BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI
------

NGUYỄN THỊ THÚY

RÈN LUYỆN CÁC HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CHUNG
CHO HỌC SINH LỚP 10 TRƢỜNG THPT THÔNG QUA
HỆ THỐNG BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI

Chuyên ngành:
Mã số:

Lí luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán
60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Phƣơng Chi

HÀ NỘI, NĂM 2015


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Phƣơng pháp dạy học bộ
môn Toán, các thầy cô giáo Khoa Toán Tin trƣờng ĐHSP Hà Nội, Phòng sau đại học,
Ban giám hiệu và các thầy cô giáo trƣờng ĐHSP Hà Nội đã giảng dạy
, tạo điều kiện và
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa học Thạc sỹ
K23, chuyên ngành Lý luận và Phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán tại trƣờng ĐHSP
Hà Nội.

ĐTTS

Đề thi tuyển sinh

SGK

Sách giáo khoa

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

BĐT

Bất đẳng thức

CMR

Chứng minh rằng

VT

Vế trái

VP



Đối tƣợng nghiên cứu ................................................................................................ 2

4.

Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................. 2

5.

Phƣơng pháp nghiên cứu ........................................................................................... 3
Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận .................................................................................... 3
Phƣơng pháp điều tra - quan sát ..................................................................................... 3
Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm ............................................................................... 3

6.

Giả thuyết khoa học ................................................................................................... 3

7.

Cấu trúc luận văn ....................................................................................................... 4

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................................................................. 5
1.

Tổng quan về hoạt động trí tuệ ................................................................................ 5
1.1. Tƣ duy và những vấn đề liên quan....................................................................... 5
1.2. Các hoạt động trí tuệ chung cuả học sinh trong học tập nói chung và trong môn
Toán nói riêng. .......................................................................................................... 8
1.3. Rèn luyện các hoạt động trí tuệ chung giữ một vai tròquan trọng trong việc phát

2. Rèn luyện tƣơng tự hóa cho HS thông qua việc cho HS giải nhiều bài toán tƣơng tự 56
3. Rèn luyện hoạt động trừu tƣợng hóa, khái quát hóa cho HS thông qua việc yêu cầu HS
khai thác lời giải bài toán và tìm ra đặc điểm chung (bản chất) của các bài toán cụ thể. 59
4. Giáo viên tăng cƣờng sử dụng phiếu học tập và hoạt động nhóm giúp học sinh rèn
luyện các hoạt động trí tuệ chung ................................................................................. 63
CHƢƠNG IV .................................................................................................................. 67
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM........................................................................................... 67
1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm ......................................................................... 67
1.1.Mục đích thực nghiệm ....................................................................................... 67
1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm ...................................................................................... 67
2. Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm ................................................................................. 67
3. Nội dung thực nghiệm ............................................................................................. 69
3.1. Nội dung .......................................................................................................... 69
3.2. Giáo án thực nghiệm ......................................................................................... 70
4. Đánh giá kết quả thực nghiệm sƣ phạm.................................................................... 82
4.1. Đánh giá định tính............................................................................................. 82
4.2. Đánh giá định lƣợng ......................................................................................... 83
KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN ..................................................................................... 86
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................. 87

PHỤ LỤC


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong chƣơng trình toán phổ thông, bài toán về BĐT trải dài ở hầu hết các cấp học.
Ngay từ lớp 1, HS đã đƣợc làm quen với BĐT thông qua các bài toán nhƣ : so sánh 2
số, điền dấu >,< vào ô trống. Đến lớp 9 , HS đã đƣợc tiếp cận với các bài toán về BĐT
nhƣng ở cấp độ cao hơn. Và bƣớc vào lớp 10, việc dạy học BĐT đã đƣợc đƣa vào SGK
(chƣơng III- Đại số 10). Tuy nhiên theo phân phối chƣơng trình của lớp 10, nội dung

Chí Minh 1997
 Đỗ Văn Tuyên, Rèn luyện các hoạt động trí tuệ chung cho học sinh thông
qua dạy học các bài toán về BĐT, Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục, Đại học Sƣ
phạm Hà Nội
 Trần Thị Huế (2013 ), Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh THPT trong
dạy học BĐT, Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục, Đại học Sƣ phạm Hà Nội
 Nguyễn Chí Hiếu ( 2012 ), Vận dụng BĐT Côsi và phương pháp chứng
minh BĐT Côsi rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi ở trường THPT,
Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục, Đại học Giáo dục
 Ngô Thị Chung (2012 ), Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh THPT
thông qua dạy học giải bài toán về BĐT Côsi và BĐT Bunhiacopxki, Luận văn thạc
sĩ khoa học giáo dục, Đại học Giáo dục
…
Tuy nhiên, tôi muốn nhấn mạnh hơn nữa về vấn đề rèn luyện tƣ duy cho HS
thông qua hệ thống bài tập về BĐT, đặc biệt là về BĐT Côsi.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
Quá trình dạy và học nội dung BĐT Côsi ở lớp 10 trƣờng THPT.
4. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
 Mục đích nghiên cứu
Xây dựng hệ thống các bài tập về BĐT Côsi đồng thời đề xuất một số biện
pháp nhằm rèn luyện các hoạt động trí tuệ chung cho HS lớp 10 trƣờng THPT.

2


 Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận và xác định một số biện pháp rèn luyện hoạt động trí tuệ
của HS trong giảng dạy môn toán ở trƣờng THPT.
- Xây dựng hệ thống các bài tập về BĐT Côsi.
- Trên cơ sở lí luận và một số biện pháp đã đƣợc xác định, đề xuất phƣơng án

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm có 3 chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chƣơng 2: Hệ thống bài tập về BĐT Côsi và tiềm năng phát triển các hoạt
động trí tuệ chung cho học sinh thông qua các bài tập này
Chƣơng 3: Một số biện pháp rèn luyện cho học sinh các hoạt động trí tuệ
chung thông qua hệ thống bài tập đã đƣợc xây dựng
Chƣơng 4: Thực nghiệm sƣ phạm

4


CHƢƠNG I
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Tổng quan về hoạt động trí tuệ
1.1. Tư duy và những vấn đề liên quan
1.1.1. Khái niệm về tƣ duy
Theo từ điển Bách khoa toàn thƣ Việt Nam, tập 4: “Tƣ duy là sản phẩm cao
nhất của vật chất đƣợc tổ chức một cách đặc biệt – Bộ não ngƣời. Tƣ duy phản ánh
tích cực hiện thực khách quan dƣới dạng các khái niệm, sự phán đoán, lý
luận,.v.v..”
Theo quan điểm tâm lý học, tƣ duy là quá trình nhận thức phản ánh những
thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật hiện tƣợng
khách quan mà trƣớc đó ta chƣa biết. [14]
1.1.2. Đặc điểm của tƣ duy
Theo [14], [16], tƣ duy có các đặc điểm cơ bản sau đây:
- Tính có vấn đề:
Không phải hoàn cảnh nào cũng gây đƣợc tƣ duy của con ngƣời. Muốn kích
thích đƣợc tƣ duy phải đồng thời có hai điều kiện sau đây:
 Trƣớc hết phải gặp (hoàn cảnh) tình huống có vấn đề, tức hoàn cảnh (tình
huống) có chứa đựng một mục đích mới, một vấn đề mới, một cách thức giải quyết

biểu hiện trong ngôn ngữ. Con ngƣời luôn dùng ngôn ngữ để tƣ duy. Nhờ đặc điểm
gián tiếp này mà tƣ duy đã mở rộng không giới hạn những khả năng nhận thức của
con ngƣời.
- Tư duy của con người có quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ
Tƣ duy trừu tƣợng, gián tiếp, khái quát không thể tồn tại bên ngoài ngôn ngữ,
nó phải dùng ngôn ngữ làm phƣơng tiện cho mình. Nếu không có ngôn ngữ thì bản
than quá trình tƣ duy không diễn ra đƣợc, đồng thời các sản phẩm của tƣ duy cũng
không đƣợc chủ thể và ngƣời khác tiếp nhận. Ngôn ngữ cố định lại các kết quả của
tƣ duy và nhờ đó làm khách quan hóa chúng cho ngƣời khác và cho cả bản thân chủ
thể tƣ duy. Tuy nhiên ngôn ngữ không phải là tƣ duy mà ngôn ngữ chỉ là phƣơng

6


tiện của tƣ duy.
- Tư duy có quan hệ chặt chẽ với nhận thức cảm tính
Nhƣ V.I Lenin đã từng khẳng định: Không có cảm giác thì không có nhận thức
nào cả. Rõ ràng nhận thức cảm tính là cơ sở, là nơi cung cấp nguyên liệu cho tƣ
duy. Tƣ duy dựa vào nhận thức cảm tính, không tách rời nhận thức cảm tính và
thƣờng bắt đầu từ nhận thức cảm tính. Dù tƣ duy có khái quát đến đâu, có trừu
tƣợng đến đâu thì trong nội dung của nó cũng chứa đựng thành phẩm của nhận thức
cảm tính.
Ngƣợc lại, tƣ duy và sản phẩm của nó cũng có ảnh hƣởng mạnh mẽ, chi phối
khả năng phản ánh của nhận thức cảm tính, làm cho nhận thức cảm tính tinh vi,
nhạy bén hơn, chính xác hơn, có sự lựa chọn và có ý nghĩa hơn.
Cả nhận thức cảm tính và tƣ duy đều nảy sinh từ thực tiễn, lấy thực tiễn làm
tiêu chuẩn kiểm tra tính đúng đắn của nhận thức.
1.1.3. Các loại tƣ duy
Cũng theo [14], dựa trên các tiêu chí khác nhau, chúng ta có thể phân tƣ duy
thành các loại khác nhau.

không tuân theo một khuôn mẫu cứng nhắc nào. Loại tƣ duy này liên quan đến trực
giác và khả năng sáng tạo của con ngƣời.
1.2. Các hoạt động trí tuệ chung cuả học sinh trong học tập nói chung và trong
môn Toán nói riêng.
Các hoạt động trí tuệ chung của HS trong học tập nói chung và trong môn toán
nói riêng bao gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh, tƣơng tự hóa, khái quát hóa, đặc
biệt hóa, cụ thể hóa, trừu tƣợng hóa….
1.2.1. Phân tích và tổng hợp
Theo Nguyễn Bá Kim [7] :
Phân tíchlà tách (trong tƣ tƣởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật
thành những bộ phận riêng lẻ.
Tổng hợp là liên kết (trong tƣ tƣởng) những bộ phận thành một vật, liên kết
nhiều vật thành một hệ thống.

8


Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngƣợc nhau nhƣng lại là hai
mặt của một quá trình thống nhất. Chúng là hai hoạt động trí tuệ cơ bản của quá
trình tƣ duy. Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nền tảngphân tích và
tổng hợp.
Theo giáo trình tâm lý học đại cƣơng [14] :
Phân tích là quá trình dùng trí óc để phân chia đối tƣợng nhận thức thành các
bộ phận, các thành phần tƣơng đối độc lập để nhận thức đối tƣợng sâu sắc hơn ( nói
nhƣ vậy để khẳng định phân tích không phải là quá trình băm nhỏ hay đập nát đối
tƣợng). Đó là quá trình diễn ra trong đầu chủ thể nhằm tách đối tƣợng tƣ duy thành
những thuộc tính, những bộ phận, những mối liên hệ, quan hệ giữa chúng để nhận
thức đối tƣợng sâu sắc hơn.
Tổng hợp là quá trình dùng trí óc để hợp nhất các thành phần đã đƣợc tách rời
trong quá trình phân tích thành một chỉnh thể thống nhất, hoàn chỉnh. Đây là thao

a
a
a
Xét   trong VT, từ   muốn đƣa về phải đƣa về Côsi cho 3 số, 2 hằng số còn
b
b
b
3

a
lại cộng vào   phải thỏa mãn điều kiện xảy ra dấu " = " ở BĐT ban đầu. Mà ta dễ
b
3

a
nhẩm ra dấu "  " ở BĐT ban đầu là a  b  c     1  hai hằng số cộng vào là
b
1.
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
3

3

3

a a
a
a
a
3

3

c
c
   2  3. (3)
a
a
Tổng hợp: Liên kết các BĐT (1), (2), (3) với nhau ta có
3

3

3

a b  c
a b c
         6  3.   
b c a
b c a
3

3

3

a b  c a b c
a b c
              2.     6 *
b c a b c a
b c a

10


1.2.2. So sánh
Theo giáo trình tâm lý học đại cƣơng [14] :
So sánh là quá trình dùng trí óc để xác định sự giống và khác nhau, sự đồng
nhất hay không đồng nhất , sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối
tƣợng nhận thức.
Thao tác này liên quan chặt chẽ với thao tác phân tích và tổng hợp và rất quan
trọng trong việc nhận thức thế giới. K.D.Usinxki từng nói: “ So sánh là cơ sở của
mọi sự hiểu biết và tƣ duy ”, hay nhƣ Sêchênốpcũng nói: “ So sánh là kho tàng trí
tuệ quý báu nhất của con ngƣời ”. Nhờ so sánh mà con ngƣời có thể hình dung ra
những cái chƣa biết trên cơ sở những cái đã biết.
Ta xét hoạt động so sánh thể hiện trong ví dụ sau đây:
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với 𝑎, 𝑏, 𝑐 lần lƣợt là độ dài 3 cạnh của tam giác. CMR:

a
b
c


3
bc a c  a b a bc
Lời giải
Đặt x  b  c  a , y  c  a  b , z  a  b  c


 x, y , z  0

 x  y  z  a  b  c

11


bằng mẫu số của số hạng thứ nhất và thứ 2, điều này làm ta nghĩ đến việc làm xuất
hiện tích của các số hạng để triệt tiêu đƣợc x, y,z từ đó chỉ còn hằng số, việc này
gợi ý cho ta dùng BĐT Côsi cho 6 số.

y z z x x y
y z z x x y
      66 . . . . .  6
x x y y z z
x x y y z z
Từ đó ⇒(*) luôn đúng ⇒ BĐT đƣợc chứng minh
Dấu "=" xảy ra  x  y  z  a  b  c.
1.2.3. Tƣơng tự
Theo Trần Thúc Trình [15] : Tương tự là thao tác tƣ duy dựa trên sự giống nhau về
tính chất và quan hệ của những đối tƣợng toán học khác nhau. Kết luận dựa theo sự
tƣơng tự có thể mô tả nhƣ sau:
 Đối tƣợng A có các tính chất a, b, c.
 Đối tƣợng B có các tính chất a, b. Thế thì B có thể có tính chất c
Ta xét sự tƣơng tự hóa thể hiện trong ví dụ sau đây:
4
4
4
Ví dụ 3:Cho a, b, c  0 và a  b  c  3. CMR: a  b  c  3

Lời giải
Áp dụng BĐT Côsi ta có: a  1  1  1  4 4 a .1.1.1  4a  a  4a  3
4


nhiên liên tiếp, hay tínhsố đƣờng chéo trong một tứ giác, một ngũ giác hay một lục
giác…sang việc tính số đƣờng chéo trong một đa giác. Hay ta khái quát hóa việc
nhiên cứu hàm số logarit với cơ số tự nhiên sang việc nghiên cứu hàm số logarit với
cơ số bất kì.
Ta cùng xét hoạt động khái quát hóa thể hiện trong ví dụ sau đây
Ví dụ 4:Xuất phát từ các bài toán cụ thể, riêng lẻ sau :
Bài 1: Cho a, b, c  0 . CMR:

a 3 b3 c 3
 
abc
b2 c 2 a 2

Bài 2: Cho a, b, c  0 . CMR:

a 4 b4 c 4


abc
b3 c 3 a 3

Bài 3:Cho a, b, c  0 . CMR:

a 3 b3 c 3
   a 2  b2  c 2
b
c
a

Bài 4: Cho a, b, c  0 . CMR:

Ta xét sự đặc biệt hóa thể hiện trong ví dụ sau:
Ví dụ 5: Cho a, b, c  0 , n là số nguyên dƣơng. CMR:

a nm bnm c nm
 n  n  a m  bm  c m
n
b
c
a
Đặc biệt hóa bài toán này ( chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tƣợng đã
cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đó) ta có bài
toán sau :

a 5 b5 c 5
Cho a, b, c  0 . CMR: 2  2  2  a3  b3  c3
b
c
a
1.2.5. Trừu tƣợng hóa và cụ thể hóa
Theo giáo trình tâm lý học đại cƣơng [14] : “ Trừu tượng hóa là quá trình
dùng trí óc để gạt bỏ những mặt, những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu,
không cần thiết và chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết cho tƣ duy”
Theo Nguyễn Bá Kim [7] : " Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất
khỏi những đặc điểm không bản chất. Đƣơng nhiên, sự phân biệt bản chất với
không bản chất ở đây mang ý nghĩa tƣơng đối, nó phụ thuộc mục đích hành động".
Quá trình ngƣợc lại nhƣng có mối liên hệ mật thiết với trừu tượng hóa là cụ
thể hóa. Đó là ý nghĩ về một cái riêng mà cái riêng này tƣơng ứng với một cái
chung nhất định. Cũng có thể nói: cụ thể hóa là quá trình minh họa, giải thích
những khái niệm, quy luật khái quát, trừu tƣợng bằng ví dụ.
Ta xét sự trừu tƣợng hóa thể hiện trong ví dụ sau đây

Bunhiacopxki cho 4 số  a 2  b 2  m2  n 2    am  bn  bằng cách cho
2

a  1, b  2
1.3. Rèn luyện các hoạt động trí tuệ chung giữ một vai tròquan trọng trong việc
phát triển trí tuệ nói chung và phát triển tư duymôn Toán nói riêng cho học sinh
THPT, đặc biệt là nội dung BĐT.
Việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ có ý nghĩa hết sức quan trọng trong việc
hình thành và phát triển trí tuệ, tƣ duy cho học sinh THPT và nó đƣợc thực hiện ở
tất cả các môn học trong nhà trƣờng.
Trong học tập nói chung, học tập môn toán nói riêng, để hình thành một khái
niệm, HS phải biết phân tích để tìm ra các thuộc tính của khái niệm, phân chia khái
niệm thành các bộ phận theo các thuộc tính đó để hiểu khái niệm một cách sâu sắc
hơn. Hay để tiếp thu một định lý, HS phải biết phân tích đƣợc giả thiết và kết luận
của định lý, các cách chứng minh định lý và vận dụng định lý vào giải các bài tập
cụ thể,…Khi giải một bài tập, HS phải biết phân tích xem cái nào là cái đã cho và
cái nào là cái cần tìm, từ đó tổng hợp lại để tìm cách giải bài tập, so sánh các cách
giải để tìm lời giải tối ƣu, từ trƣờng hợp đặc biệt có thể khái quát hóa để tìm bài
toán tổng quát,…

15


Nhƣ vậy có thể nói quá trình học toán đòi hỏi HS cần phải thƣờng xuyên thực
hiện các hoạt động trí tuệ nhƣ phân tích, tổng hợp, so sánh, tƣơng tự, khái quát hóa,
đặc biệt hóa,…Tƣ duy đƣợc phát triển trong quá trình học thông qua việc đƣợc
thƣờng xuyên rèn luyện, mà trƣớc hết là rèn luyện các hoạt động trí tuệ chung.
Với những đặc trƣng của môn Toán nói chung , những đặc trƣng về BĐT và các
bài toán cực trị nói riêng mà muốn nhận thức đƣợc thì HS cần phải thƣờng xuyên
thực hiện các hoạt động trí tuệ chung nhƣ : phân tích, tổng hợp, so sánh, tƣơng

x  y  2
4
4
x  y  2

Ví dụ 8( trong đại số) Giải hệ phƣơng trình: 
Lời giải

Áp dụng BĐT Côsi ta có: x 4  1  1  1  4 4 x 4 .1.1.1  4 x  4 x

 x4  4 x  3 1
Tƣơng tự ta cũng có y 4  4 y  3  2
Từ (1) và (2)  x4  y 4  4  x  y   6  2

 x4  y 4  2
Để dấu "  " xảy ra thì x  y  1
Vậy nghiệm của (*) là x  y  1.
Ví dụ 9( trong hình học )Cho đƣờng tròn(𝐶): x2  y 2  1 .
Một đƣờng thẳng (d) tiếp xúc với (𝐶) tại M, và cắt Ox, Oy lần lƣợt tại A, B. Tìm
tọa độ điểm M để 𝑆𝐴𝐵𝑂 đạt min
Lời giải
Giả sử M  x0 , y0  ⇒ Phƣơng trình tiếp tuyến  d  cắt  C  tại M là:

xx0  yy0  1
Do (d) cắt cả Ox, Oy nên x0 , y0  0

1 
 1
,0  ; B   0, 
 x0 

1

2
x0 2  y0 2   
2
y   1
0

2

Vậy có 4 điểm M thỏa mãn bài toán là:  3,2 ;  3, 2;  3,2 ;(3, 2 )
2.2. Bài tập về BĐT chứa đựng tiềm năng phát triển năng lực trí tuệ cho HS
Bài tập về BĐT rất phong phú, đa dạng, đòi hỏi nhiều kĩ năng, phƣơng pháp giải ở
ngƣời làm toán, nhiều bài toán cụ thể của BĐT có thể nâng lên thành bài toán tổng
quát, sau đó lại đặc biệt để cho ra các bài mới hấp dẫn hơn bài toán ban đầu.Điều đó
chứng tỏ BĐT chứa đựng tiềm năng phát triển năng lực trí tuệ cho HS. Để minh họa
cho điều này, sau đây tôi xin đƣa ra một số ví dụ:
Xuất phát từ bài toán ban đầu
Ví dụ 10: Cho a, b, c  0. CMR :

a
b
c
3



bc ca ab 2
Lời giải



c
c

a
a

b

 2
1
1 
 1
  b  c    c  a    a  b   


  9 *
bc c  a a b
(*) đúng vì theo BĐT Bunhiacopxki
Tƣơng tự hóa, bằng cách tăng số biến, số mũ ta có các bài toán sau:
Bài 10.1: Cho a, b, c, d  0 CMR :
18


a
b
c
d
4


3
 3
 3

x  y  z y  z  x z  x  y 2
3

Từ ví dụ 10 ta có thể khái quát hóa lên thành bài toán tổng quát
Bài 10.4: Cho a, b, c  0. CMR :

a
b
c
3



; m, n  0
mb  nc mc  na ma  nb m  n
Từ bài toán 10.1 ta có thể khái quát hóa lên thành bài toán tổng quát
Bài 10.5: Cho a, b, c, d  0; m, n, p  0 CMR :

a
b
c
d
4




5
5
4
4
4
b) a  b  c  a  b  c

 Dựa vào việc tìm ra đặc điểm bản chất của bài toán trên ( trừu tƣợng hóa ),
đó là ở 2 phần a) có chung đặc điểm là VT là tổng của các số hạng đồng bậc, còn
VT là hằng số 3, còn 2 phần b) có chung đặc điểm là cả VP và VT đồng bậc nhƣng
bậc của VT cao hơn bậc của VP, mà ta có thể khái quát hóa với trƣờng hợp số mũ

n, m có thể nâng lên thành bài toán tổng quát:
Cho a, b, c  0 và a  b  c  3 , 2  n  m  N . CMR:
a) a n  bn  c n  3
b) a m  b m  c m  a n  b n  c n
 Đặc biệt hóata có bài toán sau:
Cho a, b, c  0 và a  b  c  3 . CMR:
a) a1999  b1999  c1999  3
b) a 2005  b2005  c 2005  a1997  b1997  c1997
 Sử dụng phép tƣơng tự , ta có thể tạo ra các bài toán mới nhƣ:
Cho a, b, c  0 . CMR:
3

3

3

a b  c a b c
        

2
.
a

a
bc
4
bc 4
bc
4
20