Đề 3: Lý thuyết hội tụ ngẫu nhiên và
giới hạn
Phạm Văn Kiên - 20091523
Phùng Thái Thắng - 20093623
Nguyễn Trí Quân - 20092135


Nội dung - Phân công công việc

1. Tìm hiểu lý thuyết hội tụ ngẫu
nhiên và giới hạn

Phạm Văn Kiên

2. Áp dụng lý thuyết Quá trình
ngẫu nhiên và áp dụng

Phùng Thái Thắng
Nguyễn Trí Quân


1. Hội tụ ngẫu nhiên và định lí giới hạn
•• Định nghĩa: Nếu tập hợp các kết quả
lim xn() = x() khi n
mà tồn tại và xác suất của nó bằng 1, thì chuỗi hội tụ hầu như ở mọi nơi ( hoặc với xác suất bằng 1).
P{xnx}=1 khi n
• Tính hội tụ trong xác suất
P{|x-xn|>}0 n Cho bất kì >0
thì chuỗi xn có xu hướng dần đến biến ngẫu nhiên x trong xác suất. Cái này được gọi là hội tụ ngẫu
nhiên.




Hội tụ ngẫu nhiên và định lí giới hạn
•• Kết quả của các định lý giới hạn trung tâm.
Với n biến ngẫu nhiên đọc lập xi:
y = x1x2…xn

xi>0

Định lý. Với n lớn, mật độ của y là khoảng:

Trong đó


2. Quá trình ngẫu nhiên - ứng dụng
2.1. Các khái niệm
•• Hai quá trình x(t) và y(t) là bình đẳng trong IFT
E{
Bình đẳng trong ý nghĩa MS:
biểu thị bởi tập tập . Mà x(t,)=y(t,) và tập hợp các kết quả sao cho x(t,)=y(t,) với mọi t.(10-1) sau
đó x(t,)-y(t,)=0 với xác suất 1.
Do đó P()=1.Tuy nhiên,nó không theo P()=1.Trong thực tế,bởi vì là giao của tất cả các bộ phận và t
phạm vi trên toàn trục.Thậm chí có thể bằng 0


Các khái niệm
• Quá trình Stochasic x(t) là một RV với phân phối

•


R(


Các khái niệm
•• Thuộc tính chung
Các tính chất thống kê của quá trình ngẫu nhiên thực sự x(t) được quyết định hoàn toàn trong phân
phối thứ n-trật tự của nó
F(10-20)
Thống kê tổng hợp của hai quá trình thực sự x(t) và y(t) được quyết định dưới sự phân bố của RVs

Quá trình phức tạp z(t)=x(t)+jy(t) được thể hiện trong thống kê của quá trình thực x(t)và y(t)
Một quá trình ector (quá trình n-chiều) là một tập hợp của quá trình ngẫu nhiên


Các khái niệm
• Tương quan và hiệp phương sai.

•

Tự tương quan của 1 tiến trình x(t) phức tạp,theo định nghĩa giá trị trung bình của x(t)x*(.Chức năng này sẽ biểu thị
bằng R( hoặc hoặc .Do đó
=E{x(t)x*(
Trong đó các điều khoản liên hợp có liên quan đến biến thứ hai ở .Từ đó
R( =E{x()x*(
Hiệp phương sai tự động C( của một quá trình x(t) là hiệp phương sai của RVs x( và x(
C( = R( -( * (
Trên đó (t)=E{x(t)} là trung bình của x(t)
R( =
Là hệ số tương quan t của quá trình x(t)


(10-42)

Bởi vì là khoảng cách từ t đến t+,chức năng R() có thể được viết dưới dạng
R(
Chú ý rằng

E{

Do đó trung bình của quá trình bất động là độc lập của t và nó bằng R(0)


2.2. Hệ thống với đầu vào ngẫu nhiên
• Cho một quá trình ngẫu nhiên x(t), chúng ta chỉ định một số nguyên tắc cho mỗi mẫu x(t, ζi) một
hàm y(t, ζi). Chúng ta đã tạo ra 1 quá trình:
Y(t) = T[x(t)]

• Quá trình y(t) được hình thành có thể coi là đầu ra của hệ thống với đầu vào là quá trình x(t),
Thông qua toán tử T thể hiện mối quan hệ giữa đầu ra và đầu vào của hệ. Chúng ta xem xét 2
trường hợp đặc biệt sau:


Hệ không nhớ
•• Hệ được gọi là không nhớ nếu đầu ra được cho bởi:
y(t) = g[x(t)]
• Tại thời điểm t = t1 thì đầu ra y(t1) chỉ phụ thuộc vào x(t1). Từ đó ta có hàm mật độ bậc nhất
fy(y;t) có thể được thể hiện thong qua fx(x;t) như sau:
• Hàm mật độ bậc 2:


Hệ bất biến theo thời gian

Phổ năng lượng
•• Nếu là một quá trình thực, thì là thực và đều; vì vậy cũng là thực và đều. Trong trường hợp
này,

Phổ năng lượng chéo của hai quá trình và là biến đổi Fourier của tương quan chéo của chúng :

Nói chung thì hàm là phức tạp ngay cả khi cả hai quá trình và là thực. Trong tất cả các trường
hợp


Phổ năng lượng
•• Hệ thống tuyến tính.
Thể hiện sự tự tương quan và phổ năng lượng của phản ứng

của một hệ thống tuyến tính trong điều kiện của tự tương quan và phổ năng lượng của đầu vào .
Định lý


Phổ năng lượng
•• Quá trình phức tạp
được gọi là được gọi là các tín hiệu phân tích liên kết, là đáp ứng của hệ thống

với đầu vào . Do đó

Định lý WIENER-KHINCHIN.

Điều này cho thấy rằng vùng phổ năng lượng của bất cứ quá trình nào là tích cực. Với mọi


Phổ năng lượng