TRUNG TÂM LUYỆN THI
THĂNG LONG

ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA
ĐỀ SỐ 1

Câu 1(2 điểm) Cho hàm số y   x3  3x2  2 (1).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).
b. Gọi d là đường thẳng đi qua A(1;4) hệ số góc k. Tìm các giá trị của k để d cắt (1) tại ba
điểm phân biệt A, B, D. Chứng minh rằng các tiếp tuyến của (1) tại B và D có hệ số góc
bằng nhau.
Câu 2(2 điểm) Giải các phương trình:
a. (1  sin 2 x)(cos x  sin x)  1  sin 2 x
b.

2 x2  3x  2  3 x  6  4  2 x2  11x  6  3 x  2

Câu 3(0.75 điểm) Giải phương trình log 49 x 2  log 7  x  1  log 7  log 3 3
1
2

2

Câu 4(0.75 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f ( x)  2.33x  4.32 x  2.3x trên đoạn

 1;1
Câu 5(1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, đường thẳng SA vuông
góc với mặt đáy (ABCD) vàSA=AD=a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
Câu 6(0.75 điểm) Một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ. Tính
xác suất để 4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn.
Câu 7(1 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD. Qua B kẻ đường thẳng


0.75

Phương trình đường thẳng  : y  k  x  1  4
 cắt (C ) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình sau có 3 nghiệm phân
biệt:  x3  3x2  2  k  x  1  4  x3  3x2  k  x  1  2  0 (1)
x  1
  x  1  x 2  2 x  k  2   0   2
 x  2x  k  2  0

0.25

0.25

Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt  phương trình  x 2  2 x  k  2   0 (2)
có hai nghiệm phân biệt khác 1
1b

 '  1   k  2   0

k 3
1  2  k  2  0

0.25

Gọi x0 , y0 là nghiệm của phương trình (2). Theo hệ thức Vi-et ta có: xB  xD  2 (*)
Ta có: y '  3x2  6 x . Hệ số góc của các tiếp tuyến của (C ) tại các điểm B, D là:

0.25


sin x  cosx  1 sin  x     2

 
4 2
 

0.25






 2 x  2  k
x  k


4
2

 

 x    k 2   x  k 2

4 4


  3
 x   k 2
x  

x  2  x6 3

 2x 1  3  x  6  x  2

2b
Từ (1) suy ra

(2)

2 x  1  3  0  x  5 . Khi đó (2) tương đương

2x  2x 1  8  2x  8  2

 x  6  x  2   3

2 x  1  x 2  8x  12

x  3
 9  2 x  1  x 2  8 x  12  x 2  10 x  21  0  
x  7
do x  5 nên chỉ có x  7 thoả mãn

Câu

0.25

0.25

0.25


0.25

1
t 3
3

t  1
f '(t )  6t  8t  2  0   1
t 
 3

0.25

2

1

8

Khi đó f 1  0, f    , f  3  24
 3  27
Vậy maxf  x   24 tại x  1, min f  x   0 tại x  0
Câu

0.25

5

6


2
2
2
AH
AS
AD
2

0.5

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng
Câu

a 2
2

6
Số phần tử của không gian mẫu  là   C164

0.25

Gọi A là biến cố mà bốn thẻ đều được đánh số bởi các số chẵn,  A là tập hợp các
kết quả thuận lợi cho A. Khi đó số phần tử của  A là  A  C84

0.25

Suy ra xác suất để bốn thẻ được chọn đều được đánh số chẵn là P  A 
Câu

A

B

Do EF / / BC, AB  BC  EF  AB . Từ giả thiết ta có
BH  AC suy ra F là trực tâm ABE . Khi đó B là giao
điểm của đường thẳng BH với đường thẳng đi qua A
vuông góc EF

0.25

0.25

Ta có EF  0; 4  nên đường thẳng đi qua A vuông góc với EF có phương trình:
7b

0.  x  1  4  y  1  0  y  1

Phương trình đường thẳng BH vuông góc với AE là:
0.25

12  17  24 
9
 x     y    0  x  2y  7  0
5
5 5 
5
y 1
 B  5;1
x  2 y  7  0

Vậy toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình: 

2

Hay OI  EF  

Vậy toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE
là O  3;3

8
Ta có AB  4;5; 1 , AC 1;1;1  AB, AC   6;3; 9 

8a

0.25

0.25

Suy ra mp(ABC) có vtpt n  2;1; 3 . Mặt phẳng   đi qua D song song với
mp(ABC) cũng có vtpt n  2;1; 3 .

0.25

Vậy phương trình mp   là: 2  x  4  y  3  z  6  0  2 x  y  3z  10  0
Ta có  AB; AC    6;3; 9  , AD   1;1; 3
8b
Câu

Suy ra VABCD 

1
 AB; AC  . AD  6



TRUNG TÂM LUYỆN THI
THĂNG LONG

ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA
ĐỀ SỐ 2

Câu 1 (2,0 điểm)Cho các hàm số y  x3  3mx 2  2 ( Cm ) , y   x  2 (d ) , với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ( Cm ) khi m  1.
b) Tìm các giá trị của m để ( Cm ) có hai điểm cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của ( Cm ) đến
đường thẳng (d ) bằng

2.

Câu 2 (1,0 điểm).





a) Giải phương trình sin x  2sin x  1  cos x 2cos x  3 .
b) Giải phương trình log3  3x  6   3  x .

2

Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân

I
0

2
3

3 x  1  x  6 x  6  y  2  1
Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực x, y dương và thỏa mãn x  y  1  0 .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

T

x  3y2
x y
2

4



2x  y2
5x  5 y 2

( x, y  ).

.
9


10




0
2

-

0

+

0.25



1a



-2

Đồ thị: (Hs có thể lấy thêm điểm (1; 2); (1;0); (3;2) ).

0.25

1b

y '  3x2  6mx  3x( x  2m) . y '  0  x  0; x  2m
Điều kiện để hàm số có hai cực trị là m  0 .

0.25

1
3
sin x  3 cos x  2  cos 2 x  sin 2 x   sin x  3 cos x  2cos 2 x  sin x  cos x  cos 2 x
2
2
 


 sin  x    sin   2 x  .
3

2




2a





5
2
k
,k   .
3 2
18
3
 

27
27
. Đặt t  3x  0  t  6   t 2  6t  27  0
x
t
3

3x  6  33 x  3x  6 
2b

t  9

t  3(l )

0.25

Với t  9  3x  9  x  2 (tmđk).
0.25

Đáp số: x  2 .
Câu 3




2

I 

sin 2 x

2

 2
0

t 22

t  2

2

1


2

 t  1.

1

dt
dt
 4
2
t2
0
0 t  2

dt  2


Gọi A là biến cố “3 học sinh nữ cạnh nhau”
+ Số biến cố đồng khả năng: Xếp 7 học sinh ngẫu nhiên, có số hoán vị là 7!
+ Số cách xếp có 3 học sinh nữ cạnh nhau:
0.25
Coi 3 học sinh nữ là 1 phần tử, kết hợp với 4 học sinh nam suy ra có 5 phần tử, có 5!
cách sắp xếp. Với mỗi cách sắp xếp đó lại có 3! cách hoán vị 3 học sinh nữ. Vậy có
12


5!.3! cách sắp xếp.

5!.3! 1
 . ( p( A)  0.14) .
7
7!
(Cách 2: - - - - - - - 7 vị trí. Xếp 3 nữ cạnh nhau có 5 cách: (123)…(567). Mỗi cách
xếp lại có 3! cách hoán vị 3 nữ. Có 4! cách hoán vị 4 nam. Vậy P(A) = 5.3!.4!/7! =
1/7)
+ Xác suất của biến cố A là: p  A 

0.25

Câu 5
Mặt cầu ( S ) tâm I có bán kính R  d ( I , ( P)) 

| 3  12  14  11|
6.
3

0.25

3a
 A' H 
.
2
2

AC  2a, MA  MB  AB  a  AH 
S ABC

C'
P

1
1
a2 3
 .BA.BC  .a.a 3 
.
2
2
2

 VABC . A ' BC '

Q

A'

B'

3a a 2 3 3a 3 3


0.25

Do BM  ( AHA ') nên BM  AA '  BM  BB '  BMB ' vuông tại B
 S BMB '

Suy ra

1
1
a2 3
 BB '.BM  .a 3.a 
.
2
2
2

d  C ',( BMB ')  

3a

3

8

3 a
:

2


S ABCD 


AB  CD
3 AB
3
. AD 
. AD  .d ( B, AD).d ( K , AB)
2
2
2

0.25

3 |  3  5b| |2b  2| .
.
.
2
b2  1
b2  1

S ABCD


b  1

|  3  5b| |b  1|
5
2
63

y  2 1

Xét hàm f (t )  t  t 3  1, t  1 . Ta có f '(t )  1 

3t 2
2 t3 1

 0 t  1 , suy ra f (t )

0.25

đồng biến t  1, suy ra x  1  3 y  2 .
Thay vào (2) ta có
3 x  1  x2  6 x  6  ( x  1)  1  ( x  1)  1  ( x  1)2  4( x  1)  1  3 x  1

Do x  1 không thỏa mãn nên chia cả 2 vế cho
x 1 

x  1  0 ta được:

1
1
 x 1 4 
 3.
x 1
x 1

Đặt t  x  1 

0.25

2
5
4

Đáp số ( x; y)  (5;62), ( ; 

0.25

127
).
64

Câu 9
14


2

x
1
x 1 1 1 1 1 1
Ta có x  y  1  0  2   2       . Đặt t  2  0  t 
y
4
y
y y
4  y 2 4

x
3


1
1
 .
2
 t 2  1 5  t  1

0.25

3

1
1
Nhận xét: 0  t   1  3t  ;
4
4

1
1
1
  . Do đó f '(t ) 
2
5 (t  1)
5

Và  .

1

3


4
17
17
16

0.25
13

6

 .
Từ đó f (t ) đồng biến t  (0; ]  f (t )  f   
4
17 25
4


Đáp số: MaxT
1
t(0; ]
4

13
6
1

 t   x  1; y  2 .
4
17 25

2i
 (2  i) z . Tìm môđun của số phức w  z  i .
b) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: (i  3) z 
i
Câu 3 (0,5 điểm). Giải bất phương trình: log 2 ( x  2)  log0,5 x  1 .
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y 

Câu 4 (1,0 điểm). Giải bất phương trình: x  x  2  x3  4 x2  5x  x3  3x 2  4 .

2

Câu 5 (1,0 điểm).Tính tích phân: I   x  x  cos 2 x  dx.
0

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B ;
AB  BC  a; AD  2a ; SA  ( ABCD) . Góc giữa mặt phẳng ( SCD) và mặt phẳng ( ABCD)
bằng 450 . Gọi M là trung điểm AD . Tính theo a thể tích khối chóp S.MCD và khoảng cách
giữa hai đường thẳng SM và BD .
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường
phân giác trong góc A là d : x  y  3  0 . Hình chiếu vuông góc của tâm đường tròn nội tiếp tam
giác ABC lên đường thẳng AC là điểm E (1;4) . Đường thẳng BC có hệ số góc âm và tạo với
đường thẳng AC góc 450 . Đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn (C ) :  x  2   y 2  5 . Tìm
2

phương trình các cạnh của tam giác ABC .
Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 1;0  và đường thẳng

d:

x 1 y 1 z

THĂNG LONG
Câu

1
Tập xác định: D 

ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 3

\ {1} . lim y  3; lim y  3 suy ra tiệm cận ngang y  3 .
x

x

lim y  ; lim
y   suy ra tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng

x1

x1

x 1

0.25

Đạo hàm: y ' 

1

 x  1


0.25

Phương trình tương giao:

3x  2
  x  m ( x  1)
x 1

0.25

 f ( x)  x  (2  m) x  m  2  0 (1)
2

1b

  0
ĐK: (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1  
 f (1)  0

0.25

 m2  4m  12  0

0.25

 m  6; m  2 .

0.25
17

1 1

.
5
5

0.25
0.25

 1 . Từ giả thiết ta có:

(i  3)(a  bi )  1  2i  (2  i)(a  bi)

2b

a  1
a  1  0
4

 (a  1)  (2a  5b  2)i  0  

4  z  1  i.
5
b
2a  5b  2  0

5

1
1


Bpt  log 2  x  2   log 2 x  1  log 2

 x  2  2x  x  2 .
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bpt là

Câu

0.25

4
2
Bpt  x  x  2  x  x  2   1 



 ( x  2) | x  2 | x  1  x 1 


x  2 : (1)  0  2 2

(loại).





 x  2

 x  2


 1


1
1
1
1
.
 1 
 1
2
x x2
x
 x  2

t
1 t2

 0 t  0  f (t ) ĐB t  0

0.25

1
1

.
x x2

 x  2  x  x2  5x  4  0  x  4; x  1 .

 1
2
x x2
x
 x  2

Xét hàm f (t )  t  1  t 2 , t 
đồng biến t . Từ đó (1) 

 x  2

2

 f '(t )  1 

t
1 t

2



1 t2  t
1 t

2

 0 t  f (t )

1

4
x

5
x

x

3
x

4









x 1
x 1

x 2
x3  4 x 2  5 x  x3  3x 2  4
Nếu x  1thì g ( x)  0 .

+ Xét g ( x) 


1


(2) . Từ (1) và (2) suy ra
2
x 3  4 x 2  5 x  x 3  3x 2  4
g ( x)  0 x  0 .
+ f ( x)  0  x  4  0  x  4 . Kết hợp ĐK suy ra đáp số: x  4 .
Câu

5






2
1  3
I   x 2 dx   x cos 2 xdx . Ta có A   x 2 dx  x3 2 
.
0
3
24
0
0
0
2

2

2 1
 0    cos 2 x    1  1  
2 2
2
0 4
I  A B 

Câu

0.25

3

1
 . ( I  0,792) .
24 2

0.25

6
Ta có (SCD)  ( ABCD)  CD.

0.25

CD  SA, AC  CD  (SAC )  SC  CD  SCA  450.

1
1
VS .MCD  .SA.S MCD . SA  AC  a 2; S MCD  a 2 .
3


2
2
AH
AS
AP 2
1
1
1
1
1
1
11







2
AS 2 AN 2 AM 2 2a 2 a
a 2 2a 2
4

Tam giác vuông SAP có

a 22
a 22
 d ( SM , BD) 

Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp ABC . Đường thẳng  qua
 1 10 
E ,  AC   : x  2 y  7  0    d  J   ;  .
 3 3
Gọi vtpt của đường thẳng BC là n  (a; b), a 2  b2  0 . Ta có:
| 2a  b |
cos 450 
5. a 2  b 2
 2  2a  b   5  a 2  b 2   3a 2  8ab  3b 2  0

0.25

A

0.25

2



E

H

a  0 : suy ra b  0 (loại)

I

F
J

(loại vì khi đó A, J nằm 2 phía BC ). Từ đó:
C
3
29  10 2
BC : x  3 y 
 0.
3
Đáp số: AB : x  2 y  3  0 ; AC : 2 x  y  6  0 ; BC : x  3 y 
Câu

0.25

29  10 2
 0.
3

8
Đường thẳng d qua M  1;1;0  và có vtcp u  (2;1; 3) . Ta có MA  (2; 2;0) .
( P) qua A 1; 1;0  và có vtpt n   MA, u    6;6;6  . Chọn n  (1;1;1) .

0.25

Phương trình tổng quát của ( P) là: 1( x  1)  1( y  1)  1( z  0)  0  x  y  z  0.

0.25

Gọi B(b;0;0)  Ox; d ( B,( P))  3 

|b|
 3.


3
C5027 .C250
 1,6.1021 .
30
C300

0.25

10

1
1
2


,  ab  1 .
1  a 1  b 1  ab
Thật vậy: Quy đồng, chuyển vế, bđt trên tương đương với
Ta có:



a b


2

0.25


a(1  a)  b(1  b)   a 2  b2  2    a  b  2    2ab  2   2 ab  2  2 ab  2 .
Suy ra: 2a(1  a)  2b(1  b)  8  4 ab  12 .
1
1
32


2a(1  a)  2b(1  b)  8
2a(1  a)  2b(1  b)  8
4 ab  12

32





ab  3
4
T 

ab  3
2

16

f '(t ) 

0.25





Xét M  (t 2  3)2  t (t  3) t  3  (t  3) t 2  3  t t  3  0

0.25

 t 2  3  t t  3  t 4  6t 2  9  t 3  3t 2  (t 4  t 3 )  3t 2  9  0 (Đúng t  1 ).
Suy ra f '(t )  0 t  1  f (t ) đồng biến t  1 .
Từ đó: MinT  f (1)  7  t  1  a  b  1.
t 1

0.25

Cách 2:Có thể dồn biến về u  a  b  2 ab  2 như sau:
1
1
4
4




1 a 1 b 1 a 1 b u  2
 a(1  a)  b(1  b)  a  b  a 2  b2  a  b  2 a 2b 2  a  b  2  u  2
Suy ra:
1
1
2a(1  a)  2b(1  b)  8  2u  12 


Câu 3. (1,0 điểm)
a) Tính môđun của số phức z  (1  2i)(2  i)2 .
b) Cho tập A  1, 2,3,..., 2015 , từ tập A chọn ngẫu nhiên hai số. Tìm xác suất để giá trị
tuyệt đối của hiệu hai số được chọn bằng 1.



x  ln 1  x

4

Câu 4. (1,0 điểm) Tính tích phân I  

x

1

dx .

Câu 5. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : 2 x  2 y  z  1  0 và
 x  1  3t

đường thẳng d:  y  2  t . Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến
z  1 t


mặt phẳng (P) bằng 3.
Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  a đồng thời SA, SB, SC đôi một vuông
góc với nhau tại S. Gọi H, I, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Gọi D là điểm đối
xứng của S qua K; E là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (SHI). Chứng minh rằng



TRUNG TÂM LUYỆN THI
THĂNG LONG
Câu

ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 4

1
 Tập xác định: D 

\ 1

 Sự biến thiên
y, 

3

 x  1

2

0.25

 0, x  1 .

+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (;1) và (1; ) .
+ Hàm số không có cực trị
+ Giới hạn:


-∞

 1



 Đồ thị: Giao điểm của (H) với Ox là   ;0  , với Oy là  0; 1
 2 
 Đồ thị nhận I 1; 2  làm tâm đối xứng

0.25

1b

Gọi M  x0 ; 2 x0  1    H  ;
x 1


0



 0  x0  1

0.25

25



2

 40

0.25

 x0  2
(do 0  x0 )

 x0  4

Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán M  2;5 và M  4;3
Câu

2
3 x  1
x  0
32 x 1  4.3x  1  0   x 1  
3 
 x  1

3

Câu
3a

3b

1.0


1

4

I1   xdx 
1



x  ln 1  x
x

.dx 

4


1

4

x .dx  
1



ln 1  x
x

 I I

4
 I 2  2 x  2 .ln 1  x |  
.dx  6ln 3  4ln 2  2 x |  6ln 3  4ln 2  2
1
1
x
1
14
8
Khi đó I  I1  I 2 =
 6ln 3  4ln 2  2  6ln 3  4ln 2 
3
3

ln(1  x )
I2  
dx , đặt
x
1
4



Câu

 

0.25



Ta có J là trung điểm của AK, kẻ FK//SE

 F  AD   AE  EF  FD 

AD a 3

.
3
3

Trong tam giác vuông cân SBC,
SK 

1
a 2
BC 
 SD  a 2
2
2

C

I

A
H

J

0.25

 , S DAB  AB.BD 
 S HEB 
S DAB AB. AD 6
2
2
12

0.25

SH 

VSHBE

Câu

1
a3
 .SH .S HBE 
(đvtt)
3
36

0.25

7
Đường tròn ngoại tiếp ABC chính là đường tròn ngoại tiếp MNP có phương
 3 
0.25
trình là x2  y 2  3x  29  0 có tâm là K  ;0 
 2 

 y  7  2x

2 x  y  7  0
 y  7  2x

 2
  x  1
 C  4; 1
 2
2
2

 x  y  3x  29  0
 x  4
 x   7  2 x   3x  29  0


Câu

8
 8 x  13 y   x  1 3 3 y  2  7 x

2
2
 y  1 x   8 y  7  x  y  12 y   x  1 3 3 y  2

1
 2

Trừ vế với vế của (1) và (2) ta được

2
a  b  2 x  1  3x  2  8 x  15 x  6 x  1  0  
x   1  y  1
8
64

3

2

2

7
2
a
 3
a

a  ab  b  x  1    b    2 x  1  x  1    b   3x 2  2 x   0, x
4
2
 4
2

 1 1 
Vậy hệ có nghiệm  x; y   1;1 ,  ; 
 8 64 
2

Câu


0.5

a  b 1
a  b 1

 a  c  a  2b  c   a  b 2

2
a  b 1
1
1
1 1
1  1



  
Do đó, P 
 
2
2
a  b  a  b
a  b  a  b
4  2 ab  4
2

0.5

1