 SKKN: “Chứng minh vật dao động điều hòa bằng phương pháp năng lượng”

A. MỞ ĐẦU
I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Trong quá trình học tập vật lí, việc giải bài tập là một khâu quan trọng không thể thiếu. Tuy
nhiên khi đứng trước mỗi bài tập, thì việc lựa chọn cách giải nào cho phù hợp để đi tới kết quả
đúng, nhanh và dựa trên cơ sở nào để lựa chọn phương pháp giải này, là điều vô cùng khó khăn
đối với người học.
Trong phần cơ học, đã có nhiều tài liệu tham khảo viết về việc giải bài toán chứng minh một vật
dao động điều hòa, nhưng hầu hết các tài liệu đó đều vận dụng các định luật Newton (tức là
dùng phương pháp động lực học) để giải, cách giải này hay, tuy nhiên trong nhiều bài toán cụ
thể thì phương pháp năng lượng tỏa ra hiệu quả hơn. Định luật bảo toàn năng lượng luôn tồn tại
trong mọi hiện tượng vật lí, trong trường hợp này là trong các dao động cơ học. Ta có thể nói
rằng: Khi không có tác nhân làm tiêu hao năng lượng của hệ dao dộng, hệ chỉ chịu tác dụng của
lực thế, thì dao động này mang tính chất dao động điều hòa, và năng lượng toàn phần là cơ năng
được bảo toàn; Khi xuất hiện các yếu tố làm tắt dần dao động (ma sát) thì dao động không còn là
điều hòa mà trở thành dao động tắt dần, năng lượng toàn phần giảm, và phần năng lượng tiêu
hao được chuyển hóa sang dạng năng lượng khác (nhiệt). Trong phạm vi nghiên cứu của đề tài
này tôi xin trình bày cách giải bài toán chứng minh một vật dao động điều hòa bằng phương
pháp năng lượng.

II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
- Đưa ra được phương pháp giải bài toán chứng minh vật dao động điều hòa bằng phương pháp
năng lượng .
- Vận dụng vào giải một số bài toán cụ thể.

III. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
1. Đối tượng :
-Nghiên cứu các tài liệu, sách tham khảo, có liên quan đến “Dao động điều hòa”
-Nghiên cứu chương trình vật lý phổ thông chủ yếu vật lý 12 và vật lý chuyên .
-Học sinh lớp 12, đặc biệt là đối tượng HSG, HS chuyên lý.

dụng
định luật2 Newton,
ta có:
+ Xét vật ở thời điểm t, có li độ làx : Áp

 

Fhl  m.a  F1  F2  ...  Fn  m.a

+ Chiếu lên HQC và kết hợp với (1), nếu thu được hợp lực có dạng đại số: Fhl = -kx (2)
trong đó k là hệ số tỉ lệ, thì vật dao động điều hòa.
+ Phương trình (2) được viết lại : x"   2 .x  0 .
+ Phương trình này có nghiệm dạng: x  A.cos(.t   ) hoặc x  A.sin(.t   )
 vật

dao động điều hoà, với tần số góc là  

k
.
m

2. Phương pháp năng lượng:
+ Chọn đối tượng khảo sát là hệ dao động. Xác định các lực tác dụng lên vật m của hệ.
+ Chọn vị trí cân bằng làm mốc để tính thế năng của hệ. Thế năng của hệ bằng tổng các thế
năng tương ứng với những lực thế tác dụng vào vật và thực hiện công lên vật. Nói cách khác thế
năng của hệ tương ứng với hợp lực của các lực thế tác dụng lên vật.
Ví dụ: để tìm thế năng của hệ tương ứng với hợp lực F = -kx ta sử dụng mối liên hệ sau đây:
x

dA  Fdx   dWt  Wt   kxdx 


l

m


B

L

m

Giải:
a. Trong quá trình chuyển động, thanh kim loại cắt các đừng cảm ứng từ gây ra suất điện động cảm ứng
trên thanh và tụ tích điện. Tại thời điểm bất kì, góc lệch của thanh là  vận tốc góc của nó là  , tụ được
tích điện đến hiệu điện thế U. Chọn gốc thế năng của m ở vị trí thấp nhất. Ta có năng lượng của hệ
thống:
1 2
CU 2
mv  mgl 1  cos   
E
2
2
d
dS Bl 2 d 1 2
Ta có:
U  Ec 
B

 Bl 

Năng lượng được bảo toàn lấy vi phân hai vế theo t:
 2 CB 2 l 4 
 ml 
   mgl  0
4 

 bé  1  cos   2 sin 2

     02  0
mg
Với
 02 
CB 2 l 3
ml 
4
Vậy m dao động điều hòa với chu kì:

2
l CB 2 l 3
 2

g
4mg
0
b. Tương tự như trên ta có phương trình năng lượng:
1 2
Li 2
mv  mgl 1  cos   
E
2

m 2 l 2  mgl 2 
E
2
2
8L
Thay vào trên:

B 2l 4   2 1 2 2
 mgl 

 ml   E
4 L  2 2

Năng lượng được bảo toàn lấy vi phân hai vế theo t:

B 2l 4 
 mgl 
  ml 2   0
L
4


     02  0

 02 

Với

mgl 


L

B
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:
2
2
2
mv0
mv
Li


 const.
B
2
2
2
2 2
B l
mvv   Lii   0  i  
i0
Lm
i    2 i  0
Bl
Với  
Lm
 i  I 0 sin t   
t  0  i  0    0  i  I 0 sin t  i   I 0 cos t

v

quanh đầu O cố định. Đầu M của thanh có thể trượt không ma sát trên một dây dẫn uốn thành một cung
tròn AB tâm O bán kính r, mặt phẳng của cung tròn AB nằm ngang, I là điểm chính giữa của cung. Tâm
O và đầu A của cung dây dẫn nối với nhau qua một cuộn dây có độ tự cảm L, ta có một mạch diện kín

OMALO mà điện trở bằng không. Tạo một từ trường đều có vectơ cảm ứng từ B thẳng đứng trong
vòng tròn tâm O bán kính r. Ban đầu, đầu M của thanh đứng yên ở vị trí I. Váo thời điểm t = 0, ta truyền
cho M vận tốc v theo hướng tiếp tuyến với cung tròn AB tại I.
a. Thanh M sẽ chuyển động như thế nào? Viết phương trình chuyển động của thanh ấy.
b. Vận tốc v có giá trị như thế nào thì thanh OM không quay quá 900 so với OI.
Giải:
a. Xét ở thời điểm t:  c   tc  RI  0 trong đó  tc là suất điện động tự cảm trên L;  c là suất điện
động cảm ứng trên thanh.
Phương trình trên tương đương:
Br 2 
Li  
L
2
Kết hợp với điều kiện ban đầu  0  0, i 0  0 ta được:
B
A
Br 2
i

2L
 O
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta có:
B
1 2 1 2
Li  I  E
M


 0  

 

v
v
2v Lm
 A

r
r 0
3Br 2

v
sin  0 t
r 0

r 0 Br 2 3


v
thì phải có:
 v

2
2
r 0 2
4 Lm
Câu 4: Một lò xo có khối lượng m, độ cứng k, được đặt trên một bàn nằm ngang nhẫn. Một đầu lò xo




dl
W
dW
dWđ  dmu 2 
đ
0 đ 6
L
2
2 L3
m0 v 2 mv 2 kx 2
Cơ năng toàn phần của hệ: E 


 const
2
6
2
3k
Đạo hàm hai vế theo thời gian, ta sẽ tìm được: x  
x0
3m0  m
Vậy hệ dao động với chu kì: T  2

3m0  m
3k

m0

9

Cơ năng của hệ được bảo toàn:
ml 2  2 mgl 2 2kl 2 2
W


 const
2
2
9

m

 g 4k 
Lấy đạo hàm đẳng thức trên theo thời gian ta thu được:     
  0
 l 9m 
2
Vậy hệ dao động điều hòa với chu kì: T 
.
g 4k

l 9m

 GV: Nguyễn Anh Văn.

- 6 -



2 2
 m  CB L x   kx  0

B
k
x  
x  0.
C
m  CB 2 L2
m  CB 2 L2
Vậy vật dao động diều hòa với chu kì : T  2
L
k
* Ta có thể giải theo phương pháp năng lượng như sau :
Ta có hiệu điện thế hai đầu tụ : U = Ec = BLv
Năng lượng của hệ được bảo toàn, chọn gốc thế năng ở vị trí cân bằng :
CU 2 mv 2 kx 2


 E  const.
2
2
2
v 2 kx 2
 CB 2 L2  m

 E  const.
2
2
Lấy đạo hàm theo thời gian ta được:

Giải :
Gọi y là độ dịch chuyển của tâm C đối với vị trí cân bằng của hệ và x là độ dãn của lò xo với vị trí cân
bằng.
Tại vị trí cân bằng : mg  2kl 0
Khi lò xo dãn một đoạn x thì :
 GV: Nguyễn Anh Văn.

- 7 -


 SKKN: “Chứng minh vật dao động điều hòa bằng phương pháp năng lượng”
mg  T  k  x  l0 
(1)
m
Gọi vận tốc quay của hình trụ là  , gia tốc góc là  thì :
I  T  k ( x  l 0 ) R
(2)
ma

 T  k  x  l 0 
2
Do dây không dãn nên vA = 0 ; vC  R ; v B  2 R; x  2 y .
a

3
ma  2k  x  l 0   mg
2
Từ (1) và (2) ta có :
3
 ma  2kx  4ky

3m
2
3m
Vậy tâm C hình trụ dao động điều hòa với chu kì T  2
.
8k

Do a  y  nên phương trình trên được viết lại : y  

ml 2
đối với trục vuông góc với thanh và
3
2l
qua tâm G của thanh. Thanh trượt không ma sát bên trong một nữa vòng tròn tâm O bán kính R 
.
3
Chứng minh thanh dao động điều hòa, tìm chu kì.
x
Giải :
O
Ta có OG = R/2.
TB
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng:
O 
B
G
1 2 1
R
mv  I  2  mg cos   const.
2

đứng một đoạn nhỏ rồi thả nhẹ. Tìm chu kì dao động của vật m.
Giải :
Khi hệ cân bằng : Mg  2mg  kl
Ở li độ x :
k
Đối với m : mg  T1  ma
Mg  T1  T2  k l  xC   MA
M
C
Đối với khối trụ :
T1  T2 R  1 MR 2
2
Điều kiện ràng buộc về mặt động lực học :
m
x
vC  R  A  R ; v m  vC  R  2 R  a  2 A; xC  .
2
Kết hợp các điều kiện trên với các phương trình ta được :
x
a

Mg  T1  T2  k  l    M
2
2

Ma
T1  T2 
4
2mg  2T1  2ma
2k

 2

Thế năng của hệ, gốc thế năng ở vị trí cân bằng : Wt 
Cơ năng của hệ được bảo toàn : W  Wđ  Wt  const.

1 2 1 x2
kxC  k
.
2
2 4

dW  8m  3M 
kx

v.v   x   0
dt 
8
4

kx
 8m  3M 

0
 x  
8
4


 8m  3M x   2kx  0





T
F
R
I
I
T
F






đ
đ

R
R2
Ix 
 mg  2  Fđ  mx 
R
I 

 mg  k l  x    m  2  x 
R 

I 


O

y

H
dW 
I 
k

  m  2 v.v   kx.x   0  x  
x0
I
dt 
R 
m 2
C
R
I
m 2
x
R .
Vật dao động điều hòa với chu kì : T  2
k
Câu 11: Cho cơ hệ như hình bên, thanh đồng chất OC khối lượng m, chiều dài 2R có thể quay quanh
trục Oz nằm ngang của một khối hình trụ cố định Bán kính R. Đầu C của thanh gắn với trục của đĩa
mỏng đồng chất khối lượng 2m, bán kính R ; đĩa tiếp xúc với khối trụ. Khi cơ hệ chuyển động trong mặt
phẳng xOy vuông góc với Oz, đĩa lăn không trượt trên khối trụ. Kéo thanh OC lệch một góc nhỏ  0 so
với phương thẳng đứng rồi buông nhẹ. Tính chu kì dao động của cơ hệ. Bỏ qua ma sát ở các ổ trục và
ma sát lăn giữa đĩa mỏng và khối trụ.

Vì đĩa lăn không trượt nên : vC  2 R   R C
2

2mR 2 2 20mR 2 2
 
 .
3
3
Cơ năng của hệ được bảo toàn : W  Wđ  Wt  const.
dW
20
 5mgR sin  .  
mR 2 2 .   0
dt
3
3g
Vì  bé nên :   
 0
8R
8R
Chu kì dao động nhỏ : T  2
.
3g
Câu 12: Hai hòn bi có cùng khối lượng m. Một hòn được gắn vào A của thanh OA thẳng đứng có chiều
dài l ; một hòn được gắn tại B (OB = l/3). Hai lò xo có cùng độ cứng k được móc vào thanh tại A và B
như hình vẽ. Khối lượng của thanh và các lò xo không đáng kể, ban đầu thanh thẳng đứng và các lò xo
lo không bị biến dạng. Chứng minh rằng với dao động nhỏ thì hệ dao động điều hòa. Tính chu kì dao
động.
Giải :
Áp dụng phương trình cơ bản của động lực học cho chuyển động quay của thanh ta được :


B
O

2

l
1
1 l 
1
1 l 
2
2
 mgl 1  cos    mg 1  cos    k l   k     ml   m     E
3
2
2 3 
2
2 3 
Với dao động nhỏ sin    phương trình trên được viết lại :

 GV: Nguyễn Anh Văn.

- 11 -


 SKKN: “Chứng minh vật dao động điều hòa bằng phương pháp năng lượng”
2

2

1
1
Wđ  I1 2  I 2 2
A
2
2
1  Ml 2 2 2
2
k
 
 mr  ml  r   2
C
2 3
5

 Ml 2 2 2
1 2 1
1
v2
2


Đặt I  
 M 0v 2
 mr  ml  r    Wđ  I  I
2
5
2
2 l  r 
2

2 2  9l  r 
9l  r  
2
2
2
x
1
5l
l
x
Wt   mg l  r 
 k
x 2  Mg .
2
2
2 9l  r 
2 2l  r 2
2l  r 
1
5l 2
mg
Mgl  2 1
x  k0 x 2
Wt   k


2
2 
2  9l  r 
2



 SKKN: “Chứng minh vật dao động điều hòa bằng phương pháp năng lượng”

C. KẾT LUẬN
Thời gian gần đây, dạng bài toán chứng minh một vật dao động điều hòa thường xuất hiện trong
các kì thi HSG các cấp. Đây là loại bài tập vật lí khó, đòi hỏi HS phải có kĩ năng tổng hợp kiến
thức tốt, hi vọng qua đề tài này một phần nào giúp được các em HS có hướng đi tốt hơn trong
việc chứng minh một vật dao động điều hòa. Một số bài tập vận dụng trong đề tài có giải theo
hai phương pháp : phương pháp động lực học và phương pháp năng lượng để các em có thể so
sánh, đối chiếu hai phương pháp này, chọn ra cách giải quyết tốt cho bài toán. Đây là một đề tài
mới, được áp dụng để giải các bài toán tương đối khó trong Vật lý, với thời gian và kiến thức cá
nhân còn hạn hẹp, kinh nghiệm còn ít nên đề tài chỉ nghiên cứu một phần nhỏ của chương trình
vật lí phổ thông, không đi vào nghiên cứu dao động tắt dần, dao động điện từ. Chắc chắn bài
viết còn những sai sót nhất định, tha thiết kính mong quý thầy, cô và các bạn đồng nghiệp trao
đổi, góp ý chân thành để đề tài được mở rộng , hoàn thiện và có tác dụng hữu hiệu hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

 GV: Nguyễn Anh Văn.

- 13 -