` TA
ˆ. P XAC
´ SUA
ˆ´T
BAI
Cˆ
au 1: C´
o 3 lˆo sa’n phˆa’m, mˆo˜i lˆo c´o 10 sa’n phˆa’m. Lˆo th´u. i c´o i sa’n phˆa’m

xˆa´u
(i = 1,2,3). Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen o’. mˆo˜i lˆo ra mˆo.t sa’n phˆa’m. T´ınh c´ac x´ac xuˆa´t
sau:
a) Ca’ 3 sa’n phˆa’m d¯`ˆeu tˆo´t .
b) C´o d¯u´ng hai sa’n phˆa’m tˆo´t.
Gia’i:
a) Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ ca’ 3 sa’n phˆa’m l`a tˆo´t. Ai biˆe´n cˆo´ sa’n phˆa’m thuˆo.c lˆo
.
th´u i, (i = 1, 2, 3) l`a tˆo´t. Khi d¯´o ta c´o:
A = A1 A2 A3 , v`ı A1 , A2 , A3 d
¯ˆo.c lˆa.p do d¯o´:
P (A) = P (A1 )P (A2 )P (A3 ).
Vˆa.y P (A) = 0, 9.0, 8.0, 7 = 0, 504.
b) Go.i B l`a biˆe´n cˆo´ c´o d¯u´ng 2 sa’n phˆa’m tˆo´t. Khi d¯o´ ta c´o:
B = A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 .
P (B)
P (B)

´c
xung kh˘
a


Trong tru.`o.ng ho..p d˜ay ph´ep thu’. d¯ˆo.c lˆa.p c´o n l´o.n v`a p nho’ ta ´ap du.ng
k
d¯.inh l´y Poisson : Pn (k) ≈ e−λ λk! , trong d¯o´ λ = np.
0
1
Vˆa.y P (X1 > 1) = 1 − [e−1 10! + e−1 11! ] = 1 − 2e .
b) Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ m´ay ngu.ng hoa.t d¯ˆo.ng. Khi d¯´o P (A) = 1 − P (A)
P (A) = P [(X1 = 0, X2 = 0, X3 = 0) ∪ (X1 = 1, X2 = 0, X3 = 0)
∪ (X1 = 0, X2 = 1, X3 = 0) ∪ (X1 = 0, X2 = 0, X3 = 1)]
= P (X1 = 0)P (X2 = 0)P (X3 = 0) + P (X1 = 1)P (X2 = 0)P (X3 = 0)
+ P (X1 = 0)P (X2 = 1)P (X3 = 0) + P (X1 = 0)P (X2 = 0)P (X3 = 1)

Vˆa.y P (A) = 1 − P (A) = 1 − 10
e9 .
.
.
Cˆ
au 3: Mˆ
o.t ngu `o i nuˆoi 100 con g`a m´ai. X´ac suˆa´t d¯ˆe’ mˆo.t con bˆa´t k`y d¯e’ tr´u.ng
l`a 0,6 . T´ınh x´ac suˆa´t d¯ˆe’ c´o:
- u´ng 60 con d¯e’ tr´u.ng trong 1 ng`ay.
a) D
b) Khˆong ´ıt ho.n 60 con d¯e’ tr´u.ng trong 1 ng`ay.
Gia’i:


2

a)
1

Cˆ
au 4: Qua thˆ
o´ng kˆe ngu.`o.i ta biˆe´t r˘

lu.o..ng cao. Tuy nhiˆen do d¯o.n gia’n ho´a qu´a tr`ınh kiˆe’m tra chˆa´t lu.o..ng sa’n
phˆa’m th`ı 2% sa’n phˆa’m c´o chˆa´t lu.o..ng cao s˜e khˆong d¯u.o..c cˆong nhˆa.n n˜u.a v`a
5% sa’n phˆ
a’m khˆong c´o chˆa´t lu.o..ng la.i d¯u.o..c cˆong nhˆa.n l`a c´o chˆa´t lu.o..ng cao.
H˜ay t`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ sau khi kiˆe’m tra mˆo.t sa’n phˆa’m d¯u.o..c cˆong nhˆa.n c´o chˆa´t
lu.o..ng cao d¯u´ng l`a sa’n phˆa’m c´o chˆa´t lu.o..ng cao.
Gia’i:
A2 sa’n phˆ
a’m lˆa´y ra khˆong c´o chˆa´t lu.o..ng cao, B sa’n phˆa’m lˆa´y ra d¯u.o..c
cˆong nhˆa.n c´o chˆa´t lu.o..ng cao.
´ du.ng cˆong th´u.c Baye
Ap
´s ta c´o:
P (B|A1 )P (A1 )
P (B|A1 )P (A1 ) + P (B|A2 )P (A2 )
0, 98 × 0, 96
=
= 0, 998
0, 98 × 0, 96 + 0, 05 × 0, 04

P (A1 |B) =

`om : 12 sa’n phˆa’m do nh`a m´ay
Cˆ
au 5: Trong mˆ
o.t hˆo.p d¯u..ng 20 sa’n phˆa’m gˆ


c´o 4 viˆen d¯a.n; anh ta b˘a´n v`ao bia cho d¯ˆe´n khi tr´ung d¯´ıch ho˘a.c hˆe´t d¯a.n m´o.i
thˆoi.
a) Lˆa.p d˜ay phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t chı’ sˆo´ d¯a.n d¯˜a b˘a´n.
b) T´ınh k`y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen d¯´o.
Gia’i:
b) K`y vo.ng
4

E(X) =

xi pi = 1.0, 7 + 2.0, 21 + 3.0, 063 + 4.0, 027 = 1, 417.
i=1

Phu.o.ng sai
4

(xi − a)2 pi = 0, 5295.

D(X) =
i=1

Cˆ
au 7: Trong d
¯oˆ. i b´ong d¯´a cu’a khoa c´o 5 sinh viˆen n˘am th´u. 1; 6 sinh viˆen n˘am

th´u. 2; 4 sinh viˆen n˘am th´u. 3. X´ac suˆa´t tham gia d¯oˆ. i tuyˆe’n cu’a tru.`o.ng tu.o.ng
u´.ng l`a 0,75 ; 0,7 v`a 0,8. G˘a.p mˆo.t sinh viˆen trong d¯oˆ. i tuyˆe’n cu’a tru.`o.ng . Ho’i
`eu nhˆa´t?
sinh viˆen n`ay c´o kha’ n˘ang thuˆo.c n˘am n`ao nhiˆ

o 5 sinh viˆen nhu ng chı’ c´o 2 v´e b´ong d¯´a. Ho. viˆe´t 5 c´ai phiˆe´u trˆen d¯o´
´
`an lu.o..t r´ut mˆo.t phiˆe´u
2 phiˆeu ghi “c´o” v`a 3 phiˆe´u ghi “khˆong”. Mˆo˜i ngu.`o.i lˆ
nˆe´u ai d¯u.o..c phiˆe´u “c´o” th`ı d¯u.o..c d¯i xem. Ho’i c´ach r´ut phiˆe´u nhu. vˆa.y c´o cˆong
`a ng hay khˆong?
b˘
Gia’i:
Go.i A = { r´ut d¯u.o..c phiˆe´u ghi ”c´o” } .
Sˆo´ kˆe´t qua’ thuˆa.n lo..i cho biˆe´n cˆo´ A l`a m = 2 × C53 ; sˆo´ kˆe´t qua’ d¯`ˆong kha’
n˘ang n = 5!.
Vˆa.y
P (A) = 25 .
`om 10 cˆau ho’i. Sˆo´ sinh viˆen trong l´o.p
Cˆ
au 9: Trong k`
y thi triˆe´t d¯`ˆe cu.o.ng gˆ
chuˆa’n bi. b`ai theo tı’ lˆe. sau : 50% ho.c ca’ 10 cˆau ; 30% ho.c 7 cˆau v`a sˆo´ c`on la.i
chı’ ho.c 5 cˆau. Trˆen mˆo˜i phiˆe´u ho’i thi c´o 2 cˆau ho’i. T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ 1 sinh
viˆen tra’ l`o.i d¯u.o..c ca’ 2 cˆau ho’i.
Gia’i:
Go.i Ak = { sv thuˆo.c nh´om th´u. k } k = 1, 2, 3.
v`a H = { sv tra’ l`o.i ca’ 2 cˆau ho’i } .
´ du.ng cˆong th´u.c x´ac suˆa´t to`an phˆ
`an
Ap


4


`eu kha’ n˘ang thuˆo.c v`ao n˘am 2.
So s´anh kˆe´t qua’ ta thˆa´y sv n`ay c´o nhiˆ
.
`au gˆ
`om : 7 cˆ
`au d¯o’, 5 cˆ
`au xanh , 18
Cˆ
au 11: Trong mˆ
o.t hˆo.p d¯u. ng 30 qua’ cˆ
`au v`ang. Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen 3 qua’ cˆ
`au t´ınh x´ac suˆa´t d¯ˆe’ :
cˆ
a) C´o 3 qua’ c`ung m`au.
b) C´o ´ıt nhˆa´t 2 qua’ kh´ac m`au.
Gia’i:
a) Go.i A = { biˆe´n cˆo´ 3 qu’a c`ung m`au }.
X´ac suˆa´t 3cu’a3 A 3l`a
P (A) =

C7 +C5 +C18
3
C30

= 0, 212

b) P (A) = 1 − P (A) = 0, 788.
Cˆ
au 12: Trong mˆ
o.t l´o.p c´o 15 sinh viˆen d¯i thi. C´o 5 sinh viˆen chuˆa’n bi. tˆo´t, 7

25
2
1
; P (B|A3 ) =
; P (B|A4 ) =
.
57
19
114


5

´ du.ng cˆong th´u.c Baye
Ap
´s ta c´o:
P (A1 |B) =

513
= 0, 585;
876

P (A4 |B) =

1
= 0, 0011.
876

Cˆ
au 13: Ba hˆ

`an ta c´o:
Ap
´ c suˆa´t toa`n phˆ
P (B) =

1
[1 + 0, 4 + 0, 2] = 0, 533.
3

Cˆ
au 14: Ba xa. thu’ b˘
a´n v`ao mˆo.t mu.c tiˆeu mˆo.t c´ach d¯oˆ. c lˆa.p nhau. X´ac suˆa´t

`an lu.o..t cu’a t`u.ng ngu.`o.i la`: ngu.`o.i th´u. nhˆa´t 0,8, ngu.`o.i th´u. hai
b˘a´n tr´ung d¯´ıch lˆ
0,75, ngu.`o.i th´u. ba 0,7. T`ım x´ac suˆa´t:
- ˆe’ ´ıt nhˆa´t mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tr´ung.
a) D
- ˆe’ mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tr´ung.
b) D
Gia’i:
a) Go.i Ai la` biˆe´n cˆo´ ngu.`o.i th´u. i b˘a´n tru
´ ng d¯´ch
ı
i = 1, 2, 3.
.
.
Va` A biˆe´n cˆo´ co
´ ´t
ı nhˆa´t mˆo.t ngu `o i b˘a´n tru

`an lu.o..t 3 qua’ cˆ
`au tı´nh xa
cˆ
´ c suˆa´t d¯ˆe’ co
´ 3 qua’ cu`ng
.
.
.
ma`u trong hai tru `o ng ho. p sau:
a) Cho.n khˆong hoa`n la.i;
b) Cho.n hoa`n la.i.
Gia’i:


6

`an lu.o..t
a) Trong tru.`o.ng ho..p cho.n khˆong hoa`n la.i. Ta go.i A-D, AV , AX , A lˆ
la` ca
´ c biˆe´n cˆo´ ngˆa˜u nhiˆen d¯ˆe’ 3 bi cu`ng ma`u d¯o’, cu`ng ma`u va`ng, cu`ng ma`u
xanh, cu`ng ma`u. Khi d¯´o theo cˆong th´u.c cˆo.ng ta d¯u.o..c
P (A) = P (A-D) + P (AV ) + P (AX )
3
3
C11
C12
C73
+
+
3

- ˆe’ ca’ 3 xa. thu’ b˘a´n tr´ung.
a) D
- ˆe’ mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tr´ung.
b) D
Gia’i:
a) Go.i Ai la` biˆe´n cˆo´ ngu.`o.i th´u. i b˘a´n tru
´ ng d¯´ch
ı
i = 1, 2, 3.
.
.
Va` A biˆe´n cˆo´ ca’ 3 ngu `o i b˘a´n tru
´ ng d¯´ch.
ı
Khi d¯´o
Ta co
´ P (A) = P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) = 0, 8.0, 75.0, 7.
Vˆa.y P (A) = 0, 985.
b) Go.i B biˆe´n cˆo´ co
´ mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tru
´ ng d¯´ch.
ı
Khi d¯´o
P (B) = P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) + P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) + P (A1 ).P (A2 ).P (A3 )
= 0, 8.0, 25.0, 3 + 0, 2.0, 75.0, 3 + 0, 2.0, 25.0, 7.

`en c´u.ng ph˘a’ng.
Cˆ
au 17: Tung 2 con x´
uc x˘a´c d¯`oˆng chˆa´t trˆen nˆ

- ˆe’ ´t
b) D
ı nhˆa´t mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tr´ung.
Gia’i:
a) Go.i Ai la` biˆe´n cˆo´ ngu.`o.i th´u. i b˘a´n tru.o..t i = 1, 2, 3.
Va` A biˆe´n cˆo´ ca’ 3 ngu.`o.i b˘a´n tru.o..t. Khi d¯´o
Ta co
´ P (A) = P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) = 0, 2.0, 25.0, 3.
Vˆa.y P (A) = 0, 015.
b) Go.i B biˆe´n cˆo´ co
´ ´t
ı nhˆa´t mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tru
´ ng d¯´ch.
ı
Khi d¯´o
P (B) = 1 − P (B) = 1 − P (A) = 1 − 0, 015 = 0, 985.
Cˆ
au 19: Trong viˆ
e.c chˆe´ ta.o mˆo.t sa’n phˆa’m, viˆe.c chuˆa’n bi. pha’i qua 4 thao t´ac.

`a ng su.. thiˆe´u s´ot trˆen c´ac khˆau riˆeng biˆe.t l`a c´ac biˆe´n cˆo´ d¯oˆ. c lˆa.p. T`ım
Gia’ su’. r˘
x´ac suˆa´t d¯ˆe’ sa’n phˆa’m chˆe´ ta.o d¯u´ng qui c´ach nˆe´u x´ac suˆa´t pha.m thiˆe´u s´ot o’.
thao t´ac th´u. nhˆa´t l`a 0,02; o’. thao t´ac th´u. hai l`a 0,01; o’. thao t´ac th´u. ba l`a
0,02 v`a o’. thao t´ac th´u. tu. l`a 0,03.
Gia’i:
Go.i A ={ sa’n phˆa’m khˆong d¯u´ng qui c´ach}.
Khi d¯´o: A ={ sa’n phˆa’m d¯u´ng qui c´ach}.
P (A) = P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 )
= P (A1 )P (A2 )P (A3 )P (A4 ).

´ ng nˆe´u co
´ ´t
ı nhˆa´t 4 bo
´ ng d¯`en sa
´ ng. Tı´nh xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ l´o.p
ho.c khˆong d¯u’ ´anh sa
´ ng.
Gia’i:
Mˆo˜i bo
´ ng co
´ xa
´ c suˆa´t cha
´ y la` 14 . Suy ra xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ 1 bo
´ ng sa
´ ng la` 43 .
´ ng.
Co
´ ´t
ı nhˆa´t 4 bo
´ ng sa
´ ng. Go.i P la` xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ l´o.p ho.c d¯u’ ´anh sa


8

3
1

a)Anh ta d¯u.o..c 13 d¯iˆe’m trong tru.`o.ng ho..p tra’ l`o.i d¯´ung 5 cˆau va` tra’ l`o.i sai
7 cˆau. Xa
´ c xuˆa´t tra’ l`o.i d¯´ung cˆau ho’i 15 .Xa
´ c xuˆa´t tra’ l`o.i sai cˆau ho’i 54 . Vˆa.y
1
4
xa
´ c xuˆa´t d¯ˆe’ d¯u.o..c 13 d¯iˆe’m la`: C1 25 .( )5 .( )7 = 0, 053
5
5
.
’
’
b) Anh ta bi. d¯iˆe m ˆam khi tra l`o i d¯´ung ´t
ı ho.n 3 cˆau.Go.i x la` sˆo´ cˆau d¯´ung,
sˆo´ cˆau sai la` 12 − x. Bˆa´t phu.o.ng trı`nh 4x < 12 − x xa’y ra khi x = 0, 1, 2
Vˆa.y: P = C1 20 .( 54 )1 2 + C1 21 . 15 .( 45 )1 1 + C1 22 .( 15 )1 .( 45 )1 0
= 0, 0687 + 0, 2062 + 0, 2835 = 0, 5583
Cˆ
au 23: Gieo d
¯`oˆng th`o.i ba con xu
´ c s˘a´c. Anh la` ngu.`o.i th˘a´ng cuˆo.c nˆe´u co
´

xuˆa´t hiˆe.n ´t
ı nhˆa´t 2 ”lu.c”. Tı´nh xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ trong 5 va
´ n cho.i anh th˘a´ng ´t
ı
´

2
) .( ) +C54 .( )4 . +( )5 = 0, 00348+0, 00014+0, 00000223 = 0, 0036
27
27
27 27
27

Cˆ
au 24: Mˆ
o.t ngu.`o.i b˘a´n 3 viˆen d¯a.n. Xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ ca’ 3 viˆen tru
´ ng vo`ng 10 la`
’
0, 0008, xa
´ c suˆa´t d¯ˆe 1 viˆen tru
´ ng vo`ng 8 la` 0, 15, va` xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ 1 viˆen tru
´ ng
.
.
’
’
vo`ng du ´o i 8 la` 0, 4. Tı´nh xa
´ c suˆa´t d¯ˆe xa. thu’ d¯a.t ´t
ı nhˆa´t 28 d¯iˆe m.

Gia’i:
`eu kiˆe.n ba`i toa
T`u. d¯iˆ
´ n suy ra xa

.
2 d¯oˆ. ng co o’ ca
´ nh tra
´ i. Mˆo˜i d¯oˆ. ng co o’ ca
´ nh pha’i co
´ xa
´ c suˆa´t bi. ho’ng la` 0, 1,
.
.
co`n mˆo˜i d¯ˆo.ng co o’ ca
´ nh tra
´ i co
´ xa
´ c suˆa´t bi. ho’ng la` 0, 05. Ca
´ c d¯oˆ. ng co. hoa.t
d¯ˆo.ng d¯oˆ. c lˆa.p. Tı´nh xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ ma
´ y bay thu..c hiˆe.n chuyˆe´n bay an toa`n trong
.
.
.
ca
´ c tru `o ng ho. p sau:


9

a) Ma
´ y bay chı’ bay d¯u.o..c nˆe´u co
´ ´t

A = (0, 1)3 .(0, 05)2 + 2.(0, 1)3 .(0, 05).(0, 95) + 3.(0, 1)2 .(0, 9).(0, 05)2 = 0, 00016
B la` xa
´ c xuˆa´t d¯ˆe’ ma
´ y bay bay an toa`n = 1 − 0, 00016 = 0, 99984
’
b) P- Ca
´ nh phai co
´ ´t
ı nhˆa´t 1 d¯oˆ. ng co. la`m viˆe.c = 1 − (0, 1)2 = 0, 99
Q-Ca
´ nh tra
´ i co
´ ´t
ı nhˆa´t mˆo.t d¯ˆo.ng co. la`m viˆe.c = (1 − (), 05)2 = 0, 9975
Vˆa.y A-Xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ ma
´ y bay bay an toa`n la` = (0, 99).(0, 9975) = (0, 9875)
.
.
Cˆ
au 26: Mˆ
o.t ngu `o i say ru.o..u bu.´o.c 8 bu.´o.c. Mˆo˜i bu.´o.c anh ta tiˆe´n lˆen phı´a

´t ho˘a.c lu`i la.i phı´a sau mˆo.t me
´t v´o.i xa
´ c suˆa´t nhu. nhau. Tı´nh
tru.´o.c mˆo.t me
xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ sau 8 bu.´o.c:
a) Anh ta tro’. la.i d¯iˆe’m xuˆa´t pha

au 27: Gieo 3 con xu
´ c s˘a´c cˆan x´u.ng d¯oˆ. c lˆa.p. Tı´nh xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’:
`a ng ´t
a) Tˆo’ng sˆo´ nˆo´t xuˆa´t hiˆe.n la` 8 nˆe´u biˆe´t r˘
ı nhˆa´t co
´ mˆo.t con ra nˆo´t
1.
`a ng sˆo´ nˆo´t trˆen 3 con la` kha
b) Co
´ ´t
ı nhˆa´t mˆo.t con ra lu.c nˆe´u biˆe´t r˘
´c
nhau.
Gia’i:
a)Go.i A la` biˆe´n cˆo´ :”Tˆo’ng sˆo´ nˆo´t la` 8” va` B la` biˆe´n cˆo´:”Co
´ ´t
ı nhˆa´t mˆo.t
con ra nˆo´t 1”.
`a ng 8 la`:(2,3,3);(2,2,4);(1,1,6);(1,2,5);(1,3,4) va`
Ca
´ c tru.`o.ng hˆo. co
´ tˆo’ng b˘
ca
´ c hoa
´ n vi. cu’a chu
´ ng.
.
.
.


10

5
91
P (B) = 1 − ( )3 =
6
216
15
Vˆa.y P (A/B) = .
91
´ ´t
ı nhˆa´t mˆo.t con ra lu.c”
b)Go.i A: ”Co
B : ”Sˆ
o´ nˆo´t trˆen 3 con kha
´ c nhau”.
Ta co
´ P (A/B) = PP(AB)
;
(B)
3.5.4
60
P (AB) = 216 = 216 ;
P (B) = 6.5.4
216
Vˆa.y P (A/B) = 12
´ c suˆa´t d¯ˆe’ ca’ hai d¯u´.a d¯`ˆeu la`
Cˆ
au 28: Mˆ

d¯´o bi. loa.i.
Gia’i:
a) Xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ thı´ sinh lo.t qua 3 vo`ng la`:
p = (0, 9)(0, 8)(0, 9) = 0, 648

`a ng thı´ sinh d¯´o tru.o..t la`:
b) Xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ thı´ sinh d¯´o tru.o..t o’. vo`ng 2 biˆe´t r˘
P ({tru.o..t vo
`ng 2})
0, 18
=
= 0, 511
.
.
P ({tru o. t})
0, 352
Cˆ
au 30: Mˆ
o.t c˘a.p tre’ sinh d¯oˆico
´ thˆe’ do cu`ng mˆo.t tr´u.ng (sinh d¯ˆoi thˆa.t), hay
do hai tr´u.ng kha
´ c nhau sinh ra 9sinh d¯oˆi gia’). Ca
´ c c˘a.p sinh d¯oˆi thˆa.t luˆon co
´
.
.
.
.

2


11

b)P (B1 /A) =

P (B1 )P (A/B1 )
0, 28
=
= 0, 4375
P (A)
0, 64

`ong tho’. Chuˆ
`ong th´u. nhˆa´t co
Cˆ
au 31: Co
´ hai chuˆ
´ 5 con tho’ d¯en va` 10 con tho’

`ong th´u. hai co
`ong th´u.
tr˘a´ng. chuˆ
´ 3 con tho’ tr˘a´ng va` 7 con tho’ d¯en. T`u. chuˆ
`oi sau d¯´o la.i
`ong th´u. nhˆa´t, rˆ
hai ta b˘a´t ra ngˆa˜u nghiˆen 1 con tho’ cho va`o chuˆ
.
.

. 16 + 10
. 16 = 100
= 10
160
P (AB)
P (B)
100
Vˆa.y P (B/A) =
=
=
P (A)
P (A)
103
`ong ga` co
`ong kia co
Cˆ
au 32: Mˆ
o.t chuˆ
´ 9 con ma
´ i va` 1 con trˆo´ng. Chuˆ
´ 1 con

`ong ta b˘a´t ra ngˆa˜u nhiˆen 1 con la`m thi.t. Ca
ma
´ i va` 5 con trˆo´ng. T`u. mˆo˜i chuˆ
´c
.
.
.
.

. 6 = 60
5
9
P (E3 ) = 1 − 60
− 60
=
P (E1 ) =

46
60

`ong th´u. ba”
Go.i A: ”B˘a´t d¯u.o..c ga` trˆo´ng t`u. chuˆ
Khi d¯´o: P (A) = P (E1 )P (A/E1 ) + P (E2 )P (A/E2 ) + P (E3 )P (A/E3 ) =
5 4
60 . 14

+

9 6
60 . 14

+

46 5
60 . 14

=

304

Phu.o.ng ´a n 3: 1 khˆ
a’u d¯˘a.t ta.i A, 3 khˆa’u d¯˘a.t ta.i B.

`a ng xa
Biˆe´t r˘
´ c suˆa´t b˘a´n tru
´ ng ma
´ y bay cu’a mˆo˜i khˆa’u pha
´ o la` 0, 7 va` ca
´c
.
.
.
’
˜
khˆa u pha
´ o hoa.t d¯ˆo.ng d¯ˆo.c lˆa.p v´o i nhau, ha y cho.n phu o ng ´an tˆo´t nhˆa´t.
’
Giai:
´ y bay xuˆa´t hiˆe.n o’. A thı` xa
´ c xuˆa´t b˘a´n ha. la`
Xe
´t phu.o.ng ´an 1. Nˆe´u ma
3
1 − (0, 3) = 0, 973.


12

Nˆe´u ma

2
(0, 7) + .(0, 973) = 0, 971
3
3

Vˆa.y theo phu.o.ng ´an 2 la` tˆo´t nhˆa´t
Cˆ
au 34: Mˆ
o.t nha` ma
´ y sa’n xuˆa´t bo
´ ng d¯`en co
´ tı’ lˆe. bo
´ ng d¯a.t tiˆeu chuˆa’n la`
.
.
.
.
.
.
80%. Tru ´
o c khi xuˆa´t xu o’ ng ra thi. tru `o ng mˆo˜i bo
´ ng d¯`en d¯`ˆeu d¯u.o..c qua kiˆe’m
tra chˆa´t lu.o..ng. Vı` su.. kiˆe’m tra khˆong thˆe’ tuyˆe.t d¯ˆo´i hoa`n ha’o, nˆen mˆo.t bo
´ ng
.
.
d¯`en tˆo´t co
´ xa
´ c suˆa´t 0, 9 d¯u o. c cˆong nhˆa.n la` tˆo´t, va` mˆo.t bo
´ ng d¯`en ho’ng co


th´u. hai co
´ 7 ngu.`o.i, nho
´ m th´u. ba co
´ 4 ngu.`o.i va` nho
´ m th´u. tu. co
´ 2 ngu.`o.i. Xa
´c
.
.
.
.
´
˜
´
´
’
suˆa t b˘an tru
´ ng d¯´ch
ı cua mˆoi ngu `o i trong ca
´ c nho
´ m th´u nhˆa t, th´u hai, th´u.
ba, th´u. tu. theo th´u. tu.. la` 0, 8; 0, 7; 0, 6; 0, 5. Cho.n ngˆa˜u nhiˆen 1 xa. thu’ va` xa. thu’
˜ y xa
`ay b˘a´n tru.o..t. Ha
`ay co
nˆ
´ c d¯.inh xem xa. thu’ nˆ
´ kha’ n˘ang o’. trong nho
´ m na`o

5
18 .(0, 2)

+

18 .(0, 2)
7
4
18 .(0, 3) + 18 .(0, 4)

+

2
18 .(0, 5)

´ m hai nhˆa´t.
= 10
a.y xa. thu’ co
´ kha’ n˘ang o’. nho
57 . Vˆ
.
`eu tri. bˆe.nh A; 30% d¯iˆ
`eu
Cˆ
au 36: Trong sˆ
o´ bˆe.nh nhˆan o’ 1 bˆe.nh viˆe.n co
´ 50% d¯iˆ
.
`eu tri. bˆe.nh C. Xa
tri. bˆe.nh B; va` 20% d¯iˆ


(0, 5)(0, 7)
(), 5)(0, 7) + (0, 3)(0, 8) + (0.2)(0, 9)
≈ 0, 4545

P (A/H) =

5
= 11
Cˆ
au 37: Trong mˆ
o.t kho ru.o..u sˆo´ lu.o..ng ru.o..u loa.i A va` loa.i B la` b˘`a ng nhau.

Ngu.`o.i ta cho.n ngˆa˜u nhiˆen mˆo.t chai ru.o..u trong kho va` d¯u.a cho 5 ngu.`o.i sa`nh
ru.o..u nˆe´m thu’. d¯ˆe’ xa
´ c d¯.inh xem d¯ˆay la` loa.i ru.o..u na`o. Gia’ su’. mˆo˜i ngu.`o.i co
´
.
.
.
.
.
xa
´ c suˆa´t d¯oa
´ n d¯´ung la` 75%. Co
´ 4 ngu `o i kˆe´t luˆa.n chai ru o. u loa.i A va` 1 ngu `o.i
kˆe´t luˆa.n chai ru.o..u loa.i B . Ho’i khi d¯´o xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ chai ru.o..u d¯u.o..c cho.n thuˆo.c
loa.i A la` bao nhiˆeu?
Gia’i:

.
.
´
nho
´ m ma
´ u na`o. Nˆe u ngu `o i d¯´o co
´ nho
´ m ma
´ u co`n la.i (A ho˘a.c B ho˘a.c C ) thı`

co
´ thˆe’ nhˆa.n ma
´ u cu’a ngu.`o.i cu`ng nho
´ m v´o.i mı`nh ho˘a.c ngu.`o.i co
´ nho
´ m ma
´u
O.
Cho biˆe´t tı’ lˆe. ngu.`o.i co
´ nho
´ m ma
´ u O, A, B va` AB tu.o.ng u´.ng la` 33, 7%; 37, 5%; 7, 9%.
`an tiˆe´p ma
a) Cho.n ngˆa˜u nhiˆen mˆo.t ngu.`o.i cˆ
´ u va` mˆo.t ngu.`o.i cho ma
´ u. Tı´nh
.
.
.
.

´:
P (H) = P (O) + P (A)P (H/A) + P (B)P (H/B) + P (AB)P (H/AB)

Theo gia’ thiˆe´t:

P (O) = 0, 337; P (A) = 0, 375; P (B) = 0, 209;
P (O) = 0, 337;

P (AB) = 0, 079; P (H/O) =


14

P (H/A) = P (O) + P (A) = 0, 712; P (H/B) = P (O) + P (B) = 0, 546; P (H/AB) =
1.

Thay va`o ta d¯u.o..c: P (H) = 0, 5737
`en ma
b) Go.i E la` biˆe´n cˆo´: ”Su.. truyˆ
´ u khˆong thu..c hiˆe.n d¯u.o..c”
Ta co
´ : P (E/O) = [1 − P (O)]2 = 0, 6632 .

P (E/A) = [1 − P (O) − P (A)]2 = 0, 2882 P (E/B) = [1 − P (O) − P (B)]2 = 0, 4542
. ´ c suˆa´t d¯`ˆay d¯u’ ta d¯u.o.c P (E) = 0, 2223.
P (E/AB) = 0; ´a p du
. ng cˆong th´u c xa
.
.
.

bˆe.nh A. Ho’i sau khi kha
´ m bˆe.nh xong, ngu.`o.i bˆe.nh cˆ
´ la.i xa
´ c suˆa´t
`a ng xa
m˘a´c bˆe.nh A, B, C cu’a mı`nh la` bao nhiˆeu. Biˆe´t r˘
´ c suˆa´t chˆa’n d¯oa
´ n d¯´ung
`am sang hai bˆe.nh co`n la.i la` 0, 2; 0, 2.
cu’a mˆo˜i ba
´ c sı˜ la` 0, 6; va` chˆa’n d¯oa
´ n nhˆ

Gia’i:
Kı´ hiˆe.u H la` biˆe´n cˆo´ d¯˜a xa’y ra.
Ta co
´:

P (H/A) = (0, 6)(0, 2)(0, 2)(0, 6) = 0, 0144;
0, 0048
P (H/C) = (0, 2)(0, 2)(0, 6)(0, 2) = 0, 0048.

P (H/B) = (0, 2)(0, 6)(0, 2)(0, 2) =

Vˆa.y Xa
´ c suˆa´t m˘a´c bˆe.nh A la`:
P (H/A) =

P (A)P (H/A)
P (H)

´t. Tı`m xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ ngu.`o.i tho.. s˘an b˘a´n d¯u.o..c tho’
`ay.
trong cuˆo.c d¯i s˘an nˆ
Gia’i:
Ba`i toa
´ n d¯˜a cho 3 biˆe´n cˆo´:
`an b˘a´n th´u. i”, i = 1, 2, 3. Ba biˆe´n cˆo´ nˆ
`ay
Ti : ”tho.. s˘
an b˘a´n tru
´ ng tho’ o’. lˆ
k
`a ng sˆo´ tı’ lˆe.
= 0, 5. Suy ra h˘
khˆong d¯ˆo.c lˆa.p. Theo gia’ thiˆe´t ta co
´ : P (T1 ) =
20
10
k la
` 10. Do d¯´o: P (T2 /T1 ) = ; P (T3 /T2 ) = 0, 20; P (T3 /T1 T2 ) = P (T3 /T2 ) = 0, 2
30
`ay”
Go.i T : ”Tho.. s˘an b˘a´n tru
´ ng tho’ trong cuˆo.c d¯i s˘an nˆ
Ta co
´ : P (T ) = P (T1 ).P (T2 /T1 ).P (T3 /T1 T2 )
1
= (1 − 0, 5).(1 − ).(1 − 0, 2) = 0, 267
3

´ n bˆe.nh nhˆan m˘a´c bˆe.nh na`o?
Gia’i:
Go.i B la` biˆe´n cˆo´ Bˆe.nh nhˆan m˘a´c bˆe.nh B, B la` biˆe´n cˆo´ bˆe.nh nhˆan m˘a´c
bˆe.nh A. Ta tı´nh hai xa
´ c suˆa´t: P (B/A); P (B/A).
Ta co
´ : P (B) = 0, 3; P (B) = 0, 7; P (A/B) = 3.0, 3.0, 7.0, 7 = 0, 441
P (A/B) = 3.0, 1.0, 9.0, 9 = 0, 243.
Vˆa.y: P (A) = 0, 3.0, 441 + 0, 7.0, 243 = 0, 3024
Do d¯´o: P (B/A) = 0, 3.0, 441/0, 3024 = 0, 4375; P (B/A) = 0, 7.0, 243/0, 3024 =
0, 5625

Nˆen chˆa’n d¯oa
´ n m˘a´c bˆe.nh A thı` kha’ n˘ang d¯´ung cao ho.n.
`om 90% chı´nh phˆa’m. Lˆo II co tı’ lˆe. phˆe´
Cˆ
au 42: Co
´ hai lˆo sa’n phˆa’m. Lˆo I gˆ
1
`oi t`u. d¯´o lˆa´y 1 sa’n phˆa’m
phˆa’m / chı´nh phˆa’m la` . lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen ra mˆo.t lˆo, rˆ
4
`ay ta la.i lˆa´y
´ . t`u. lˆo nˆ
ta d¯u.o..c chı´nh phˆa’m. Tra’ sa’n phˆa’m na`y tro’. la.i lˆo cu’a no
’
’
’
ra 1 sa’n phˆa m. Tı`m xa
´ c suˆa´t d¯ˆe lˆa´y pha’i phˆe´ phˆa m.

´ c xa
´ c suˆa´t cˆ
´ c suˆa´t co
´ d¯iˆ
P (con m˘
a´t d¯en/ cha m˘a´t d¯en)= P (con m˘a´t d¯en va` cha m˘a´t d¯en)/P (cha
m˘a´t d¯en)= 0, 072/(0, 782 + 0, 079) = 0, 9082.
(vı` P (cha m˘a´t d¯en)= P (cha m˘a´t d¯en va` con m˘a´t d¯en)+P (cha m˘a´t d¯en va`
con m˘a´t xanh)= 0, 782 + 0, 079 = 0, 861).
Tu.o.ng tu.. P (con m˘a´t xanh/cha m˘a´t xanh)= P (con m˘a´t xanh va` cha m˘a´t
xanh)/P (cha m˘a´t xanh)= 0, 05/(1 − 0, 861) = 0, 3597
`an
Cˆ
au 45: Ta xe
´t ca
´ c gia d¯`nh
ı co
´ 2 con. kha’ n˘ang sinh con ga
´ i trong mˆo˜i lˆ
’
`an sinh la` d¯oˆ. c lˆa.p. Tı`m xa
sinh la` 0, 51; ca
´ c lˆ
´ c suˆa´t d¯ˆe khi cho.n ngˆa˜u nhiˆen 1
gia d¯`nh
ı trong sˆo´ ca
´ c gia d¯`nh
ı co
´ 2 con ta d¯u.o..c:
a) Gia d¯`nh

b) P (T2 /T 1 ) = P (T 1 T2 )/P (T 1 ) = P (A)/P (T 1 ) = 0, 2499/0, 51 = 0, 49
`an tı´nh P (T2 /B).
c) Ta cˆ
P (B) = 1 − P (B) = 1 − P (khˆ
ong co
´ con ga
´ i na`o) =
`
= 1 − P (ca’ hai con d
¯ˆeu trai) = 1 − 0, 49.0, 49 = 0, 7599.
P (T2 /B) = P (T2 B)/P (B) = P (T2 T 1 )/P (B) = P (A)/P (B)+
= 0, 2499/0, 7599 = 0, 3289.
Cˆ
au 46: Ba khˆ
a’u su
´ ng cu`ng b˘a´n va`o mˆo.t mu.c tiˆeu. Co
´ hai viˆen d¯a.n tru
´ ng

d¯´ch.
ı
Tı`m xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’ cho viˆen d¯a.n do ngu.`o.i th´u. nhˆa´t b˘a´n la` tru
´ ng d¯´ch,
ı
.
.
.
.
.

sinh viˆen chuˆa’n bi. kh´a, 2 sinh viˆen chuˆa’n bi. trung b`ınh v`a 1 sinh viˆen chuˆa’n
bi. k´em. Trong c´ac phiˆe´u thi c´o 20 cˆau ho’i. Sinh viˆen chuˆa’n bi. tˆo´t c´o thˆe’ tra’
l`o.i d¯u.o..c ca’ 20 cˆau ho’i , sinh viˆen chuˆa’n bi. kh´a tra’ l`o.i d¯u.o..c 15 cˆau, sinh viˆen
trung b`ınh tra’ l`o.i d¯u.o..c 10 cˆau, c`on sinh viˆen k´em chı’ c´o thˆe’ tra’ l`o.i d¯u.o..c 5
cˆau. Mˆo.t sinh viˆen d¯u.o..c go.i mˆo.t c´ach ngˆa˜u nhiˆen tra’ l`o.i d¯u.o..c 3 cˆau ho’i tu`y
´y. T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’:
a) Sinh viˆen d¯o´ thuˆo.c nh´om chuˆa’n bi. tˆo´t.
b) Sinh viˆen d¯o´ thuˆo.c nh´om chuˆa’n bi. k´em.
Gia’i: Tru`ng v´o.i ba`i 12.
Cˆ
au 48: Mˆ
o.t xa. thu’ b˘a´n v`ao mˆo.t c´ai bia. X´ac suˆa´t tr´ung d¯´ıch l`a 0,7. Anh ta
c´o 4 viˆen d¯a.n; anh ta b˘a´n v`ao bia cho d¯ˆe´n khi tr´ung d¯´ıch ho˘a.c hˆe´t d¯a.n m´o.i
thˆoi.
a) Lˆa.p d˜ay phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t chı’ sˆo´ d¯a.n d¯˜a b˘a´n.
b) T´ınh k`y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen d¯´o.
Gia’i: Tru`ng ba`i 6.
Cˆ
au 49: Ba xa. thu’ b˘
a´n v`ao mu.c tiˆeu mˆo.t c´ach d¯ˆo.c lˆa.p nhau. X´ac suˆa´t b˘a´n
.
.
tr´ung d¯´ıch cu’a ngu `o i th´u. nhˆa´t b˘`a ng 0,8; cu’a ngu.`o.i th´u. hai b˘`a ng 0,75; cu’a
ngu.`o.i th´u. ba b˘`a ng 0,7. T`ım x´ac suˆa´t:
- ˆe’ ca’ 3 xa. thu’ b˘a´n tru.o..t.
a) D
- ˆe’ ´t
b) D
ı nhˆa´t mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tr´ung.
Gia’i: Tru`ng ba`i 18.

=
12 12 12 12
144
.
.
.
.
´
´
o i th´u nhˆa t b˘an tru
´ ng va` hai ngu `o.i kia co
´ mˆo.t ngu.`o.i b˘a´n tru.o..t”
AT1 : ”ngu `
5 5
25
A2 = T1 T2 =⇒ P (A2 ) =
=
12 12
144
5
Vˆa.y P (F ) = P (Ao )P (F/Ao ) + P (A1 )P (F/A1 ) + P (A2 )P (F/A2 ) =
12


. .
` TA
ˆ. P D
ˆ˜ U NHIEN
ˆ
-A

au 2: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o.i mˆa.t d¯ˆo. x´ac suˆa´t x´ac d¯.inh nhu. sau:
p(x) =

0
a lnx
x2

nˆe´u x 1
nˆe´u x > 1

a) X´ac d¯.inh a v`a t`ım h`am phˆan phˆo´i.
b) T`ım k`
y vo.ng cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X.
Cˆ
au 3: Cho d˜ay phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t sau:
X

0

1

2

3

P

0,1

0,4

u. 23,44mm
d¯ˆe´n 26,56mm.
a) T´ınh sˆo´ tru.c d¯a.t tiˆeu chuˆ
a’n khi sa’n xuˆa´t 200 tru.c.
´
´
’
’
b) Phai san xuˆa t ´ıt nhˆa t bao nhiˆeu tru.c d¯ˆe’ x´ac suˆa´t c´o ´ıt nhˆa´t 1 tru.c d¯a.t tiˆeu
chuˆ
a’n k˜
y thuˆ
a.t khˆong du.´
o.i 99, 73%.
`am l`a 99, 9% . Lˆa´y ngˆa˜u nhiˆen 10000 ha.t d¯em
Cˆ
au 6: Mˆo.t kho ha.t giˆo´ng c´o tı’ lˆe. nˆa’y mˆ
`am.
gieo . T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ trong d¯´
o c´o d¯u
´ng 100 ha.t khˆong nˆa’y mˆ
.
.
`an lu o. t b˘a´n v`ao 1 c´ai bia. X´ac suˆa´t tr´
Cˆ
au 7: Hai xa. thu’ lˆ
ung d¯´ıch tu.o.ng u
´.ng l`a 0,6
.
.

0

nˆe´u x 0 trong d¯´o k > 0
nˆe´u x < 0

a) X´ac d¯.inh a v`a t`ım h`am F (x).
b) T´ınh x´ac suˆa´t P (0 < X < k1 ).
c) T`ım k`
y vo.ng cu’a X.
`an mˆo.t d¯`ˆ
Cˆ
au 10: Gieo 400 lˆ
ong xu . T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ m˘a.t sˆa´p xuˆa´t hiˆe.n :
`an.
a) 260 lˆ
`an v`a khˆong nhiˆ
`eu ho.n 204 lˆ
`an.
b) Khˆong ´ıt ho.n 196 lˆ
.
Cˆ
au 11: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o i mˆa.t d¯ˆo. x´ac suˆa´t x´ac d¯.inh nhu. sau:
p(x) =

3e−3x
0

nˆe´u x ≥ 0
.
nˆe´u x < 0

Cˆ
au 14: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o.i mˆa.t d¯ˆo. x´ac suˆa´t cho bo’.i:
p(x) =

1
3

0

nˆe´u −1 x 2
nˆe´u x < −1 ho˘a.c x > 2

a) T`ım k`
y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a X.
b) T´ınh x´ac suˆa´t P (0 < X < 1).
´ y co
´ chˆa´t lu.o..ng
Cˆ
au 15: Qua thˆo´ng kˆe ngu.`o.i ta biˆe´t r˘`a ng 96% sa’n phˆa’m cu’a nha` ma
cao. Tuy nhiˆen do d¯o.n gia’n hoa
´ qua
´ trı`nh kiˆe’m tra chˆa´t lu.o..ng sa’n phˆa’m thı` 2% sa’n
.
.
˜ khˆ
phˆ
a’m co
´ chˆ
a´t lu o. ng cao se
ong d¯u.o..c cˆong nhˆa.n n˜


nˆe´u x ≤ 1 ho˘a.c x > e
nˆe´u 1 < x ≤ e.

a) X´ac d¯.inh a v`a t`ım h`am phˆan phˆo´i.
b) T`ım k`
y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a d¯a.i lu.o..ng ngˆa˜u nhiˆen X.
Cˆ
au 17: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o.i mˆa.t d¯ˆo. x´ac suˆa´t nhu. sau:
p(x) =

ax2
0

nˆe´u 0 x 2
nˆe´u x ∈
/ [0; 2]


3

a) X´ac d¯.inh a v`a t`ım h`am phˆan phˆo´i F (x).
b) T´ınh k`
y vo.ng v`a P (−2 X 1).
Cˆ
au 18: Cho biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X v´o.i mˆa.t d¯ˆo. x´ac suˆa´t x´ac d¯.inh nhu. sau:
3e−3x
0

p(x) =


2

3

P

0,2

0,2

0,3

0,3

a) Tı`m ha`m phˆan phˆo´i F (x) cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X.
b) Tı´nh ky` vo.ng cu’a biˆe´n ngˆa˜u nhiˆen X.
´ ba cˆo’ ma
´ y hoa.t d¯ˆo.ng d¯ˆo.c lˆa.p nhau. Xa
´ c suˆa´t d¯ˆe’
Cˆ
au 21: Trong mˆo.t phˆan xu.o’.ng co
.
.
.
ca
´ c ma
´ y bi. ho’ng trong mˆo.t ca sa’n xuˆa´t tu o ng u
´ ng la` 0, 1; 0, 2; 0, 3. Xa
´ c d¯.inh qui luˆa.t

.
hai d¯´ung d¯u o. c 10 d¯iˆe’m. Trong ca’ hai hı`nh th´
u c, ca
´ c cˆau tra’ l`o i sai d¯`ˆeu khˆong d¯u o..c
d¯iˆe’m. Gia’ su’. xa
´ c suˆa´t tra’ l`o.i d¯´ung mˆo˜i cˆau d¯`ˆeu la` 0, 75 va` viˆe.c tra’ l`o.i d¯´ung mˆo˜i cˆau la`
.
u.c na`o d¯ˆe’ sˆo´ d¯iˆe’m trung bı`nh d¯a.t d¯u.o..c
d¯ˆ
o.c lˆa.p v´o i nhau. Theo ba.n, nˆen cho.n hı`nh th´
`eu ho.n.
nhiˆ
Cˆ
au 23: Mˆo.t ˆo tˆo kha
´ ch kho’.i ha`nh t`
u. A d¯i d¯ˆe´n B va` khoa’ng ca
´ ch t`
u. A d¯ˆe´n B la` L.
.
.
.
˜ d`
`au.
Trˆen d¯u `
o ng ˆo tˆo se
u ng bˆa´t ky` chˆo˜ na`o khi kha
´ ch yˆeu cˆ
.
`
`

Cˆ
au 24: Cho D
f (x) =
a) T`ım h˘`a ng sˆo´ c.

cx2 (1 − x)
0

v´o.i x ∈ [0, 1]
/ [0, 1]
v´o.i x ∈


4

b) T´ınh P (0, 4 < X < 0, 6)
-D
- LNN X c´o phˆan bˆo´ d¯`ˆeu trˆen [1, 2]. T`ım P (2 < X 2 < 5).
Cˆ
au 25: Cho D
-D
- LNN X c´o phˆan bˆo´ d¯`ˆeu trˆen [−1, 3]. T`ım P (X 2 < 2).
Cˆ
au 26: Cho D
-D
- LNN X c´
Cˆ
au 27: Cho D
o h`am mˆa.t d¯ˆo. f (x) =


v´
o i h`am mˆa.t d¯ˆ
o.:
kx2 (4 − x) v´o.i 0 ≤ x ≤ 4
f (x) =
0
nˆe´u tr´ai la.i
a) X´ac d¯.inh k, v˜e d¯`ˆ
o thi. cu’a f (x).
b) T´ınh k`
y vo.ng, phu.o.ng sai cu’a X.
c) T´ınh x´ac suˆa´t d¯ˆe’ cˆ
on tr`
ung chˆe´t tru.´o.c khi n´o d¯u.o..c 1 th´ang tuˆo’i.
Cˆ
au 30: Hai xa. thu’ A v`a B tˆ
a.p b˘a´n, mˆo˜i ngu.`o.i b˘a´n 2 ph´at. X´ac suˆa´t b˘a´n tr´
ung d¯´ıch
cu’a A trong mˆo˜i ph´at l`a 0, 4 v`a cu’a B l`a 0, 5.
a) Go.i X l`a sˆo´ ph´
at tr´
ung cu’a A tr`
u. sˆo´ ph´at tr´
ung cu’a B. T`ım phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t
cu’a X.
b) T`ım phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t cu’a Y = |X|
Cˆ
au 31: Ta.i mˆo.t tra.m kiˆe’m so´at giao thˆong, trung b`ınh mˆo.t ph´
ut c´o hai xe ˆotˆo d¯i qua.
’

- LNN X (kg) c´o h`am mˆa.t
Cˆ
au 33: Tro.ng lu.o..ng cu’a mˆo.t con g`a 6 th´ang tuˆo’i l`a mˆo.t D
d¯ˆ
o.:
k(x2 − 1) v´o.i 2 ≤ x ≤ 3
f (x) =
0
nˆe´u tr´ai la.i


5

T`ım tro.ng lu.o..ng trung b`ınh cu’a con g`a 6 th´ang tuˆo’i v`a d¯ˆo. lˆe.ch tiˆeu chuˆa’n.
Cˆ
au 34: Mˆo.t d¯oa.n thˆa’ng AB d`ai 10 cm bi. g˜ay ngˆa˜u nhiˆen o’. mˆo.t d¯iˆe’m P. Hai d¯oa.n
g˜
ay AP v`a BP d¯u.o..c su’. du.ng d¯ˆe’ l`am hai ca.nh cu’a mˆo.t h`ınh ch˜
u. nhˆa.t. T`ım k`
y vo.ng v`a
.
’
d¯ˆ
o. lˆe.ch tiˆeu chuˆ
a n cu’a diˆe.n t´ıch h`ınh ch˜
u nhˆa.t.
- LNN phˆan bˆo´ chuˆa’n v´o.i k`
Cˆ
au 35: Tro.ng lu.o..ng cu’a mˆo.t con b`o l`a mˆo.t D
y vo.ng l`a 250

ut th`ı x´ac suˆa´t d¯ˆe´ A muˆo.n ho.c
l`
a bao nhiˆeu ?
`an pha’i xuˆa´t ph´at tru.´o.c gi`o. v`ao ho.c bao nhiˆeu ph´
c) A cˆ
ut d¯ˆe’ kha’ n˘ang muˆo.n ho.c
.
l`
a b´e ho n 0, 02.
-D
- LNN c´o phˆan bˆo´ chuˆa’n. Trong mˆo.t
`eu d`ai cu’a mˆo.t loa.i cˆay l`a mˆo.t D
Cˆ
au 37: Chiˆ
.
˜
`
´
mˆ
a u gˆom 640 cˆay c´o 25 cˆay thˆa p ho n 18m v`a 110 cˆay cao ho.n 24m.
`eu cao cˆay.
a) T`ım k`
y vong v`a d¯ˆ
o. lˆe.ch tiˆeu chuˆa’n cu’a chiˆ
.. .. . ´
ay c´o d¯ˆ
o. cao trong khoa’ng t`
u. 16m d¯ˆe´n 20m trong mˆa˜u trˆen.
b) U ´o c lu o. ng sˆo cˆ
-D

1
0, 05 0, 10 0, 10 0, 09
a) T`ım phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t cu’a X v`a Y.
b) T´ınh k`
y vo.ng v`a phu.o.ng sai cu’a X v`a Y.
c) T´ınh hˆe. sˆ
o´ tu.o.ng quan cu’a X v`a Y.
-D
- LNN c´o phˆan phˆo´i d¯`ˆeu trˆen khoa’ng (−1, 1) v`a (0, 2)
Cˆ
au 41: Gia’ su’. X, Y l`a hai D
.
.
.
-D
- LNN
´ ng. T`ım h`am mˆa.t d¯oˆ. d¯`ˆ
ong th`o.i v`a h`am phˆan phˆo´i d¯`ˆong th`o.i cu’a hai D
tu o ng u
X, Y.


Bài tập

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Chương 1

ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT


Tính P(AB) , P(AB) , P(A + B) , P(AB) và P(AB) .
Giải

Do
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) ,
ta suy ra
P(AB) = P(A) + P(B) − P(A + B) =

1
.
12

Do AB = A + B , nên

(

( )

)

P AB = P A + B = 1 − P ( A + B ) =

1
.
4

Tương tự, vì A + B = AB ta suy ra

(

P AB = P(B) − P ( AB ) =

5
.
12

Bài 3. Tỷ lệ người mắc bệnh tim trong một vùng dân cư là 9%, mắc bệnh huyết áp là 12%, mắc
cả hai bệnh là 7%. Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng. Tính xác suất để người đó

a) Bò bệnh tim hay bò bệnh huyết áp.
b) Không bò bệnh tim cũng không bò bệnh huyết áp.
c) Không bò bệnh tim hay không bò bệnh huyết áp.
d) Bò bệnh tim nhưng không bò bệnh huyết áp.
e) Không bò bệnh tim nhưng bò bệnh huyết áp.
Giải

Xét các biến cố A : “nhận được người mắc bệnh tim”,
B : “nhận được người mắc bệnh huyết áp”,
Ta có P(A) = 0.09 ; P(B) = 0.12 ; P(AB) = 0.07 .
a) Biến cố “nhận được người bò bệnh tim hay bò bệnh huyết áp” là A+B, với
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)

= 0.09 + 0.12 − 0.07 = 0.14.
b) Biến cố “nhận được người không bò bệnh tim cũng không bò bệnh huyết áp” là A.B , với

P(A.B) = P(A + B) = 1 = P(A + B)
= 1 − 0.14 = 0.86.
c) Biến cố “nhận được người không bò bệnh tim hay không bò bệnh huyết áp” là A + B , với
P(A + B) = P(AB) = 1 − P(AB)
= 1 − 0.07 = 0.93.

5 9 5 9 5

2