PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)
Ngày thi 11 tháng 01 năm 2016

Câu 1 (2,0 điểm):
a) Rút gọn biểu thức A =

2 x −9
x + 3 2 x +1
−
−
với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9
x−5 x +6
x − 2 3− x

b) Phân tích đa thức B = xyz + x 2 y - x 2 z - y 3 + yz 2 - xz 2 thành nhân tử.
Câu 2 (2,0 điểm):
a) Tìm giá trị của tham số m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d):
y= (2m-1)x + 3 + 2m có giá trị lớn nhất.
b) Giải phương trình: x - 4 + 6 - x + 10x = x 2 + 27
Câu 3 (2,0 điểm):
a) Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: 2016xy = x + y
b) Tìm các số tự nhiên x; y; z thỏa mãn đồng thời
(x -1) 3 + y3 - 2z 3 = 0 và x + y + z – 1 là số nguyên tố.
Câu 4 (3,0 điểm):
Cho nửa đường tròn (O;R), BC là đường kính. Điểm A di động trên nửa đường tròn

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016
MÔN THI: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 05 câu, 04 trang)
Ngày thi 11 tháng 01 năm 2016

Ý

Nội dung

Điểm
TP

Tổng
điểm

Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9. Ta có :
2 x −9
x + 3 2 x +1
−
−
x−5 x +6
x − 2 3− x

A=

1

=


1,0

0,25
0,25
0,25

Ta có B = xyz + x 2 y - x 2 z - y 3 + yz 2 - xz 2
= ( x 2 y - x 2 z) + ( xyz - xz 2 ) - (y 3 - yz 2 )
b

= x 2 ( y − z ) + xz ( y − z ) − y ( y − z ).( y + z )
= ( y − z ).( x 2 + xz − y 2 − yz )
= ( y − z ).[ ( x − y ).( x + y) + z ( x − y ) ]
= ( y − z ).( x − y ).( x + y + z )

2

a

Xét đường thẳng (d): y= (2m-1)x + 3 + 2m .
- Tìm được điểm cố định là A( -1;4).
- Lập được phương trình đường thẳng OA là: y = -4x
- Khẳng định:
Khoảng cách từ O đến (d) có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi (d)
vuông góc với OA.
5
- Khi đó (2m – 1).(-4) = -1 ⇔ m =
và giá trị lớn nhất của khoảng
8
cách từ O đến (d) là 17

Khẳng định phương trình có nghiệm duy nhất x = 5
Từ 2016xy = x + y => 20162 xy – 2016x – 2016 y = 0.
3

a

 ( 2016 x – 1) . ( 2016 y – 1) = 1.
Do x và y là các số nguyên nên giải phương trình trên ta suy ra được
Cặp số nguyên ( x; y) = (0;0)
Ta có
( x + y + z − 1)3 = [ ( x − 1 + y + z ) ]

0,25

x-4 + 6-x ≤2

1,0
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,50

1,0

3

= ( x − 1)3 + y 3 + 3( x − 1) y ( x − 1 + y )  + z 3 + 3( x − 1 + y ) 2 z + 3( x − 1 + y ) z 2
= 3 z 3 + 3( x − 1) y ( x − 1 + y ) + 3( x − 1 + y ) 2 z + 3( x − 1 + y ) z 2 M


4
O

B

H

C

N

ˆ = 900
Vì A ∈ nửa đường tròn tâm O, đường kính BC ( gt) => BAC
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
AB 2 = BH .BC => AB 4 = BH 2 .BC 2
AC = CH .BC => AC = CH .BC
2

a

4

2

0,25

2

Lại có

Gọi M là giao điểm của AH và IK, N là giao điểm các đường trung trực của
IK và BC
Chứng minh được AO vuông góc với IK, từ đó suy ra tứ giác AMNO là hình
bình hành.
Do đó MA = ON = MK
Chứng minh được hai tam giác BON và NMI bằng nhau
Suy ra NI = NB = NK =NC
Vậy 4 điểm B, I ,K, C cùng thuộc một đường tròn.

0,25
0,25
1,0
0,25
0,25

4

a +b+c+d
+ Dễ dàng chứng minh được : abcd ≤ 
÷ (*)
4


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d

1,0
0,25

+ Đặt HB = x , 0 < x < 2R => HC = 2R - x
Chứng minh được : HA = x.(2R − x)

⇔

0,25

0,25

Do x, y dương
2x
2x
1
1
(2 x − ) = 2 x +
.(2xy - 1) = 2xy + 1 =>
nên từ
y
y
y
y
1
2x
1
1
(2 x − ) = 2 x + ta suy ra 2x >
y >0
y
y
y
2x
1 2
1 2

+ 2 ≥ 2 (b − 1).
+2=4
Lại có :
b −1
b −1
b −1
b −1

(theo bđt Cô si)
1
2
Do đó: a ≥ 16. Mà a > 0 nên a ≥ 4 ⇒ 2 x + y ≥ 4
1
Dấu “=” xảy ra khi : b − 1 =
⇔ (b − 1) 2 = 1 ⇔ b = 2
( do b> 0 )
b −1
1


2+ 2
2 x + y = 4 2 x = 2 + 2
x =



2
⇔ 1
⇔
Khi đó:  1