A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Khi giảng dạy phần “dao động tắt dần ” lớp 12 tôi nhận thấy hầu hết các em học
sinh đều rất lúng túng khi làm các bài tập có liên quan đến dao động tắt dần.
Bởi đây là phần có nhiều dạng bài tập khó, có nhiều công thức cần nhớ và việc
áp dụng các công thức toán học tương đối phức tạp. Khó khăn lớn nhất của các
em là việc xác định bài toán thuộc dạng nào để ra đưa phương pháp giải phù
hợp cho việc giải bài toán đó.
Mặt khác, trong giai đoạn hiện nay khi mà hình thức thi trắc nghiệm được áp
dụng trong các kỳ thi tốt nghiệp và tuyển sinh đại học cao đẳng, yêu cầu về
phương pháp giải nhanh và tối ưu cho các em là rất cấp thiết để các em có thể
đạt được kết quả cao trong các kỳ thi đó.

Trang | 1


B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lý luận.
1.1. Hiện tượng tắt dần của dao động cơ.
Một vật thực hiện dao động điều hòa chỉ trong điều kiện lí tưởng. Trên
thực tế các vật khi dao động đều chịu tác dụng của lực cản trên bề mặt tiếp xúc
và lực cản của môi trường dao động. Điều này làm cho năng lượng của vật dần
mất đi dẫn đến hiện tượng tắt dao động.
Hiện tượng các dao động của các vật bị tắt (dừng lại) sau một khoảng thời
gian nào đó được gọi là hiện tượng tắt dần của dao động cơ.
1.2. Dao động tắt dần chỉ chịu tác dụng của lực ma sát có độ lớn không đổi.
Trước tiên để hiểu rõ được tại sao dao động tắt dần ở THPT có chu kì dao động
và biên độ hoàn toàn xác định. Ta khảo sát bài toán con lắc lò xo chịu thêm tác
dụng của một lực không đổi( chiều và độ lớn) sau:
Bài toán 1: Một con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng m và một lò xo có độ
cứng k. Hệ được đặt trên mặt phẳng ngang nhẵn. Vật đang đứng yên, tác dụng
lên vật bằng một lực F không đổi. Bỏ qua lực cản của môi trường. Chứng minh

F

- k  x - ÷ = ma → - k x - x 0 = ma ( 1.3a )
k


(

)

0

Đặt X = x – x

Ta có X’’ = x’’ = a, phương trình 1.3a trở thành : - k X = mX’’ hay

X'' +

Trong đó ω =

k
X = 0 → X = ACosωt+φ
(
m

) →x = X + x

0

=x

không đổi và áp dụng được kết quả trên. Chỉ có điều dao động ấy phức tạp hơn
ở các chỗ:
Vị trí cân bằng phụ thuộc hướng của lực có độ lớn không đổi do đó ở dao
động tắt dần trong mỗi lần đồi chiều thì vị trí cân bằng lại thay đổi, về mặt định
lượng thì khoảng cách từ 2 vị trí cân bằng ấy đến vị trí lò xo không biến dạng là
bằng nhau.
Ta luôn luôn xét được 1 nửa dao động bởi một nửa sau ( sau khi đổi
chiểu) vật lại dao động với biên độ và vị trí cân bằng khác.
Bài toán 2: Con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng m và lò xo có độ cứng k.
Con lắc đặt trên mặt phẳng nằm ngang. Tại thời điểm ban đầu người ta kéo vật
dịch khỏi vị trí lò xo không biến dạng một đoạn A0 rồi thả nhẹ. Cho rằng hệ số
ma sát trượt giữa vật và giá là không đổi và bằng μ , bỏ qua lực ma sát nhớt của
môi trường.
Để giải quyết bài toán này ta cần bổ sung các bổ đề và một số lý thuyết sau:
+ Sự bảo toàn năng lượng

Trang | 4


Ở thời điểm t, vật đang ở vị trí có li độ x ( so với vị trí lò xo không biến dạng),
với vận tốc v và đã đi được quãng đường S khi đó ta có: E 0 - Es = A ms

→

1 2 1 2 1
kA 0 - kx - mv 2 = Fms .S
2
2
2


.
O

.
P

-A0

1

m
P

.O
x0

x0

.O

2

.+AQ

0

x

A0


bằng tạm thời.
Gọi tọa độ của O1 và O2 là x0. Dễ dàng thấy được tại O1 và O2 ta có
Fđh = Fmst hay x 0 = ±

μmg
( 2.2a)
k

Vậy trong bài toán tắt dần của dao động cơ, ta để ý đến 3 vị trí đặc biệt.
Vị trí lò xo không biến dạng O
Hai vị trí cân bằng tạm thời O 1 và O2 nằm cách vị trí lò xo không biến

dạng một đoạn δ =

μmg
k

Trang | 6


+ Độ giảm biên độ của vật sau một chu kì
Cách lý giải 1: (Theo quan điểm năng lượng )
Rõ ràng ta không thể chọn một vị trí cân bằng nào cố định để tính biên độ,
mà mỗi một lần đổi chiều dao động thì biên độ sẽ ứng với vị trí cân bằng khác
nhau. Do đó ta tạm coi rằng khoảng cách xa nhất của vật tới vị trí lò xo không
biến dạng O là biên độ dao động tạm thời.

.

r

Chọn mốc thế năng đàn hồi tại vị trí lò xo không biến dạng O. Mốc thế
năng trọng trường là mặt phẳng ngang.
Thế năng trọng trường của hệ bằng 0.
Tại P.
Năng lượng của hệ tồn tại dưới dạng thế năng đàn hồi của lò xo:
Trang | 7


EP =

1
1
kΔl2p = kA 02
2
2

Tại M
Vật đổi chiều (vM = 0) nên tại M năng lượng của hệ:
EM =

1
1 2
kΔl2M = kA1/2
2
2

Với A1/2 là biên độ của vật sau 1/2T.
Độ giảm năng lượng của hệ sau 1/2T:
ΔE = E P - E M =



Trong ¼ T chu kì đầu vật dao động từ P hướng tới O, vật sẽ nhận vị trí O 1

r

làm vị trí cân bằng tạm
v thời ”
P

O1

.

O

.

O2

.

A1/4 = A0 - δ 1 2δ 3
1 4 442 4 4 43

Do vậy trong ¼ chu kì này biên độ dao động của vật đã giảm đi một lượng đúng

bằng OO1 = xδ0 = =

μmg
( theo 2.2a)

Bổ đề 2: Nếu 2 δ > An > δ thì vật dừng lại trong khoảng OO1.

xn
{
A
1 4 4 4 442 4n 4 4 4 43

Thời gian trong quá trình này là T/2.

Trang | 9


Tọa độ vị trí dừng lại được xác định dựa vào định luật bảo toàn năng lượng:

(

1 2 1 2
kA n = kx n +μmg A n- x n
2
2

)

→xn =

2μmg
− A n = 2δ − A n
k

Quãng đường vật đi thêm được là : Sthêm = 2An - 2 δ = 2A0 - 2 δ (2n + 1)

2
2
k

Quãng đường vật đi thêm được: Sthêm = An + xn = 2An - 2 δ = 2A0 -2 δ (2n + 1)
Trang | 10


II. Thực trạng vấn đề.
2.1 Đối với học sinh.
Hầu hết các em đều rất lúng túng và lo sợ khi đề thi có đề cập tới bài toán
dao động tắt dần. Các em chưa hệ thống được các dạng bài tập và phương pháp
giải bài tập có liên quan.
2.2 Đối với giáo viên.
Một số giáo viên chưa nghiên cứu cụ thể nên chưa hình thành cho mình
được một con đường đi, một phương pháp tiếp cận rõ ràng.
III. Giải pháp thực hiện.
Bằng những lý thuyết và bổ đề, tôi xây dựng hệ thống các dạng bài tập và
phương pháp giải cho chuyên đề dao động tắt dần như sau:
3.1. Hệ thống các dạng bài tập.
Dạng 1: Tốc độ của vật.
Kiểu 1. Tốc độ cực đại của vật trong toàn bộ quá trình dao động.
Kiểu 2. Tốc độ cực đại của vật sau khi vật đổi chiều lần n.
Kiểu 3. Tốc độ cực đại của vật kể từ thời điểm t nào đó.
Kiểu 4. Tốc độ của vật khi vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần n.
Dạng 2: Độ biến dạng của lò xo.
Kiểu 1. Độ biến dạng cực đại của lò xo trong toàn bộ quá trình dao động.
Kiểu 2. Độ biến dạng của lò xo khi vật đổi chiều lần n.
Kiểu 3. Độ biến dạng của lò xo khi vật đạt tốc độ cực đại lần n.
Kiểu 4. Độ biến dạng của lò xo khi vật dừng lại.


Từ hai điều trên ta thu được, tốc độ của vật đạt cực đại khi a = 0. Nghĩa là vật
đạt tốc độ cực đại tại vị trí hợp lực tác dụng lên vật bằng 0.
Trong quá trình vật dao động từ P hướng tới O, vị trí đầu tiên mà hợp lực
bằng 0 chính là 01. Như vậy tốc độ của vật đạt cực đại chính là tốc độ của vật khi
đi qua O1.
Dựa vào định luật bảo toàn năng lượng tại P và tại O1 để tìm tốc độ cực đại:

Trang | 12


ΔE PO = A ms hay
1

→ v max =

1
1
1

kA 02 -  kδ 2 + m v 2max ÷= μmg ( A 0 - δ )
2
2
2



k
k
A0 -δ ) . Thay ω =

................... A0 .............................x ........

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng tại P và tại N ta có:
ΔE PN = A ms

hay

1
1
1

kA 02 -  kx 2 + m v 2 ÷=μmg (A 0 + x )
2
2
2



1
1
1
k
k
→ mv 2 = - kx 2 -μmgx + kA 02-μmgA 0 ⇔ v 2 = - x 2 - 2μgx + A 02 - 2μgA 0
2
2
2
m
m


 m

với ω =

μmg
k
và δ =
.
k
m

Phương án 3: Dựa vào tính cực đại của vận tốc đối với dao động điều hòa.
Trong dao động điều hòa của một vật với tần số góc ω biên độ A, thì vật
đạt tốc độ cực đại khi đi qua vị trí cân bằng, giá trị cực đại có độ lớn : v max = ω
A.
Dựa vào hệ quả của cách lí giải 2 về độ giảm biên độ trong một chu kì.

r
v
P

O1

.

O

.

O2

Vật đạt tốc độ cực đại khi vật qua vị trí cân bằng tạm thời kế tiếp:
v max = ω ( A 0 -2nδ - δ ) = ω  A 0 - ( 2n+1) δ 

Kiểu 3: Tốc độ cực đại của vật kể từ sau thời điểm t nào đó.
Sau thời gian t nào đó, vật sẽ đạt tốc độ cực đại sau đó là bao nhiêu?
t
= n+m
Phân tích: T
2

(Với n là phần nguyên, m là phần lẻ)

Biên độ dao động của vật sau thời gian nT/2 là: An = A0 – 2n δ
Lúc này vật đang ở biên, tốc độ của vật bằng 0
1
2

- Nếu m < thì tốc độ cực đại của vật đạt được sau đó là:
vmax = ω ( A n - δ ) = ω { A 0 - δ ( 2n+1) }
- Nếu

1
≤ m < 1 : Lúc này vật đã qua vị trí cân bằng tạm thời và đang có
2

xu hướng chuyển động về biên. Như vậy tốc độ cực đại của vật đạt được khi vật

Trang | 15



kA 0 = Eđn + A ms hay
2

Eđn =

1 2
1
1
kA 0 - A ms = kA 02 - FmsS = kA 02 - μmg  2 ( n -1) A 0 - 2n ( n -1) δ 
2
2
2

Trang | 16


Từ đó ta tính được tốc độ của vật.
Dạng 2: Độ biến dạng của lò xo
Kiểu 1. Độ biến dạng cực đại của lò xo trong toàn bộ quá trình dao
động.
Khi vật đổi chiều lần 1 thì lò xo giãn cực đại. Mà độ giảm biên độ sau ½ chu kì
là 2 δ do đó: Δlmax = A 0 - 2δ
Kiểu 2. Độ biến dạng của lò xo khi vật đổi chiều lần n
Xuất phát từ kết quả biên độ vật giảm đi sau n nửa chu kì là 2n δ nên khi vật đổi
chiều lần n, vật đang cách vị trí cân bằng: Δx = A 0 - 2nδ
Do đó Δln = A 0 - 2nδ
Kiểu 3. Độ biến dạng của lò xo khi vật đạt tốc độ cực đại lần n
Khi vật đạt tốc độ cực đại thì vật đang ở vị trí cân bằng tạm thời nên Δl = δ
Dạng 3: Quãng đường vật đi được
Kiểu 1: Quãng đường vật đi được khi vật đổi chiều lần n


( với n là số nguyên, m là phần lẻ ).

Kết quả 1: Nếu m = 0,5 thì vật rơi vào trường hợp A n = δ , do đó quãng đường
vật đi được là: S = 2n ( A 0 - nδ )
Kết quả 2: Nếu m > 0,5 thì vật rơi vào trường hợp δ < An < 2 δ quãng đường vật
đi được là:
S = Sn + Sthêm = 2(n+1)A0 -2(n+1)2 δ

Trang | 18


Kết quả 3: Nếu m < 0,5 thì An < δ . Ở đây vật đang nằm trong khoảng O1O2
nghĩa là sẽ không dao động nữa, vậy ta xét trong nửa chu kì trước đó. Lúc này 2
δ < An < 3 δ do đó quãng đưòng vật đi được là: S = Sn-1 + Sthêm = 2(n-1)[A0 – (n-

1) δ ] +2 An-1 - 2 δ = 2n ( A 0 -nδ )
( với An-1 = A0 – 2(n-1) δ ).
Nhận thấy kết quả 1 và 3 trùng nhau do đó ta có bảng kết quả rút gọn sau:
A0
= n+m
2δ

Quãng đường vật đi

m ≤ 0,5

m > 0,5

S = 2n ( A 0 - nδ )

dao động tắt dần. Tính thời gian vật dao động và tổng quãng đưỡng vật đi được
đến dao động tắt trong các trường hợp sau:
1. A0 = 9,8cm

2. A0 = 10cm

3. A0 = 10,12cm

4. A0 = 0,4cm

Hướng dẫn:
Ta sử dụng bảng kết quả tổng hợp từ phần phương pháp
A0
= n+m
2δ

Quãng đường vật đi

m ≤ 0,5

m > 0, 5

S = 2n ( A 0 - nδ )

S =2(n+1)[A0 - (n+1) δ ]

n

n+1



12 + 0,5

12 + 0,65

ban đầu
Phân tích
A0
= n+m
2δ

13 + 0

13
Giá trị n

12

12

12

Giá trị m

0,25

0,5

0,65



(n+1)

T
2

n

T
2

2,4s
2,4s
2,6s
2,4s
Ví dụ minh họa 2 : Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,2 kg và lò xo có
độ cứng 50 N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục
lò xo. Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,05. Tại vị trí lò xo không
biến dạng, người ta nén vật 5cm rồi buông nhẹ.

Trang | 21


a. Tốc độ của vật khi vật đi qua vị trí lò xo không biến dạng lần 3.
b. Độ lớn lực đàn hồi khi vật đổi chiều lần 3.
Hướng dẫn:
a. VTCB tạm thời cách vị trí lò xo không biến dạng : δ =

μmg
= 0,2cm

cho hệ một động năng. Lúc này lò xo biến dạng lớn nhất và động năng của hệ
bằng 0. Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng để tìm vị tri này:
Giả sử vị trí lò xo biến dạng cực đại thì vật cách vị trí cân bằng một đoạn
a, như vậy quãng đường vật đi được cũng chính là a, do đó:
1
1
1
1
mv02 = A ms + ka 2 → mv 02 = μmga + ka 2 từ đó ta tính được a= 9,9cm.
2
2
2
2

Lực đàn hồi cực đại của lò xo trong quá trình dao động là: F đh(max) = ka =
1,98N.
Ví dụ minh họa 4: HSG tỉnh Thanh Hoá 2011 - 2012
Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật nặng có khối lượng m =
100(g) và lò xo nhẹ có độ cứng k = 100(N/m). Nâng vật nặng lên theo phương
thẳng đứng đến vị trí lò xo không bị biến dạng, rồi truyền cho nó vận tốc 10 30
(cm/s) thẳng đứng hướng lên. Chọn gốc thời gian là lúc truyền vận tốc cho vật
nặng. Chọn trục tọa độ Ox thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ O
ở vị trí cân bằng.
Lấy g = 10(m/s2); π 2 ≈ 10 .
Nếu lực cản của môi trường tác dụng lên vật nặng có độ lớn không đổi và bằng
FC=0,1(N). Hãy tìm tốc độ lớn nhất của vật sau khi truyền vận tốc.
Hướng dẫn:
Bài toán này không khó chỉ cần người đọc biết cách chuyển bài toán về
bài toán cơ bản ở phương pháp trên.
Trang | 23

mg
= 1cm là độ biến dạng của lò xo ở vị trí cân bằng khi chưa có
k

lực cản)
Ta tính được a = 0,0195m = 1,95cm
Như vậy A0 = 1,95cm.
Lưu ý thêm, vị trí cân bằng của vật ở đây trong quá trình vật đi xuống

nằm cách vị trí cân bằng cũ một đoạn δ =

Fc
=0,1cm
K

k
=10π ( rad/s ) ta
Vậy tốc độ cực đại của vật đạt được là: v max =ω ( A 0- δ ) Với ω =
m

được: vmax = 58,5cm/s
Ví dụ minh họa 5:

Cho một con lắc lò xo có độ cứng K = 100 N/m,

m=100gam. Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nằm ngang là 0,5. Kéo vật tới
Trang | 24


ví trí lò xo dãn 1,5 cm rồi thả nhẹ. Tính khoảng thời gian vật chuyển động từ


δ

N

A1