1


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

ĐẶT 1 ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Câu 1: Giải phương trình 1 +

2
1 − x2 = x + 1 − x
3

( x ∈ ℝ) .

( x ∈ ℝ) .
2 x 2 + 5 x + 3 − 16 ( x ∈ ℝ ) .

Câu 2: Giải phương trình

x − 2 − x + 2 = 2 x2 − 4 − 2 x + 2

Câu 3: Giải phương trình

2 x + 3 + x + 1 = 3x + 2

Câu 4: Giải phương trình 3 ( x + 1)


3
2

Câu 12: Giải phương trình 3 x 2 + 2 x − 20 + 2 ( x + 2 ) 3 x − 5 =

(

)

3x − 5 + 1

x+2

Câu 13: Giải các phương trình
a)

x 2 + x + 7 + x 2 + x + 2 = 3x 2 + 3x + 19

Đ/s: x = 1; x = −2

b)

2 x2 + 8x + 5 + 2 x 2 − 4 x + 5 = 6 x

HD: Đặt t = 2 x +

5
4± 6
⇒x=
x

4 − x2

+

4 − x2
1
⇒ t = −2; t = − 
→x = − 2
x
2

Câu 15: Giải các phương trình
a) 3 2 x 2 − 5 x + 12 − − x 2 + 16 x − 6 = 6 x
HD: Đặt t = x +

6
⇒ t = 7 ⇒ x = 1; x = 6
x

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

b) 3

2x
1 1
23 3
+4

+
+2=0
2
x (1 − x ) 2 x 1 − x 2
HD: Đặt t = x 1 − x 2 ⇒ x = −

1
2

Câu 17: Giải phương trình 2

3x − 1 4 x − 1
=
x
3x − 1

Câu 18: Giải phương trình

7x
3x + 2
=3
x−4
x−4

Câu 19: Giải phương trình

9
2x
+
=1

2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

ĐẶT ẨN KHÔNG HOÀN TOÀN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Câu 1: Giải phương trình x ( x + 7 ) = (1 + 2 x ) x 2 + x + 6
Câu 2: Giải phương trình 8 x 2 − 8 x + 3 = 8 x 2 x 2 − 3x + 1
Câu 3: Giải phương trình x 2 + 2 x + 2 = 2 ( x + 1) 1 + x 2
Câu 4: Giải phương trình 3x 2 + 4 x + 11 = ( x + 5 ) 3x 2 + x + 5

( x ∈ ℝ) .
( x ∈ ℝ) .
( x ∈ ℝ) .
( x ∈ ℝ) .

Câu 5: Giải phương trình 5 x 2 + 1 = 2 ( 2 x + 1) 2 x − 1
Câu 6: Giải phương trình 2 x 2 + 4 x − 3 = ( 2 x − 3) x 2 + x + 1

Câu 7: Giải phương trình x3 − 7 x 2 + 9 x − 1 = ( x 2 − 6 x + 7 ) 2 x − 1
Câu 8: Giải phương trình 2 x + 3 +

3x 2 − 2 x − 6
3 − 2 x2 − x + 1

Câu 16: Giải phương trình 2 2 − x − x + 3 1 − ( x − 1) = 4 − x
2

Câu 17: Giải phương trình

( 4 x − 5)

( x ∈ R)

x 2 − 2 x + 2 = 2 x 2 − 2 x + 1.

Câu 18: Giải phương trình 2 x 2 + 2 x − 6 = ( 3 x − 1) 5 x − 4.
Câu 19: Giải phương trình 6 x 2 + 7 x − 2 = ( 5 x + 2 ) 2 x 2 + 1.
Câu 20: Giải phương trình 3x 2 + 5 x − 4 = ( 3x + 2 ) x 2 − 1.

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

ĐẶT 2 ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – PHẦN 1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 1. ĐẶT 2 ẨN PHỤ NHÓM NHÂN TỬ CHUNG

( x ∈ ℝ) .
( x + 8 )( x + 2013) + 8 .


2

(

2− x



x + 3 + 2x + 1 

1+ x + 3 − x

)

Câu 8: Giải phương trình x + 3 x 2 − 2 x − 5 + 2 3 x − 5 = 15 .
Câu 9: Giải phương trình x + x 3 + 1 + 2 x 2 − x + 1 = 3 .
Câu 10: Giải phương trình

x2 − x + 7
=
2x + 5

x2 − x + 1
x +1

Câu 11: Giải phương trình ( x 2 − 3 x + 4 ) 2 x − 1 + ( x 2 − 3 x ) x 2 − x + 1 = ( x − 1)( x − 2 ) .
Câu 12: Giải phương trình 2 x − 3 + ( x − 1) x − 1 = ( x − 1) 2 x − 3 + 2 x 2 − 5 x + 3.
Câu 13: Giải phương trình x3 − x 2 + 2 x + 4 = ( x 2 + 2 x + 3) x 2 − 2 x + 2.
2


3
x

Câu 18: Giải phương trình ( 5 x 2 + 4 x + 3) x = ( x + 3) 5 x 2 + 4 x
Câu 19: Giải phương trình ( x 2 + 2 x + 1) x 2 +

3
= x3 + 2 x 2 + 5
x

Câu 20: Giải phương trình ( x 2 − 2 x + 1) x 2 + 1 = x 3 − 2 x 2 + x − 2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

ĐẶT 2 ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – PHẦN 2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 2. ĐẶT 2 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PT ĐỒNG BẬC – MẪU 1
Câu 1 [ĐVH]: Giải phương trình x 2 − 4 x3 − x 2 − 4 = 4 x − 12
Câu 2 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a) 4 x 2 + 12 x = 9 + 7 x 4 x − 3

b)

2


b) 5 x 2 − 2 x + 8 = 8 x 3 + 1

Câu 7 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a) 10 x 2 − 6 x + 5 = 5 4 x 4 + 1

b) x 2 + x + 21 = 5 x 3 + 27

Câu 8 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a)

x3 − 64 = 3x 2 + 10 x + 56

b)

x4 + x2 + 1 1
=
3x 2 − 5 x + 3 3

Câu 9 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a) 20 x − 3x + 5 = 5 16 x − x + 1
2

4

2

b)

7 x 2 ( x + 1) − 2


(

x2 − 1 + 2 x2 − x − 2

( x ∈ ℝ) .
( x ∈ ℝ) .

Câu 17 [ĐVH]: Giải phương trình 3x 2 + x + 12 = x 4 + 7 x 2 + 16
Câu 18 [ĐVH]: Giải phương trình 2 x 2 − 1

Facebook: LyHung95

)

x2 + x − 1 = 0

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

ĐẶT 2 ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – PHẦN 3
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 2. ĐẶT 2 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PT ĐỒNG BẬC – MẪU 2
Câu 1: Giải phương trình 1 − x 2 + 1 − 2 x = 2 14 x 2 − 12 x + 1
Câu 2: Giải phương trình x 2 + 2 x 2 − 1 = 3 3 x 4 − 2 x 2 + 2


Câu 13: Giải phương trình

5 x 2 + 72 x + 246 − 2 x + 1 = 2 x + 14

Câu 14: Giải phương trình

x 2 + 3x = 4 x 2 + 18 x + 6 − x 2 − 3 .

Câu 15: Giải phương trình 3 x 2 + x − x 2 − x + 1 = 4 x 2 − 6 x + 5 .
Câu 16: Giải phương trình 2 x 2 + 1 + 3 x 2 + 2 x − 8 = 25 x 2 + 18 x − 56 .
Câu 17: Giải phương trình

x + 1 + x3 + x − 2 = 2 ( x3 + 2 x − 1) .

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

ĐẶT 2 ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – PHẦN 4
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 2. ĐẶT 2 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PT ĐỒNG BẬC – MẪU 3
Câu 1: Giải phương trình

x3 + 2 x 2 − 9 x + 2 = x3 − 1 + x − 2


9 x 2 − 27 x + 11 = 2 x 2 − 3x + x 2 − 3x + 2

Câu 10: Giải phương trình

( x − 2 )( x + 3) +

x −3

72 x 3 + 24 x 2 − 36 x + 4 = 3 8 x3 − 1 + 2 x − 3

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

ĐẶT 2 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 1. ĐẶT 2 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Câu 1. Giải phương trình
Câu 2. Giải phương trình

4x −1 − 2x2 + 4 2x2 − 2x + 1 = 2 4 x
4
3 − x + 4 x + 14 = 3

4


Câu 12: Giải phương trình 4 18 − x + 4 x − 1 = 3 .
Câu 13: Giải phương trình x 2 + x + 1 = 1 .
Câu 14: Giải phương trình 2 (1 − x )( x − 4 ) =
Câu 15: Giải phương trình 2 − x 2 − 3 x + 4 =
Câu 16: Giải phương trình
Câu 17: Giải phương trình
Câu 18: Giải phương trình
Câu 19: Giải phương trình
Câu 20: Giải phương trình

5x + 4
.
x −5

5
+ 1.
x+2

x2 − 2 x − 4
= x ( x − 2) .
x −1
4 x2 + 2 x + 7
2
4 x −2 =
.
1− x
1
1
3
+

Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau.
a) x 2 − 6 x + 3 = x + 3

HD: Đặt

x+3 = t −3

b) x 2 − 2 x = 2 2 x − 1

HD: Đặt

2x −1 = t −1

HD: Đặt

3 x + 1 = −2t + 3

HD: Đặt

4x + 9
1
=t+
28
2

c)

3 x + 1 = −4 x 2 + 13 x − 5

Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau.


Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau.
a) 2 x 2 + 4 x =

x+3
2

b) 4 x 2 + 7 x + 1 = 2 x + 2

Đ/s: x =

−3 ± 17
−5 ± 14
;x =
4
4

7
1
Đ/s: x = −1; x = − ; x =
4
4

c) x3 + 3 x 2 + 3 x + 4 = 4 3 4 x + 1
Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau.
a) x 2 + 4 x + 7 = 2 2 x + 1

HD: Đặt

2x +1 = t + 2

⇔ 2
⇒x=
+) Với t = − x − 1 ⇔ − x − 1 = 3 − x ⇔  2
2
x + 2x +1 = 3 − x
 x + 3x − 2 = 0
Ví dụ 5: [ĐVH]. Giải các phương trình sau.
a) x 2 + 3x − 1 = x x 2 + 2
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng ( x + 1) 2 + ( x − 2) = x x( x + 1) − ( x − 2)
Đặt

x( x + 1) − ( x − 2) = t + 1 ⇒ (t + 1) 2 + ( x − 2) = x( x + 1)

(t + 1) 2 + ( x − 2) = x( x + 1)
t = x
2
2
2
2
Khi đó ta có hệ phương trình 
⇒
(
t


b) 4 x 2 + 5 x = ( x + 2) 2 x 2 + 4 x + 3
HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng (2 x + 1) 2 + ( x − 1) = ( x + 2) ( x + 2)(2 x + 1) − ( x − 1)
Đặt

( x + 2)(2 x + 1) − ( x − 1) = 2t + 1 , từ đây ta đưa về hệ đối xứng loại 2 đã biết cách giải.

c) x 2 + x + 2 = ( x + 2) x 2 + 4 x + 1
HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng ( x + 1) 2 − ( x − 1) = ( x + 2) ( x + 2)( x + 1) + ( x − 1)
Đặt

( x + 2)( x + 1) + ( x − 1) = t + 1 , từ đây ta đưa về hệ đối xứng loại 2 đã biết cách giải.

Ví dụ 7: [ĐVH]. Giải các phương trình sau.
a) 4 x 2 + 3x + 1 = x 2 x 2 + 2 x

b) x 2 + 4 x + 8 = 2 4 x + 7

c) x 2 − 2 x − 2 = 3 7 x + 6

d) ( x − 1)2 = 3 x − 3

e) x 2 + 3 = 2 6 x + 5

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Câu 1. Giải phương trình 4 x 2 + 7 x + 1 = 2 x + 2
6x + 9
Câu 2. Giải phương trình
+ 15 x 2 + x + 9 = 0
2x +1

2
Câu 6: Giải phương trình x 2 − 5 x + 5 =

Câu 10: Giải phương trình 6 x3 − 17 x + 12 = 3 3 x − 2
Câu 11: Giải phương trình 4 x 3 − 9 x + 8 = 3 3 3 x − 2
Câu 12: Giải phương trình 2 x 3 + 11x = 8 + 5 3 4 − 3 x
Câu 13: Giải phương trình 8 ( 4 x 2 + 5 x + 3) = 3 2 x − 5
Câu 14: Giải phương trình 3 ( x 2 + x − 1) =
Câu 15: Giải phương trình 6 ( x + 1) =
2

5x + 8
3

8 + x − 3x 2
3

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 1. LIÊN HỢP 1 NGHIỆM
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải phương trình
Điều kiện 4 ≤ x ≤ 6

6 − x − 1 − 2 x 2 + 13x − 15 = 0

) − ( 2x

6 − x +1

x − 4 +1
6 − x +1
x−5
5− x
+
− ( x − 5 )( 2 x − 3) = 0
x − 4 +1
6 − x +1

2

− 13x + 15 ) = 0

x=5

1
1



⇔ ( x − 5) 
−
− (2 x − 3)  = 0 ⇔
1

x − 4 +1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 5.
Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau.

a)

c)

2x + 2 − 2x − 1 = x

b) 4 x + 1 − 3x − 2 =

4
1
5
+ x − = x + 2x −
x
x
x

x+3
5

d)

x+7
+ 8 = 2 x2 + 2 x − 1
x +1

Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau.


c)

4x + 1 − 5 − 2x + 2x2 − 5x = 0

(Đ/s: x = 2)

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Câu 1: Giải phương trình x3 + x 2 − 2 x + 10 = 2 ( x 2 + x + 1) x − 1 + 6
Câu 2: Giải phương trình

2 x + 1 + 4 x − 7 = x3 − 6 x 2 +

21
x−4
2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Câu 3: Giải phương trình 3 ( x − 2 ) + 3 x + 4 = 3 2 x + 1 + x − 3

( x ∈ ℝ) .

Câu 4: Giải phương trình



10
x

( x ∈ ℝ) .

( x ∈ ℝ) .

x − 1 + 2 x + 2 = 5 + ( 2x2 − 5x + 2) x + 3

Câu 10: Giải phương trình 2 x + 14 + 3 x + 1 = ( x + 8 ) x + 3

( x ∈ ℝ).

( x ∈ ℝ).

Câu 11: Giải phương trình x3 + 5 x + ( x − 2 ) x + 1 = 4 x 2 + 4 − x + 2
Câu 12: Giải phương trình x3 + 4 x + ( x − 1) 2 x + 1 = 3 x 2 + x + 3
Câu 13: Giải phương trình

x − 1 + 3x + 1 + x3 + x 2 − 2 = 2 x

( x ∈ ℝ).
( x ∈ ℝ).

( x ∈ ℝ).

Câu 14: Giải phương trình ( x + 2 ) x + 1 − ( 4 x + 5 ) 2 x + 3 + 6 x + 23 = 0
Câu 15: Giải phương trình x 2 + 2 x + 5 = 2 x + 2 + ( x + 1) x 2 + x + 3
Câu 16: Giải phương trình

Ví dụ 1 [ĐVH]: Giải các phương trình sau.
a)

5x − 3 − 2 x − 1 + 6 x2 − x − 2 = 0

Đ/s: x =

b) 3 2 x + 7 − 1 − 5 x + 2 x 2 + 13 x + 22 = 0
a) ĐK: x ≥

3
. Khi đó PT ⇔
5

(

2
3

Đ/s: x = −3
Lời giải.

)

5 x − 3 − 2 x − 1 + ( 3 x − 2 )( 2 x + 1) = 0

3x − 2
1



≤x≤
2
5

PT ⇔ 3( 2 x + 7 − 1) + (4 − 1 − 5 x ) + 2 x 2 + 13 x + 21 = 0 ⇔

6( x + 3)
5( x + 3)
+
+ (2 x + 7)( x + 3) = 0
2 x + 7 + 1 4 + 1 − 5x

6
5


⇔ ( x + 3) 
+
+ 2 x + 7  = 0 ⇔ ( x + 3).g ( x) = 0 ⇔ x = −3
 2 x + 7 + 1 4 + 1 − 5x

 −7 1 
Vì g ( x) > 0 ∀x ∈  ; 
 2 5
Vậy x=-3 là nghiệm của PT

Ví dụ 2 [ĐVH]: Giải các phương trình sau.
a)

2 x2 + x + 6 + x2 + x + 2 = x +


2 x2 + x + 6 + x2 + x + 2 =

2x2 + x + 6 + x2 + x + 2

)(

2 x2 + x + 6 − x2 + x + 2

)

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

⇔ 2 x2 + x + 6 − x2 + x + 2 = x ⇔ 2 x2 + x + 6 = x + x2 + x + 2
⇔ 2 x 2 + x + 6 = 2 x 2 + x + 2 + 2 x x 2 + x + 2 ⇔ 2 = x x 2 + x + 2 ⇔ 4 = x 4 + x3 + 2 x 2
⇔ ( x 4 − 1) + ( x3 + 2 x 2 − 3) = 0 ⇔ ( x − 1)( x + 1) ( x 2 + 1) + ( x − 1) ( x 2 + 3 x + 3)

⇔ ( x − 1) ( x + 1) ( x 2 + 1) + x 2 + 3 x + 3 = 0 ⇔ ( x − 1) g ( x ) ⇔ x = 1 ( vì g ( x ) > 0 ∀x > 0 )
Vậy x = 1 là nghiệm của PT đã cho.

b) PT ⇔ 2 x 2 + 2 + 2

(x

2


Ví dụ 3 [ĐVH]: Giải các phương trình sau.
a)

2 x2 + x + 9 + 2 x2 − x + 1 = x + 4

b)

2 x 2 + x + 1 + x 2 − x + 1 = 3x

Đ/s: x = 0, x =

8
7

Lời giải.
a) Nhận xét: x = −4 không là nghiệm của PT. Với x ≠ −4 ta có:

PT ⇔

2x + 8
2x + x + 9 − 2x − x +1
2

2

= x + 4 ⇔ 2 x2 + x + 9 − 2 x2 − x + 1 = 2

 x ≥ −2
8

2

2

2

2

Vậy x = 4 là nghiệm của PT đã cho.

Ví dụ 4 [ĐVH]: Giải các phương trình sau.
a)

3x 2 − 7 x + 3 − x 2 − 2 = 3x 2 − 5 x − 1 − x 2 − 3x + 4

b) 4 x 2 + 3 x + 3 = 4 x x + 3 + 2 2 x − 1

Đ/s: x = 2
Đ/s: x = 1

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Lời giải.

3x − 7 x + 3 ≥ 0

x
−
3
7
3
3
5
1


3x − 6
x 2 − 2 + x 2 − 3x + 4

3

x − 2 + x 2 − 3x + 4
2

( vn )

Vậy x = 2 là nghiệm của PT đã cho.

b) ĐK: x ≥

1
. Với ĐK trên ta có:
2

(



2 ( x 2 − 2 x + 1)
x + 2x −1

=0


2
=0
+
x + 2x −1 


⇔ x =1
Vậy x = 1 là nghiệm của PT.

Ví dụ 5 [ĐVH]: Giải các phương trình sau:
a) 5 x 2 + x + 3 − 2 5 x − 1 + x 2 − 3x + 3 = 0
a. ĐK: x ≥

−4
Với ĐK trên ta có:
5

) (

(

PT ⇔ 2 − 5 x − 1 + x + 1 +


1
⇔ ( x 2 − 3 x + 2) 
+
+ 1 = 0 ⇔ 
2
5x + x + 3 + 2 x + 1 
x = 2
 5x − 1 + x + 1

b. ĐK: x ≥

−1
. Với ĐK trên ta có:
5

PT ⇔ 2( x 2 − x) + ( x + 1 − 3 x + 1) + ( x + 2 − 5 x + 4) = 0

(

)

⇔ 2 x2 − x +

x = 0
x2 − x
x2 − x
+
= 0 ⇔ ( x 2 − x).g ( x) = 0 ⇔ 
x + 1 + 3x + 1 x + 2 + 5 x + 4
x = 1

Điều kiện −2 ≤ x ≤ 3 .
Phương trình đã cho tương đương với
3 3 − x + 3 x + 2 = 3 x 3 + 3 x 2 − 12 x − 3

⇔ 3 3 − x − ( 5 − x ) + 3 x + 2 − ( x + 4 ) = 3 x3 + 3 x 2 − 12 x − 12
⇔

9 ( 3 − x ) − ( x 2 − 10 x + 25 )

+

9 ( x + 2 ) − ( x 2 + 8 x + 16 )

3 3− x +5− x
3 x+2 + x+4
2
−x + x + 2
−x + x + 2
⇔
+
= 3 ( x 2 − 4 ) ( x + 1)
3 3− x +5− x 3 x + 2 + x + 4

= 3 x 2 ( x + 1) − 12 ( x + 1)

2

1
1


9 ( 3 − x ) − ( x 2 − 10 x + 25 )

+

9 ( x + 2 ) − ( x 2 + 8 x + 16 )

+ x 2 ( x − 2 )( x + 1) + ( x − 2 )( x + 1) = 0

3 3− x +5− x
3 x+2 + x+4
2
−x + x + 2
−x + x + 2
⇔
+
+ ( x − 2 )( x + 1) ( x 2 + 1) = 0
3 3− x +5− x 3 x + 2 + x + 4
1
1


⇔ ( x + 1)( x − 2 ) 
+
− x 2 − 1 = 0 (1)
3 3− x + 5 − x 3 x + 2 + x + 4

1
1
1
1

x+3
+ 1+ x −
3
3

⇔ 3 x ( x + 1)( x − 3) = 3 4 − x − ( 6 − x ) + 3 1 + x − ( x + 3)
− x 2 + 3x
− x 2 + 3x
+
3 4 − x + 6 − x 3 1+ x + x + 3
1
1


⇔ ( x 2 − 3 x ) 3 x + 3 +
+
=0
3 4 − x + 6 − x 3 1+ x + x + 3

⇔ 3 ( x + 1) ( x 2 − 3 x ) =

Ta có nhận xét

(1)

3 4 − x + 6 − x > 0,3 1 + x + x + 3 > 0, ∀x ∈ [ −1; 4]

1
1
+

x 2 − 14 x + 49 − 9 ( 5 − x )

+

x 2 − 32 x + 16 2 − 9 ( 28 − 3 x )

+ 2 ( x2 − 5x + 4 ) = 0

7− x +3 5− x
16 − x + 3 28 − 3 x
2
x − 5x + 4
x − 5x + 4
⇔
+
+ 2 ( x2 − 5x + 4) = 0
7 − x + 3 5 − x 16 − x + 3 28 − 3 x
1
1


⇔ ( x − 1)( x − 4 ) 
+
+ 2  = 0 (1)
 7 − x + 3 5 − x 16 − x + 3 28 − 3 x

1
1
Ta có
+

⇔ ( x 2 − 4 x + 3) 
+
+ 4  = 0 (1)
 ( 4 − x ) + 13 − 4 x ( 6 − x ) + 33 − 8 x



1
1
13
+
+ 4 > 0, ∀x ≤ nên (1) ⇔ ( x − 1)( x − 3) = 0 ⇔ x ∈ {1;3} .
Vì
4
( 4 − x ) + 13 − 4 x ( 6 − x ) + 33 − 8 x
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm kể trên.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Câu 1: Giải phương trình

x2 + 3
=1
2 x + 5x − 1

2 x2 − x + 8 + x2 − 5x + 2 = 5x − 4

Câu 9: Giải phương trình x 2 + 3 = 16 x − 23 +

(x

2

− 2 x + 4 ) ( 3x − 2 )

Câu 10: Giải phương trình x 3 x − 2 + ( x + 1) 5 x − 1 = 8 x − 3.
Câu 11: Giải phương trình x3 + 3 x 2 − 19 x + 12 + 5 x − 1 + 8 x − 7 = 0.
Câu 12: Giải phương trình 2 x + 1 − 3 x − 2 − 5 x − 1 = ( x 2 − 3 x + 2 ) x 2 − 2 x + 5.
Câu 13: Giải phương trình x 3 x − 2 + 3 5 x − 1 + ( x 2 − 3 x + 2 ) 3 x + 2 = x 2 + 3 x + 3.
Câu 14: Giải phương trình

x − 1 + 2 x3 − x 2 + x + 3 = 3 x + 1 + ( x 2 − 3 x + 2 ) x + 3.

Câu 15: Giải phương trình 3 x 2 − x + 3 = 3 x + 1 + 5 x + 4 trên tập số thực.
Câu 16: Giải phương trình x 4 − 3 x3 + 3 = 4 − x + x + 1 trên tập số thực.
Câu 17: Giải phương trình ( x + 2 ) 3 x + 1 − 3 x − 2 +
Câu 18. Giải phương trình x 2 + 2 x + 4 = 16 x − 7 +

6 − 3 5x + 4
1 + 3x + 1

(x

2


Điều kiện x ≤

⇔ 4 ( x − 5 ) ( x 2 − 4 x + 3 ) + 13 − 4 x + 33 − 8 x = 10 − 2 x

⇔ ( 4 − x ) − 13 − 4 x + ( 6 − x ) − 33 − 8 x + 4 ( 5 − x ) ( x 2 − 4 x + 3) = 0
⇔

x2 − 4x + 3
x2 − 4x + 3
+
+ 4 ( 5 − x ) ( x 2 − 4 x + 3) = 0
( 4 − x ) + 13 − 4 x ( 6 − x ) + 33 − 8 x



1
1
⇔ ( x 2 − 4 x + 3) 
+
+ 5 − x  = 0 (1)
 ( 4 − x ) + 13 − 4 x ( 6 − x ) + 33 − 8 x



1
1
13
+
+ 5 − x > 0, ∀x ≤
Vì

+
 = 0 (1)
3 4 − x + 6 − x 3 1+ x + x + 3

1
1
Dễ thấy 3 x 2 +
+
> 0, ∀x ∈ [ −1; 4] nên nên (1) có các nghiệm x = 2; x = −1 .
3 4 − x + 6 − x 3 1+ x + x + 3
Kết luận phương trình ban đầu có hai nghiệm x = 0; x = 3 .
⇔ 3x 2 ( x 2 − 3x ) =

Ví dụ 3 [ĐVH]: Giải phương trình 5 9 − x + 5 x + 4 = 17 x 3 − 425 x + 25
Điều kiện −4 ≤ x ≤ 9 .
Phương trình đã cho tương đương với

( x ∈ ℝ) .

Lời giải.

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

15 − x − 5 9 − x + x + 10 − 5 x + 4 + 17 x ( x 2 − 25 ) = 0
x2 − 5x

Phương trình đã cho tương đương với

(1)

( x ∈ ℝ) .

2 2
( x − 5x ) = 0
3
x2 − 5x
x2 − 5x
2
⇔
+
− ( x2 − 5x ) = 0
15 − x + 5 9 − x x + 10 + 5 x + 4 3

15 − x − 5 9 − x + x + 10 − 5 x + 4 −

1
1
2

⇔ x ( x − 5) 
+
−  = 0 (1)
15 − x + 5 9 − x x + 10 + 5 x + 4 3 
1
1
1

Lời giải.
x2 + x + 1
2
x2
−
+ −1 = 0
x+3
x2 + 2 2

a) ĐK: x ≥ −3 . Với ĐK trên ta có: PT ⇔

(x

⇔

⇔

⇔




(

2

)(

)


(

)+x

2

(

)

)(

)

x2 − 2 x2 + x + 5 x2 − 2
−2
=0⇔
+
=0
2
A
2

 x2 + x + 5 1 
⇔ x2 − 2 
+ =0⇔ x=± 2
A
2



−1
2
. Khi đó ta có: PT ⇔ 2 x 2 + 2 x + 3 − x − 2 + x 4 − ( 2 x + 1) = 0
2

x2 − 2x −1

⇔

2x + 2x + 3 + ( x + 2)
2

(

)

+ x 2 − 2 x − 1 ( x + 1) = 0
2

 x = 1± 2

1
2
⇔ x2 − 2 x − 1 
+ ( x + 1)  = 0 ⇔ x 2 − 2 x − 1 g ( x ) = 0 ⇔ 
2
 g ( x ) = 0
 2x + 2x + 3 + x + 2



3x − 1
1− x − 2x
−1 =
−1 ⇔ 2
=
2
x +1
2x
x +1
2x


1
⇔ ( 3 x − 1)  2
+
 x +1
1 − x + 2x
2x


1 − 3x

)

(


=0 ⇔ x=1
3
1− x + 2x 

⇔
= ( x − 3) ( 4 x − 3 x + 1) ⇔ 
x

= 4 x 2 − 3 x + 1 (1)
x − 2 +1
 x − 2 + 1
x
x

x
 x − 2 + 1 ≤ 1 = x, ∀x ≥ 2
Chú ý rằng 
⇒
≤ 4 x 2 − 3x + 1 .
x
−
2
+
1
( 2 x − 1)2 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ 4 x 2 − 3 x + 1 ≥ x, ∀x ∈ ℝ

x
Dấu đẳng thức không xảy ra nên
< 4 x 2 − 3 x + 1 ⇒ (1) vô nghiệm.
x − 2 +1
Kết luận phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3 .
x ( x − 3)

2

( x ∈ ℝ) .

( x ∈ ℝ ).

2 x 2 − 10 x + 5 = 5 x − 2 + x 3 − 24 x + 11
x3 − 5 x2 + 5x + 1
x − 4x + 3 =
3− x
2

Câu 10: Giải phương trình

Câu 11: Giải phương trình ( x 2 + 1) 5 x − 2 + 5 x 2 = 2 x 3 + 3 x
x2 + x + 1 x2
+
−
x+4
2

Câu 12: Giải phương trình

1
x2 + 1

−2=0

Câu 13: Giải phương trình x 2 + 5 x 2 + 2 x = 4 x + 2 + 3 x + 1
Câu 14: Giải phương trình
Câu 15: Giải phương trình


Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!