Câu 1: (1,5đ) Một khối gỗ khối lượng M=400g được
lò xo có độ cứng k=100N/m. Một viên bi khối lượng
được bắn đến với vận tốc v0= 50cm/s va chạm vào khối
va chạm hệ dao động điều hòa.
Xác định chu kì và biên độ dao động.
Biết va chạm tuyệt đối đàn hồi.

M

u
u
r
v0

m

treo vào
m=100g
gỗ. Sau

Va chạm tuyệt đối đàn hồi
mv0 = mv + MV (1)
Đinh luật bảo toàn năng lượng
1 2 1 2 1
mv0 = mv + MV 2 (2)
2
2
2
2m
Từ (1), (2) suy ra: V =
v

g= 10m/s2.
a) Kéo quả cầu khỏi vị trí cân bằng một góc α m rồi thả ra ( vận tốc ban đầu bằng không). Thiết lập biểu thức lực
căng dây của dây treo khi quả cầu ở vị trí lệch một góc α so với vị trí cân bằng. Tìm vị trí của quả cầu trên quĩ đạo
để lực căng đạt cực đại. Tinh độ lớn của lực căng cực đại nếu góc α m =600.
b) Phải kéo quả cầu khỏi vị trí cân bằng một góc bằng bao nhiêu để khi thả cho dao động, lực căng cực đại gấp 3
lần trọng lượng của quả cầu.
c) Thay sợi dây treo quả cầu bằng một lò xo có trọng lượng không đáng kể. Độ cứng của lò xo là k= 500N/m,
chiều dài ban đầu l0=0,6m. Lò xo có thể dao động trong mặt phẳng thẳng đứng xung quanh điểm treo O. Kéo quả
cầu khỏi vị trí cân bằng một góc β = 900 rồi thả ra. Lúc bắt đầu thả, lò xo ở trạng thái không bị nén dãn. Xác định
độ dãn của lò xo khi quả cầu đến vị trí cân bằng.

2

a
b

T = mg(3cos α − 2 cos α m )
Tmax = mg(3 − 2 cos α m ) = 40( N )
Tmax= 3mg. Từ hệ thức trên suy ra: 3 − 2 cos α m = 3


α m = 90 0
Chọn mốc thế năng tại VT thấp nhất.
Cơ năng tại A(ngang): E A = mg(l0 + ∆l) (1)
1 2 1
mv + k ∆l 2 (2)
2
2
v2
F

, dao động điều
kéo về theo thời
Viết
phương
với chu kì T và
chu kì, khoảng
không vượt quá

2T
. Xác định
3

chu kì dao động

của chất điểm.
3) Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng nằm ngang có k = 100 (N/m), m = 500( g ) . Đưa quả cầu đến vị trí mà lò
xo bị nén 10cm, rồi thả nhẹ. Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nằm ngang là µ = 0,2. Lấy g = 10(m/s2).
Tính vận tốc cực đại mà vật đạt được trong quá trình dao động.
1) (1 điểm)
Từ đồ thị, ta có:

T 13 7
= − = 1(s) ⇒ T = 2s ⇒ ω = π(rad/s).
2 6 6

0,25đ

⇒ k = m.ω2 = 1(N/m).
+) Ta có: Fmax = kA ⇒ A = 0,04m = 4cm.


•
•
•
x1
-A
- x1
O
A
và t1 là thời gian
vật đi từ vị trí x1
đến A.
⇒ Thời gian để vận tốc có độ lớn không vượt quá 24π 3 (cm/s) là: t
= 4t1 =

2T
T
⇒ t1 =
⇒ x1 = A/2.
3
6
0,25đ

2

v
Áp dụng công thức: A = x +  ÷ ⇒ ω = 4π ⇒ T = 0,5( s ).
ω 
2

2

0,25
k
g sin α
a/ Tại VTCB ω =
=
m
∆l
0,25
π
s.
=> Δl = 1cm, ω = 10 5 rad/s, T =
5 5

x

α

2

Biên độ: A =

π
v 
x +  0  => A = 2cm và ϕ = − .
3
ω
2

Vậy: x = 2cos(10 5t −


K

0,25 K'
0,25
0,25
0,25
0,25

x


5. Một lò xo nhẹ có độ cứng K , đầu trên được gắn vào giá
trên mặt nêm nghiêng một góc α so với phương ngang, đầu
K
vào vật nhỏ có khối lượng m (hình vẽ 1). Bỏ qua ma sát ở mặt
sát giữa nêm với sàn ngang. Nêm có khối lượng M. Ban đầu nêm
m
chặt, kéo m lệch khỏi vị trí cân bằng một đoạn nhỏ rồi thả nhẹ
đồng thời buông nêm. Tính chu kì dao động của vật m so với
M
Tính chu kì dao động của vật so với nêm (1điểm):
+ Trong hệ quy chiếu gắn với nêm:
Hình 1
- Tại VTCB của m trên nêm (khi m cân bằng trên nêm thì nêm cũng cân bằng
mg sin α
trên bàn): lò xo giãn một đoạn: ∆l0 =
(1)
K
- Chọn trục Ox gắn với nêm và trùng mặt nêm hướng xuống, O là VTCB của m
trên nêm.


cố
định
dưới gắn
nêm và ma
được giữ
vật
và
nêm.
300

2π
m( M + m.sin 2 α )
= 2π
ω
K .( M + m)

Bài 6 (6 điểm). Cho con lắc lò xo lí tưởng K = 100N/m,
1
m1 = 200gam, m2 = 50gam, m0 =
kg. Bỏ qua
12
lực cản không khí, lực ma sát giữa vật m1 và mặt sàn.
Hệ số ma sát giữa vật m1 và m2 là µ12 = 0, 6 . Cho g = 10m/s2.

K

m2

m0

(3)
Hai vật dao động điều hoà với tần số: ω =


 x0 = A cos ϕ = 0
π
⇒ϕ =
b. Lúc t = 0, ta có: 
2
v = −ω A sin ϕ < 0
Phương trình dao động của hệ (m1 + m2) là: x = cos(20t + π / 2)cm .
+ Dùng PP véc tơ quay, ta tìm được thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x = + 0,5 cm lần thứ 2011 là: t = t 1 + t2 =
7π
7π
π 12067π
+ 1005T =
+ 1005. =
≈ 315, 75s
120
120
10
120
2) Khi hai vật đứng yên với nhau thì lực làm cho vật m2 chuyển động chính là lực ma sát nghỉ giữa hai vật, lực
này gây ra gia tốp cho vật m2 :
µ g
Fmsn = m2a = −m2ω 2 x < µ12 m2 g ⇒ A < 122 (5)
ω
v
Mà: v0 = 2ω A ⇒ A = 0
(6)

x = -2,5cm là:
4π
2
α=
= ωt ⇒ t = ( s) …………………………
3
3
-5 -2,5
O
5
S 12,5
= 18,75(cm / s ).
- Tốc độ trung bình:
tđtb = =
t 2/3
mg
= 0,25m = 25cm. Vì vậy vật chỉ dao động điều hòa khi A
k
< 25cm…………………………………………………………………………………..
v
- Nếu tại VTCB truyền vận tốc v = 2m/s thì biên độ có thể đạt là A = max = 31,8cm , nên khi đi lên qua vị
ω
trí 25cm thì dây bị chùng do vậy vật không dao động điều hòa………………………..
- Áp dụng định luật BTNL, chọn gốc thế năng hấp dẫn tại VTCB thì :
kx 2 mv 2
Tại VTCB: W1 = 0 + 0
Tại vị trí cao nhất: W2 = mghmax…………………………………..
2
2
W1 = W2 => hmax = 32,5cm.

F
F = − kx0 ⇒ x0 = − .
x0
O
k
Hình 1
0.5đ
Tại tọa độ x bât kỳ thì độ biến dạng của lò xo là (x–x0), nên hợp lực tác dụng lên vật là:
− k ( x − x0 ) + F = ma.
0.5đ
Thay biểu thức của x0 vào, ta nhận được:
F

− k  x +  + F = ma ⇒ − kx = ma ⇒ x"+ω 2 x = 0.
k

0.5đ
Trong đó ω = k m . Nghiệm của phương trình này là:
x = A sin(ωt + ϕ ).
0.25đ
m
Như vậy vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 2π
. Thời gian kể từ khi tác dụng lực F lên vật đến khi vật
k
dừng lại lần thứ nhất (tại ly độ cực đại phía bên phải) rõ ràng là bằng 1/2 chu kỳ dao động, vật thời gian đó là:
T
m
t = =π
.
2

Lc n hi tỏc dng lờn M t ln cc i khi bin dng ca lũ xo t cc i khi ú vt m xa M nht
(khi ú lũ xo gión nhiu nht v bng: x0 + A = 2 A ).
0.5
vt M khụng b trt thỡ lc n hi cc i khụng c vt quỏ ln ca ma sỏt ngh cc i:
F
k .2 A < àMg k .2. < àMg.
k
0.5
T ú suy ra iu kin ca ln lc F:
àmg
F

k m2 (m1 + m2 )
Cõu 9(4): Mt con lc lũ xo treo thng ng gm vt nh khi lng m = 250g v mt lũ xo nh cú cng k =
100 N/m. Kộo vt m xung di theo phng thng ng n v trớ lũ xo gión 7,5 cm ri th nh. Chn gc ta
v trớ cõn bng ca vt, trc ta thng ng, chiu dng hng lờn trờn, gc thi gian l lỳc th vt. Cho g =
10m/s2. Coi vt dao ng iu hũa
a. Vit phng trỡnh dao ng
b. Tớnh thi gian t lỳc th vt n thi im vt i qua v trớ lũ xo khụng bin dng ln th nht.
1
c. Thc t trong quỏ trỡnh dao ng vt luụn chu tỏc dng ca lc cn cú ln bng
trng lc tỏc dng
50
lờn vt, coi biờn dao ng ca vt gim u trong tng chu kỡ tớnh s ln vt i qua v trớ cõn bng k t
khi th.


a. Vật chịu tác dụng của 2 lực: trọng lực
và lực đàn hồi của lò xo:
mg
mg = k∆l 0 ⇒ ∆l 0 =
= 0,025m
- Tại VTCB có:
k
= 2,5cm

x

- Phương trình dao động của vât có dạng:
x = A cos(ωt + ϕ )
Với ω =


1
2
2
−3
năng lượng giảm: ∆w = k ( A1 − A2 ) = AFc = mg ( A1 + A2 ) ⇒ A1 − A2 = 10 m = 0,1cm
2
50
A
= 50 lần
Vậy số lần vật đi qua vị trí cân bằng là: N =
A1 − A2

Câu 10
Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật nặng có khối lượng m = 100(g) và lò xo nhẹ có độ cứng k =
100(N/m). Nâng vật nặng lên theo phương thẳng đứng đến vị trí lò xo không bị biến dạng, rồi truyền cho nó vận tốc
10 30 (cm/s) thẳng đứng hướng lên. Chọn gốc thời gian là lúc truyền vận tốc cho vật nặng. Chọn trục tọa độ Ox
thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ O ở vị trí cân bằng.
Lấy g = 10(m/s2); π 2 ≈ 10 .
a) Nếu sức cản của môi trường không đáng kể, con lắc lò xo dao động điều hòa. Tính:
- Độ lớn của lực đàn hồi mà lò xo tác dụng vào vật lúc t = 1/3(s).
- Tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian 1/6(s) đầu tiên.
b) Nếu lực cản của môi trường tác dụng lên vật nặng có độ lớn không đổi và bằng F C=0,1(N). Hãy tìm tốc độ lớn
nhất của vật sau khi truyền vận tốc.
mg
k
= 0, 01(m) = 1(cm) ω =
+ Khi vật ở VTCB ∆l 0 = x0 =
= 10π (rad/s)
k
m

6
Chọn mốc tính thế năng là VTCB
mv02 kx02
+ Cơ năng ban đầu W0 =
+
= 0, 02( J )
2
2
+ Vật chuyển động chậm dần đến vị trí cao nhất cách VTCB A:
kA12
= W0 − Fc ( A1 − x0 ) ⇒ A1 = 0, 0195m
2

x

π
3

Câu 11. (2,5 điểm)
Một con lắc lò xo được treo thẳng đứng gồm vật nặng khối lượng m = 1kg, lò xo nhẹ có độ cứng k = 100N/m. Đặt
giá B nằm ngang đỡ vật m để lò xo có chiều dài tự nhiên. Cho giá B chuyển động đi xuống với gia tốc a = 2m/s2
không vận tốc ban đầu.
a. Tính thời gian từ khi giá B bắt đầu chuyển động cho đến khi vật rời giá B.
b. Chọn trục tọa độ có phương thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng của vật, gốc
thời gian là lúc vật rời giá B. Viết phương trình dao động điều hòa của vật.
Câu 11 a. Tìm thời gian
(2,5 đ)
mg
= 0,1 m
• Khi vật ở VTCB lò xo giãn: Δl =

x
m(g - a)
at 2
Δl =
=
k
2
2m(g - a)
⇒ t=
= 0,283 s
ka
b. Viết phương trình
at 2
= 0,08 m
• Quãng đường vật đi được cho đến khi rời giá là S =
2
Tọa độ ban đầu của vật là: x0 = 0,08 - 0,1 = - 0,02 m = -2 cm
Vận tốc của vật khi rời giá là: v0 = at = 40 2 cm/s
v02
= 6 cm
ω2
Tại t = 0 thì 6cos ϕ = -2 và v > 0 suy ra ϕ = -1,91 rad
Phương trình dao động: x = 6cos(10t - 1,91) (cm)
• Biên độ của dao động: A = x02 +

0,5


Câu 12 (2 điểm).
Một con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng M = 300 g , lò xo nhẹ có độ cứng

Hình 1

Vận tốc của m ngay trước va chạm: v = 2 gh = 50 3cm / s ≈ 86, 6cm / s
Do va chạm hoàn toàn không đàn hồi nên sau va chạm hai vật có cùng vận tốc V
mv
mv = ( M + m)V → V =
= 20 3cm / s ≈ 34, 6cm / s
M +m
K
Tần số dao động của hệ: ω =
= 20rad / s . Khi có thêm m thì lò xo bị nén thêm một đoạn:
M +m
mg
x0 =
= 1cm . Vậy VTCB mới của hệ nằm dưới VTCB ban đầu một đoạn 1cm
K
V2
Tính A: A = x 20 + 2 = 2 (cm)
ω
1 = 2cosϕ
π
→ ϕ = rad
Tại t=0 ta có: 
3
 −2.20sin ϕ < 0
π

Vậy: x = 2cos  20t + ÷cm
3


Hình 2
b) Tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1 = −2, 5cm đến vị trí có li
độ
x2 = 2,5cm .
c) Tính quãng đường đi được của vật kể từ lúc bắt đầu dao động đến khi tới vị trí có động năng bằng thế năng lần
thứ hai.


Tần số góc ω =

a

k
50
=
= 10rad / s
m
0,5

2,5

cosϕ=
π


 x = A cos ϕ = 2,5
A

 ϕ=
⇔


O
•

5 x

α
N

M
Qng đường vật đi từ vị trí ban đầu tới vị trí có động năng bằng
thế năng lần thứ 2

Wd A 2 − x 2
A
=
=1⇔ x = ±
= ±2,5 2cm
2
Wt
x
2
c

5

M

2, 5 2 N
2,5

r
Theo đònh luật II Newton: P + F + N = ma
2
*Giả
ur sử
ur đến rC vật rời giá đỡ, khi đó N= 0, vật vẫn có gia tốc a=2m/s :
B
P + F = ma . Chiếu lên Ox: P – F = ma hay mg – k.BC = ma.
m( g − a) 0,1(10 − 2)
=
= 0, 04m = 4cm
Suy ra: BC =
m
C
k
20
*Mặt khác : gọi t là thời gian từ lúc bắt đầu chuyển động đến lúc rời giá đỡ, ta có
O
1
2 BC
2.0, 04
BC = at 2 ⇒ t =
=
= 0, 2 s
x
2
a
2
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
k

0
ϕ ≈ −20 = − 180 = − 9 rad

•

Phương trình

π
x = A sin(ωt + ϕ ) = 3sin(10 2t − )cm
9

Câu 15:
Một con lắc lo xo gồm vật nặng M=300g,độ cứng k=200N/m như (hình vẽ 3). Khi M đang
ở vị trí cân bằng thả vật m=200g từ độ cao h=3,75cm so với M.Sau va chạm hệ M và m
bắt đầu dao động điều hòa . Bỏqua ma sát,lấy g=10m/s2 .Coi va chạm giữa m và M
là hồn tồn khơng đàn hồi.
a.Tính vận tốc của m ngay trước va chạm,và vận tốc của hai vật ngay sau va chạm
b.Viết phương trình dao động của hệ (M+m) chọn gốc thời gian là lúc va chạm ,
trục tọa độ 0x thẳng đứng hướng lên gốc 0 là vị trí cân bằng của hệ sau va chạm.
c. Tính biên độ dao động cực đại của hai vật để trong q trình dao động
vật m khơng rời khỏi M
3
a
Hình 2
0,5
(4,5đ)
Vận tốc của m ngay trước va chạm: v = 2 gh = 0,5 3 (m/s)= 50 3 (cm/s)
Do va chạm hồn tồn khơng đàn hồi nên sau va chạm vòng và đĩa có cùng vận
0,5
tốc V

 −2.20sin ϕ < 0
Tính A: A = x 20 +

0,5
0,5

π
) (cm)
3
uu
r ur
r
Lực tác dụng lên m là: N + P1 = ma → N − P = ma = − mω 2 x
Vậy: x=2cos(20t+

c

0,5
0,75

2
2
Hay N= mg − mω x → N min = mg − mω A

Để m không rời khỏi M thì N min ≥ 0 → A ≤

g
g
10
Amax = 2 = 2 = 2,5 (cm)

A2ω 4 A2ω 2
Đặt X = ω2, thay các giá trị của v0 và a0 ta đi đến phương trình bậc hai:
4X2 – 1200X – 160000 = 0
(2)
⇔ X2 – 300X – 40000 = 0
300 ± 500
x1,2 =
Phương trình cho nghiệm:
(3)
2
Chọn nghiệm thích hợp: X = 400 ⇔ ω2 = 400 ⇔ ω = 20(rad/s)
2π 2π π
=
= ( s)
Vậy chu kì dao động: T =
(4)
ω 20 10
- Pha ban đầu:
Tại t = 0, ta có: v0 = -Aωsinφ = 20 3cm / s (2)
a0 = -Aω2coφ = - 4m/s2 = -400cm/s2.
(5)

(H.2)

0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ

0,25 đ


Chọn gốc thế năng tại VTCB:
α2
.
(8)
0,50 đ
Et = Et 2 = mgh = mgl (1 − cos α ) ≈ mgl
2

Từ (3): cos ϕ =

Do α =

x
mg 2
x .
nên Et 2 =
l
2l

Cơ năng toàn phần của hệ:
mv 2 kx 2 mg 2
(9)
+
+
x = co n s t
2
2
2l
Lấy đạo hàm bậc nhất của cơ năng E theo thời gian:
mg

→
v = 0
sin ϕ = 0
 A = 10(cm)

trong đó : ω =


Vậy : x = 10.cos(20t + π )(cm)
+ Ta thấy lò xo nén 5cm các lần chẵn liên tiếp cách nhau một chu kì, do đó lò xo nén
2010 − 2
.T với t2 là thời điểm lò xo nén 5cm
lần thứ 2010 tại thời điểm : t2010 = t2 +
2
lần thứ 2.
M2
+ Ta xác định thời điểm lò xo nén 5cm lần
thứ hai, sử dụng pp vec tơ quay ta có : kể từ
thời điểm ban đầu đến lúc lò xo nén 5cm lần
thứ 2 thì vectơ quay một góc :
-10 M -5
10
1
ˆ
M 1OM
=
ω
.
t
=

•
•
C
µ mg
O
C2
1
∆l =
= 0, 0025(m)
K
+ Ta thấy có hai VTCB của vật phụ thuộc vào chiều chuyển động của vật, nếu vật đisang phải lúc lò xo nén 2,5mm thì
VTCB là bên trái O(vị trí C1), lúc vật đi sang trái mà lò xo giãn 2,5mm thì VTCB là bên phải O( vị trí C2)
+ Áp dụng đinh luật bảo toàn năng lượng, ta tính được độ giảm toạ độ cực đại sau mỗi lần qua O là hằng số và bằng :
2 µ mg
∆xmax =
= 0, 005(m)
K
+ Gia tốc của vật đổi chiều lần thứ 4 ứng với vật đi qua VTCB C2 theo chiều sang trái lần thứ 2, áp dụng định luật bảo toàn
KA2
K (∆l ) 2 mv42
−(
+
)=
2
2
năng lượng ta được : 2
= µ mg [ A + 2( A − ∆xmax ) + 2( A − 2∆xmax ) + ( A − 3∆xmax ) + ( A − 3∆xmax − ∆l ) ]
→ v4 = 1, 65(m / s)
Câu 19 : Cho cơ hệ gồm có một vật nặng có khối lượng m được buộc vào sợi
dây không dãn vắt qua ròng rọc C, một đầu dây buộc cố định vào điểm A.

2
k
4m
2
Vậy vật DĐĐH với phương trình: x = Acos( ωt + ϕ )


Trong đó ω =

k
4m

Như vậy chu kì dao động của vật T = 2π
thứ nhất là t =

4m
. Thời gian từ lúc tác dụng lực đến khi vật dừng lại lần
k

T
4m
=π
.
2
k

Khi t = 0: x = Acos( ϕ ) = - xo = -

4F
k