www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỬA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN:

1. Véctơ a = ( a1 ; a 2 ; a 3 ) là véc tơ chỉ phương (VTCP) của (∆) ⇔ (∆) // giá của a
2. Nhận xét: Nếu a là một VTCP của (∆) thì ka (k ≠ 0) cũng là VTCP của (∆)

vn
.co
m

tức là (∆) có vô số VTCP.
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Phương trình tham số: Phương trình đường thẳng (∆) đi qua M0(x 0, y 0, z0)
 x = x 0 + a1t

và có VTCP a = ( a1 ; a 2 ; a 3 ) :  y = y 0 + a 2 t ( t ∈ » )

 z = z 0 + a 3 t

2. Phương trình chính tắc: Phương trình đường thẳng (∆) đi qua M0(x0, y0, z0)
x − x0 y − y 0 z − z 0
và có VTCP a = ( a1 ; a 2 ; a 3 ) :
=
=
a1
a2
a3
3. Phương trình tổng quát: Phương trình đường thẳng (∆) tổng quát là giao
 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0

.
=
=
a1
a2
a3

Đặt tỉ số này bằng t suy ra dạng tham số.

Facebook.com/mathvcom


www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng:
Cho (∆ 1) đi qua M1(x 1; y 1 , z1) với VTCP u = ( a1 , a 2 , a 3 ) ,
(∆2) đi qua M2(x 2; y 2, z2) với VTCP là v = ( b1 , b2 , b3 )

vn
.co
m

Nếu [u , v ] ⋅ M 1 M 2 ≠ 0 thì ( ∆ 1 ) , ( ∆ 2 ) chéo nhau.
Nếu [u , v ] ⋅ M 1 M 2 = 0 và a1 : a 2 : a 3 ≠ b1 : b2 : b3 thì (∆1), (∆2) cắt nhau.
( ∆ 1 )
[u , v ] ⋅ M M = 0
1
2



Nếu n ⋅ u ≠ 0 ⇔ Aa + Bb + Cc ≠ 0 thì (∆) cắt (α).
Nếu n // u ⇔ a : b : c = A : B : C thì (∆) ⊥ (α).
 n ⋅ u = 0
 Aa + Bb + Cc = 0
Nếu 
⇔ 
thì (∆) // (α).
 M 0 ∉ ( α )
 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D ≠ 0
 n ⋅ u = 0
 Aa + Bb + Cc = 0
Nếu 
⇔ 
thì (∆) ⊂ (α).
 M 0 ∈ ( α )
 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0

Facebook.com/mathvcom


www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
IV. GÓC GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Góc giữa 2 đường thẳng:
Cho

(∆1) đi qua M1(x1; y1, z1) với VTCP u = ( a1 , a 2 , a 3 ) ,
(∆2) đi qua M2(x 2; y2, z2) với VTCP là v = ( b1 , b2 , b3 )


u ⋅ n

aA + bB + cC

2

2

a + b + c2

A2 + B 2 + C 2

3. Góc giữa hai mặt phẳng:

Góc giữa 2 mặt phẳng (α 1): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 và (α2):
A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 là ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90°) thỏa mãn:
cos ϕ =

n1 .n2
n1 n2

=

A1 A2 + B1 B2 + C1C2

A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22

ma
th


Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D
A2 + B 2 + C 2

VI. CÁC DẠNG BÀI TẬP

1. Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng
( ∆ )
hoặc sử dụng dấu hiệu nhận

( α )

vn
.co
m

( ∆ 1 )

Phương pháp: Giải hệ PT tạo bởi 
;
( ∆ 2 )

biết qua hệ thức của các véctơ

Bài 1. Xét vị trí tương đối bằng 2 cách khác nhau:
 x = 9t

( ∆ 1 ) :  y = 5t

 z = −3 + t
x − 2 y + 3 = 0

 x + y + z − 2 = 0
Bài 3. Xác định giao điểm của đường thẳng ( ∆ ) : 
với mặt
 x + 2 y − z − 1 = 0

phẳng ( α ) : x + y + 2 z − 1 = 0

Bài 4. Cho 3 đường thẳng:

 x = 3t
y+2

( ∆ 1 ) :  y = 1 − t , ( ∆ 2 ) : x 1− 1 = 4 = z −3 2 ,
z = 5 + t


 x − y + 3z − 3 = 0

( ∆ 3 ) : 

 2 x − y + z + 1 = 0

a. Xét vị trí tương đối của các cặp 2 đường thẳng với nhau.
b. Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với (∆1), cắt (∆2) và (∆ 3)

Facebook.com/mathvcom


www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
α)


{ x = 1 + t ; y = 2 + t ; z = −3 − 3t}

ma
th

5. Dạng 5: Xác định điểm đối xứng với điểm M cho trước qua đường thẳng (∆
∆)

Phương pháp: Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên (∆ )

Giả sử M(x1, y 1 , z1), H(x0 , y0, z0), khi đó điểm M’ đối xứng M qua (∆) là
M ′ ( 2 x 0 − x1 , 2 y 0 − y1 , 2 z 0 − z1 )

Bài 1. Xác định điểm đối xứng với điểm M(0; 2; −1) lên đường thẳng (∆):

{ x = 1 + t ; y = 2 + t ; z = 3 − 3t}

6. Dạng 6:

∆ ) lên mặt phẳng (α
α)
Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng (∆

Phương pháp:

TH1: (∆ ) ⊥ (α ) ⇒ Hình chiếu vuông góc của (∆ ) lên (α ) là điểm H≡ (∆) ∩ (α )

Facebook.com/mathvcom


lên mặt phẳng (α): 2x – y + z – 1 = 0

7. Dạng 7: Xác định hình chiếu song song của đường thẳng (∆
∆ 1) lên (α
α)
∆ 2) cắt (α
α)
theo phương (∆
Phương pháp:

TH1: (∆1 ) // (∆ 2) ⇒ Hình chiếu song song của (∆1 ) lên (α ) theo phương (∆2 ) là
điểm H≡ (∆1 ) ∩ (α )

TH2: (∆1 ) và (∆2 ) không song song:

ma
th

Viết phương trình mặt phẳng (β ) chứa (∆1 ) và // (∆2 )

Hình chiếu song song của (∆1) lên (α) theo phương (∆2) là (∆) = (β) ∩ (α)

7 x + y − z − 1 = 0
Bài 1. Xác định hình chiếu song song của đt (∆1): 
lên (α):
+
2
+
+
1

⇒ Phương trình (α ) qua 3 điểm A, B, M.
Nếu (α ) // (∆2 ) thì bài toán vô nghiệm. Nếu (α) cắt (∆2 ) thì tìm N = (∆ 2) ∩ (α )
Nếu MN // (∆ 1) thì bài toán vô nghiệm, nếu MN cắt (∆1 ) suy ra đường thẳng
cần tìm là (∆) ≡ MN.
Phương pháp 2: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M chứa (∆ 1),
mặt phẳng (β ) qua M chứa (∆2 )
Xét (∆) = (α ) ∩ (β ). Nếu (∆) cắt (∆1 ) và (∆2 ) thì đường thẳng (∆ ) là đường

vn
.co
m

thẳng cần tìm. Nếu (∆ ) // (∆1 ) hoặc (∆ 2) thì bài toán vô nghiệm.

 y − 2 = 0
Bài 1. VPT ĐT (∆) qua M(1; 3; 0) và (∆) cắt (∆1): 
,
 2 x − z − 5 = 0
(∆2): { x = 1 + 2t , y = 3 − t , z = 4 + t}

∆ ) cắt (∆
∆ 1), (∆
∆ 2) và song song với (∆
∆ 3)
9. Dạng 9: VPT đường thẳng (∆
Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa (∆1 ) và // (∆3 ),
mặt phẳng (β ) chứa (∆2 ) và // (∆3 )

Nếu (α ) // (β ) thì bài toán vô nghiệm. Nếu (α ) cắt (β ) thì xét (∆ ) = (α) ∩ (β).
Nếu (∆ ) cắt (∆1 ) và (∆2 ) thì đường thẳng (∆) là đường thẳng cần tìm.


www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
y + 2 z −1
y −3 z −9
=
=
Bài 2. VPT ĐT (∆) cắt (∆1): x − 2 =
, (∆2): x − 7 =
3
4
1
1
2
1
y+3 z−2
và // (∆3): x + 1 =
=
3
1
−2

∆ ) qua M và vuông góc (∆
∆ 1), cắt (∆
∆ 2) trong
10. Dạng 10: VPT đường thẳng (∆
∆ 1), (∆
∆ 2)
đó M ∉ (∆
Phương pháp: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M và ⊥ (∆1 ), mặt phẳng


Tìm M = ( ∆ 2 ) ∩ ( α ) , H là hình chiếu vuông góc của M lên (∆1 )

ma
th

⇒ MH là đường vuông góc chung của (∆1 ), (∆2)

b. Phương pháp 1: Viết phương trình (∆1 ), (∆ 2) dưới dạng tham số

Lấy M∈ (∆ 1), N∈ (∆ 2) ⇒ Tọa độ M, N theo t1 , t 2 ⇒ MN theo t1 , t 2 .

MN là đường vuông góc chung của (∆1 ), (∆ 2)

⇒ MN ⊥ ( ∆ 1 ) , MN ⊥ ( ∆ 2 ) ⇒ t1 , t 2 ⇒ MN.
c. Phương pháp 2: Gọi a1 , a 2 là VTCP của (∆1 ) và (∆ 2)

⇒ Đường vuông góc chung (∆) có VTCP a = a1 , a2 

Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa (∆1 ) và // (∆), mặt phẳng (β) chứa (∆2 )

và // (∆) ⇒ (∆) = (α) ∩ (β).

Facebook.com/mathvcom


www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
Bài 1. Cho A(6; 3; 0), B(−2; 9; 1), S(0; 5; 8).
Viết phương trình đường vuông góc chung của SB, OA.
Bài 2. Viết phương trình đường vuông góc chung của
x + y + z − 3 = 0

x + 2z − 2 = 0

Bài 5. Cho ( ∆ 1 ) :  y = 1 − t và ( ∆ 2 ) : 
.
y − 3 = 0
 z = 2t


Viết phương trình mặt phẳng cách đều (∆ 1) và (∆2).
12. Dạng 12: Các bài toán về khoảng cách
12.1. Tính khoảng cách:

y +1 z −1
Bài 1. Tính khoảng cách từ M(1; 2; 3) đến ( ∆ ) : x − 1 =
=
2
1
3

Bài 2. Cho A(1; 2; 3), B(0; 1; 2), C(4;−1; 1). Tính khoảng cách từ A đến BC.

ma
th

Bài 3. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng
x + y = 0

( ∆ 1 ) :  x − y + z − 4 = 0 ( ∆ 2 ) : { x = 1 + 3t; y = −t; z = 2 + t}



Facebook.com/mathvcom


www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
Bài 7. Cho A(5; 7;−2), B(3;1;1), C(9; 4;−4).
Tính khoảng cách từ D(−1; 5; 0) đến (ABC)
12.2. Tìm điểm biết khoảng cách cho trước:
Bài 1. Cho (α): x + 2y – 2z – 2 = 0.
Tìm M∈Oy sao cho khoảng cách từ M đến (α) bằng 4.
Bài 2. Cho A(1;−2; 0). Tìm M∈Oz sao cho khoảng cách từ M đến
(α): 3x – 2y + 6z + 9 = 0 bằng MA.

vn
.co
m

Bài 3. Cho (α): x + y + z + 5 = 0.

2 x + y + z − 1 = 0
Tìm M∈(∆): 
sao cho d ( M , ( α ) ) = 3 .
x + y + 2z + 3 = 0

Bài 4. Cho (α): 12x – 16y + 15z + 1 = 0 và (β): 2x + 2y – z – 1 = 0.
Tìm M∈Ox cách đều (α) và (β)

12.3. Các bài toán về tổng, hiệu khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất:
a. Dạng 1: Cho 2 điểm A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x 2 , y 2 , z 2 ) .

Tìm M∈(P): ax + by + cz + d = 0 để (MA + MB) min.

b. Dạng 3: Cho 2 điểm A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x 2 , y 2 , z 2 ) .
Tìm M∈(∆) cho trước sao cho (MA + MB) min.
Phương pháp: Xác định tọa độ các điểm A’, B’ là hình chiếu tương ứng của
các điểm A, B lên (∆ ). Gọi M0 là điểm chia đoạn A’B’ theo tỉ số
k=

M 0 A'
M 0B'

=−

AA '

. Ta chứng minh MA + MB ≥ M 0A + M0 B

BB '

vn
.co
m

Thật vậy, gọi A1 ∈(P) = ((∆), B) sao cho A 1 khác phía B so với (∆ ) và thỏa mãn
 A1 A ' = AA '
A A′ M A′
⇒ 1 = 0 ⇒ A1, M 0 ,B thẳng hàng

B1 B ′ M 0 B ′
 A1 A ' ⊥ ( ∆ )

⇒ MA + MB = MA1 + MB ≥ A1 B = M 0A1 + M 0B = M0 A + M 0B

2
−1

y−2 z −2
A(1;2; −1)
Bài 7. Cho 
Tìm M∈ ( ∆) : x + 1 =
sao cho (MA + MB) min.
=
3
2
−2
B ( 7; −2;3)

Bài 8. Cho A(2; 3; 0) và B ( 0; − 2; 0 ) .
x + y + z − 2 = 0
sao cho (MA + MB) min.
Tìm M∈ ( ∆ ) : 
x − y + z − 2 = 0

Facebook.com/mathvcom


www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
13. Dạng 13: Các bài toán về góc
Bài 1. Xác định góc giữa 2 mặt phẳng ( P1 ) : x + y + 2z + 4 = 0, ( P2 ) : 2x + y + z + 1 = 0
Bài 2. Cho tứ diện ABCD với A(1; 0; 1), B(2; 1; 0), C(−1; 0;−2), D(−2; 1; 1).
Tính góc của mỗi cặp cạnh đối của ABCD; Tính góc ((AB); (BCD)).
Bài 3. Cho ( P1 ) : 3 x − y − z + 2 = 0 , ( P2 ) : x + 2 y + z − 3 = 0 ,


(

)

Bài 5. Cho A(0;−2; −2), B(−1; −1; 0), C(−2; −2; 0), D − 1 ; −1; 0 .
2

a. Tính góc giữa ((ABC); (ABD))
b. Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường thẳng (AD) và (BC).
14. Bài mẫu. Trong hệ Oxyz cho A(1; 4; 2); B(−1; 2; 4) và ( d ) : x − 1 =
−1

y+2 z
=
1
2

1. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho:
a) MA + MB nhỏ nhất;

d) Diện tích tam giác AMB nhỏ nhất

ma
th

c) MA + MB nhỏ nhất

b) MA 2 + MB 2 nhỏ nhất;

2. VPT mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất.

MA 2 = 2 ( 3t 2 − 10t + 20 ) min ⇔ t = 5 ⇔ M ≡ A1 − 2 ; − 1 ; 10 với AA1 ⊥ ( d )
3
3
3 3
MB 2 = 2 ( 3t 2

1

1

số k = −

vn
.co
m

AA1 = 1 210 ; BB1 = 1 30 . Điểm M cần tìm là điểm chia đoạn A1 B1 theo tỉ
3
3
 −2 (1 + 2 7 )
10 − 14 7 
; − 1;
= − 7 nên tọa độ của M là 


3 3 (1 + 7 ) 
BB1
 3 (1 + 7 )

AA1


= 10 = 2 5
5
2 + ( −1)
• Nếu a ≠ 0 thì có thể giả sử a = 1 . Khi đó ( P ) : x + (1 + 2b ) y − bz + 1 + 4b = 0 .

ma
th

• Nếu a = 0 thì (P): 2 y − z + 4 = 0 . Khi đó d ( A; ( P ) ) =

Suy ra d ( A; ( P ) ) =

2 5b + 3

. Xét hàm số f ( b ) =

2

2

( 5b + 3) 2
.
5b 2 + 4b + 2

5b 2 + 4b + 2
2
Ta có f ′ ( b ) = −50b + 10b + 24
= 0 ⇔ b = 4 ∨b = − 3
2

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
• Nếu a = 0 thì (Q): 2 y − z + 4 = 0 và khi đó cos α = 1 .
5
• Nếu a ≠ 0 ta có thể giả sử a = 1 . Khi đó (Q): x + (1 + 2b ) y − bz + 1 + 4b = 0 .
b

Từ đó cos α =

. Xét hàm số g ( b ) =

b2
= cos 2 α .
5b + 4b + 2
2

1 khi b = −1
3

vn
.co
m

5b 2 + 4b + 2
4b 2 + 4b
= 0 ⇔ b = 0 ∨ b = −1
Ta có g ′ ( b ) =
( 5b 2 + 4b + 2 ) 2
Do g ( 0 ) = 0; g ( −1) = 1 ; lim g ( b ) = 1 nên cos α lớn nhất bằng
3 b→∞
5

ma
th

phẳng (R) có phương trình x + 5 y − 2 z + 9 = 0 .

5. Giả sử d 2 là đường thẳng bất kì đi qua A và cắt d tại M (1 − t ; − 2 + t ; 2t ) .

Khi đó d ( B; d 2 ) =

 AM ; AB 

AM

=

56t 2 − 304t + 416
6t 2 − 20t + 40

2
= 28t 2 − 152t + 208
3t − 10t + 20

2
16 (11t 2 − 8t − 60 )
= 0 ⇔ t = −2 ; t = 30 .
Xét u ( t ) = 28t 2 − 152t + 208 . Ta có u ′ ( t ) =
2
11
2
3t − 10t + 20