SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2015 - 2016

ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)

Bài 1. (1,5 điểm)
3a + 9a - 3
a +1
a -2
+
với a ³ 0, a ¹ 1.
a + a -2
a + 2 1- a
a) Rút gọn biểu thức M.
b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để biểu thức M nhận giá trị nguyên.

Cho biểu thức M =

Bài 2. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình

x + 3 + 4 x - 1 + x + 8 + 6 x - 1 = 9.

ì
ï

b) Cho hàm số y = ax + a + 1 với a là tham số, a ¹ 0 và a ¹ -1. Tìm tất cả các
giá trị của tham số a để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị của hàm số đạt giá trị
lớn nhất.
Bài 4. (3,5 điểm) Cho trước tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên cung
nhỏ BC lấy điểm M tùy ý. Đường tròn (M ; MB) cắt đoạn thẳng AM tại D.
a) Chứng minh rằng tam giác BDM là tam giác đều.
b) Chứng minh rằng MA = MB + MC.
c) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cung nhỏ BC thì điểm D luôn luôn nằm
trên một đường tròn cố định có tâm thuộc đường tròn (O).
Bài 5. (1,0 điểm) Cho x + y + z = 0 và xyz ¹ 0. Tính giá trị của biểu thức:
1
1
1
.
P= 2
+
+
2
2
2
2
2
2
2
2
x +y -z
y +z -x
z +x -y
--- HẾT --Họ và tên thí sinh: .................................................
Chữ ký của giám thị 1: .........................................


a +1

+

ĐIỂM

a -2

với a ³ 0, a ¹ 1.
a+ a -2
a + 2 1- a
a) Rút gọn biểu thức M.
b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để biểu thức M nhận giá trị nguyên.

Bài 1

§ Ta có M =
1.a
§ Þ
(0,75đ)

M=

§ Þ

M=

(3a + 3 a - 3)
( a + 1)( a -1) ( a - 2)( a + 2)

0,25
0,25

M=

§ Þ

1,50

0,25
0,25

a ³ 0)

0,25

a) Giải phương trình: x + 3 + 4 x - 1 + x + 8 + 6 x - 1 = 9 (1)
ì
ï
x 2 + xy + xz = 48
ï
ï
b) Giải hệ phương trình ïíxy + y 2 + yz = 12 (I)
ï
ï
ï
xz + yz + z 2 = 84.
ï
î


ì
x(x + y + z) = 48
ï
ï
ï
§ Mặt khác: (I) Û í y(x + y + z) = 12 kết hợp với trên ta có hai tường hợp sau
2.b
ï
ï
(1,00đ)
ï
ï
îz(x + y + z) = 84
§ Với x + y + z = -12 hệ có nghiệm (x; y; z) = (-4; -1; -7)
§ Với x + y + z = 12 hệ có nghiệm (x; y; z) = (4;1; 7)

0,25

0,25
0,25
0,25

HDC-HSGTOAN-L9-2015-2016/ trang 1


.

ĐỀ - HƯỚNG DẪN CHẤM

BÀI-Ý

0,25

§ 2016 chia hết cho 8 được 252 như vậy có thể phân số a thành 252 nhóm, mỗi nhóm có
giá trị bằng 16 (có hàng đơn vị là 6) nên tích của 252 nhóm này cũng có hàng đơn vị là 6
3.a
(1,00đ) § 3016 chia hết cho 8 được 377 như vậy có thể phân số b thành 377 nhóm, mỗi nhóm có
giá trị bằng 16 (có hàng đơn vị là 6) nên tích của 377 nhóm này cũng có hàng đơn vị là 6

0,25

0,25
§ Kết luận
æ a + 1 ö÷
§ Đồ thị hàm số cắt các trục tọa độ tại: A çç; 0÷÷ và B (0; a + 1) do a ¹ 0 và a ¹ -1
çè
ø
a
nên A, B phân biệt và đều khác gốc toa độ O.
§ Tam giác vuông OAB tại O nên nếu gọi h là khoảng cách từ O đến đồ thị hàm số thì
1
1
1
a2
1
a 2 +1
=
+
=
+
=

+
a
(1,00đ)
§ Vậy khi a = 1 thì khoảng cách từ O đến đồ thị hàm số là lớn nhất
§ Þ

h2 =

0,25

0,25

0,25

2

0,25

0,25

§ Chú ý: ý (*) và (**) có thể thay bằng hai ý sau:
1
1 a +1
1 (a + 1)2
Diện tích tam giác vuông OAB là S = OA.OB = a +1 =
2
2
a
2
a


ĐỀ - HƯỚNG DẪN CHẤM

BÀI-Ý

ĐIỂM

§ Hình vẽ phục vụ hai câu a và b

A

a) Chứng minh BDM là tam giác đều
§ MB = MD (bán kính đường tròn (M))
· = BCA
· = 60o (cùng chắn AB)
»
§ BMD

I

D

§ Nên tam giác BDM đều
b) Chứng minh rằng MA = MB + MC.
Hai tam giác ABD và CBM bằng nhau
vì AB = CB; BD = BM
· = 60o - DBC
· = CBM
·
và ABD

Þ D luôn thuộc đường tròn (I ; IB) cố định có tâm thuộc (O)
Cho x + y + z = 0 và xyz ¹ 0. Tính giá trị của biểu thức:
1
1
1
.
P= 2
+ 2
+ 2
2
2
2
2
2
2
x +y -z
y +z -x
z +x -y

0,50
0,75
0,25
0,25
0,25
1,00

0,25
0,25
0,25
0,25

+
-2xy -2yz -2xz
x+y+y
§ Þ P=
=0
-2xyz

0,25
0,25
0,25
0,25

--- Hết ---

HDC-HSGTOAN-L9-2015-2016/ trang 3