GIẢI TÍCH
12
TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

GV: PHAN NHẬT NAM


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
CỦA NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
1. Định nghĩa:


Giả sử y  f(x) liên tục trên khoảng (a, b), khi đó hàm số y  F(x) là một nguyên hàm của hàm số y 
f(x) khi và chỉ khi F(x)  f(x), x(a, b).



Nếu y  F(x) là một nguyên hàm của hàm số y  f(x) thì tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số y 
f(x) là tập hợp I  F( x )  c c  R và tập hợp này còn được kí hiệu dưới dấu tích phân bất định
I   f ( x )dx  F( x )  c

2. Vi phân:
2.1 Giả sử y  f(x) xác định trên khoảng (a, b) và có đạo hàm tại điểm x(a,b). Cho x một số
gia x sao cho (x + x)  (a,b), khi đó ta có:
dy  y   x  x


df  x   f   x  x


x
)


Nếu 

3. Quan hệ giữa đạo hàm  nguyên hàm và vi phân:

 f  x  dx  F  x   c  F   x   f  x   dF  x   f  x  dx
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

2

www.toanhocdanang.com


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
4. Các tính chất của nguyên hàm và tích phân
4.1. Nếu f(x) là hàm số có nguyên hàm thì :



  f  x  dx   f  x  ; d   f  x  dx   f  x dx

 d  F  x   F  x   c

4.2. Nếu F(x) có đạo hàm thì:

4.3. Phép cộng: Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx
4.4. Phép trừ: Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx



thể biểu diễn được dưới dạng hữu hạn.
II. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1. Điều kiện khả tích: Các hàm liên tục trên [a, b], các hàm bị chặn có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a, b] và
các hàm đơn điệu bị chặn trên [a, b] đều khả tích trên [a, b].
b

2. Ý nghĩa hình học: Nếu f(x) > 0 trên đoạn [a, b] thì

 f  x  dx là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi
a

các đường: y  f(x), x  a, x  b, y  0
y
C3

N k-1

C 2 B2
C 1 B1

Ck

N1

Bk

Nk
Bk+1




f  x  dx  g  x  dx .

a


a

Dấu bằng xảy ra  f(x)  g(x), x[a, b]

Công thức Newton - Leipnitz:
Nếu



f  x  dx  F  x   c thì

b

 f  x  dx  F  x 

b
a

 F b   F  a 

a
b

a

b



b

f  x  dx  g  x  dx



a

a

b

b

a

a

4.6. Phép nhân với một hằng số khác 0:  kf  x  dx  k  f  x  dx , k  0
b

4.7. Công thức đảo cận tích phân:



f  x  dx 

a

b

 f  x  dx
c

4.9. Công thức đổi biến số: Cho y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và hàm x  (t) khả vi,
liên tục trên đoạn [m, M] và Min   t   a; Max   t   b ;   m   a;   M   b .
t m,M 

b

Khi đó ta có:


a

f  x  dx 

t m,M 

M

 f  t   t  dt

m


 1



 u u ' dx   u du 

  1

1

u'

u  1
c
 1

1

 x dx  ln x  C

 u dx   u du  ln u  C

e

 u' e

x

dx  e x  C


 u' cosudx   cosudu  sin u  C

dx

 cos

2

2

2

1
x

u ' dx
  (tan 2 u  1)du  tan u  C
2
u

x

  (tan 2 x  1)dx  tan x  C

 cos

x

  (cot 2 x  1)dx   cot x  C


 cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   c

 dx  x  c

 (ax  b) dx 

dx

1 ax  b 
a  1

 1

c,

  1

1

 ax  b  a ln ax  b  c



eax b dx 

m

ax  b

dx 

a ln m

 tan( ax  b)dx  

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

5

2

d (cos(ax  b))
1
  ln cos(ax  b)  c
a. cos(ax  b)
a

www.toanhocdanang.com


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG



dx
1
x
 arctg  c
2
2
a




d (sin( ax  b)) 1
 ln sin( ax  b)  c
a.sin( ax  b)
a

b

 ln  ax  b  dx   x  a  ln  ax  b   x  c

 ln  x  x 2  a 2   c

dx





2

 cot(ax  b)dx  



x
c
a


c
2

dx

1

ax  b
c
2

 sin  ax  b   a ln tg

1 a  x2  a2
  ln
c
a
x
x x2  a2
dx

 sin  ax  b   a ln tg


eax cos bx dx 

eax  a cos bx  b sin bx 
c
a 2  b2


u
u u
dx     ' dx   d     c
2
v
v
v v

u'
u

dx  

 u ' dx 

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

u c
6

www.toanhocdanang.com


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Các trường hợp riêng :




 u' ( x)  u( x)e dx   u' ( x)e  u( x).e 'dx   u( x)e  ' dx   d u( x)e   u( x)e  c

x

x

ax b

ax b



x

ax b



ax b









dx   u ' ( x)e v ( x )  u ( x) e v ( x ) ' dx   d u ( x)e v ( x )  u ( x)e v ( x )  c

Bài tập áp dụng :
1.

x
2
 e (tan x  tan x  1)dx

7.

e

3.

x2  x 1

9.



11.  e sin  x  dx
4


x 3 ( x  2)
e
12. 
( x  1) 3



1 x2

x


7

12.  2
(HD:
)




9 x  12 x  4
3x  2  3x  2 
(3x  2) 2
b  1
2 a  b  3

V.2 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẢN NGUYÊN HÀM (các phép biến đổi thường gặp)
1. Biểu diễn luỹ thừa dạng chính tắc:
1

n

x  xn ;

n

m

xm  x n ;


n

1

;
n k

x

m
nk

xm

2. Biến đổi vi phân:
dx  d(x ± 1)  d(x ± 2)  …  d(x ± p)
adx  d(ax ± 1)  d(ax ± 2)  …  d(ax ± p)

  



1
dx  d x  1  d x  2 
a
a
a

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225




TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Bài tập áp dụng: Tính các tích phân bất định sau

J1  

 x  1 x  2  x  3 x  4 

7x  3
J2  
dx ;
2x  5

dx ;

x x

3x 2  7x  5
J3  
dx
x2

2x 3  5x 2  7x  10
4x 2  9x  10
2x 2  3x  9
J4  
dx ; J5  
dx ; J 6  
dx


 x  1

3

x 2  3x  5

dx ; J13  

dx ; J16  

x

x dx
2

ln 2



 3 x2  7

dx



ex  1

1


3x

e2x dx
ex  1







dx



 7 x2  2

2





; J 23  

 2x

ln 2

; J 26 


dx









 5 x2  3



1  ex
dx
1  ex
2

dx

dx
e3x dx
1  ln x
;
J

; J 35  
dx




dx

1 1  ex
1
1 1  ex
dx
e  x dx
dx

; J 29  
; J 30   2x
; J 31  
x
2x
x
1

e
1

e
e

e
e3x
0
0




2

1
1 2x  1
1
dx
dx
dx
 x
; J 40   x
;
J

;
J

e 2x 1  e x dx
41
42


x
x
4
0 4 3
0 4 2
0

x2  2 x2  3

J18  

J 24 

dx ; J8  

x  13 dx ; J10   x  12 5x  215 dx ; J11   x 2  3x  52x  133 dx

J12   2x  3
2

2x 3  5x 2  11x  4



J 43  

3

tan x  cot x  2 dx
2

2

6

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225



TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
Các công thức nguyên hàm thường dùng :

1

1

 ax  b dx  a ln ax  b  C
Mở rộng

 u ( x) dx  u ( x) d u( x)  ln u ( x)  C
u ' ( x)

1

1
1 (ax  b)  n 1 1
1
n
dx

(
ax

b
)
dx

2a a  x
x

Chú ý : Với tích phân dạng : 

P( x)
dx Nếu Bậc[P(x)]
Q( x)



Bậc[Q(x)] thì ta thực hiệ phép chia


s ( x) 
dx trong đó Bậc[S(x)] < Bậc[Q(x)] Sau đó
P(x) cho Q(x) để chuyển tích phân trên về dạng   r ( x) 
Q( x) 


sử dụng một trong các phương pháp sau :
I. PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG NHẤT THỨC TRONG TÍCH PHÂN HỮU TỶ
Loại I : Tính nguyên hàm : I 
TH 1 :  < 0

2

P( x)
dx
 bx  c

a  (x   )  
(x   )   
Giải I1 bằng cách đặt ẩn phụ : x   
dx  

m
n
ln ( x   ) 2    .I1
2a
a

 tan t

1
dt   (tan 2 t  1)dt
2
cos t

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

9

www.toanhocdanang.com


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
1
1
 (tan 2 t  1)dt 
2


dx


x

dx    I 1


2
2
1 x 2  2 x  2 1 




1
2
x  2x  2 
x  2x  2
 2
 1
0

0
x2
x2
dx

1 ( x  1) 2  1 dx

1
)
dt

 ln 2
2

0
tan t  1
0 4 2

I1   4
0

TH 2 :  = 0 {phương trình (1) có nghiệm kép x =  }
P( x)
a( x   ) 2

I 

m 
P( x)
m
n
ĐNT




2

a x 

1
 x2
1 1 2x  1
x3  x2  x
2x  1 
1

  
dx

x

1

dx


x
dx    I 2


2
2
2


0
0


1 1

  2 ln x  1 
  2 ln 2  1
x 1 0


{phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x =  và x =  }

TH 3 :  > 0
P( x)
a ( x   )( x   )

I 

m 
P( x)
m
n
ĐNT




( x   )( x   ) x   x  
n 

Xét


2

3
3
3
2 x 3  5x 2  4 x  1
x 1

dx

x

dx

xdx



2  2 x 2  5x  3  2
2
2 x 2  5x  3

3
x2 3

 2
2
2 2

x 1

2


I3  

3

2

3
5( x  1)  4( x  )
2 dx  5 3 1 dx  4 3 1 dx  5 ln x  3 3  4 ln x  1 3  5 ln 3  4 ln 2
2 3
2 x  1
3
2
22

x
( x  1) x  
2
2


Loại II : Tính nguyên hàm : I 

 ax

3




Xét

 m
1
P( x)
1 m
nx  k
1
dx   
dx   2
dx   ln x    I 2
2

a ( x   )( x  x   )
a  x 
a
x  x  
 a
Giải I2 bằng phương pháp ở loại 1
0
x2
x2
dx  
dx
3
1 x  1
1 ( x  1)( x 2  x  1)


1
 I 2   ln 2  I 2


1  x  1 x 2  x  1 
1
1
( x  1)( x 2  x  1)
0

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

11

www.toanhocdanang.com


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
0

x 1

1

2

Giải I2 : I 2  

1
3

2
2
2

, x  1  t  

6


6

3
1
tan t 


3
2  6  3 sin t 1 
1 6

2
2
2


tan t  1 dt 
 dt    ln cos t 
t   
2


k

ĐNT




n 
2
2
x   x   (x   )
( x   )( x   )
k 



1
P( x)
1 m
n
k


dx

dx

dx
2
2

k



2
( x  1) ( x  2) x  2 x  1 ( x  1) 2

4x2  7 x  3
(m  n) x 2  (k  2m  3n) x  m  2n  2k


( x  1) 2 ( x  2)
( x  1) 2 ( x  2)
0
1
2
3
I   


1 x  2
x  1 ( x  1) 2


; x  R

m  n  3

; x  R  k  2m  3n  5 
m  2n  2k  1

m
n
k

ĐNT




n 
( x   )( x   )( x   ) x   x   x  
k 

www.toanhocdanang.com


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
I


1
P( x)
1 m
n
k
  
dx  
dx  
dx 




( x  2)( x  1)( x  1) x  2 x  1 x  1

x  R

m  n  k  6
m  1


6 x  11x  1  m( x  1)( x  1)  n( x  2)( x  1)  k ( x  2)( x  1) ; x  R   n  3k  11  n  2
  m  2 n  2 k  1 k  3


2

2
3 
 1
I  


dx  ln x  2  2 ln x  1  3 ln x  1  C
 x  2 x 1 x  1

TH 4 : Phương trình (2) có nghiệm bội ba x = 
P( x)
a( x   ) 3

I


dx

dx

dx

3
2
3
 (x   )
 ( x   ) 
a  (x   )
a   x  



m
n 1
k
1
ln x   

C
a
a x   2a ( x   ) 2

Loại III : Tính nguyên hàm : I  
Xét đồng nhất thức :


dx

dx

dx

...

 x 
 (x   )2
 (x   )3
 ( x   ) n dx
(x   )n

 A1 ln x    A2
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

13

A
A
1
1
1
 3
 ...  n
C
2
x   2 (x   )
n  1 ( x   ) n1

dx  149 
dx  102 
dx  29 
dx  3
dx
50
49
48
47
( x  2)
( x  2)
( x  2)
( x  2)
( x  2) 47

I  66

1
1
1
1
1
 149

 29
3
C
49
48
47

2
x   (x   )
x   (x   )
(x   ) (x   )
(x   )
(x   )m
I 


P( x)
dx
(x   )n (x   )m
An
Bm
A1
A2
B
B2
dx  
dx  ...  
dx   1 dx  
dx  ...  
dx
2
n
2
x 
(x  )
(x  )
x

u( x)  a  u( x)  b dx  1  u( x)  a dx  u( x)  b dx 
1
1
Công thức tổng quát : 
dx 

 v( x) 
v( x)
a b
v( x)
a  b   v( x)
Chú ý : Việc chọn u(x) và a, b phải đảm bảo được hai tích phân sinh ra đơn giản , dể tích hơn
tích phân đầu.
Các trường hợp thường gặp :
1

1

 ( x  a)( x  b) dx  a  b 

( x  a )  ( x  b)
1 
1
1
1
xb

dx 
dx  
dx  



1
1 (a.x k  b)  a.x k
1
1
1
dx

dx    m
dx  a  m  k
dx 
m
k
n
k
n 1
k
n
 x m (a.x k  b) n

b x (a.x  b)
b  x (a.x  b)
x (ax  b)

III. KỸ THUẬT CHỐNG NHỊ THỨC


(ax  b) n
, (ax  b) h .(cx  d ) m dx

2. I 2  

1
( x  a )( x  b)

dx 

I=

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

15

1
 dt  b  
f 
, t dt

ad  cb
 ct  a


ba

x  b 

1
( x  b)

ba

2

dx 

ba

x  b 

I 2  2

2

1
1
1
xa
 xa
d
ln
C


ba xa
 xb ba xb
xb

dx 

1
( x  b)  x  a 

Với I2 ta còn cách giải khác là : Đặt t  x  a  x  b nhưng không thể áp dụng cách này cho I3
VI. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ KIỂU ĐỐI XỨNG

Dạng :



f (x 2 )
dx (Hoặc f và g là các đa thức có hệ số đối xứng)
g(x2 )

Phương pháp :
Rút gọn phân thức (nếu có) sau đó chia tử và mẫu cho x2 để đưa về một trong 2 dạng :
1

P x  
1 
x

  1  1  x 2 dx
Q x  
x


1

P x  
1 
x




dt

x

Đặt :

 dx  1  2 dx
x
x

 x 
Khi đó : I  

P (t )
dt là tích phân đơn giản hơn tích phân đề
Q (t )

1

P x  
1 
x

 Dạng 2: Với tích phân có dạng I  
1  2 dx
1
x 




TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Bài tập áp dụng :

x2 1
dx
1. 
2 x 3  3x  2

2.

x 2  10 x  2
4. 
dx
( x  1)( x 3  15 x  3)

5.

( x  1) 2
dx
7. 0 2
x 1

8.

1

10.



1
dx
4
x  4x 2  3

9.

3



1

2

1
dx
6
x (1  x 2 )

x5  x
dx
x8  1



( x  3) 7
dx
16. 


19.

dx

1

dx
5
( x  1) 3



x2 1
dx
x4 1

20.



x2 1
dx
x4 1

x3  x
dx
23.  6
x  4x 4  4x 2  1



25.



x4  1
dx
x6  1

x2
dx
28. 
(2  3x)10
dx
31.  9
x  3x 5

17

 x(x



12.

2

1

dx


3

x2  1
dx
x 4  5 x3  4 x 2  5 x  1

( x 2  1)dx
29.  2
( x  5 x  1)( x 2  3x  1)
ln 5

32.

dx
 e x  2e x  3
ln 3

www.toanhocdanang.com


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
Công thức nguyên hàm cớ bản :
1

1

 sin( ax  b)dx   a cos(ax  b)  C



 tan( ax  b)dx   a 
1

 cot(ax  b)dx  a 

2

2

cos(ax  b) 'dx   1

d cos(ax  b)    ln cos(ax  b)  C
a  cos(ax  b)
a

cos(ax  b)

sin( ax  b) 'dx  1
sin( ax  b)

1

1

d sin( ax  b)   ln sin( ax  b)  C
a  sin( ax  b)
a
1



sin 10 x  5 sin 8x  10 sin 6 x  10 sin 4 x  5 sin 2 x dx
 cos5 x  cos3x  5 cos x  sin 5 xdx 

8 2
2
32 




1  1
5
5
5
5

  cos10 x  cos8 x  cos 6 x  cos 4 x  cos 2 x   C
32  10
8
3
2
2


Các phương pháp đặt ẩn phụ của tích phân lượng giác cơ bản :
Dạng 1 : I 1   f (sin x , cos x)dx

{Trong đó : f ( sin x , cos x)   f (sin x , cos x) }


I1   g (tan x).

1
dx
cos2 x

Đặt t  tan x  dt 

1
dx
cos2 x

I 1   g (t ).dt

Chú ý :


Ta có thể đặt t  cot x nếu I1 dể biến đổi được về dạng



1

 g (cot x). sin

2

x

dx

4
4
4




cos(x  )
4




sin x  cos x  2 sin( x  4 )
Dùng công thức 
cos x  sin x  2 cos(x   )
4


để đưa tích phân về dạng :

I 1   g sin x  cos x ; sin x cos x .(cos x  sin x) dx
dt  (cos x  sin x)dx

2
Đặt : t  sin x  cos x 
sin x. cos x   t  1
2

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

1 t2

2t
sin x  2
;
t 1

1 2 x 
2
 1dx  dx  2
dt
 tan
2
2 
t 1

dx 

I1  

2t 1  t 2
2
f( 2
,
). 2
dx
2
t 1 1 t t 1

Trường hợp riêng :

I1  

t





n



1
2
1 t 1
dt  n1 
n n
2
2 t t 1
2
tn
2

2

n 1

C

k 2k

1



cos (  x)
2
n

dx   


2

 x  dt  dx

1
dt
sin n t

n

Giải tương tự I1





n
1
1

I



1
dx
sin( x  a ) sin( x  b)

1
sin ( x  a )  ( x  b)
1
sin( x  a ) cos(x  b)  cos(x  a ) sin( x  b)
dx 
dx


sin( a  b) sin( x  a ) sin( x  b)
sin( a  b)
sin( x  a ) sin( x  b)

 d sin( x  b)
1
d sin( x  a)
1
sin( x  b)


ln
C




sin( x  a) cos(x  b)
sin( a  b) sin( x  a) cos(x  b)
sin( a  b)  sin( x  a) cos(x  b) 

Dạng 2: I  
C1:

I



C2:

I

1

dx
a sin x  b cos x

1

a b
2

2

1


1
a2  b2

1
a2  b2

1
dx 
x 
x 
2 sin
cos
2
2

ln tan

a b

2



1
dx
x 
2 x 
2 tan
cos


x
2

a. sin x  b. cos x

 m. sin x  n. cos x dx

Xét đồng nhất thức : a. sin x  b. cos x   (m. sin x  n. cos x)   (m. sin x  n. cos x)'

  (m. sin x  n. cos x)   (m. cos x  n. sin x)
m  n  a
am  bn
bm  an

  2
;  2
2
m n
m  n2
n  m  b

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

21

www.toanhocdanang.com


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG


Xét đồng nhất thức : a. sin x  b. cos x   (m. sin x  n. cos x)   (m. sin x  n. cos x)'

  (m. sin x  n. cos x)   (m. cos x  n. sin x)
m  n  a
am  bn
bm  an

  2
;  2
2
m n
m  n2
n  m  b
I3   

1
d (m sin x  n cos x)
dx   
 I a  I b
k 1
(m sin x  n cos x)
(m sin x  n cos x) k

Giải Ia :

Nếu k – 1 là số chẳn ta đặt t  tan x .
Nếu k – 1 là số lẻ ta đặt t  tan

Giải Ib :

0



sin 3 x
cos x cos x

dx

1
dx
7. 
2
2
4 sin x cos x
3

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

2.





2
0

sin 4 x
dx

4
0

sin x
dx
1  sin 2 x

www.toanhocdanang.com


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

1
dx
10. 
sin x cos3 x


1
dx
11. 
sin 2 x  2 sin x

sin 2 x  sin x

13.



16.

17.

4
2
 sin x cos xdx

2 sin x  3 cos x

3 sin x  4 cos x
dx
2
x  4 cos2 x

23.

 3 cos x  5 sin x  3

sin 3 x  sin x
. cot x.dx
sin 3 x

26.

 sin





2  sin x  cos x


cos x.dx
sin x  cos x  1
3
4

cos x  sin x
3  sin 2 x

dx

1
dx
x cos5 x

cos2 x

 sin x 


3 cos x

sin x
dx
sin x  cos x  1

32.





sin  x  
4

dx
41.  4
0 sin 2 x  2(sin x  cos x )

44.

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225



4
0

sin 4 x  cos4 x
dx
sin x  cos x

23

4 sin x

 (sin x  cos x)

24.

 tan


dx
 6 cos x sin 2 x

36.

 2 sin x  5 cos x  3 dx

39.





dx

21.



dx

cos x  1
dx
38. 
2 cos x  2

1  sin x
dx
37. 02

cos x

20.

3



dx

14.



42.

45.

3

1





2
0





Cách 1 : Đặt : t 

n

 ( x)

Nhận xét : Để đặt được


ta cần thực hiện việc kiểm tra các bước như sau :

Kiểm tra xem trong I1 có chứa

 ' ( x)dx . Nếu chưa có ta cần phải nhân, chia thêm lượng

 ' ( x)  0 , x  a , b - đoạn cận của tích phân)
Sau khi nhân, chia cho  ' ( x) ta cần kiểm tra phần dư ra có thể thay t vào được không.

 ' ( x)



t  n  ( x)

(chú ý:

I1   g ( x, n  ( x) ) ' ( x)dx







 f

ax  b 

1

2

dx . Sau đó đặt

1
 2t
dt 
dx

ad  bc
(cx  d ) 2
ax  b
ax  b
2
t 

cx  d
cx  d


1
2
dx biến đổi về dạng 
dt Bằng cách đặt u  t  t  m ta có:
ax 2  bx  c
t2  m
1
2
 t 2  m dt  ln t  t  m  C



 (mx  n)



 (mx

1
ax 2  bx  c

dx Đặt

dx
2

 n) ax  b

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225



1



4. I 

x4

2

x5  1

0

5. I 

7. I  
1

x x 9





5

10. I 4   2 x 1  4 x dx



ln 2 x
dx
x ln x  1

e3

22. I15  

1



2

1



28.

 cos x
3

6

4

34.





dx

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

35.



0



27. I 5 

e e

x

dx

30.

1 x 1
. dx
1 x x

x .


3

dx

x 1

2

26. I 4 

dx

2

1



1

3

1

tan x

4

31. I 5  


1 x

dx

x 1 4 x

1

2

dx

1  3cos x

e

e x  1. dx

3

19. I11 

3

.

sin 2x  sin x

12. I16  


e2x

1



16

xdx
x 1
1 1

8. I  

7

dx
2

5

/2

6. I 

2

0


2 3

dx



2. I 

1  3ln x ln x
dx.
x

e

4

1
1 x2


26
0



36.

4x  x

1


2

0

( x  1)( x  2)

1 1 x

1

3

1 x

dx

www.toanhocdanang.com

dx

dx