phân tích các bài toán mẫu để hình thành thuật giải,
luyện tập các bài toán cùng dạng, lồng ghép củng cố các kiến thức cơ bản là
cách thức rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh được đề xuất và minh họa,
xây dựng trong sáng kiến nhằm giúp học sinh nhận dạng bài tập và xác định

�z  2  7t
�

�x  3  4t
�
�y  1  5t
�z  2  7t
�

.
B.
.
C.
.
D.
.
( Đề thi KSCL lần 1 Sở GD&ĐT Quảng Nam năm học 2017 – 2018) .
Lời giải
Theo đề bài ra các em chọn ngay được đáp án .
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương . Phương trình tham số của là:
A..
B. . C.. D.
(Đề thi KSCL Sở GD&ĐT Nam Định năm học 2017 – 2018).
Hướng dẫn giải:
Vì đường thẳng có VTCP nên nó cũng nhận véc tơ
(với ) làm VTCP.
Do đó phương trình tham số của đường thẳng là:

6

Phương pháp chung:
Bước 1: Tìm một véc tơ chỉ phương của đường thẳng.
Bước 2: Viết PT đường thẳng theo phương trình (1) hoặc phương trình (2).
Tuy nhiên ở mỗi bài toán cụ thể thì việc tìm véc tơ chỉ phương lại khác nhau
tùy theo dữ liệu bài cho. Cụ thể ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ , cho và mặt phẳng . Viết phương
trình đường thẳng qua và vuông góc với mặt phẳng ?
A.
B.
C. D.
Hướng dẫn giải: Chọn
Cách 1: Ta có: .
Vì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nên song song hoặc trùng với giá
của véctơ pháp tuyến của mặt phẳng. Vậy nhận làm véctơ chỉ phương
Phương trình dạng tham số của là:
Cách 2: Vì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nên là tập hợp các điểm
sao cho:
Hệ (I) là phương trình dạng tham số của đường thẳng .

7


Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ , cho . Viết phương trình đường thẳng
đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng
A. .

B. .

C. .



.
1
1

B.
D.

C.

x 3

2
x2

3

y 1 z  1

.
1
2
y 1 z  2

.
1
1

Hướng dẫn giải
Cách 1: Ta có: .


A.
B.
C.
D.
Giáo viên định hướng học sinh cách giải quyết bài toán bằng hệ thống câu hỏi
liên quan,để học sinh phát hiện được véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần lập
là véc tơ đơn vị ( hoặc cùng phương với ) và chọn đáp án A.
Nhận xét:
+ Hai đường thẳng song song thì có cùng véc tơ chỉ phương.
+ Trong trường hợp đặc biệt:

8


 Nếu song song hoặc trùng với trục thì có vectơ chỉ phương
là
 Nếu song song hoặc trùng với trục thì có vectơ chỉ phương
là
 Nếu song song hoặc trùng bới trục thì có vectơ chỉ
phương là
Đối với trường hợp đặc biệt này ta chỉ viết được phương trình tham số
của đường thẳng.
Ví dụ 11:Trong không gian với hệ tọa độ cho hai mặt phẳng:
và Phương trình đường thẳng đi qua điểm , song song với hai mặt phẳng là:
�x  1  14t
�
�y  3  8t .
�
A. �z  1  t

nhau thì nó nhận véc tơ làm véc tơ chỉ phương. Tuy nhiên với mỗi bài toán cụ
thể nêu cho trước phương trình của hai mặt phẳng học sinh nên nhận dạng vị trí
tương đối của hai mặt phẳng trước khi thực hiện giải toán.
Ví dụ 11’: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

   : 2 x  y  2 z  3  0 . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm
A  2; 3; 1
 , Oyz 
, song song với hai mặt phẳng   
là.
�x  2  t
�
�y  3 .
�
A. �z  1  t

�x  2
�
�y  3  2t .
�
B. �z  1  t

�x  2
�
�y  3  2t .
�
C. �z  1  t

�x  2t
�

x 1 y  3 z  4


1
2 .
A.  : 1
x 1 y  3 z  4


1
2 .
C.  : 1

x 1

B.  : 1
x 1

D.  : 1

y 3 z4

1
2 .
y3 z4

1
2 .

(THPT Lê Hồng Phong-HCM-HK2-2018).

2
1
3

. Viết pt đường thẳng    đi qua điểm

, biết    //  P  và    cắt d .

y 1 z  2

1
1 .
y 1 z  2

3
5 .

 d :

x 1 y 1 z  2


1
3 .
B. 2
x 1 y  1 z  2


1
1 .

C.
:

x 1

1
B.
x 1
:

1
D.
:

y z 2

1
1 .
y z2

3
1 .

(Đề KSCL Lớp 12 THPT năm học 2018 – 2019 SỞ GD&ĐT THANH HÓA)
Hướng dẫn giải: Chọn A
Đường thẳng có véc tơ chỉ phương .
Gọi là giao điểm của và
Ta có: .
Vì .
Đường thẳng cần lập nhận làm véc tơ chỉ phương nên đối chiếu các đáp án

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  là giao tuyến của hai
 : 2 x  2 y  3z  4  0
 : x  2y  z 1  0
mặt phẳng  
và  
. Phương trình đường
M
(1;

1;0)
thẳng d đi qua điểm
và song song với đường thẳng  là
x 1 y 1 z

 .
1
6
B. 8
x  8 y 1 z

 .
1
1
6
D.

x 1 y 1 z

 .
1

ad  �
n , n �
�
�  8;1;6 

Vậy phương trình của

11


Bài toán 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x  12 y  9 z  1
d:


,
4
3
1 và mặt thẳng  P  : 3x  5 y  z  2  0 . Gọi d ' là hình chiếu

P .
của d lên   Phương trình tham số của d ' là
�x  62t
�
�y  25t .
�z  2  61t
A. �

�x  62t
�

B  12;9;1

 
Gọi H là hình chiếu của uBur lên
 P  có vectơ pháp tuyến nP   3;5; 1
P

BH đi qua

B  12;9;1

và có vectơ chỉ phương

uuur uur
a BH  nP   3;5; 1

�x  12  3t
�
BH : �y  9  5t
�z  1  t
�

H �BH � H  12  3t;9  5t;1  t 
H � P  � t  

78
186 15 113 �
�
� H � ; ;
�


 Q  qua và vuông góc với  P 
d đi qua điểm B  12;9;1 và có vectơ chỉ phương

 Gọi

uu
r
ad   4;3;1

12


 P

có vectơ pháp tuyến

uur
nP   3;5; 1

 Q  qua B  12;9;1 có vectơ pháp tuyến

uur uur uur
nQ  �
ad , nP �
�
�  8;7;11

 Q  : 8x  7 y  11z  22  0


M  0;0; 2 

uu
r
uur uur
�
ad  �
n
�P ; nQ �  62; 25;61

và có vectơ chỉ phương

d'
Vậy phương trình tham số của
Bài tập tự luyện

�x  62t
�
�y  25t
�
là �z  2  61t

�x  1  2t
�
d : �y  1  t
�z  2  t
�

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng
Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng có phương trình là.

�z  3  t
�

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng
Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng có phương trình là.
�x  1  2t
�
.
�y  0
�z  3  t
A. �

�x  0
�
�y  0 .
�
B. �z  3  t

�x  1  2t
�
�y  0 .
�
C. �z  3  t

.

�x  1  2t
�
.
�y  0

HS

12B3

37

12B8

41

Giỏi
SL Tỉ lệ
%
3
8,12
0

0

Khá
SL Tỉ lệ
%
15
40,5
4
9
21,9
5

TB

hay gặp nhất. Các bài toán ở mức độ khó hơn, hoặc các cách giải khác vẫn chưa
được đề cập tới do học sinh lớp tôi trực tiếp giảng dạy các em mới ở mức trung
bình khá. Hy vọng rằng với sự góp ý của các bạn đồng nghiệp thì đề tài này sẽ
được nghiên cứu và khai thác sâu hơn.
- Kiến nghị

14


Việc viết và báo cáo SKKN trong quá trình dạy học sẽ tạo điều kiện để giáo
viên được trau dồi kiến thức, học hỏi kinh nghiệm để có giải pháp tốt hơn trong
quá trình thực hiện nhiệm vụ giảng dạy, giáo dục. Đây thực sự là việc làm bổ
ích đối với mỗi giáo viên. Do vậy trong những năm học tiếp theo, mặc dù
không phải là nhiệm vụ bắt buộc nhưng các trường THPT và Sở GD&ĐT
Thanh Hóa vẫn nên tiếp tục triển khai và khuyến khích giáo viên viết sáng kiến
kinh nghiệm để chia sẻ những kinh nghiệm bổ ích trong mà mình đã tích lũy
được với đồng nghiệp cùng nhau thực hiện tốt công việc của mình từ đó nâng
cao chất lượng giáo dục.
Đề tài được tích luỹ nhiều năm trực tiếp giảng dạy tại các lớp12 của
trường THPT Triệu Sơn 4, các ví dụ được chọn lọc, tham khảo từ nhiều nguồn
tài liệu khác nhau trong một số đề thi thử THPT Quốc Gia của một số trường
THPT, tạp chí Toán học tuổi trẻ, các diễn đàn dạy học toán trên mạng internet...
Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn đề tài không tránh khỏi
những hạn chế. Rất mong được sự đóng góp quý báu của bạn đọc, đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 10 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của